模型预测控制（MPCC）

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概述

本文提出一种**非线性模型预测轮廓控制（MPCC）方法，用于车辆在极限工况下的自动避障。所提出的控制器集成了运动规划、路径跟踪和车辆稳定性目标，并在紧急情况下优先考虑避障**。控制器的预测模型采用非线性单轨车辆模型，结合Fiala轮胎模型以准确表征车辆的非线性动力学特性。MPCC通过优化转向角和制动力分配，在安全工况下最小化跟踪误差，在紧急情况下最大化车辆与障碍物之间的距离。

此外，MPCC充分利用轮胎摩擦圆约束，以最大化车辆的机动性和稳定性。通过实时快速原型平台对MPCC控制器进行测试，验证了其实时计算能力。在高保真仿真环境中，将所提方法的性能与现有最先进的模型预测控制（MPC）方法进行对比。双移线场景的仿真结果表明，所提出的控制器在成功避障和保持车辆稳定性方面具有显著优势。

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1. 研究背景和动机

1.1 研究背景

1.1.1 自动驾驶车辆避障控制的重要性

随着自动驾驶技术的快速发展，车辆在复杂交通环境中的安全避障能力已成为决定自动驾驶系统可靠性的关键因素。据统计，超过90%的交通事故与人为因素相关，而自动驾驶系统通过精确的感知、决策和控制，有望显著降低事故发生率。在自动驾驶系统的控制层中，避障控制是最具挑战性的任务之一，特别是在极限工况下，车辆需要在接近物理极限的状态下完成紧急避障机动，这对控制算法的鲁棒性、实时性和精确性提出了极高要求。

极限工况下的避障控制面临多重挑战：首先，车辆在接近轮胎摩擦极限时，纵向和横向动力学呈现强非线性耦合特性，传统的线性控制方法难以准确描述和预测车辆行为；其次，紧急避障场景下，车辆需要在极短时间内完成轨迹重规划和控制执行，对算法的实时性要求极高；再次，避障过程中需要同时考虑路径跟踪精度、车辆稳定性和碰撞避免等多个相互冲突的控制目标，如何实现多目标之间的有效协调是亟待解决的关键问题。

1.1.2 传统分层控制架构的局限性

传统的车辆控制架构通常采用分层设计，将运动规划、路径跟踪和车辆稳定性控制作为独立的模块分别处理[2]。这种架构的优势在于各模块可以独立优化，设计相对简单。然而，在极限工况下的避障机动中，这种分层架构暴露出严重不足：

控制目标冲突问题。在紧急避障场景下，运动规划器可能生成一条需要车辆在极限状态下执行的轨迹，而路径跟踪控制器为了精确跟踪该轨迹，可能使车辆超出稳定性边界，导致车辆失稳。相反，如果车辆稳定性控制器优先考虑稳定性，可能会增大路径跟踪误差，导致车辆无法及时避开障碍物，引发碰撞事故[3,4]。这种控制目标之间的冲突在分层架构中难以有效协调。

模型精度不足。传统分层控制器通常采用简化的车辆模型，如线性化单轨模型或运动学模型，这些模型在正常工况下能够提供足够的精度，但在极限工况下，轮胎力的非线性特性、纵向和横向动力学的强耦合等因素使得简化模型的预测精度显著下降，导致控制器性能恶化。

实时性挑战。分层架构中，各模块需要串行执行，增加了计算延迟。在紧急避障场景下，这种延迟可能导致控制器无法及时响应环境变化，错过最佳避障时机。此外，各模块之间的信息传递和协调也需要额外的计算开销。

1.1.3 现有MPC方法的不足

为克服传统分层控制架构的局限性，研究者提出了基于**模型预测控制（MPC）**的统一控制框架。MPC通过预测未来系统行为并优化控制序列，能够显式处理约束条件，具有良好的控制性能和鲁棒性。然而，现有MPC方法在车辆极限工况避障控制中仍存在以下不足：

线性化导致的精度损失。为使MPC控制器满足实时性要求，现有方法通常将非线性单轨车辆模型线性化为仿射时变模型，并将纵向和横向控制分开考虑[1]。然而，这种线性化方法降低了模型精度并限制了控制器的控制能力。在极限工况下，当横向和纵向动力学存在强耦合时，线性化模型的保真度会受到显著影响，导致控制器无法充分利用车辆的机动能力。

Frenet坐标系的距离高估问题。在现有研究中，车辆和障碍物通常表示为圆形集合，其距离在非线性MPC的成本函数中连续计算[1]。使用Frenet坐标系描述车辆运动学，便于确定车辆相对于参考路径的位置。然而，当参考轨迹存在曲率时，Frenet坐标系下计算的车辆-障碍物（V2O）距离相对于笛卡尔坐标系会被高估。这种高估会导致控制器延迟识别碰撞风险，在紧急避障场景下可能错过最佳避障时机。此外，在每个时间步计算车辆相对于参考路径的行驶距离需要额外的优化计算，增加了计算复杂度[7]。

多目标协调机制不完善。现有MPC方法虽然能够同时考虑多个控制目标，但在避障机动过程中，如何动态调整各目标的优先级仍是一个挑战。特别是在紧急情况下，需要优先考虑碰撞避免，而现有方法通常采用固定的权重系数或简单的阶跃函数来调整优先级，这种机制可能导致优化求解器收敛困难或控制性能不稳定[1]。

1.2 研究动机

1.2.1 现有方法存在的关键问题

基于对现有研究的深入分析，本文识别出以下关键问题需要解决：

问题一：控制目标冲突导致的安全隐患。现有分层控制架构和部分统一控制方法在极限工况下无法有效协调避障、路径跟踪和车辆稳定性三个控制目标，导致车辆在避障过程中可能出现失稳或碰撞。特别是在双移线等复杂避障场景中，车辆需要连续避开多个障碍物，控制目标之间的冲突更加明显。

问题二：坐标系选择导致的精度和实时性问题。基于Frenet坐标系的MPC方法虽然便于路径跟踪，但在弯曲路径上会高估车辆-障碍物距离，延迟碰撞风险识别。同时，Frenet坐标系下需要额外的优化计算来确定车辆相对于参考路径的行驶距离，增加了计算复杂度，影响实时性。

问题三：线性化模型在极限工况下的精度不足。现有MPC方法为了满足实时性要求，通常采用线性化车辆模型，但在极限工况下，车辆动力学呈现强非线性特性，线性化模型的预测精度显著下降，限制了控制器的性能。

问题四：优先级调整机制不够平滑。现有方法在调整避障优先级时通常采用阶跃函数，这种不连续的变化可能导致优化求解器收敛困难，影响控制性能的稳定性。

1.2.2 研究目标

针对上述问题，本文提出以下研究目标：

目标一：设计统一控制框架。将运动规划、路径跟踪和车辆稳定性控制目标集成到单个统一控制器中，通过优化方法实现多目标之间的有效协调，避免控制目标冲突。

目标二：提高距离计算精度和实时性。采用笛卡尔坐标系计算车辆-障碍物距离，避免Frenet坐标系的距离高估问题，同时通过引入轮廓误差和滞后误差概念，在笛卡尔坐标系下实现精确的路径跟踪，消除额外的优化计算需求。

目标三：采用非线性车辆模型。使用非线性单轨车辆模型结合Fiala轮胎模型，准确表征车辆在极限工况下的非线性动力学特性，提高控制器的预测精度和控制能力。

目标四：设计平滑的优先级调整机制。采用高斯函数形式的动态权重调整机制，使避障优先级能够平滑变化，提高优化求解器的收敛速度和稳定性。

1.2.3 研究意义

本研究的意义主要体现在以下几个方面：

理论意义。首次将MPCC方法扩展应用于车辆极限工况避障控制领域，通过引入轮廓误差和滞后误差概念，实现了在笛卡尔坐标系下对参考轨迹的精确跟踪，为车辆控制理论的发展做出了贡献。

技术意义。所提出的MPCC控制器在整体避障性能上优于现有最先进的MPC方法，不仅能够成功避开障碍物，还能使车辆保持在远离障碍物或道路边缘的安全区域之外，同时显著改善了车辆稳定性，为自动驾驶系统的实际应用提供了技术支撑。

工程意义。在实时平台上验证了控制器的实时计算能力，平均求解时间为15.6 ms，满足50 ms采样周期的实时性要求，为实际车辆部署提供了可行性保障。

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2. 引言

基于前述研究背景和动机，本文提出一种基于**非线性单轨车辆模型的模型预测轮廓控制（MPCC）方法用于车辆极限工况下的避障控制。MPCC方法最近被应用于低速机器人运动规划[8]和缩比车辆的圈速优化[7]，本文将其扩展以同时考虑避障和车辆稳定性控制**。

MPCC采用笛卡尔坐标系，通过在成本函数中引入滞后误差和轮廓误差，以逼近基于Frenet参考系的MPC性能。因此，该方法避免了Frenet坐标系导致的V2O距离高估问题，并消除了计算车辆相对于参考路径行驶距离所需的额外优化计算。本文在高保真仿真环境中设计了双移线车辆避障场景，对控制器的性能进行了全面评估。

本文的主要贡献包括两个方面。首先，所提出的MPCC方法在**整体避障性能上优于现有最先进的MPC方法[1]。两种控制器均能在双移线工况下成功避免车辆与障碍物发生碰撞，然而，基线MPC方法无法使车辆保持在远离障碍物或道路边缘的不安全区域之外。其次，通过最小化侧偏角峰值并提高机动过程中的最小速度**，所提方法显著改善了车辆稳定性，这得益于MPCC框架内对避障目标更优的优先级排序。

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3. 相关工作综述

本节系统梳理与本研究相关的国内外研究现状，包括车辆避障控制方法、MPC在车辆控制中的应用、MPCC方法的发展、坐标系选择研究、多目标协调方法以及实时优化求解技术，并分析现有研究的不足，为本研究提供理论基础和研究定位。

3.1 车辆避障控制方法研究

3.1.1 传统分层控制架构

传统的车辆避障控制通常采用分层架构，将运动规划、路径跟踪和车辆稳定性控制作为独立的模块分别处理。Falcone等人[2]提出了自主地面车辆的分层模型预测控制框架，将控制任务分解为路径规划层、路径跟踪层和稳定性控制层。这种架构的优势在于各模块可以独立设计和优化，实现相对简单。然而，在极限工况下的避障机动中，这种分层架构暴露出控制目标冲突、模型精度不足和实时性挑战等严重不足。

Funke等人[3]研究了紧急场景下自主车辆的碰撞避免与稳定性控制，发现车辆稳定性约束可能导致跟踪误差增大，进而可能引发碰撞事故。Lenssen等人[4]进一步分析了基于模型预测控制的组合路径跟踪与车辆稳定性控制，指出在分层架构中，路径跟踪和稳定性控制目标之间的冲突难以有效协调。

3.1.2 统一控制框架

为克服传统分层控制架构的局限性，研究者提出了基于**模型预测控制（MPC）**的统一控制框架。Gao等人[5]提出了半自主地面车辆鲁棒非线性预测控制方法，将多个控制目标集成到单个优化问题中。Chowdhri等人[6]进一步提出了自动驾驶的集成非线性模型预测控制方法，实现了运动规划、路径跟踪和车辆稳定性的统一优化。

Brown和Gerdes[1]提出了利用非线性模型预测控制协调轮胎力以避障的方法，该方法采用非线性单轨车辆模型，能够显式处理轮胎摩擦圆约束，在避障控制中取得了良好的效果。然而，该方法采用Frenet坐标系描述车辆运动学，在弯曲路径上存在距离高估问题，且需要额外的优化计算来确定车辆相对于参考路径的行驶距离。

3.2 模型预测轮廓控制（MPCC）方法研究

3.2.1 MPCC方法的发展历程

**模型预测轮廓控制（Model Predictive Contouring Control, MPCC）**是专门针对轨迹跟踪控制问题提出的方法，其核心思想是将跟踪误差分解为轮廓误差（contour error）和滞后误差（lag error）。

Liniger等人[7]首次将MPCC方法应用于车辆轨迹跟踪控制，在1:43比例遥控车的自主竞速中验证了方法的有效性。该方法采用FORCESPro求解器，实现了实时控制，为MPCC在车辆控制中的应用奠定了基础。

Brito等人[8]将MPCC方法扩展到非结构化动态环境中的避障控制，提出了非结构化动态环境中避障的模型预测轮廓控制方法。该方法在机器人运动规划中取得了良好效果，但主要针对低速场景，在车辆高速避障控制中的应用研究较少。

3.2.2 MPCC的核心技术特点

MPCC方法的核心技术特点包括：

轮廓误差和滞后误差的定义。MPCC将跟踪误差分解为轮廓误差和滞后误差，其中轮廓误差表示车辆位置在期望轨迹上的法向投影距离，滞后误差表示车辆行驶距离与参考路径上对应距离之间的差值。这种分解方式能够更直观地描述轨迹跟踪性能，便于设计成本函数。

成本函数设计。典型MPCC成本函数同时考虑轮廓误差、滞后误差、速度误差和控制输入平滑性，通过权重系数平衡多个控制目标。这种设计方式使得控制器能够在跟踪参考轨迹的同时，保持控制输入的平滑性。

求解方法。现有MPCC研究主要采用FORCESPro、ACADO、CasADi等求解器，其中FORCESPro基于内点法，求解时间约15.6 ms，能够满足50 ms采样周期的实时性要求。

3.2.3 MPCC研究的局限性

现有MPCC方法在车辆极限工况避障控制中仍存在以下局限性：

求解速度瓶颈。现有MPCC方法主要采用内点法求解，计算复杂度高（$O(N^3)$ 至 $O(N^{3.5})$），平均求解时间约15.6 ms，难以满足更高频率控制需求（≥100 Hz）。在高速场景下，求解速度瓶颈更加突出。

坐标系选择问题。现有MPCC方法主要采用Frenet坐标系或笛卡尔坐标系，但缺乏系统性的对比分析。基于Frenet坐标系的MPCC方法在弯曲路径上存在距离高估问题，而基于笛卡尔坐标系的MPCC方法需要额外的优化计算来确定车辆相对于参考路径的位置。

多目标协调机制不完善。现有MPCC方法虽然能够同时考虑多个控制目标，但在避障机动过程中，如何动态调整各目标的优先级仍是一个挑战。特别是在紧急情况下，需要优先考虑碰撞避免，而现有方法通常采用固定的权重系数或简单的阶跃函数来调整优先级，这种机制可能导致优化求解器收敛困难或控制性能不稳定。

3.3 坐标系选择研究

3.3.1 Frenet坐标系在车辆控制中的应用

Frenet坐标系是描述车辆相对于参考路径位置的自然坐标系，其坐标轴沿路径的切向和法向方向。在车辆控制中，Frenet坐标系具有以下优势：

便于路径跟踪。Frenet坐标系能够直接描述车辆相对于参考路径的位置，便于设计路径跟踪控制器。车辆在Frenet坐标系下的状态包括沿路径的行驶距离、横向偏差和航向偏差等，这些状态量直观地反映了路径跟踪性能。

简化约束处理。在Frenet坐标系下，道路边界约束可以表示为简单的横向位置约束，便于在优化问题中处理。

然而，Frenet坐标系也存在以下不足：

距离高估问题。当参考轨迹存在曲率时，Frenet坐标系下计算的车辆-障碍物（V2O）距离相对于笛卡尔坐标系会被高估。这种高估会导致控制器延迟识别碰撞风险，在紧急避障场景下可能错过最佳避障时机。

计算复杂度。在每个时间步计算车辆相对于参考路径的行驶距离需要额外的优化计算，增加了计算复杂度，影响实时性。

3.3.2 笛卡尔坐标系在车辆控制中的应用

笛卡尔坐标系是描述车辆在全局空间位置的坐标系，其坐标轴固定于惯性系。在车辆控制中，笛卡尔坐标系具有以下优势：

距离计算精确。笛卡尔坐标系下计算的车辆-障碍物距离是精确的欧氏距离，不会出现高估问题，能够更早地识别潜在的碰撞风险。

计算简单。笛卡尔坐标系下的距离计算不需要额外的优化，计算复杂度低，有利于实时控制。

然而，笛卡尔坐标系也存在以下不足：

路径跟踪不直观。笛卡尔坐标系下，车辆相对于参考路径的位置需要通过坐标变换计算，不如Frenet坐标系直观。

约束处理复杂。在笛卡尔坐标系下，道路边界约束需要转换为全局坐标约束，处理相对复杂。

3.3.3 坐标系选择的研究趋势

近年来，研究者开始关注坐标系选择对控制性能的影响。部分研究提出了混合坐标系方法，在路径跟踪中采用Frenet坐标系，在避障中采用笛卡尔坐标系。然而，这种混合方法增加了系统复杂度，且缺乏系统性的性能对比分析。

3.4 多目标协调方法研究

3.4.1 权重调整方法

在MPC框架中，多目标协调通常通过调整成本函数中各项的权重系数实现。现有研究提出了多种权重调整方法：

固定权重方法。采用固定的权重系数，简单易行，但在不同工况下可能无法获得最优性能。

自适应权重方法。根据车辆状态或环境条件动态调整权重系数，能够适应不同工况，但需要设计复杂的调整策略。

优先级调整方法。在紧急情况下优先考虑某些控制目标，如碰撞避免。现有方法通常采用阶跃函数来调整优先级，但这种不连续的变化可能导致优化求解器收敛困难。

3.4.2 约束优先级方法

部分研究采用约束优先级方法，将某些控制目标转化为硬约束，通过约束的优先级来实现多目标协调。然而，这种方法可能导致优化问题不可行，特别是在极限工况下。

3.4.3 多目标优化方法

部分研究采用多目标优化方法，如Pareto优化，同时优化多个目标。然而，这种方法计算复杂度高，难以满足实时性要求。

3.5 非线性车辆模型在控制中的应用

3.5.1 车辆模型的发展

车辆模型是控制器设计的基础，其精度直接影响控制性能。在车辆控制中，常用的车辆模型包括：

运动学模型。忽略车辆动力学特性，仅考虑位置和速度关系，计算简单但精度有限，适用于低速场景。

线性化单轨模型。将非线性单轨模型线性化，适用于正常工况，但在极限工况下精度不足。

非线性单轨模型。考虑车辆的非线性动力学特性，精度高但计算复杂，适用于极限工况。

3.5.2 轮胎模型研究

轮胎模型是车辆模型的重要组成部分，其精度直接影响车辆在极限工况下的控制性能。常用的轮胎模型包括：

线性轮胎模型。假设轮胎力与侧偏角成正比，计算简单但仅适用于小侧偏角情况。

Fiala轮胎模型。考虑轮胎的非线性特性，能够准确描述轮胎在较大侧偏角下的行为，适用于极限工况。

Magic Formula轮胎模型。基于实验数据的经验模型，精度高但参数标定复杂。

3.5.3 模型精度与实时性的权衡

在车辆控制中，模型精度与实时性之间存在权衡。高精度模型能够提供更好的控制性能，但计算复杂度高，难以满足实时性要求。现有研究通常采用模型降阶、线性化等方法来降低计算复杂度，但这会牺牲模型精度。

3.6 实时优化求解方法研究

3.6.1 内点法

内点法是求解非线性优化问题的常用方法，FORCESPro等商业求解器主要采用内点法。内点法具有收敛性好、数值稳定性高等优点，但计算复杂度高，求解时间较长。

3.6.2 序列二次规划（SQP）方法

SQP方法通过将非线性优化问题转化为一系列二次规划问题来求解，具有收敛速度快等优点，但需要计算Hessian矩阵，计算复杂度较高。

3.6.3 迭代线性二次调节器（iLQR）

iLQR方法通过迭代线性化和二次化，将非线性优化问题转化为一系列线性二次问题，计算复杂度低（$O(N\cdot n^3)$），且天然支持Warm Start，收敛速度快。然而，iLQR方法在车辆控制中的应用研究较少，特别是在实时轨迹跟踪控制中的应用。

3.7 研究空白与本文贡献

3.7.1 现有研究的不足

基于对现有研究的深入分析，本文识别出以下研究空白：

MPCC在车辆极限工况避障控制中的应用研究不足。现有MPCC研究主要针对低速机器人运动规划或缩比车辆竞速，在车辆极限工况避障控制中的应用研究较少，缺乏系统性的性能评估和对比分析。

坐标系选择对控制性能影响的系统性研究不足。现有研究缺乏Frenet坐标系和笛卡尔坐标系在车辆避障控制中的系统性对比分析，特别是对距离计算精度和实时性影响的定量分析。

多目标协调机制研究不完善。现有研究在动态调整避障优先级方面缺乏平滑的调整机制，阶跃函数方式可能导致优化求解器收敛困难。

非线性车辆模型在实时控制中的应用研究不足。现有研究为了满足实时性要求，通常采用线性化模型，但在极限工况下，线性化模型的精度不足限制了控制器性能。

3.7.2 本文的研究定位

针对上述研究空白，本文提出基于非线性单轨车辆模型的MPCC方法用于车辆极限工况避障控制，主要贡献包括：

首次将MPCC方法扩展应用于车辆极限工况避障控制。通过引入轮廓误差和滞后误差概念，在笛卡尔坐标系下实现精确的路径跟踪，避免了Frenet坐标系的距离高估问题。

系统性对比分析坐标系选择对控制性能的影响。通过理论分析和仿真验证，定量分析了Frenet坐标系和笛卡尔坐标系在距离计算精度和实时性方面的差异。

提出平滑的优先级调整机制。采用高斯函数形式的动态权重调整机制，使避障优先级能够平滑变化，提高优化求解器的收敛速度和稳定性。

验证非线性车辆模型在实时控制中的可行性。在实时平台上验证了基于非线性单轨车辆模型的MPCC控制器的实时计算能力，平均求解时间为15.6 ms，满足50 ms采样周期的实时性要求。

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4. 预测模型

所提出的MPCC方法采用**非线性单轨车辆模型。该模型仅考虑平面内动力学**，忽略横向重量转移以及侧倾和俯仰动力学。车辆位置在笛卡尔坐标系中由状态向量 $x=[X,Y,\varphi ,v_x,v_y,r,\theta ,\delta ,F_x{]}^T$ 描述，其中 $X$ 和 $Y$ 分别为纵向和横向位置，$\varphi$ 为车辆重心（CoG）相对于惯性系的航向角。速度状态分别为重心处的纵向速度 $v_x$、横向速度 $v_y$ 和横摆角速度 $r$。此外，引入表示车辆行驶距离的附加状态 $\theta$，MPCC成本函数利用该状态计算车辆相对于参考路径的位置。转向角 $\delta$ 和纵向力 $F_x$ 通过对控制输入变化率进行积分运算得到。状态导数 $\dot{x}$ 由以下微分方程表示：

$$\{\begin{array}{l}\dot{X}=v_x\cos (\psi )+v_y\sin (\psi )\\ \dot{Y}=v_x\sin (\psi )-v_y\cos (\psi )\\ \dot{\psi }=r\\ {\dot{v}}_x=\frac{-F_{yf}(x,u_v)\sin (\delta )+F_{xf}(x,u_v)\cos (\delta )+F_{xr}(x,u_v)-F_{\text{drag}}}{m}+r{v}_y\\ {\dot{v}}_y=\frac{F_{yf}(x,u_v)\cos (\delta )+F_{xf}(x,u_v)\sin (\delta )+F_{yr}(x,u_v)}{m}-r{v}_x\\ \dot{r}=\frac{l_f{F}_{yf}(x,u_v)\cos (\delta )+l_f{F}_{xf}(x,u_v)\sin (\delta )-l_r{F}_{yr}(x,u_v)}{I_{zz}}\\ \dot{\theta }=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中 $F_{xi}$ 和 $F_{yi}$ 分别为纵向和横向轮胎力，下标 i∈{f,r}i \in \{f, r\}i∈{f,r} 分别表示前轮和后轮，$l_f$ 和 $l_r$ 分别为前后轴到车辆重心的距离，$I_{zz}$ 为车辆绕垂直轴（z轴）的转动惯量，$m$ 为车辆质量，$F_{\text{drag}}$ 为空气阻力。

车辆模型的输入 $u_v$ 包括车轮转角变化率 $\dot{\delta }$、作用于车辆重心的总纵向力变化率 ${\dot{F}}_x$ 以及前后轴间的制动力分配系数 ${\lambda }_b$。控制输入的变化率在应用于车辆模型之前通过积分运算得到实际的控制量。控制纵向动力学的输入选择为 $F_x$ 和 ${\lambda }_b$，而非直接使用 $F_{xf}$ 和 $F_{xr}$。原因是车辆必须能够实现加速和制动，但禁止同时进行加速和制动操作[1]。因此，通常需要应用约束条件 $(F_{xf}{F}_{xr}\ge 0)$。然而，当 $F_{xf}$ 和 $F_{xr}$ 均为零时，该约束会引入鞍点，导致无法保证优化问题中Hessian矩阵的正定性[1]。为此，在预测模型中通过以下方式隐式表述该约束：

$$\{\begin{array}{l}{F}_{xf}=\{\begin{array}{ll}{\lambda }_b{F}_x& \text{if }{F}_x\le 0\\ {\lambda }_d{F}_x& \text{otherwise}\end{array}\\ F_{xr}=\{\begin{array}{ll}(1-{\lambda }_b)F_x& \text{if }{F}_x\le 0\\ (1-{\lambda }_d)F_x& \text{otherwise}\end{array}\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$

其中 ${\lambda }_d$ 表示车辆的驱动分配系数，用于区分前轮驱动或后轮驱动。

采用**Fiala轮胎模型计算每个车轴的横向轮胎力，而纵向力定义为系统的控制输入[1]。通过摩擦圆约束[6]来表征 $F_{xi}$ 和 $F_{yi}$ 之间的非线性耦合关系**。轮胎模型参数通过在基于Delft-Tyre模型6.1的高保真仿真环境中执行准稳态圆周行驶试验进行优化和标定。

为简化距离计算，将车辆和障碍物均表示为圆形，其欧氏距离按如下方式计算：

$$D_{V2O}=\sqrt{(X-X_{\text{obs}}{)}^2+(Y-Y_{\text{obs}}{)}^2}-r_{\text{obs}}-r_{\text{veh}}\text{\hspace{1em}(3)}$$

其中 $(X,Y)$ 和 $(X_{\text{obs}},Y_{\text{obs}})$ 分别为车辆与障碍物中心的纵向和横向位置坐标，$r_{\text{veh}}$ 和 $r_{\text{obs}}$ 分别为车辆和障碍物圆的半径。当V2O距离 $D_{V2O}<0$ 时，表示车辆与障碍物发生碰撞。控制器的目标是在整个控制过程中使 $D_{V2O}$ 始终为正，并保持在用户定义的安全距离阈值之上。

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5. 模型预测轮廓控制

本节介绍所提出的MPCC控制器如何整合运动规划、路径跟踪和车辆稳定性目标。

5.1 成本函数

MPCC采用迭代优化方法求解最优控制问题，使车辆能在接近操纵极限工况下行驶的同时有效避开障碍物。成本函数的设计目标包括多个方面：跟踪参考纵向和横向位置、维持期望速度、动态调整参考轨迹以确保与障碍物保持安全距离并维持车辆稳定性，以及保证控制输入信号的物理可行性。所提出的成本函数 $J$ 定义如下：

$$\begin{array}{rl}J=\sum _{i=1}^N[& q_{e_{\text{Con}}}{e}_{\text{Con},i}^2+q_{e_{\text{Lag}}}{e}_{\text{Lag},i}^2+q_{e_{\text{Vel}}}{e}_{\text{Vel},i}^2\\ & +q_{\dot{\delta }}{\dot{\delta }}_i^2+q_{{\dot{F}}_x}{\dot{F}}_x^2+q_{{\lambda }_b}{e}_{{\lambda }_b,i}^2\\ & +\sum _{j=1}^{N_{\text{obs}}}{q}_{e_{\text{V2O}}}{e}_{\text{V2O},j,i}^2+\sum _{j=1}^{N_{\text{edg}}}{q}_{e_{\text{V2E}}}{e}_{\text{V2E},j,i}^2]\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$

其中 $N$ 为预测时域长度，$N_{\text{obs}}$ 为道路中的障碍物数量，$N_{\text{edg}}=2$ 为道路边缘数量，参数 $q_{\ast }$ 为各项二次误差的权重系数。通过最小化纵向速度误差和侧偏角峰值[9]，并使车辆能够有效避开障碍物、与障碍物和道路边缘保持安全距离，对权重系数进行参数调优以优化控制器的整体性能。权重系数的具体数值通过试错法和仿真验证确定。

通过引入**轮廓误差 $e_{\text{Con}}$ 和滞后误差 $e_{\text{Lag}}$[7,8]来实现对参考轨迹的跟踪（见图1）。轮廓误差 $e_{\text{Con}}$ 表示车辆位置在期望轨迹上的法向投影距离。该误差计算为车辆行驶距离相对于参考路径 ${\theta }_s$ 的函数。然而，基于笛卡尔坐标系的控制器无法在式(1)的预测模型中直接确定参考路径上的距离 ${\theta }_s$。相反，当采用Frenet参考系时，${\theta }_s$ 对应一个状态变量[16]。因此在MPCC中，${\theta }_s$ 由式(1)计算的车辆总行驶距离 $\theta$ 进行近似。为确保该近似的有效性，必须最小化这两个距离之间的差值（称为滞后误差）**。轮廓误差和滞后误差的近似计算公式如下[7,8]：

$$\begin{array}{rl}{\bar{e}}_{\text{Con}}& =\sin ({\Psi }_t(\theta ))(X-X_t(\theta ))-\cos ({\Psi }_t(\theta ))(Y-Y_t(\theta ))\\ {\bar{e}}_{\text{Lag}}& =-\cos ({\Psi }_t(\theta ))(X-X_t(\theta ))-\sin ({\Psi }_t(\theta ))(Y-Y_t(\theta ))\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$

其中 $X_t(\theta )$、$Y_t(\theta )$ 和 ${\Psi }_t(\theta )$ 分别为参考路径上对应行驶距离 $\theta$ 的期望纵向位置、横向位置和航向角。需要注意的是，通过跟踪参考轨迹和调整车辆速度可以实现滞后误差 ${\bar{e}}_{\text{Lag}}$ 的最小化。因此，若在给定轨迹下期望速度不可行，控制器将自动降低速度以保持 ${\bar{e}}_{\text{Lag}}$ 接近零。

速度跟踪通过计算速度误差 $e_{\text{Vel}}$ 实现，该误差定义为车辆实际速度与期望速度之间的差值，即
$$e_{\text{Vel}}=v-v_{\text{ref}}$$
其中 $v$ 为车辆实际速度，$v_{\text{ref}}$ 为期望速度。

控制器通过动态调整参考轨迹，以确保与障碍物保持安全距离。这可通过评估**车辆-障碍物（V2O）距离**实现。误差函数定义为 $e_{\text{V2O}}=D_{\text{V2O}}-D_{\text{Sft},O}$，其中 $D_{\text{Sft},O}$ 为用户定义的车辆与障碍物之间的安全距离阈值，$D_{\text{V2O}}$ 为实际的车-障距离（见式(3)）。需要注意的是，当 $D_{\text{V2O}}\ge D_{\text{Sft},O}$ 时，权重系数 $q_{\text{V2O}}$ 自动设为零；而当 $D_{\text{V2O}}\le D_{\text{Sft},O}$ 时，激活误差项以确保车辆始终与障碍物保持安全距离。为使车辆远离道路边缘，引入了类似的误差项 $e_{\text{V2E}}=D_{\text{V2E}}-D_{\text{Sft},E}$，其中 $D_{\text{Sft},E}$ 为车辆与道路边缘的安全距离阈值，$D_{\text{V2E}}$ 为车辆与道路边缘的实际距离。

其他成本项用于保证控制输入的平滑性和物理可行性。因此，在成本函数中引入了转向角变化率 $\dot{\delta }$ 和作用于车辆质心的纵向力变化率 ${\dot{F}}_x$ 的惩罚项。此外，控制器通过最小化实际制动分配与理想制动分配之间的误差 $e_{{\lambda }_b}$ 来实现理想的制动力分配。理想制动分配系数定义为 $\frac{F_{zf}}{F_{zf}+F_{zr}}$，表示施加于前轴以同时达到前后轴轮胎锁死状态的总制动力百分比。误差项 $e_{{\lambda }_b}$ 辅助控制器实现理想的制动分配，同时允许根据多种因素（如前后轴轮胎饱和状态或转向角数值）进行动态调整。

5.2 约束条件

成本函数受执行器物理限制、车辆稳定性约束和道路轨迹宽度约束的限制。车轮转向角、总纵向力及其各自的变化率均受到上下限约束。

通过使用**轮胎摩擦圆约束来限制每个车轴的可用总轮胎力，从而保证车辆稳定性**。首先，纵向力 $F_x$ 需满足约束 $|F_x|\le sf\cdot \mu F_z$，其中 $sf$ 为安全系数，$\mu$ 为道路摩擦系数，$F_z$ 为垂直载荷。鉴于道路摩擦系数 $\mu$ 估算的困难性，轮胎摩擦圆乘以安全系数 $sf=0.95$，以保守地限制可用纵向力。预测模型中的Fiala轮胎模型根据给定纵向力 $F_x$ 下的轮胎摩擦圆约束来限制最大侧向轮胎力。

通过以下约束条件确保车辆在参考轨迹上行驶：

$${\Vert \left[\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}{X}_{\text{cen}}\\ Y_{\text{cen}}\end{array}\right]\Vert }^2\le {\left(\frac{W_t}{2}\right)}^2\text{\hspace{1em}(6)}$$

其中 $(X_{\text{cen}},Y_{\text{cen}})$ 为参考轨迹中心的纵向和横向位置坐标，$W_t$ 为道路轨迹宽度[7]。

5.3 避障优先级

成本函数结合了多个不同的控制目标，需要在避障机动过程中优先考虑碰撞避免。因此，与车辆-障碍物（V2O）或车辆-边缘（V2E）距离相关的权重系数根据下式动态调整：

$$q_{\text{V2O}}=\{\begin{array}{ll}{P}_k& \text{if }{D}_{\text{V2O}}<0\\ P_k{e}^{-\frac{2D_{\text{V2O}}^2}{D_{\text{Sft},O}^2}}& \text{elseif }0\le D_{\text{V2O}}\le D_{\text{Sft},O}\\ 0& \text{otherwise}\end{array}\text{\hspace{1em}(7)}$$

其中 $P_k$ 表示权重系数 $q_{\text{V2O}}$ 可达到的最大值。该权重值随着车辆-障碍物距离的减小而增大，以优先考虑碰撞避免，其变化遵循高斯函数形式，最大值达到 $P_k$。这种优先级调整方法比文献[1]中的阶跃函数方式更平缓，从而使MPCC优化求解器收敛更快、更稳健。需要注意的是，优先考虑碰撞避免可能导致跟踪误差增大和车辆实际速度与期望速度之间的偏差增大。

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6. 实验设置

所提出的控制算法在SCALEXIO dSPACE实时平台上进行测试，该平台基于多核DS6001处理器（2.8 GHz四核，1 GB DDR2 SDRAM）。MPCC控制器与车辆模型在不同处理器核心中并行运行。预测模型采用二阶Runge-Kutta（RK2）方法进行离散化，以在计算精度和计算复杂度之间取得适当平衡[1]。为实现控制器的实时性要求，采样时间设置为0.05 s，预测时域长度设置为50步。优化问题通过FORCESPro的非线性内点求解器进行求解[10]。优化问题的Hessian矩阵采用Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno（BFGS）算法进行近似，并提供用户定义的初始Hessian矩阵以加快求解速度。所有其他求解器参数保持默认值。

实验结果表明，该平台能够成功求解非线性优化问题，平均求解时间为15.6 ms，最大求解时间为18.6 ms。然而，无法从数学上严格保证求解器在所有情况下都能及时收敛。车辆模型在单独的核心中以1000 Hz的采样频率运行，该模型基于IPG CarMaker仿真平台的高保真宝马545i车型。车辆模型参数通过实验惯性测量确定，悬架特性通过Kinematics & Compliance（K&C）试验台测定。轮胎动力学基于Delft-Tyre 6.1模型。为提高仿真精度，通过二阶传递函数将执行器动力学纳入仿真模型[6]。

为评估所提出的控制器在极限工况下的避障能力，本文设计了包含两个障碍物的双移线工况。该工况包含多个障碍物，以评估避第一个障碍物时的轨迹重规划对车辆避第二个障碍物能力的影响。行为规划器提供一条粗略轨迹作为期望路径，该路径指示避障控制器需要从障碍物的哪一侧通过。因此，所提出的控制器在跟踪期望轨迹的同时，当轨迹过于接近障碍物或不可行时会进行必要的在线轨迹调整。结合车辆初始位置和姿态，期望轨迹根据道路曲率和沿参考路径的距离确定。所有工况下期望车速保持恒定[1]。

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7. 结果

本节对比分析所提出的MPCC方法与基线避障MPC方法的性能[1]。

7.1 笛卡尔坐标系与Frenet坐标系

所提出的MPCC控制器采用**笛卡尔坐标系计算车辆-障碍物（V2O）和车辆-边缘（V2E）距离，而基线方法采用基于Frenet坐标系的MPC。坐标系的差异导致距离测量方式不同**。图2(a)和图2(b)显示了车辆在笛卡尔和Frenet坐标系下沿半径为20 m的圆形道路行驶的情况。障碍物位于圆形道路的一侧，距参考路径的法向位移等于障碍物半径。假设车辆沿参考路径行驶，在每个时刻均采用两种坐标系计算V2O距离。

图2©显示了两种坐标系下V2O距离随车辆沿参考路径行驶距离的变化。仅当车辆靠近障碍物时，Frenet坐标系下计算的距离才与笛卡尔坐标系下的距离接近；反之，当车辆仍需沿参考路径行驶时，Frenet坐标系下的V2O距离相对于笛卡尔坐标系下的距离存在高估。因此，MPCC能够比基于Frenet坐标系的MPC更早地优先考虑避障目标，从而提高安全避障的成功率并改善车辆稳定性。Frenet与笛卡尔坐标系下V2O距离的差异取决于道路曲率和障碍物距参考路径的法向距离。图2(d)显示了Frenet与笛卡尔坐标系下V2O距离的差异随道路曲率的变化。可见，道路曲率越大，Frenet坐标系下的距离高估程度越严重。

7.2 双移线工况

图3(a)展示了三种不同控制器得到的车辆轨迹，包括所提出的MPCC（含避撞（CA）目标和不含避撞目标）以及基于MPC的避撞基准控制器[1]。不含CA的MPCC导致车辆在双移线过程中与第一个障碍物发生碰撞，从图3©中负的车辆与障碍物（V2O）距离可以看出。发生碰撞的原因是该控制器优先考虑车辆稳定性和路径跟踪，而非避障，即使期望轨迹已危险地靠近障碍物。当路径跟踪器和车辆稳定性控制器在未考虑障碍物位置的情况下影响跟踪性能时，可能出现这种情况；或者，当运动规划器与路径跟踪预测模型的操纵极限不匹配导致期望轨迹不可行时，也会出现这种情况。

相反，含CA的MPCC和基准控制器（均优先考虑避撞）成功避开了两个障碍物，如图3©所示。尽管成功避障，但基准控制器围绕第一个障碍物重新规划的轨迹对后续操纵产生了负面影响。因此，车辆轨迹在125 m和135 m处出现两个明显的超调，分别导致车辆进入第二个障碍物附近的不安全区域和右侧道路边缘，如图3©和图3(b)所示。含CA的MPCC能够避开两个障碍物并使车辆保持在不安全区域之外。这表明，优先考虑避撞会以增加路径和速度跟踪误差、降低车辆稳定性为代价，将车辆推向操纵极限边界附近。

因此，基准控制器在130 m处产生了9°的侧偏角峰值，如图3(e)所示。基准控制器需要反向转向以使车辆恢复线性行为，如图3(f)所示。相反，含CA的MPCC通过减小车辆侧偏角峰值，比基准控制器具有更高的稳定性裕度，使车辆能够以更高的速度完成操纵，如图3(d)所示。从图3(g)可以看出，含CA的MPCC比基准MPC提前20 m开始制动，因此车辆在弯道入口处的速度更低，且能够释放制动以充分利用侧向轮胎力。然而，基准控制器在弯道中部施加紧急制动，降低了轮胎产生侧向力的能力。因此，车辆超过其操纵极限，迫使控制器延长制动时间以稳定车辆。

MPCC比基准控制器提前制动主要有两个原因：首先，MPCC采用的笛卡尔坐标系**不会高估V2O距离，从而能够更早地识别潜在的碰撞风险；其次，MPCC通过计算轮廓误差和滞后误差**来实现路径跟踪。当车辆需要重新规划期望轨迹以避障时，MPCC控制器倾向于降低速度，因为这是减小滞后误差并进而减小轮廓误差的有效方法。然而，基准MPC不计算滞后误差，因此仅在弯道中面临轮廓误差时才较晚地降低车辆速度。

但需要注意的是，MPCC中的滞后误差由于**速度与路径跟踪之间的强耦合关系**，增加了成本函数权重系数的参数整定难度。考虑到可用的路面摩擦系数，图3(h)显示所有控制器都达到了最大侧向加速度，但均未充分利用最大制动能力。这表明控制器在制动能力方面仍存在优化空间。

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8. 结论

本文提出了一种新方法，用于在操纵极限工况下行驶的自动驾驶车辆的避障控制。非线性MPCC将运动规划、路径跟踪和车辆稳定性控制目标集成到单个统一控制器中，在紧急情况下优先考虑避障。在双移线操纵中，MPCC成功避开了两个障碍物，并根据行为规划器快速重新规划了期望轨迹。同时，不含避撞优先级的同一控制器与障碍物发生了碰撞。

避撞优先级会降低路径跟踪性能，并使车辆侧偏角峰值增加至3°，但车辆在双移线过程中仍保持稳定且可控。现有最先进的基准控制器也避开了两个障碍物，但无法使车辆保持在两个障碍物附近的不安全区域之外。此外，基准控制器的车辆稳定性丧失，侧偏角峰值达到9°。未来工作将包括在实验车辆上实现所提出的MPCC方法，并分析其在不同道路工况下的性能表现。

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9. 总结与展望

9.1 主要贡献总结

本文针对车辆在极限工况下的避障控制问题，提出了一种基于**非线性模型预测轮廓控制（MPCC）**的统一控制框架。本文的主要贡献可归纳为以下几个方面：

第一，理论创新方面。本文首次将MPCC方法扩展应用于车辆避障控制领域，通过引入**轮廓误差和滞后误差概念，实现了在笛卡尔坐标系下对参考轨迹的精确跟踪。该方法避免了Frenet坐标系导致的V2O距离高估问题，并消除了计算车辆相对于参考路径行驶距离所需的额外优化计算**，从而提高了控制器的计算效率和精度。

第二，控制架构方面。所提出的MPCC控制器**将运动规划、路径跟踪和车辆稳定性控制目标集成到单个统一控制器中，有效解决了传统分层控制器架构中控制目标相互冲突的问题。通过动态调整参考轨迹和优先考虑碰撞避免**的机制，控制器能够在紧急情况下自动调整控制策略，确保车辆安全。

第三，性能提升方面。实验结果表明，所提出的MPCC方法在**整体避障性能上优于现有最先进的MPC方法。具体而言，MPCC不仅能够成功避开障碍物，还能使车辆保持在远离障碍物或道路边缘的安全区域之外。同时，通过最小化侧偏角峰值并提高机动过程中的最小速度，所提方法显著改善了车辆稳定性**，侧偏角峰值从基准控制器的9°降低至3°，显著提升了车辆的稳定性和可控性。

第四，实时性验证方面。本文在SCALEXIO dSPACE实时平台上验证了控制器的实时计算能力，平均求解时间为15.6 ms，最大求解时间为18.6 ms，满足50 ms采样周期的实时性要求，为实际车辆部署提供了技术保障。

9.2 车辆部署可行性分析

所提出的MPCC控制器在实车部署方面具有良好的可行性，主要体现在以下几个方面：

硬件平台兼容性。本文采用的SCALEXIO dSPACE实时平台代表了当前汽车电子控制单元（ECU）的主流技术水平。该平台基于多核处理器架构，支持控制器与车辆模型在不同处理器核心中并行运行，这与现代车辆ECU的多核架构高度一致。因此，所提出的MPCC算法可以直接移植到量产车辆的ECU平台上。

计算资源需求。实验结果表明，MPCC控制器的平均求解时间为15.6 ms，最大求解时间为18.6 ms，远小于50 ms的采样周期，计算余量充足。这意味着在实际部署时，即使考虑传感器数据处理、通信延迟等额外开销，控制器仍能在规定时间内完成计算。此外，通过采用BFGS算法近似Hessian矩阵和提供用户定义的初始Hessian矩阵，可以进一步优化求解速度。

传感器需求。MPCC控制器所需的传感器信息包括车辆位置、速度、航向角、横摆角速度等状态信息，以及障碍物位置信息。这些信息在现代自动驾驶车辆中均已配备，包括GPS/IMU组合导航系统、激光雷达、毫米波雷达、摄像头等传感器。因此，无需额外增加传感器配置，降低了部署成本。

执行器接口。MPCC控制器输出转向角变化率和纵向力变化率，这些控制量可以通过线控转向系统（SBW）和线控制动系统（EHB/EMB）直接执行。随着线控技术的普及，这些执行器接口已成为现代车辆的标准配置，为MPCC控制器的部署提供了良好的硬件基础。

鲁棒性考虑。虽然本文在实时平台上验证了控制器的性能，但在实际部署时仍需考虑以下因素：首先，需要建立完善的故障检测和处理机制，确保在传感器失效或通信中断时系统能够安全降级；其次，需要针对不同车型和道路条件进行参数标定和优化；最后，需要建立完善的测试验证体系，包括硬件在环（HIL）测试和实车道路测试。

9.3 高速场景适用性分析

所提出的MPCC控制器在高速场景下具有良好的适用性，具体分析如下：

动力学模型适用性。本文采用的**非线性单轨车辆模型结合Fiala轮胎模型**，能够准确表征车辆在高速工况下的非线性动力学特性。该模型考虑了纵向和横向动力学的耦合关系，能够准确预测车辆在高速变道、紧急避障等工况下的动态响应。实验验证表明，该模型在高保真仿真环境中能够准确复现实际车辆的动态行为。

实时性保障。高速场景下，车辆状态变化更快，对控制器的实时性要求更高。本文验证的15.6 ms平均求解时间能够满足高速场景下的实时性要求。即使在120 km/h（33.3 m/s）的高速下，50 ms采样周期对应的预测距离约为1.67 m，足以应对高速场景下的避障需求。

预测时域设计。本文采用的预测时域长度为50步，对应2.5 s的预测时间。在高速场景下，该预测时域能够覆盖足够的距离，例如在120 km/h速度下，2.5 s对应约83 m的预测距离，足以提前识别和应对潜在的碰撞风险。MPCC控制器通过**更早地识别潜在的碰撞风险**，能够在高速场景下提前采取避障措施，提高安全性。

稳定性保障。高速场景下，车辆稳定性控制尤为重要。本文通过**轮胎摩擦圆约束和最小化侧偏角峰值**，确保了车辆在高速避障过程中的稳定性。实验结果表明，MPCC控制器能够将侧偏角峰值控制在3°以内，远低于基准控制器的9°，显著提高了高速场景下的车辆稳定性。

速度适应性。MPCC控制器通过**动态调整参考轨迹和自动降低速度**机制，能够在高速场景下根据实际情况自动调整控制策略。当检测到潜在碰撞风险时，控制器会提前降低速度，为避障机动预留足够的空间和时间，确保避障过程的安全性和稳定性。

局限性分析。尽管MPCC控制器在高速场景下具有良好的适用性，但仍存在一些局限性：首先，在极高速度（如超过150 km/h）下，车辆的动态响应时间缩短，可能需要进一步优化预测时域和采样周期；其次，高速场景下的风阻、空气动力学效应等非线性因素可能需要更精细的建模；最后，高速场景下的传感器数据更新频率和精度要求更高，需要确保传感器系统的可靠性。

9.4 未来研究方向

基于本文的研究成果和局限性分析，未来研究方向包括：第一，在实验车辆上实现所提出的MPCC方法，验证其在真实道路环境下的性能；第二，研究MPCC控制器在不同车型、不同道路条件下的参数自适应调整方法；第三，探索MPCC控制器与其他高级驾驶辅助系统（ADAS）功能的集成方案；第四，研究MPCC控制器在极端天气条件（如雨雪、低能见度）下的鲁棒性增强方法；第五，开发基于机器学习的MPCC参数优化方法，提高控制器的自适应能力。