二阶滤波器

二阶（或双极）滤波器由两个连接在一起的 RC 滤波器部分组成，可提供 -40dB/十倍频程滚降率。

1、概述

二阶滤波器也称为 VCVS 滤波器，因为运算放大器用作压控电压源放大器，是有源滤波器设计的另一种重要类型，因为与我们之前研究过的有源一阶 RC 滤波器一起，更高 可以使用它们设计阶滤波器电路。

在模拟滤波器部分文章中，我们研究了无源和有源滤波器设计，并且发现只需在输入或反馈路径中使用额外的 RC 网络，即可轻松将一阶滤波器转换为二阶滤波器。 那么我们可以将二阶滤波器简单地定义为：“两个一阶滤波器级联在一起并进行放大”。

大多数二阶滤波器的设计通常以其发明者的名字命名，最常见的滤波器类型是：巴特沃斯、切比雪夫、贝塞尔和萨伦基。 所有这些类型的滤波器设计均可用作：低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻（陷波）滤波器配置，并且均为二阶滤波器，均具有每十倍频程 40dB 的滚降 。

Sallen-Key 滤波器设计是最广为人知和流行的二阶滤波器设计之一，仅需要一个运算放大器进行增益控制，并使用四个无源 RC 组件来完成调谐。

大多数有源滤波器仅由运算放大器、电阻器和电容器组成，通过使用反馈来实现截止点，从而消除了无源一阶滤波器电路中使用的电感器的需要。

二阶（双极）有源滤波器，无论是低通还是高通，在电子学中都很重要，因为我们可以使用它们来设计具有非常陡峭的滚降的高阶滤波器，并通过将一阶和二阶滤波器级联在一起，模拟滤波器 在合理范围内，第 n 阶值（奇数或偶数）可以构造为任意值。

2、二阶低通滤波器

二阶低通滤波器易于设计并广泛应用于许多应用中。 Sallen-Key 二阶（双极）低通滤波器的基本配置如下：

二阶低通滤波器

该二阶低通滤波器电路有两个 RC 网络：R1 – C1 和 R2 – C2，它们赋予滤波器频率响应特性。 滤波器设计基于同相运算放大器配置，因此滤波器增益 A 始终大于 1。此外，运算放大器具有高输入阻抗，这意味着它可以轻松与其他有源滤波器电路级联 给出更复杂的滤波器设计。

二阶低通滤波器的归一化频率响应由 RC 网络固定，并且通常与一阶类型的归一化频率响应相同。 一阶和二阶低通滤波器之间的主要区别在于，当工作频率增加到截止频率 ${ƒ}_c$ 点之上时，阻带滚降将以 40dB/十倍频程（12dB/倍频程）为一阶滤波器的两倍 如图所示。

归一化低通频率响应

上面的频率响应波特图与一阶滤波器的频率响应波特图基本相同。 这次的不同之处在于阻带中滚降的陡度为 -40dB/decade。 然而，二阶滤波器可以表现出多种响应，具体取决于截止频率点处的电路电压放大系数 Q。

在有源二阶滤波器中，通常使用阻尼因子 $\zeta$ (zeta)，它是 Q 的倒数。 Q 和 z 均由放大器的增益 A 独立确定，因此当 Q 减小时，阻尼系数增大。 简单来说，低通滤波器本质上始终是低通的，但可以在截止频率附近表现出谐振峰值，即由于放大器增益的谐振效应，增益可以快速增加。

那么 Q（品质因数）代表该谐振峰的“峰度”，即截止频率点 $f_C$ 周围的高度和窄度。 但滤波器增益也决定了其反馈量，因此对滤波器的频率响应有显着影响。

一般来说，为了保持稳定性，有源滤波器增益不得超过 3，最好表示为：

质量因素，“Q”:

然后我们可以看到，同相放大器配置的滤波器增益 A 必须位于 1 和 3 之间（阻尼因子 $\zeta$ 在 0 和 2 之间）。 因此，较高的 Q 值或较低的 $\zeta$ 值会产生更大的响应峰值和更快的初始滚降率，如图所示。

二阶滤波器幅度响应

二阶低通滤波器的幅度响应因阻尼因子 $\zeta$ 的不同值而变化。 当$\zeta =1.0$ 或更大（2 为最大值）时，滤波器变为所谓的“过阻尼”，频率响应呈现出一条长而平坦的曲线。 当 $\zeta =0$ 时，滤波器输出在截止点处急剧达到峰值，类似于滤波器被称为“欠阻尼”的尖点。

那么在 $\zeta =0$ 和 $\zeta =2.0$ 之间的某个位置，一定存在一个频率响应具有正确值的点，而且确实存在。 这是滤波器处于“临界阻尼”状态，且在 $\zeta =0.7071$ 时发生。

最后要注意的是，当反馈量达到4或更多时，由于谐振效应，滤波器开始在截止频率点自行振荡，将滤波器变成振荡器。 这种效应称为自振荡。 那么对于低通二阶滤波器，Q 和 z 都起着至关重要的作用。

我们可以从上面一阶滤波器的归一化频率响应曲线（红线）中看到，通带增益保持平坦且水平（称为最大平坦），直到频率响应达到截止频率点，此时： $f=f_r$ 且 滤波器的增益降低至超过其转角频率 $1/\sqrt{2}$，即最大值的 0.7071。 该点通常称为滤波器 -3dB 点，对于一阶低通滤波器，阻尼因子将等于 1 ($\zeta =1$ )。

然而，由于 -40dB/十倍频程滚降率（蓝线）更陡，所以对于二阶滤波器，该 -3dB 截止点将处于不同的频率位置。 换句话说，转角频率 fr 随着滤波器阶数的增加而改变位置。 然后，为了使二阶滤波器 -3dB 点回到与一阶滤波器相同的位置，我们需要为滤波器添加少量增益。

因此，对于巴特沃斯二阶低通滤波器设计，增益量将为：1.586，对于贝塞尔二阶滤波器设计：1.268，对于切比雪夫低通滤波器设计：1.234。

3、二阶滤波器示例1

二阶低通滤波器将围绕同相运算放大器进行设计，在其截止频率确定电路中具有相等的电阻器和电容器值。 如果滤波器特性给出为：$Q=5$，且 $f_c=159Hz$，则设计一个合适的低通滤波器并绘制其频率响应。

给定的特性：$R1=R2、C1=C2、Q=5$ 且 $f_c=159Hz$

从上面的电路我们知道，对于相等的电阻和电容，截止频率点 $f_c$ 如下：

选择合适的电阻值（例如 10kΩ），所得电容值计算如下：

对于 159Hz 的截止角频率，R = 10kΩ，C = 0.1uF。

当 Q = 5 时，滤波器增益 A 计算如下：

从上面我们知道，同相运算放大器的增益如下：

因此，二阶低通滤波器的最终电路如下：

低通二阶滤波器电路

我们可以看到，由于品质因数值较高，Q = 5，频率响应曲线的峰值在截止频率处相当尖锐。此时滤波器的增益为：$Q\times A=14$， 或约+23dB，与计算值2.8（+8.9dB）相差很大。

但是很多书，比如右边的书，告诉我们滤波器在归一化截止频率点等处的增益应该在-3dB点。 通过将 Q 值显着降低至 0.7071，可得到 A = 1.586 的增益，并且频率响应在通带中达到最大平坦，在截止点处的衰减为 -3dB，与 二阶巴特沃斯滤波器响应。

到目前为止，我们已经看到，二阶滤波器可以将其截止频率点设置为任何所需值，但可以通过阻尼因子 z 偏离该所需值。 有源滤波器设计通过将滤波器部分级联在一起，使滤波器的阶数可以在合理范围内达到任何值。

实际上，在设计 n 阶低通滤波器时，需要设置一阶部分的截止频率（如果滤波器的阶数为奇数），并为每个第二阶部分设置阻尼因子和相应的增益。 对各个部分进行排序，以便获得正确的整体响应。 为了使低通滤波器的设计更容易实现，有源滤波器的 z、Q 和 A 值以表格形式提供，正如我们将在巴特沃斯滤波器教程中看到的那样。 让我们看另一个例子。

4、二阶滤波器示例2

设计一个非反相二阶低通滤波器，其具有以下滤波器特性：$Q=1$，且 $f_c=79.5Hz$。

由上可知，滤波器的转角频率 $f_c$ 如下：

为滤波电阻选择合适的 1kΩ 值，然后计算得出的电容值如下：

因此，对于 79.5Hz 或 500 rad/s 的转角频率，$R=1k\Omega ，C=2.0uF$。

给定 $Q=1$ 的值时，滤波器增益 $A$ 计算如下：

同相运算放大器电路的电压增益先前给出为：

因此，Q 值为 1、转角频率为 79.5Hz 的二阶低通滤波器电路如下：

低通滤波器电路

5、高通二阶滤波器

二阶低通滤波器配置和二阶高通滤波器配置之间几乎没有什么区别，唯一改变的是如图所示的电阻器和电容器的位置。

高通二阶滤波器

由于二阶高通和低通滤波器除了电阻和电容的位置互换之外是相同的电路，因此高通滤波器的设计和频率缩放程序与之前的低通滤波器的设计和频率缩放程序完全相同。 因此，二阶高通滤波器的波特图如下：

归一化高通频率响应

与之前的低通滤波器一样，阻带中的滚降陡度为 -40dB/十倍频程。

在上述两个电路中，运算放大器电压增益 (Av) 的值由放大器反馈网络设置。 这仅设置滤波器通带内频率的增益。 我们可以选择放大输出，并根据适合我们目的的任何量设置此增益值，并将此增益定义为常数 K。

二阶 Sallen-Key 滤波器也称为正反馈滤波器，因为输出反馈到运算放大器的正端子。 这种类型的有源滤波器设计很受欢迎，因为它只需要一个运算放大器，因此相对便宜。