微积分常用泰勒公式（麦克劳林公式）大合集

在微积分的江湖中，如果说等价无穷小是轻巧的匕首，洛必达法则是锋利的长剑，那么泰勒公式无疑是那柄能够开山裂石的重斧，是解决复杂极限和函数逼近问题的“终极武器”。它不仅是许多重要极限和等价无穷小公式的理论基础，更是在“加减法”使其他技巧失效时的不二法门。

本文将为您系统梳理和总结那些在微积分中必须牢记于心的常用泰勒（麦克劳林）公式，并探讨其应用的强大之处。

什么是泰勒公式？

泰勒公式的核心思想是：用一个多项式函数来逼近一个在某点附近具有任意阶导数的光滑函数。当这个点选在 $x_0=0$ 时，这个特殊的泰勒公式就被称为麦克劳林公式。在求极限的场景下，我们绝大多数时候使用的都是麦克劳林公式。

一个函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的麦克劳林展开式（带佩亚诺余项）为：
$$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\frac{f^{\prime \prime \prime }(0)}{3!}{x}^3+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+o(x^n)$$
其中，$o(x^n)$ 表示一个当 $x\to 0$ 时，比 $x^n$ 更高阶的无穷小量，即 ${\lim }_{x\to 0}\frac{o(x^n)}{x^n}=0$。这个余项正是我们进行极限计算时，能够“放心”截取前几项进行计算的理论依据。

核心麦克劳林公式大全

以下是在 $x\to 0$ 时最常用、必须烂熟于心的几个函数展开式。

1. 指数函数 $e^x$

这是最简单也最完美的形式，它的各阶导数在 $x=0$ 处的值都是1。
$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$$
$$e^x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$$

2. 正弦函数 $\sin (x)$

只包含 $x$ 的奇数次幂，正负交替。
$$\sin (x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots +(-1{)}^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+o(x^{2k+2})$$
推论： 从第一项可以看出，当 $x\to 0$ 时，$\sin (x)=x+o(x)$，所以 ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$，即 $\sin x\sim x$。

3. 余弦函数 $\cos (x)$

只包含 $x$ 的偶数次幂，正负交替。
$$\cos (x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots +(-1{)}^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}+o(x^{2k+1})$$
推论： 从前两项可以看出，$1-\cos x=\frac{x^2}{2!}-\frac{x^4}{4!}+\dots$。所以当 $x\to 0$ 时，$1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$。

4. 自然对数 $\ln (1+x)$

系数为调和级数，正负交替。
$$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$$
推论： $\ln (1+x)=x+o(x)$，所以 $\ln (1+x)\sim x$。

5. 幂函数 $(1+x{)}^{\alpha }$

这是广义二项式定理，形式稍微复杂，但功能极其强大。
$$(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+\frac{\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)}{3!}{x}^3+\cdots +o(x^n)$$
推论： $(1+x{)}^{\alpha }-1=\alpha x+o(x)$，所以 $(1+x{)}^{\alpha }-1\sim \alpha x$。
这个公式是许多根式和分式等价无穷小的“母公式”。例如：

• $\sqrt{1+x}=(1+x{)}^{1/2}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}{x}^2+o(x^2)$
• $\frac{1}{1-x}=(1-x{)}^{-1}=1+x+x^2+x^3+\cdots +o(x^n)$ （将 $x$ 替换为 $-x$, $\alpha =-1$）

6. 正切函数 $\tan (x)$

系数相对不那么规则，但前两项非常有用。
$$\tan (x)=x+\frac{1}{3}{x}^3+\frac{2}{15}{x}^5+o(x^6)$$
推论： $\tan x=x+o(x^2)$，所以 $\tan x\sim x$。

7. 反正切函数 $\arctan (x)$

与 $\sin x$ 类似，是奇数次幂，正负交替，但分母不是阶乘。
$$\arctan (x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots +(-1{)}^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}+o(x^{2k+2})$$
推论： $\arctan x=x+o(x^2)$，所以 $\arctan x\sim x$。

泰勒公式的应用：专治“加减法”

泰勒公式最能彰显其威力的地方，在于处理“无穷小量之差”类型的极限。在这种情况下，低阶的等价无穷小替换会导致主要信息被抵消，从而得出错误结论。

经典案例回顾

计算 ${\lim }_{x\to 0}\frac{\tan (x)-\sin (x)}{x^3}$

• 错误分析： 如果使用等价无穷小 $\tan x\sim x$ 和 $\sin x\sim x$，分子会变成 $x-x=0$，得到错误答案。

• 泰勒展开法： 我们需要将分子展开到比分母的阶数（3阶）更高或相等的阶数，以观察相减后剩下的主部。

  • $\sin (x)=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$
  • $\tan (x)=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$

  将它们代入原式：
  $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\left(x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)\right)-\left(x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\right)}{x^3}$$
  $$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x+\frac{x^3}{3}-x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)}{x^3}$$
  $$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{2}{x}^3+o(x^3)}{x^3}$$
  $$=\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{2}+\frac{o(x^3)}{x^3}\right)=\frac{1}{2}$$
  通过泰勒展开，我们精确地捕捉到了 $\tan (x)$ 和 $\sin (x)$ 在 $x^3$ 这一阶的差异，从而解决了问题。

总结

泰勒公式（特别是麦克劳林公式）是微积分中一个极其深刻和强大的工具。

• 理论基石： 它是等价无穷小和洛必达法则的理论基础。
• 函数逼近： 能够用简单的多项式在局部很好地近似复杂函数。
• 极限求解： 是解决含有无穷小量加减法极限问题的最可靠、最系统的方法。

记忆这些核心的展开式，并深刻理解其在极限计算中的应用，是每一位微积分学习者从“会”到“精”的必经之路。当你遇到棘手的极限问题时，请记住，泰勒公式是你最可靠的“终极武器”。