1. 基本点火公式（Wallis公式

1. 递推关系（分部积分）
   $$I_n={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}xdx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}xdx=\frac{n-1}{n}{I}_{n-2}$$
   当 n 为偶数（n=2k ）：
   $$I_n=\frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{(2k)!}{4^k(k!{)}^2}\cdot \frac{\pi }{2}$$
   当 n 为奇数（n=2k+1 ）
   $$I_n=\frac{(n-1)!!}{n!!}=\frac{(2k)!!}{(2k+1)!!}=\frac{4^k(k!{)}^2}{(2k+1)!}$$

2. 点火公式的进阶形式

1. 递推关系
   $$I_{m,n}={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}x{\sin }^{m}xdx=\frac{m-1}{m+n}{I}_{m-2,n}=\frac{n-1}{m+n}{I}_{m,n-2}$$
   当 n 为偶数（n=2k ）：
   $$I_{m,n}=\frac{(m-1)!!(n-1)!!}{(m+n)!!}\times \{\begin{array}{ll}\frac{\pi }{2}& \text{如果 }m\text{ 和 }n\text{ 都是偶数}\\ 1& \text{否则}\end{array}$$

3. 非整数指数的推广

1. Beta函数表示
   $${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{p-1}x{\sin }^{q-1}xdx=\frac{1}{2}B\left(\frac{p}{2},\frac{q}{2}\right)=\frac{\Gamma \left(\frac{p}{2}\right)\Gamma \left(\frac{q}{2}\right)}{2\Gamma \left(\frac{p+q}{2}\right)}$$

4.三角恒等变换技巧

1. 当 m+n 为偶数时
   $${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}x{\sin }^{m}xdx=\frac{1}{2^{(m+n)/2}}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{(m+n)/2}2x\cdot (\cos x\text{ 或 }\sin x{)}^{|m-n|}dx$$
2. 当 m=n 时
   $${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(\cos x\sin x{)}^{n}dx=\frac{1}{2^n}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}2xdx=\frac{1}{2^{n+1}}{\int }_0^{\pi }{\sin }^{n}udu$$

5. 特殊积分技巧

1. 奇数次幂替换
   若 m 为奇数，令 u=cosx ：
   $${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}x{\sin }^{m}xdx={\int }_0^1(1-u^2{)}^{\frac{m-1}{2}}{u}^{n}du$$
   若 n 为奇数，令 u=sinx ：
   $${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}x{\sin }^{m}xdx={\int }_0^1(1-u^2{)}^{\frac{n-1}{2}}{u}^{m}du$$
2. 降幂公式
   $${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2},{\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$$
3. 乘积转和差
   $$\cos x\sin x=\frac{1}{2}\sin 2x,{\cos }^{2}x{\sin }^{2}x=\frac{1}{8}(1-\cos 4x)$$