通信哲匠·技术深潜 | 深度分析系列

关键词：通感一体化(ISAC)、CRB-Rate区域、确定性-随机权衡(DRT)、子空间权衡(ST)、容量-失真折中、MIMO-ISAC、信息论

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目录

• 一、引言：折中是ISAC的灵魂
• 二、感知与通信的信息论同源性
• 三、I-MMSE方程：信息与估计的桥梁
• 四、CRB-Rate区域：估计理论与信息论的交汇
• 五、Pareto边界分析：两个关键角点
• 六、子空间权衡(ST)：空间自由度的竞争
• 七、确定性-随机权衡(DRT)：信号随机性的双重角色
• 八、容量-失真理论：从率失真视角看ISAC
• 九、MIMO-ISAC的信息论扩展
• 十、不同复用方式的理论极限对比
• 十一、前沿开放问题与未来方向
• 十二、总结：从"手电筒"到"投影仪"
• 参考文献
• 版本修订记录

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一、引言：折中是ISAC的灵魂

1.1 ISAC的核心承诺与技术愿景

通感一体化（Integrated Sensing and Communication, ISAC）已被国际电信联盟(ITU)正式列为6G六大核心场景之一，代表着未来无线通信系统设计范式的重要转变。ISAC的核心承诺是实现"一套信号、两种功能"——在同一套硬件平台上、共享同一段频谱资源、使用同一个波形，同时完成感知功能与通信功能。这种深度融合的设计理念，摒弃了传统系统中感知与通信独立设计、独立占用的思路，为未来通信系统带来了前所未有的效率提升潜力。

从技术愿景来看，ISAC不仅仅是一种工程实现上的优化方案，更代表着一种范式层面的深刻转变。在传统的无线系统设计中，雷达感知与通信传输被视为两个独立的技术体系：雷达系统追求高精度的参数估计（角度、距离、速度等），而通信系统则致力于最大化信息传输速率。两者在信号设计、波形选择、资源分配等方面有着截然不同的优化目标。将它们统一到同一框架下，必然面临"鱼与熊掌"的艰难抉择。

1.2 "免费午餐"迷思与信息论视角

ISAC的概念听起来像是"免费的午餐"——一套硬件同时完成两种功能，看似零成本地实现了双重收益。然而，信息论的基本原理告诉我们：天下没有免费的午餐，但可以有更高效的套餐。感知与通信之间的性能折中，其本质并非工程实现上的妥协，而是信息论与估计论之间内在张力的必然体现。

理解ISAC性能极限的关键，不在于分别回答"感知能做到多好"或"通信能做到多快"，而在于回答一个更根本、更深刻的问题：当同一套信号资源同时服务感知和通信时，理论极限是什么？最优折中的数学结构是什么？

这个问题的答案，将揭示ISAC系统设计的核心奥秘，指导后续的波形优化、波束赋形、资源分配等工程实践。

1.3 感知与通信的根本矛盾

感知与通信对信号的需求存在根本性矛盾，这一矛盾贯穿于ISAC系统设计的各个环节：

通信需要随机性：自Shannon开创信息论以来，大量理论研究与工程实践反复证实，承载信息的信号应当"尽可能随机"。具体而言，在给定功率约束的条件下，高斯分布是在容量意义上最优的输入分布，其随机性能够最大化信道容量。这一结论的深层原因在于：信息是对不确定性的量化，而随机性是不确定性的直接来源。

感知需要确定性：雷达感知系统偏好恒模、低旁瓣的确定性信号，以获得稳定、可预测的参数估计性能。信号的随机性会导致样本协方差矩阵的波动，这种波动会降低估计精度，增加估计误差的方差。对于追求高精度参数估计的感知系统而言，这种随机性带来的不确定性是不可接受的。

$$\boxed{\text{通信最优}\iff \text{信号尽可能随机}\text{感知最优}\iff \text{信号尽可能确定性}}$$

这对矛盾并非偶然的工程难题，而是信息论与估计论之间的内在张力在ISAC场景下的具体体现。信息论关注的是如何可靠、高效地传输信息，其核心度量是互信息；估计论关注的是如何从噪声观测中精确恢复未知参数，其核心度量是Cramér-Rao界(CRB)。两者的优化目标虽然不同，但都通过同一套信号资源来实现，这便产生了不可调和的竞争关系。

1.4 本文的研究框架与主要贡献

本文将从这一基本矛盾出发，系统性地解析ISAC系统中感知与通信性能折中的数学本质。本文的核心目标是揭示ISAC的双重权衡结构——子空间权衡(Subspace Tradeoff, ST)与确定性-随机权衡(Deterministic-Random Tradeoff, DRT)，并探讨容量-失真理论对ISAC的统一刻画。

1.5 本章小结

本章阐明了ISAC研究的背景与动机，揭示了感知与通信之间的根本矛盾——通信需要随机性，感知需要确定性。这一矛盾并非工程实现的妥协，而是信息论与估计论内在张力的必然体现。本文将从这一矛盾出发，系统解析ISAC的双重权衡结构，为后续章节奠定理论基础。

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二、感知与通信的信息论同源性

2.1 统一的线性高斯模型

感知与通信看似分属不同的技术领域——前者是参数估计问题，后者是信息传输问题——但它们在数学上共享同一个基础模型：线性高斯模型。这一模型的核心假设是：接收信号是发射信号经过线性变换后叠加高斯噪声的结果。

在该模型框架下，接收信号可统一表示为：

$$\mathbf{Y}=\mathbf{HX}+\mathbf{Z}$$

其中各符号的含义如下：

• $\mathbf{Y}$：接收信号，可以是标量、向量或矩阵形式
• $\mathbf{H}$：线性变换算子，在感知场景中为目标响应矩阵，在通信场景中为信道矩阵
• $\mathbf{X}$：发射信号，承载待传输的信息或用于照射目标的波形
• $\mathbf{Z}$：高斯噪声，假设为零均值、已知协方差的高斯随机变量

这一统一表示的深刻意义在于：无论是雷达感知还是无线通信，其本质都是对线性系统中某种信息的获取与恢复。感知与通信的差异，并非模型本身的差异，而是优化目标与约束条件的差异。

2.2 通信视角：信道容量最大化

从通信的视角审视线性高斯模型，$\mathbf{H}$ 代表已知的信道矩阵（或信道响应），$\mathbf{X}$ 是待设计的发射信号，其目标是最大化从发射端到接收端的信息传输量。

在给定功率约束的条件下，通信系统的核心优化问题可表述为：

$$\underset{\mathbf{X}}{\max }I(\mathbf{X};\mathbf{Y}|\mathbf{H})\text{s.t.}\mathbb{E}[\Vert \mathbf{X}{\Vert }^2]\le P$$

其中 $I(\mathbf{X};\mathbf{Y}|\mathbf{H})$ 表示在信道已知条件下的互信息，$P$ 为平均功率约束。互信息量化了通过信道 $\mathbf{H}$ 能够可靠传输的信息量，是香农信息论的核心度量。

互信息的物理含义可从两个角度理解：

1. 编码视角：$I(\mathbf{X};\mathbf{Y}|\mathbf{H})=H(\mathbf{X}|\mathbf{H})-H(\mathbf{X}|\mathbf{Y},\mathbf{H})$，即发送信号的不确定性减去接收后的条件不确定性
2. 解码视角：$I(\mathbf{X};\mathbf{Y}|\mathbf{H})=H(\mathbf{Y}|\mathbf{H})-H(\mathbf{Y}|\mathbf{X},\mathbf{H})$，即接收信号的总不确定性减去给定发送信号后的残余不确定性

在高斯信道条件下，当 $\mathbf{X}\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(0,{\mathbf{R}}_{\mathbf{X}})$ 时，互信息可显式计算为：

$$I(\mathbf{X};\mathbf{Y}|\mathbf{H})={\log }_2\det \left(\mathbf{I}+\mathbf{H}{\mathbf{R}}_{\mathbf{X}}{\mathbf{H}}^H\right)$$

其中 ${\mathbf{R}}_{\mathbf{X}}=\mathbb{E}[\mathbf{X}{\mathbf{X}}^H]$ 为发射信号的协方差矩阵。这一公式揭示了信道容量的本质：功率的空间分布（由 ${\mathbf{R}}_{\mathbf{X}}$ 表征）与信道的空间结构（由 $\mathbf{H}$ 表征）的匹配程度，决定了信息传输的效率。

2.3 感知视角：参数估计精度优化

从感知的视角审视同一模型，$\mathbf{X}$ 现在是已知的照射波形（通常称为"参考信号"或"导频信号"），而 $\mathbf{H}$ 是待估计的目标响应矩阵，其元素隐含了目标参数 $\mathbf{\eta }$（如角度、时延、多普勒频率等）。

感知系统的核心任务是：从噪声观测 $\mathbf{Y}$ 中恢复目标参数 $\mathbf{\eta }$，并尽可能提高估计精度。参数估计的精度由Cramér-Rao界(CRB)给出——这是估计理论中的基本下界，表明任何无偏估计量的方差都以CRB为下界：

$$\text{Var}(\hat{\mathbf{\eta }})\ge \text{CRB}(\mathbf{\eta })={\left[{\mathbf{J}}_{\mathbf{\eta }}\right]}^{-1}$$

其中 ${\mathbf{J}}_{\mathbf{\eta }}$ 为Fisher信息矩阵(FIM)，其元素定义为：

$${\left[{\mathbf{J}}_{\mathbf{\eta }}\right]}_{i,j}=-\mathbb{E}\left[\frac{{\partial }^2\ln p(\mathbf{Y}|\mathbf{\eta })}{\partial {\eta }_i\partial {\eta }_j}\right]$$

对于线性高斯模型，Fisher信息矩阵具有解析表达式。当 $\mathbf{X}$ 已知时，感知信道可建模为 ${\mathbf{Y}}_s={\mathbf{H}}_s(\mathbf{\eta })\mathbf{X}+{\mathbf{Z}}_s$，Fisher信息为：

$${\mathbf{J}}_{\mathbf{\eta }|\mathbf{X}}=\frac{2}{{\sigma }^2}\text{Re}\left[\left(\frac{\partial {\mathbf{H}}_s(\mathbf{\eta })}{\partial \mathbf{\eta }}\mathbf{X}{\mathbf{X}}^H\frac{\partial {\mathbf{H}}_s^H(\mathbf{\eta })}{\partial {\mathbf{\eta }}^T}\right)\right]$$

其中 ${\sigma }^2$ 为噪声方差。感知优化的目标是：设计已知的 $\mathbf{X}$（在ISAC中这是不成立的，见下节），使得 ${\mathbf{J}}_{\mathbf{\eta }|\mathbf{X}}$ 最大化，或等价地，使CRB最小化。

2.4 S&C的对偶性与角色差异

细心的读者可能已经注意到：在上述统一模型中，$\mathbf{X}$ 和 $\mathbf{H}$ 在数学上是可以互换角色的。在感知模型 $\mathbf{Y}=\mathbf{HX}+\mathbf{Z}$ 中，如果我们交换 $\mathbf{X}$ 和 $\mathbf{H}$ 的位置，可以得到一个形式上类似但本质不同的模型。这种对偶性揭示了感知与通信之间的深层联系。

然而，S&C在实际系统中扮演着不同的物理角色：

维度	通信系统	感知系统
优化变量	$\mathbf{X}$（信号设计）	$\mathbf{H}$（参数估计）
信息位置	$\mathbf{X}$ 承载通信消息	$\mathbf{H}$ 蕴含目标参数 $\mathbf{\eta }$
性能度量	互信息 $I(\mathbf{X};\mathbf{Y}|\mathbf{H})$	估计精度/CRB
已知量	$\mathbf{H}$（信道已知）	$\mathbf{X}$（参考波形）

正是这些差异导致了独特的性能权衡——这也是ISAC信息论研究的核心问题所在。

2.5 ISAC中的关键挑战：X既是随机的又是已知的

在传统的通信系统中，$\mathbf{X}$ 对接收端是未知的（需要解码）；在传统的雷达系统中，$\mathbf{X}$ 对发射端是已知的（可以控制）。而在ISAC系统中，情况变得复杂：

1. $\mathbf{X}$ 必须携带通信信息：因此 $\mathbf{X}$ 是随机的，其随机性承载着通信消息
2. $\mathbf{X}$ 对感知接收端是已知的：在单基地雷达配置中，发射端与感知接收端通常共址，发射信号的完整实现对感知Rx是已知的（称为"全向感知"或"自感知"）

这种"既随机又已知"的矛盾，正是ISAC区别于传统通信和传统雷达的核心挑战。下一章将详细讨论如何处理这一独特情形。

2.6 本章小结

本章建立了感知与通信的统一数学框架——线性高斯模型。从信息论视角，通信优化互信息 $I(\mathbf{X};\mathbf{Y}|\mathbf{H})$，而感知优化Fisher信息/CRB。虽然数学模型形式相同，但两者的优化目标、已知量与未知量截然不同。ISAC面临的核心挑战在于：发射信号 $\mathbf{X}$ 既承载通信信息（必须随机），又需要服务感知（理想情况下应确定性）——这构成了后续章节讨论的基础。

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三、I-MMSE方程：信息与估计的桥梁

3.1 I-MMSE方程的数学表达

连接信息论与估计论的奠基性工作是Guo、Shamai和Verdú于2005年在《IEEE Transactions on Information Theory》上发表的里程碑论文"Mutual Information and Minimum Mean-Square Error in Gaussian Channels"。这篇论文建立了标量高斯信道中互信息与最小均方误差(MMSE)之间的深刻联系。

I-MMSE方程：对于标量高斯信道 $Y=\sqrt{\text{SNR}}X+Z$，其中 $X$ 与 $Z\sim \mathcal{N}(0,1)$ 独立，信道输入的分布为 $P_X$，互信息 $I(X;Y)$ 与MMSE估计之间满足：

$$\frac{d}{d\text{SNR}}I(X;Y)=\frac{1}{2}\cdot \text{MMSE}(\text{SNR})$$

其中 $\text{MMSE}(\text{SNR})=\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X|Y]{)}^2]$ 是在给定输出 $Y$ 时对输入 $X$ 的最小均方误差。

这一方程的左侧是互信息关于信噪比的导数，右侧是MMSE的缩放形式。直观理解：当我们提高发射功率（增加SNR）时，互信息的增长速率与从输出估计输入的精度直接相关——估计越困难（MMSE越大），增加功率带来的信息增益就越大。

3.2 I-MMSE方程的物理意义

I-MMSE方程揭示了信息论与估计论之间的对偶关系：

最大化估计误差 ⇔ 最大化互信息缩放比

这一定理的核心洞察在于：互信息的微分可以完全由估计问题来刻画。这打破了传统观念中"信息论关注整体性能（容量），估计论关注局部性能（误差）"的界限，表明两者在微分层面是等价的。

I-MMSE方程的一个重要推论是：在高SNR区域，MMSE $\approx 1/\text{SNR}$，因此 $I(X;Y)\approx \frac{1}{2}{\log }_2(1+\text{SNR})$，这正是加性高斯白噪声(AWGN)信道的容量公式。这暗示了高斯输入分布的特殊地位——它使得I-MMSE关系取最简洁的形式。

3.3 从标量到向量的扩展

I-MMSE方程后来被扩展到向量信道和一般高斯信道场景。设 $\mathbf{Y}=\mathbf{HX}+\mathbf{Z}$，其中 $\mathbf{Z}\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(0,\mathbf{I})$，则：

$${\nabla }_{{\mathbf{H}}^H}I(\mathbf{X};\mathbf{Y})=\mathbf{H}\cdot \text{MMSE}(\mathbf{H})$$

其中 $\text{MMSE}(\mathbf{H})$ 是从输出 $\mathbf{Y}$ 估计输入 $\mathbf{X}$ 的矩阵均方误差。这一向量形式的I-MMSE方程在MIMO系统中有着重要应用，可以用于分析功率注水、特征模式传输等优化策略。

3.4 ISAC语境下的I-MMSE方程

然而，在ISAC系统中，I-MMSE方程的直接应用面临一个关键问题：ISAC关心的是对信道参数 $\mathbf{H}$（或目标参数 $\mathbf{\eta }$）的估计，而非对发送信号 $\mathbf{X}$ 的估计。

回顾I-MMSE方程中的MMSE项：

• 标准I-MMSE：${\text{MMSE}}_X(\text{SNR})=\mathbb{E}[(X-\hat{X}{)}^2]$，其中 $\hat{X}=\mathbb{E}[X|Y]$
• ISAC需求：${\text{MMSE}}_{\mathbf{H}}(\text{SNR})=\mathbb{E}[(\mathbf{H}-\hat{\mathbf{H}}{)}^2]$，其中 $\hat{\mathbf{H}}=\mathbb{E}[\mathbf{H}|\mathbf{Y}]$

两者的区别在于：

• 传统MMSE是对已知分布的随机变量 $X$ 的估计
• ISAC中的MMSE是对物理信道 $\mathbf{H}$ 的估计，信道的先验分布可能非高斯

因此，互信息 $I(\mathbf{Y};\mathbf{H})$ 与目标参数估计极限之间的联系（而非 $I(\mathbf{X};\mathbf{Y})$ 与 ${\text{MMSE}}_X$ 之间的联系），才是ISAC信息论的核心问题。这一问题的答案是CRB-Rate区域理论的核心。

3.5 两条理论主线：CRB-Rate与容量-失真

目前学术界存在两条主要理论路线来刻画ISAC感知-通信折中：

路线一：CRB-Rate区域框架

该框架以Cramér-Rao界(CRB)作为感知性能度量，以可达通信速率(Rate)作为通信性能度量，直接刻画两者的Pareto边界。代表性工作包括Xie等人的开创性论文"On the Fundamental Tradeoff of Integrated Sensing and Communications Under Gaussian Channels"，以及后续的MIMO-ISAC扩展。

路线二：容量-失真折中框架

该框架将感知问题重新建模为状态估计问题，以平均失真(Distortion)度量感知性能，以信道容量(Capacity)度量通信性能，借鉴经典的率失真理论。代表性工作包括Kobayashi、Caire和Kramer的开创性论文"Joint State Estimation and Communication over State-Dependent Channels"。

两条路线从不同角度切入同一问题，它们之间既有联系又有区别，将在后续章节中详细分析。

3.6 本章小结

本章介绍了连接信息论与估计论的桥梁——I-MMSE方程。该方程表明，在标量高斯信道中，互信息关于SNR的导数与MMSE估计精确相关。然而，ISAC系统关心的是信道参数的估计而非发送符号的估计，这导致需要新的理论框架。目前存在两条主要路线：CRB-Rate区域框架和容量-失真折中框架，它们将从不同角度揭示ISAC折中的数学本质。

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四、CRB-Rate区域：估计理论与信息论的交汇

4.1 ISAC系统模型

为了精确刻画ISAC的感知-通信折中，我们首先定义一个典型的点对点(P2P) ISAC系统模型。该模型由Xie等人于2023年提出，已成为ISAC信息论研究的标准基准。

考虑一个双功能发射端(Tx)发送统一波形 $\mathbf{X}\in {\mathbb{C}}^{N_t\times T}$，其中 $N_t$ 为发射天线数，$T$ 为符号周期数（也称为"帧长"）。该波形同时被两个接收端接收：

通信信道模型：
$${\mathbf{Y}}_c={\mathbf{H}}_c\mathbf{X}+{\mathbf{Z}}_c$$

感知信道模型：
$${\mathbf{Y}}_s={\mathbf{H}}_s(\mathbf{\eta })\mathbf{X}+{\mathbf{Z}}_s$$

其中各符号的含义如下：

• ${\mathbf{Y}}_c\in {\mathbb{C}}^{N_r\times T}$：通信接收信号，$N_r$ 为通信Rx的天线数
• ${\mathbf{Y}}_s\in {\mathbb{C}}^{N_s\times T}$：感知接收信号，$N_s$ 为感知Rx的天线数
• ${\mathbf{H}}_c\in {\mathbb{C}}^{N_r\times N_t}$：通信信道矩阵，假设瑞利衰落且各元素独立同分布 $\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(0,1)$
• ${\mathbf{H}}_s(\mathbf{\eta })\in {\mathbb{C}}^{N_s\times N_t}$：参数化的感知信道矩阵，其结构由目标参数 $\mathbf{\eta }$ 决定
• $\mathbf{\eta }\in {\mathbb{R}}^P$：待估计的目标参数向量，通常包含角度、时延、多普勒频率等
• ${\mathbf{Z}}_c,{\mathbf{Z}}_s$：复高斯噪声，假设 ${\mathbf{Z}}_c\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(0,\mathbf{I})$，${\mathbf{Z}}_s\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(0,\mathbf{I})$

4.2 感知信道模型：角度-时延-多普勒参数化

感知信道矩阵 ${\mathbf{H}}_s(\mathbf{\eta })$ 的具体形式取决于雷达系统的工作模式。对于典型的点目标模型，感知信道可参数化为：

$${\mathbf{H}}_s(\mathbf{\eta })=\sum _{k=1}^K{\alpha }_k{\mathbf{a}}_s({\theta }_k,{\varphi }_k){\mathbf{a}}_t^H({\theta }_k,{\varphi }_k)e^{j2\pi f_{D,k}t}$$

其中：

• $K$：目标数量
• ${\alpha }_k$：第 $k$ 个目标的复幅度（包含路径损耗和雷达散射截面积(RCS)信息）
• ${\theta }_k,{\varphi }_k$：第 $k$ 个目标的方位角和俯仰角
• $f_{D,k}$：第 $k$ 个目标的多普勒频率
• ${\mathbf{a}}_t(\theta ,\varphi ),{\mathbf{a}}_s(\theta ,\varphi )$：发射和接收阵列导向矢量
• $t$：时间索引

为简化分析，假设单目标场景，$\mathbf{\eta }=[\theta ,\tau ,f_D{]}^T$ 分别表示角度、时延和多普勒。此时感知信道的Fisher信息矩阵可解析计算。

4.3 Miller-Chang型CRB：处理随机已知干扰

当 $\mathbf{X}$ 为确定性信号时，Fisher信息矩阵和CRB可以直接计算。然而，ISAC中的 $\mathbf{X}$ 必须携带通信信息，因此是随机的——这与传统雷达系统中 $\mathbf{X}$ 已知的情况形成鲜明对比。

更棘手的是，ISAC中的 $\mathbf{X}$ 处于一个"灰色地带"：

• 不是完全未知：在单基地雷达配置中，发射信号对感知Rx（通常与Tx共址）是已知的
• 不是确定性：$\mathbf{X}$ 随通信数据变化，其实现具有随机性

为处理这一独特情形，Xie等人提出将 $\mathbf{X}$ 视为感知模型中的随机已知干扰参数。这一术语看似矛盾，但含义清晰：$\mathbf{X}$ 在感知模型中是"干扰"（因为感知Rx关心的是 ${\mathbf{H}}_s$，而非 $\mathbf{X}$ 本身），其随机性是已知的（对感知Rx已知 $\mathbf{X}$ 的统计分布，而非具体实现）。

基于这一处理方式，定义Miller-Chang型CRB：

$$\text{CRB}(\mathbf{\eta })={\mathbb{E}}_{\mathbf{X}}\left\{\text{Tr}\left[{\mathbf{J}}_{\mathbf{\eta }|\mathbf{X}}^{-1}\right]\right\}$$

其中：

• ${\mathbf{J}}_{\mathbf{\eta }|\mathbf{X}}$ 是以 $\mathbf{X}$ 为条件的Fisher信息矩阵
• 对 $\mathbf{X}$ 的随机性取期望，得到平均感知性能

为什么不是先计算条件CRB再求期望？

从数学上看，先对条件CRB求期望与先对Fisher信息求逆再取迹是不同的操作。Miller-Chang型CRB的定义等价于将 $\mathbf{X}$ 视为贝叶斯框架中的随机参数，然后计算贝叶斯CRB(BCRB)。这在感知性能的平均度量上更为合理。

4.4 Miller-Chang型CRB的最优性条件

Xie等人的核心定理（定理1）揭示了感知最优对信号统计特性的要求：

定理1（感知最优条件）：Miller-Chang型CRB的最小化问题：

$$\underset{{\mathbf{R}}_{\mathbf{X}}⪰0,\text{Tr}({\mathbf{R}}_{\mathbf{X}})\le P}{\min }\text{CRB}(\mathbf{\eta })$$

的最优解满足：样本协方差矩阵 ${\mathbf{R}}_{\mathbf{X}}=\frac{1}{T}\mathbf{X}{\mathbf{X}}^H$ 具有确定性迹，且其分布的支撑被限制在确定性CRB最小化问题的最优解集合。

特别推论：若确定性CRB最小化问题有唯一最优解 ${\mathbf{R}}_{\mathbf{X}}^{\ast }$，则 ${\mathbf{R}}_{\mathbf{X}}$ 本身应为确定性，即：

$${\mathbf{R}}_{\mathbf{X}}={\mathbf{R}}_{\mathbf{X}}^{\ast }\text{（确定性）}$$

这一定理的深刻含义：

$$\boxed{\text{感知最优}\iff \text{信号协方差矩阵是确定性的}}$$

换句话说，从信息论角度看，感知系统偏好低随机性的信号——信号的协方差矩阵应当是确定的，而非随每次传输变化的。这一结论与直觉相符：感知追求的是稳定、可预测的信号特性，以获得精确的参数估计。

4.5 CRB-Rate区域的正式定义

在定义了感知性能度量之后，我们现在可以定义通信与感知的联合性能区域。

CRB-Rate区域定义为所有可达的 $(\epsilon ,R)$ 对的集合：

R ISAC : = ⋃ X ( P max ⁡ ) { ( ϵ , R ) ∣ ϵ = E X { Tr [ J η ∣ X − 1 ] } ,   R = 1 T I ( X ; Y c ∣ H c ) } \mathcal{R}_{\text{ISAC}} := \bigcup_{\mathcal{X}(P_{\max})} \left\{ (\epsilon, R) \mid \epsilon = \mathbb{E}_{\mathbf{X}}\{\text{Tr}[\mathbf{J}_{\boldsymbol{\eta}|\mathbf{X}}^{-1}]\}, \ R = \frac{1}{T}I(\mathbf{X}; \mathbf{Y}_c|\mathbf{H}_c) \right\} RISAC​:=X(Pmax​)⋃​{(ϵ,R)∣ϵ=EX​{Tr[Jη∣X−1​]}, R=T1​I(X;Yc​∣Hc​)}

其中约束集 $\mathcal{X}(P_{\max })$ 包含所有满足平均功率约束 $P_{\max }$ 的信号分布：

$$\mathcal{X}(P_{\max })=\left\{P_{\mathbf{X}}:{\mathbb{E}}_{\mathbf{X}}[\Vert \mathbf{X}{\Vert }_F^2]\le T\cdot P_{\max }\right\}$$

各符号的含义：

• $ϵ$：感知性能度量，取Miller-Chang型CRB的迹（总估计误差下界）
• $R$：通信性能度量，取遍历互信息（按时间归一化）
• $P_{\max }$：峰值功率约束

CRB-Rate区域是一个二维Pareto前沿，表示在给定功率约束下，感知精度与通信速率之间所有可达的权衡点。

4.6 CRB-Rate区域的Pareto边界

CRB-Rate区域的Pareto边界刻画了感知与通信的最优性能折中。在该边界上的点，无法在不损害一方的前提下改善另一方。

Pareto边界由以下数学问题定义：

∂ R ISAC = { ( ϵ , R ) ∈ R ISAC : ∄ ( ϵ ′ , R ′ ) ∈ R ISAC  使得  ϵ ′ ≤ ϵ , R ′ ≥ R ,  且至少一个不等式严格成立 } \partial\mathcal{R}_{\text{ISAC}} = \left\{ (\epsilon, R) \in \mathcal{R}_{\text{ISAC}} : \nexists (\epsilon', R') \in \mathcal{R}_{\text{ISAC}} \text{ 使得 } \epsilon' \leq \epsilon, R' \geq R, \text{ 且至少一个不等式严格成立} \right\} ∂RISAC​={(ϵ,R)∈RISAC​:∄(ϵ′,R′)∈RISAC​ 使得 ϵ′≤ϵ,R′≥R, 且至少一个不等式严格成立}

Pareto边界上有两个特殊的角点：

• $P_{SC}$（感知优先角点）：在最小CRB约束下的最大可达通信速率
• $P_{CS}$（通信优先角点）：在最大通信速率约束下的最小可达CRB

这两个角点之间的Pareto边界代表了所有可能的权衡方案，用户可根据应用需求选择合适的运行点。

4.7 本章小结

本章建立了ISAC的完整系统模型，并正式定义了CRB-Rate区域。核心结论是Miller-Chang型CRB——通过将发射信号视为随机已知干扰，得到平均感知性能的下界。定理1揭示了关键洞察：感知最优要求信号协方差矩阵是确定性的。CRB-Rate区域刻画了感知误差 $ϵ$ 与通信速率 $R$ 的所有可达权衡点，其Pareto边界是ISAC设计的理论极限。

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五、Pareto边界分析：两个关键角点

5.1 角点 $P_{SC}$：感知优先的极限性能

在CRB-Rate区域的感知优先角点 $P_{SC}$，优化目标是：在满足最小CRB约束的条件下，最大化通信速率。这一角点代表了对感知精度有极高要求的场景（如高分辨率雷达），同时希望尽可能保持通信能力。

数学上，$P_{SC}$ 定义为：

P S C : max ⁡ P X R = 1 T I ( X ; Y c ∣ H c ) s.t. ϵ = E X { Tr [ J η ∣ X − 1 ] } ≤ ϵ min ⁡ P_{SC}: \quad \max_{P_{\mathbf{X}}} R = \frac{1}{T}I(\mathbf{X}; \mathbf{Y}_c|\mathbf{H}_c) \quad \text{s.t.} \quad \epsilon = \mathbb{E}_{\mathbf{X}}\{\text{Tr}[\mathbf{J}_{\boldsymbol{\eta}|\mathbf{X}}^{-1}]\} \leq \epsilon_{\min} PSC​:PX​max​R=T1​I(X;Yc​∣Hc​)s.t.ϵ=EX​{Tr[Jη∣X−1​]}≤ϵmin​

其中 ${ϵ}_{\min }$ 是感知约束（通常取感知最优点的CRB值）。

5.2 Stiefel流形上的高SNR容量分析

在 $P_{SC}$ 点，${\mathbf{R}}_{\mathbf{X}}$ 被约束为感知最优的确定性矩阵 ${\mathbf{R}}_{\mathbf{X}}^{\ast }$。此时，信号仅剩的随机性存在于其右奇异向量的方向上。这导致一个非传统的容量问题——信号的空间结构被锁定，只剩下方向随机性。

设 $\mathbf{X}$ 的奇异值分解为 $\mathbf{X}=\mathbf{U}\mathbf{\Sigma }{\mathbf{V}}^H$，其中 $\mathbf{V}\in {\mathbb{C}}^{N_t\times L}$ 为右奇异向量矩阵，$L=\text{rank}({\mathbf{R}}_{\mathbf{X}}^{\ast })$ 为感知最优协方差矩阵的秩。

定理2（$P_{SC}$ 高SNR容量）：假设CRB最小化问题有唯一解 ${\mathbf{R}}_{\mathbf{X}}^{\ast }$，在高SNR区域（$P_{\max }\to \infty$），$P_{SC}$ 处的遍历容量为：

$$C_{P_{SC}}\approx \left(N_t-L\right){\log }_2\text{SNR}+O(1)$$

与无约束容量的对比：

• 无感知约束的MIMO信道容量：$C_{\text{free}}\approx N_t{\log }_2\text{SNR}$
• 感知约束下的通信容量：$C_{P_{SC}}\approx (N_t-L){\log }_2\text{SNR}$

关键洞察：感知约束导致预对数因子从 $N_t$ 降至 $N_t-L$，即损失了 $L$ 个空间自由度。这 $L$ 个自由度被"锁定"为确定性信号以服务感知，无法用于通信信息传输。

5.3 Stiefel流形均匀分布的物理含义

定理2中容量的实现依赖于Stiefel流形上的均匀分布。具体地，将信号建模为：

$$\mathbf{X}=\sqrt{T}{\mathbf{R}}_{\mathbf{X}}^{\ast 1/2}\mathbf{\Phi }$$

其中 $\mathbf{\Phi }$ 在Stiefel流形上均匀分布：

$$\text{St}(L,N_t)=\left\{\mathbf{\Phi }\in {\mathbb{C}}^{L\times N_t}:\mathbf{\Phi }{\mathbf{\Phi }}^H={\mathbf{I}}_L\right\}$$

Stiefel流形是正交约束矩阵的推广，它包含所有列正交归一的矩阵。均匀分布在此流形上意味着：

1. 功率约束：$\mathbf{\Phi }$ 的列向量是单位范数的，因此信号的功率由 ${\mathbf{R}}_{\mathbf{X}}^{\ast 1/2}$ 决定
2. 方向随机性：$\mathbf{\Phi }$ 的方向（流形上的位置）是均匀随机的，这提供了通信信息承载所需的随机性
3. 感知兼容性：${\mathbf{R}}_{\mathbf{X}}^{\ast }$ 是确定的（满足感知最优），但其"填充方式"（通过 $\mathbf{\Phi }$ 的方向）具有随机性

这种"部分确定、部分随机"的结构，正是ISAC信号设计的核心思想。

5.4 角点 $P_{CS}$：通信优先的极限性能

与 $P_{SC}$ 相对，$P_{CS}$ 是通信优先角点，优化目标是：在满足最大通信速率约束的条件下，最小化感知CRB。

数学上，$P_{CS}$ 定义为：

P C S : min ⁡ P X ϵ = E X { Tr [ J η ∣ X − 1 ] } s.t. R = 1 T I ( X ; Y c ∣ H c ) ≥ R max ⁡ P_{CS}: \quad \min_{P_{\mathbf{X}}} \epsilon = \mathbb{E}_{\mathbf{X}}\{\text{Tr}[\mathbf{J}_{\boldsymbol{\eta}|\mathbf{X}}^{-1}]\} \quad \text{s.t.} \quad R = \frac{1}{T}I(\mathbf{X}; \mathbf{Y}_c|\mathbf{H}_c) \geq R_{\max} PCS​:PX​min​ϵ=EX​{Tr[Jη∣X−1​]}s.t.R=T1​I(X;Yc​∣Hc​)≥Rmax​

在无通信速率约束的情况下，$P_{CS}$ 对应于无感知约束的容量最优设计——即 $\mathbf{X}\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(0,P_{\max }\mathbf{I})$，发射信号服从独立同分布的复高斯分布。

5.5 通信优先下的感知代价分析

当 $\mathbf{X}\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(0,P_{\max }\mathbf{I})$ 时，通信速率达到最大（等于信道容量），但感知CRB也随之增大。这是因为高斯信号的随机性导致样本协方差矩阵的波动，增加了估计方差。

Xie等人给出了 $P_{CS}$ 处感知CRB的上下界：

$${\text{CRB}}_{\text{det}}(\mathbf{\eta })\le {\text{CRB}}_{P_{CS}}(\mathbf{\eta })\le {\text{CRB}}_{\text{det}}(\mathbf{\eta })+f(N_t,T,P_{\max })$$

其中：

• ${\text{CRB}}_{\text{det}}(\mathbf{\eta })$ 是确定性信号（$\mathbf{X}$ 固定）下的CRB
• $f(N_t,T,P_{\max })$ 是随机性引入的额外估计误差项

$f(N_t,T,P_{\max })$ 的具体形式取决于信号模型和噪声特性。当 $T\gg N_t$（长帧长）时，样本协方差矩阵趋向于其期望值，因此 $f\to 0$——随机性的影响可忽略。但在以下场景中，有限帧长的影响不可忽视：

• Massive MIMO（$N_t$ 很大）：$T$ 与 $N_t$ 的比值变小，有限样本效应显著
• 短包通信（$T$ 有限）：URLLC等低时延场景，$T$ 可能仅数十个符号
• 高速目标跟踪（多普勒维度大）：需要更多时域样本来积累能量

5.6 有限样本下的随机性损失

随机性带来的感知性能损失，可以用样本协方差矩阵的统计特性来量化。设 ${\mathbf{R}}_{\mathbf{X}}=\frac{1}{T}\mathbf{X}{\mathbf{X}}^H$，当 $\mathbf{X}\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(0,P\mathbf{I})$ 时，${\mathbf{R}}_{\mathbf{X}}$ 服从复Wishart分布：

$${\mathbf{R}}_{\mathbf{X}}\sim {\mathcal{W}}_C(N_t,T,P\mathbf{I})$$

复Wishart分布的均值等于真实协方差 $P\mathbf{I}$，但方差与 $T$ 和 $N_t$ 成反比。Fisher信息的波动导致了CRB的增大。

5.7 本章小结

本章深入分析了CRB-Rate区域的两个关键角点：

1. $P_{SC}$（感知优先角点）：信号协方差被锁定为感知最优的确定性矩阵 ${\mathbf{R}}_{\mathbf{X}}^{\ast }$，剩余随机性仅存在于Stiefel流形方向上。高SNR下容量为 $(N_t-L){\log }_2\text{SNR}$，损失了 $L$ 个空间DOF。

2. $P_{CS}$（通信优先角点）：信号采用容量最优的高斯分布 $\mathbf{X}\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(0,P\mathbf{I})$，通信速率最大但感知CRB升高。额外误差 $f(N_t,T,P)$ 在长帧长下趋于零，但短帧和Massive MIMO场景下不可忽略。

两个角点揭示了ISAC双重权衡的核心：感知与通信对信号"确定性-随机性"的需求是根本对立的。

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六、子空间权衡(ST)：空间自由度的竞争

6.1 子空间权衡的概念引入

子空间权衡(Subspace Tradeoff, ST)是ISAC系统中第一个被系统研究的权衡维度，它关注的是空间自由度的分配问题。在MIMO-ISAC系统中，发射信号协方差矩阵 ${\mathbf{R}}_{\mathbf{X}}$ 的特征空间决定了信号能量在空间维度上的分布方式。

直觉理解：

• 通信系统通过在通信信道 ${\mathbf{H}}_c$ 的强特征方向上分配功率来最大化容量（“注水原理”）
• 感知系统通过在感知信道 ${\mathbf{H}}_s(\mathbf{\eta })$ 的方向上分配功率来最大化Fisher信息
• 当两个信道的主导方向不对齐时，它们竞争相同的空间自由度

6.2 MIMO信道的空间结构

对于具有 $N_t$ 个发射天线的MIMO系统，其信道矩阵 $\mathbf{H}$ 具有以下奇异值分解：

$$\mathbf{H}=\mathbf{U}\mathbf{\Sigma }{\mathbf{V}}^H$$

其中：

• $\mathbf{U}\in {\mathbb{C}}^{N_r\times N_t}$：左奇异向量矩阵
• $\mathbf{\Sigma }\in {\mathbb{C}}^{N_t\times N_t}$：对角奇异值矩阵，${\sigma }_1\ge {\sigma }_2\ge \cdots \ge {\sigma }_{N_t}\ge 0$
• $\mathbf{V}\in {\mathbb{C}}^{N_t\times N_t}$：右奇异向量矩阵

信道的秩定义为非零奇异值的数量： r = rank ( H ) = ∣ { i : σ i > 0 } ∣ r = \text{rank}(\mathbf{H}) = |\{i: \sigma_i > 0\}| r=rank(H)=∣{i:σi​>0}∣。对于满秩信道，$r=\min (N_t,N_r)$。

通信的**空间自由度(DOF)**本质上由信道秩决定。在发射端，每增加一个独立的信号维度（一个空间信道），理论上可以增加1 bit/s/Hz的容量（在高SNR下）。

6.3 感知信道的参数化与Fisher信息

感知信道的空间结构由目标参数 $\mathbf{\eta }$ 决定。考虑单基地雷达配置，感知信道可表示为：

$${\mathbf{H}}_s(\mathbf{\eta })=\alpha \mathbf{a}(\theta ){\mathbf{b}}^H(\varphi )$$

其中：

• $\alpha$：复幅度，包含路径损耗和RCS
• $\theta$：方位角
• $\varphi$：俯仰角
• $\mathbf{a}(\theta ),\mathbf{b}(\varphi )$：发射和接收阵列导向矢量

导向矢量定义为：

$$\mathbf{a}(\theta )=\frac{1}{\sqrt{N_t}}{\left[1,e^{j\frac{2\pi d}{\lambda }\sin \theta },\dots ,e^{j\frac{2\pi d}{\lambda }(N_t-1)\sin \theta }\right]}^T$$

其中 $d$ 为天线间距，$\lambda$ 为载波波长。

Fisher信息矩阵的秩由感知信道结构决定。对于角度估计，Fisher信息与导向矢量的导数 $\partial \mathbf{a}(\theta )/\partial \theta$ 和发射功率的空间分布相关。

6.4 ST的数学刻画

设 ${\mathcal{S}}_c=\text{span}({\mathbf{H}}_c)$ 为通信信道的主导子空间（对应于前 $r_c$ 个主要奇异向量），${\mathcal{S}}_s=\text{span}({\mathbf{H}}_s)$ 为感知信道的主导子空间（由目标方向决定）。

子空间对齐程度定义为：

$$\rho =\dim \left({\mathcal{S}}_c\cap {\mathcal{S}}_s\right)$$

• 当 $\rho =0$（子空间正交）：感知与通信信道完全解耦，可独立优化，无ST
• 当 $\rho >0$（子空间重叠）：感知与通信共享部分空间自由度，形成ST
• 当 $\rho =\min (r_c,r_s)$（子空间包含）：感知完全服务于通信或反之

ST的量化表达为：

$$\text{ST: }\underset{\text{通信DOF}}{\underbrace{\dim ({\mathcal{S}}_c)}}+\underset{\text{感知DOF}}{\underbrace{\dim ({\mathcal{S}}_s)}}>\underset{\text{可用DOF}}{\underbrace{N_t}}\Rightarrow \text{必须共享DOF}$$

6.5 "手电筒"类比

子空间权衡可以用一个生动的类比来理解：

"手电筒"模式：

想象一束手电筒光柱照射到两个目标——一个通信接收器和一个待感知的物体。如果两者位于同一方向，光柱可以同时照亮两者，不需要任何权衡。但如果两者位于不同方向（如相隔60度），手电筒的光束必须在两者之间"分配"，无法同时以最优角度照射两者。

数学对应：

• 手电筒的总功率 → 发射总功率 $P$
• 光束方向 → 协方差矩阵的特征向量方向
• 照亮通信Rx → 沿 ${\mathcal{S}}_c$ 方向分配功率
• 照亮目标 → 沿 ${\mathcal{S}}_s$ 方向分配功率
• 方向不一致 → ST

6.6 ST的信道条件依赖性

ST的大小高度依赖于信道条件：

有利场景（ST最小）：

• 视距(LOS)场景：通信和感知都沿主要散射路径，方向性强，子空间可能对齐
• 目标与用户在同方向：例如基站服务前方车辆时，感知方向与通信方向一致
• MIMO雷达的多目标场景：若多个目标方向分散，需要折中

不利场景（ST最大）：

• 密集散射环境：多径丰富导致信道秩增加，子空间维度增大
• 多用户场景：不同用户的信道方向不同
• 全向感知需求：需要感知多个方向的用户

6.7 ST与联合波束赋形

在联合波形设计中，ST的存在要求在通信波束 ${\mathbf{w}}_c$ 和感知波束 ${\mathbf{w}}_s$ 之间进行权衡。一个典型的联合波束赋形问题可表述为：

$$\underset{\mathbf{w}}{\max }{\gamma }_c\Vert {\mathbf{w}}^H{\mathbf{h}}_c{\Vert }^2+{\gamma }_s\Vert {\mathbf{w}}^H{\mathbf{h}}_s{\Vert }^2\text{s.t.}\Vert \mathbf{w}{\Vert }^2\le P$$

其中 ${\gamma }_c,{\gamma }_s$ 为通信和感知的权重，${\mathbf{h}}_c,{\mathbf{h}}_s$ 为通信和感知信道的等效向量。Pareto边界代表所有 ${\gamma }_c/{\gamma }_s$ 比率下的最优权衡。

6.8 本章小结

子空间权衡(ST)源于通信信道 ${\mathcal{S}}_c$ 与感知信道 ${\mathcal{S}}_s$ 在空间自由度上的竞争。当两者的主导子空间不对齐时，感知与通信必须共享有限的发射自由度。ST的量化由子空间重叠维度 $\rho$ 表征：$\rho$ 越大，联合设计增益越大；$\rho =0$ 时两者可完全解耦。ST可通过联合波束赋形来管理，但这需要在通信和感知性能之间显式权衡。

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七、确定性-随机权衡(DRT)：信号随机性的双重角色

7.1 DRT：ISAC中最本质的权衡

如果说子空间权衡(ST)是ISAC系统的"表层权衡"，那么确定性-随机权衡(DRT)就是其"深层权衡"。DRT触及ISAC信息论的核心：信号随机性的本质与作用。

回顾前文的核心结论：

• 通信需要随机性：Shannon理论告诉我们，承载信息需要信号具有足够的随机性
• 感知需要确定性：定理1表明，感知最优要求样本协方差矩阵 ${\mathbf{R}}_{\mathbf{X}}$ 是确定性的

DRT揭示了这两种需求之间不可调和的矛盾。

7.2 随机性的信息论根源

从Shannon信息论的角度，互信息的产生源于不确定性。设 $X$ 为发送信号，$Y$ 为接收信号，互信息定义为：

$$I(X;Y)=H(X)-H(X|Y)=H(Y)-H(Y|X)$$

其中 $H(\cdot )$ 为熵函数，量化随机变量的不确定性。

• $H(X)$：发送信号的总不确定性（潜在信息量）
• $H(X|Y)$：给定接收信号后，发送信号的不确定性（残余不确定度）
• $I(X;Y)$：两者之差，即"被消除的不确定性"（成功传输的信息量）

为了最大化 $I(X;Y)$，我们希望：

1. $H(X)$ 尽可能大 → 信号应具有高随机性（高熵）
2. $H(X|Y)$ 尽可能小 → 信道应能可靠地"区分"不同信号

在高斯信道中，功率约束下的最大熵分布是高斯分布。因此，容量最优的输入分布是 $\mathcal{C}\mathcal{N}(0,{\mathbf{R}}_{\mathbf{X}})$——这是最随机的分布。

7.3 确定性的估计论需求

从估计论的角度，感知性能取决于对目标参数 $\mathbf{\eta }$ 的估计精度。CRB给出了无偏估计方差的下界，而Fisher信息是这一下界的关键。

对于线性高斯模型 ${\mathbf{Y}}_s={\mathbf{H}}_s(\mathbf{\eta })\mathbf{X}+{\mathbf{Z}}_s$，Fisher信息矩阵为：

$${\mathbf{J}}_{\mathbf{\eta }|\mathbf{X}}=\frac{2}{{\sigma }^2}\text{Re}\left[\left(\frac{\partial {\mathbf{H}}_s(\mathbf{\eta })}{\partial \mathbf{\eta }}\mathbf{X}{\mathbf{X}}^H\frac{\partial {\mathbf{H}}_s^H(\mathbf{\eta })}{\partial {\mathbf{\eta }}^T}\right)\right]$$

关键观察：Fisher信息与 $\mathbf{X}{\mathbf{X}}^H$ 直接相关。若 $\mathbf{X}$ 是随机的，$\mathbf{X}{\mathbf{X}}^H$ 的实现也在随机变化，导致：

1. Fisher信息的随机性：每次观测的Fisher信息不同，估计性能不稳定
2. 平均性能的下降：对随机 $\mathbf{X}$ 取期望后，Fisher信息可能降低
3. CRB的增大：定理1表明，最优协方差矩阵应为确定性的

7.4 DRT的率失真解释

Xie等人在其后续工作"Deterministic-Random Tradeoff of ISAC in Gaussian Channels: A Rate-Distortion Perspective"中，从率失真理论的角度给出了DRT的深刻解释。

将无线感知重新解释为非协作源-信道编码系统：

组件	通信系统	感知系统（ISAC）
信源	发送的消息 $W$	目标参数 $\mathbf{\eta }$
编码器	信道编码器（协作）	目标本身（非协作）
信道输入	$\mathbf{X}$	${\mathbf{H}}_s(\mathbf{\eta })$
信道	${\mathbf{H}}_c$	$\mathbf{X}$（已知）
信道输出	${\mathbf{Y}}_c$	${\mathbf{Y}}_s$
信息度量	$I(\mathbf{X};{\mathbf{Y}}_c)$	$I(\mathbf{Y}_s; \boldsymbol{\eta}

在经典源-信道编码中，分离定理表明：信源编码与信道编码可以独立优化而不损失最优性。但这一结果依赖于"协作编码器"假设——编码器可以自由选择码字以匹配信道特性。

在ISAC感知中，目标作为"非协作信源"，只能通过改变自身参数 $\mathbf{\eta }$ 来影响信道输入 ${\mathbf{H}}_s(\mathbf{\eta })$，而无法进行"块级编码"（将多个 $\mathbf{\eta }$ 的联合编码为长码字）。

7.5 失真下界定理

基于上述框架，Xie等人证明了感知性能的基本下界：

定理（失真下界）：设 $R(D)$ 为目标参数 $\mathbf{\eta }$ 的失真-速率函数，$\hat{\mathbf{\eta }}$ 为 $\mathbf{\eta }$ 的估计，则从噪声观测恢复 $\mathbf{\eta }$ 的平均失真下界为：

$$\mathbb{E}[d(\mathbf{\eta },\hat{\mathbf{\eta }})]\ge D\left(I({\mathbf{Y}}_s;\mathbf{\eta }|\mathbf{X})\right)$$

其中 $D(\cdot )$ 是失真-速率函数 $R(D)$ 的逆函数。

等号成立的条件：当且仅当 ${\mathbf{R}}_{\mathbf{X}}$ 是确定性CRB最小化问题的最优解。

这一结果揭示了DRT的深层含义：

• 确定性的 ${\mathbf{R}}_{\mathbf{X}}$：最大化 $I({\mathbf{Y}}_s;\mathbf{\eta }|\mathbf{X})$ → 最小化可达失真
• 随机的 ${\mathbf{R}}_{\mathbf{X}}$：降低 $I({\mathbf{Y}}_s;\mathbf{\eta }|\mathbf{X})$ → 失真下界升高

7.6 随机性的"双刃剑"效应

综合上述分析，信号随机性在ISAC中扮演着双刃剑的角色：

$$\text{DRT: }\text{信号的随机性既承载通信信息，又损害感知性能}$$

• 正效应（通信）：随机性 → 高熵 → 高互信息 → 高容量
• 负效应（感知）：随机性 → Fisher信息波动 → CRB升高 → 低精度

这一矛盾没有"和解"方案——只能在两者之间寻找最优折中，即选择"恰好足够"的随机性来满足通信需求，同时尽可能保持感知性能。

7.7 DRT与ST的耦合

ST和DRT并非独立作用，而是深度耦合的：

1. ST决定资源的"盘子"：子空间对齐程度决定了感知与通信可共享多少空间自由度

   • 子空间完全对齐 → 无ST → 可同时优化
   • 子空间正交 → ST最大 → 必须显式权衡

2. DRT决定"盘子"的利用效率：在给定的空间自由度分配下，信号的随机-确定性程度决定每个自由度对感知/通信的贡献

   • 完全确定性 → 感知最优，但无法承载通信信息
   • 完全随机（高斯）→ 通信最优，但感知性能受损

3. 耦合效应：ST的严重程度影响DRT的影响程度

   • 当ST很小时（子空间对齐），DRT成为主要限制
   • 当DRT很小时（接近确定性信号），ST成为主要限制

7.8 本章小结

本章深入剖析了确定性-随机权衡(DRT)的数学本质。DRT源于通信与感知对信号随机性的相反需求：通信需要随机性以承载信息，感知需要确定性以提高估计精度。率失真理论揭示了DRT的基本约束：$I({\mathbf{Y}}_s;\mathbf{\eta }|\mathbf{X})$ 的最大化要求确定性协方差矩阵。DRT与ST相互耦合，共同决定了CRB-Rate区域的形状。理解DRT是设计高效ISAC波形的关键。

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八、容量-失真理论：从率失真视角看ISAC

8.1 状态依赖信道模型

Kobayashi、Caire和Kramer于2019年提出了ISAC的第一个通用信息论模型"Joint State Estimation and Communication over State-Dependent Channels"。该模型将ISAC重新建模为状态依赖离散无记忆信道(SDMC)，为感知-通信折中提供了新的理论视角。

模型设置：

考虑一个状态依赖信道，信道状态序列记为 $S^n=(S_1,S_2,\dots ,S_n)$，发送信号序列记为 $X^n=(X_1,X_2,\dots ,X_n)$，接收信号序列记为 $Y^n=(Y_1,Y_2,\dots ,Y_n)$。反馈信号（用于感知）记为 $Z^n=(Z_1,Z_2,\dots ,Z_n)$。

信道由条件分布描述：

$$P_{YZ|XS}(y,z|x,s)$$

该分布假设为离散无记忆(DMC)，即联合分布等于各时刻分布的乘积：

$$P_{Y^n{Z}^n|X^n{S}^n}(\mathbf{y},\mathbf{z}|\mathbf{x},\mathbf{s})=\prod _{i=1}^n{P}_{YZ|XS}(y_i,z_i|x_i,s_i)$$

8.2 双功能定义

在状态依赖信道模型中，ISAC发射端同时承担两个功能：

通信功能：

• 发送消息 W ∈ { 1 , 2 , … , 2 n R } W \in \{1, 2, \ldots, 2^{nR}\} W∈{1,2,…,2nR}，其中 $R$ 为目标速率（bit/channel use）
• 接收端通过 $Y^n$ 恢复消息

感知功能：

• 通过反馈信号 $Z^n$ 估计信道状态序列 $S^n$
• 感知性能由平均失真度量：

$${\Delta }^{(n)}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\mathbb{E}[d(S_i,{\hat{S}}_i)]$$

其中 $d(\cdot ,\cdot )$ 为失真函数（如欧氏距离），${\hat{S}}_i$ 为 $S_i$ 的估计。

8.3 容量-失真-代价折中的定义

Kobayashi等人的核心定理给出了在状态依赖信道中同时通信与感知的容量极限：

定理（Kobayashi-Caire-Kramer）：容量-失真-代价折中函数定义为：

$$C(D,B)=\underset{P_X\in {\mathcal{P}}_D\cap {\mathcal{P}}_B}{\max }I(X;Y)$$

其中约束集定义为：

$${\mathcal{P}}_D=\left\{P_X:\sum _x{P}_X(x)\mathbb{E}[d(S,{\hat{s}}^{\ast }(X,Z))|X=x]\le D\right\}$$

$${\mathcal{P}}_B=\left\{P_X:\sum _x{P}_X(x)b(x)\le B\right\}$$

约束的物理含义：

• ${\mathcal{P}}_D$：输入分布必须满足平均感知失真约束 $D$，即选择的 $P_X$ 产生的感知性能不能超过目标失真
• ${\mathcal{P}}_B$：输入分布必须满足平均代价约束 $B$，如功率约束 $b(x)=|x{|}^2$

核心洞察：${\hat{s}}^{\ast }(x,z)=\arg {\min }_{s^{\prime }}{\sum }_s{P}_{S|XZ}(s|x,z)d(s,s^{\prime })$ 是最优符号级估计器，在给定信道输出 $Z$ 和发射信号 $X$ 的条件下，对状态 $S$ 进行MMSE估计。

8.4 容量-失真折中的关键性质

容量-失真折中函数 $C(D,B)$ 具有以下重要性质：

性质1：单调递减性
$C(D,B)$ 关于 $D$（允许失真增大）单调递增，关于 $B$（允许代价增大）单调递增。

性质2：凹性
$C(D,B)$ 关于 $(D,B)$ 是凹函数，这意味着最优折中曲线是凸的（从通信角度看）。

性质3：完全由 $P_X$ 决定
通信速率 $I(X;Y)$ 和感知失真 $D$ 都完全由输入分布 $P_X$ 决定。这意味着简单的非自适应编码即可实现最优折中——发射端不需要根据信道状态或反馈信息动态调整编码策略。

这一性质具有重要的工程意义：在ISAC系统中，联合设计通信编码与感知波形，可以通过选择合适的 $P_X$ 来实现，而不需要复杂的自适应机制。

8.5 与CRB-Rate框架的对比

容量-失真框架和CRB-Rate框架从不同角度刻画同一问题。下表总结了两种框架的核心区别：

对比维度	CRB-Rate框架	容量-失真框架
感知度量	CRB（参数估计方差下界）	平均失真（任意失真函数）
适用范围	参数估计问题（连续参数）	更一般（离散/连续、MSE/汉明等）
信道模型	向量高斯信道	一般DMC（离散/连续）
信号约束	功率约束	代价约束（更一般）
折中机制	ST + DRT	通过 $P_X$ 选择
数学工具	Fisher信息理论	率失真理论
典型应用	MIMO-ISAC	一般ISAC系统

8.6 两种框架的内在联系

尽管表述不同，两种框架在特定条件下是等价的：

联系1：MSE失真与CRB

当失真函数取均方误差(MSE)时，CRB给出了任何无偏估计器均方误差的下界。若存在可达CRB的无偏估计器，则：

• 容量-失真区域中的失真 $D$ → 对应可达的MSE
• CRB-Rate区域中的CRB → 对应MSE的理论下界

因此，CRB-Rate区域给出了容量-失真区域的"外界"——在相同的条件下，CRB-Rate区域的可达点也在容量-失真区域内（或边界上）。

联系2：高斯信道特例

在高斯信道和MSE失真下，两种框架完全等价。此时：

• 容量-失真折中中的最优 $P_X$ 退化为高斯分布
• 失真-速率函数 $R(D)$ 与CRB有解析关系

8.7 非协作源-信道编码的启示

Xie等人提出的非协作源-信道编码类比，为ISAC提供了深刻的物理直觉：

正向分离定理的逆命题：

经典信息论中的分离定理表明，若信源分布为 $P_S$，信道为 $P_{Y|X}$，则：

• 可达性：若 $R_s<C$（信源速率小于信道容量），则存在编码方案使失真任意小
• 不可达性：若 $R_s>C$，则任何编码方案都无法使失真低于某一下界

在ISAC感知中：

• 信源速率 → 感知互信息 $I({\mathbf{Y}}_s;\mathbf{\eta }|\mathbf{X})$
• 失真下界 → $D(I({\mathbf{Y}}_s;\mathbf{\eta }|\mathbf{X}))$

关键限制：由于目标是"非协作信源"，只能进行"字母级编码"（将每个 $\mathbf{\eta }$ 映射到 ${\mathbf{H}}_s(\mathbf{\eta })$），无法进行"块级编码"。因此，正向可达性不成立——即使 $I({\mathbf{Y}}_s;\mathbf{\eta }|\mathbf{X})$ 很大，也可能因为无法进行有效编码而无法达到小失真。

8.8 本章小结

本章从容量-失真理论视角重新审视ISAC折中。Kobayashi-Caire-Kramer定理表明，容量-失真折中完全由输入分布 $P_X$ 决定——选择不同的 $P_X$ 可以在通信速率和感知失真之间折中。这一框架与CRB-Rate框架互补：在MSE失真和高斯信道下，CRB-Rate区域是容量-失真区域的特例。理解两种框架的联系与区别，有助于在不同场景下选择合适的分析工具。

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九、MIMO-ISAC的信息论扩展

9.1 空间自由度分配的基本框架

在MIMO-ISAC系统中，发射端配备 $N_t$ 根天线，空间自由度(DOF)成为ST的核心载体。与SISO系统相比，MIMO系统引入了额外的空间维度，使得感知与通信的资源分配更加灵活。

设通信信道 ${\mathbf{H}}_c$ 的秩为 $r_c$，感知信道 ${\mathbf{H}}_s(\mathbf{\eta })$ 的秩为 $r_s$，则：

$$\text{通信DOF}=r_c,\text{感知DOF}=r_s,\text{可用DOF}=N_t$$

三种情形：

情形1：$r_c+r_s\le N_t$（DOF充裕）
感知与通信可完全解耦——分别在不同的子空间中操作，无ST。此时协方差矩阵可分解为：

$${\mathbf{R}}_{\mathbf{X}}^{\ast }={\mathbf{R}}_c+{\mathbf{R}}_s$$

其中 ${\mathbf{R}}_c$ 仅在通信子空间 ${\mathcal{S}}_c$ 中非零，${\mathbf{R}}_s$ 仅在感知子空间 ${\mathcal{S}}_s$ 中非零。这种分解称为子空间分离，是联合设计的最优策略。

情形2：$r_c+r_s>N_t$（DOF受限）
两者必须共享部分子空间，ST出现。此时联合优化问题变为：

$$\underset{{\mathbf{R}}_{\mathbf{X}}}{\max }\alpha I(\mathbf{X};{\mathbf{Y}}_c)+(1-\alpha )\frac{1}{\text{CRB}(\mathbf{\eta })}\text{s.t.}\text{Tr}({\mathbf{R}}_{\mathbf{X}})\le P,{\mathbf{R}}_{\mathbf{X}}⪰0$$

其中 $\alpha \in [0,1]$ 为权重因子，控制通信与感知的优先级。

9.2 联合波束赋形的理论增益

联合波形相对于时分复用(TDM)的理论增益上界可推导为：

$$G_{\text{joint/TDM}}\le \frac{N_t}{N_t-\dim ({\mathcal{S}}_c\cap {\mathcal{S}}_s)}$$

增益的物理含义：

• 分子 $N_t$：总可用空间维度
• 分母 $N_t-\dim ({\mathcal{S}}_c\cap {\mathcal{S}}_s)$：感知"占用"后的剩余维度

直观理解：

• 当 $\dim ({\mathcal{S}}_c\cap {\mathcal{S}}_s)=0$（子空间正交）时，增益 $=1$（无增益）
• 当 $\dim ({\mathcal{S}}_c\cap {\mathcal{S}}_s)=N_t$（子空间完全重叠）时，增益 $=\infty$（理论上无限增益，但受其他因素限制）

9.3 多天线组播信道的CRB-Rate区域

Ren等人"Fundamental CRB-Rate Tradeoff in Multi-Antenna Multicast Channel with ISAC"研究了多天线组播信道下的CRB-Rate折中，其中基站同时向多个用户发送公共消息并感知扩展目标。

系统模型：

$${\mathbf{Y}}_{c,k}={\mathbf{h}}_k^H\mathbf{X}+{\mathbf{Z}}_k,k=1,2,\dots ,K$$

其中 $K$ 为用户数，${\mathbf{h}}_k$ 为第 $k$ 个用户的上行信道（假设互易性）。

主要结论：

1. 最优协方差结构：最优协方差矩阵为满秩，由两部分组成：
   $${\mathbf{R}}_{\mathbf{X}}^{\ast }={\mathbf{R}}_c+{\mathbf{R}}_s$$

   • ${\mathbf{R}}_c$：信息承载信号，服务通信
   • ${\mathbf{R}}_s$：专用感知信号，专门用于感知

2. 半闭式解：通过Lagrange对偶方法，最优协方差可解析表达，避免了复杂的非凸优化。

3. Pareto边界：联合优化可在通信速率和感知CRB之间获得Pareto边界。

9.4 Massive MIMO场景下的ISAC特性

在Massive MIMO（$N_t\to \infty$）条件下，ISAC信息论出现一些新特征：

特征1：近场效应

当阵列孔径增大或感知距离减小时，球面波前不可忽略。传统的平面波模型（仅角度参数）需要扩展为球面波模型：

$$\mathbf{a}(\theta ,r)\approx \frac{1}{\sqrt{N_t}}{\left[1,e^{j\frac{2\pi }{\lambda }(r_2-r_1)},\dots ,e^{j\frac{2\pi }{\lambda }(r_{N_t}-r_1)}\right]}^T$$

其中 $r_i$ 为第 $i$ 个天线到目标的距离。球面波模型引入额外的距离参数，Fisher信息维度从3（角度、时延、多普勒）增加到4（增加距离）。

特征2：信道硬化

Massive MIMO中，当天线数足够大时，信道矩阵的列向量趋向于相互正交，信道硬化效应使通信信道趋于确定性：

$$\frac{1}{N_t}{\mathbf{H}}_c{\mathbf{H}}_c^H\stackrel{N_t\to \infty }{\to }\mathbf{I}$$

信道硬化意味着：即使发射确定性信号，通信Rx也能获得可靠的信道状态信息。通信不再需要信号具有强随机性——确定性信道下，确定性信号也可传输信息。这在一定程度上减轻了DRT的影响。

特征3：DOF丰富化

当 $N_t\gg r_c+r_s$ 时，空间DOF变得"充裕"，ST几乎消失。感知与通信可在各自子空间中独立优化，不需要显式权衡。

9.5 混合预编码架构

实际MIMO-ISAC系统通常采用混合预编码架构，以降低硬件复杂度和能耗：

$$\mathbf{X}={\mathbf{F}}_{RF}{\mathbf{F}}_{BB}\mathbf{s}$$

其中：

• $\mathbf{s}\in {\mathbb{C}}^{N_s\times 1}$：基带数据流（$N_s\le N_{RF}\le N_t$）
• ${\mathbf{F}}_{BB}\in {\mathbb{C}}^{N_{RF}\times N_s}$：数字基带预编码矩阵
• ${\mathbf{F}}_{RF}\in {\mathbb{C}}^{N_t\times N_{RF}}$：模拟射频预编码矩阵（恒模约束）
• $N_{RF}$：射频链路数量

ISAC混合预编码的特殊挑战：

1. 模拟预编码的恒模约束与感知信号设计冲突
2. 联合设计 ${\mathbf{F}}_{RF}$ 和 ${\mathbf{F}}_{BB}$ 需要同时满足通信和感知需求
3. 子空间对齐可能受限于 ${\mathbf{F}}_{RF}$ 的结构

9.6 本章小结

本章将ISAC信息论扩展到MIMO场景。当 $r_c+r_s\le N_t$ 时，感知与通信可完全解耦（子空间分离）；当 $r_c+r_s>N_t$ 时，ST出现。Massive MIMO带来新特性：近场球面波效应、信道硬化减轻DRT、DOF充裕化ST消失。混合预编码架构在实际系统中有重要应用，但面临恒模约束与联合设计的挑战。

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十、不同复用方式的理论极限对比

10.1 四种主要复用策略

ISAC系统中，感知与通信共享信号资源的方式主要有四种策略。每种策略在实现复杂度与理论性能之间有不同的权衡。

策略1：时分复用(TDM)

在时域上划分不同时隙，分别服务感知和通信：

• 时隙 $t\in [0,\tau )$：发射感知信号 ${\mathbf{X}}_s$
• 时隙 $t\in [\tau ,T]$：发射通信信号 ${\mathbf{X}}_c$

优势：

• 实现简单，无自干扰
• 感知与通信可独立优化至各自最优
• 适用于对时延不敏感的场景

劣势：

• 时间资源分配存在固有效率损失
• 时分复用比例固定，灵活性差

策略2：频分复用(FDM)

在频域上划分不同子载波，分别服务感知和通信：

• 子载波 $f\in {\mathcal{F}}_s$：发射感知信号
• 子载波 $f\in {\mathcal{F}}_c$：发射通信信号

优势：

• 感知与通信可并行处理
• 可实现全双工效果（无时延损失）

劣势：

• 带宽需要划分，频谱效率降低
• 滤波器设计复杂度增加
• 难以利用频率分集

策略3：空分复用(SDM)

利用空间维度的差异，分别服务感知和通信：

• 波束 $k\in {\mathcal{K}}_s$：指向感知目标
• 波束 $m\in {\mathcal{M}}_c$：指向通信用户

优势：

• 充分利用MIMO的空间自由度
• 可实现高角度分辨率感知

劣势：

• 子空间不对齐时受限
• 多波束设计复杂度高

策略4：联合波形

同一信号同时服务感知和通信：
$$\mathbf{X}=\alpha {\mathbf{X}}_c+(1-\alpha ){\mathbf{X}}_s$$

优势：

• 频谱效率最高
• 无需牺牲任一功能的资源

劣势：

• DRT导致感知性能损失
• 需要精心设计以平衡ST和DRT

10.2 四种策略的数学对比

下表从理论极限角度对比四种策略：

策略	通信可达速率	感知可达CRB	实现复杂度
TDM	$R_c=\tau C_c$	${ϵ}_s=(1-\tau ){\text{CRB}}_s^{\ast }$	低
FDM	$R_c=\frac{B_c}{B}{C}_c$	${ϵ}_s=\frac{B_s}{B}{\text{CRB}}_s^{\ast }$	中
SDM	$R_c=\min (r_c,N_t-r_s)C_c$	${ϵ}_s={\text{CRB}}_s^{\ast }(r_s/N_t)$	高
联合波形	$R_c\le C_c$	${ϵ}_s\ge {\text{CRB}}_s^{\ast }$	高

其中 $C_c$ 和 ${\text{CRB}}_s^{\ast }$ 分别是无感知约束的通信容量和感知最优CRB。

10.3 "自由午餐"的边界

联合波形是否总是优于TDM/FDM/SDM？信息论给出的答案是：取决于子空间对齐程度和DRT的相对影响。

直觉判断：

• 子空间对齐时：联合波形的增益最大，因为感知和通信共享相同的空间自由度，不存在资源浪费。此时 $G_{\text{subspace}}>1$，$G_{\text{randomness}}\approx 1$，联合波形明显优于TDM。
• 子空间正交时：联合波形退化为SDM，无额外增益。此时 $G_{\text{subspace}}=1$，联合波形与SDM等价。
• DRT主导时：联合波形因随机性导致感知性能显著下降。此时 $G_{\text{randomness}}\ll 1$，可能不如TDM。

10.4 联合波形增益的量化表达

联合波形相对于TDM的增益可概念性表达为：

$$G_{\text{joint/TDM}}=\underset{\text{ST贡献}}{\underbrace{G_{\text{subspace}}}}\times \underset{\text{DRT损失}}{\underbrace{G_{\text{randomness}}}}$$

其中：

• $G_{\text{subspace}}\ge 1$：子空间共享带来的增益，与子空间重叠程度正相关
• $G_{\text{randomness}}\le 1$：随机性带来的感知性能损失，与DRT强度负相关

当 $G_{\text{subspace}}\times G_{\text{randomness}}>1$ 时，联合波形优于TDM。

10.5 时间共享与联合波形的关系

从容量-失真理论来看，TDM等价于**时间共享(time-sharing)**策略——在不同时隙使用不同的 $P_X$，分别优化通信和感知。

时间共享策略可达的CRB-Rate区域为**凸包(conv hull)**结构。设 $P_{SC}$ 和 $P_{CS}$ 分别为感知优先和通信优先角点，则时间共享可达区域为：

R TS = conv { ( 0 , C max ⁡ ) , P C S , P S C , ( CRB min ⁡ , 0 ) , ( 0 , 0 ) } \mathcal{R}_{\text{TS}} = \text{conv}\left\{(0, C_{\max}), P_{CS}, P_{SC}, (\text{CRB}_{\min}, 0), (0, 0)\right\} RTS​=conv{(0,Cmax​),PCS​,PSC​,(CRBmin​,0),(0,0)}

这是一个五边形区域，代表了所有凸组合 $(1-\lambda )P_{SC}+\lambda P_{CS}$，$\lambda \in [0,1]$。

联合波形可达区域 ${\mathcal{R}}_{\text{ISAC}}$ 可能突破这一五边形——当且仅当联合波形在某个 $(ϵ,R)$ 点上同时优于时间共享的两个端点。这要求联合设计能够找到一种信号分布 $P_X$，使得通信和感知性能都在时间共享边界之外。

10.6 实际系统的策略选择

在实际系统中，策略选择应综合考虑以下因素：

因素	推荐策略
感知精度要求极高	TDM（可独立优化感知）
通信速率要求极高	TDM（可独立优化通信）
感知与用户方向一致	联合波形
子空间不正交但重叠小	SDM或联合波形
短帧/低时延场景	联合波形（避免切换开销）
硬件复杂度受限	TDM或FDM

10.7 本章小结

本章系统对比了四种ISAC复用策略。TDM/FDM/SDM通过资源划分实现功能解耦，实现简单但资源效率低；联合波形通过信号共享实现效率最大化，但受DRT限制。联合波形的增益取决于 $G_{\text{subspace}}\times G_{\text{randomness}}$——子空间共享增益与随机性损失的乘积。实际系统应根据信道条件、精度要求和硬件约束选择合适的策略。

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十一、前沿开放问题与未来方向

11.1 语义级ISAC的信息论

当前ISAC信息论框架基于比特级通信和参数级感知。然而，随着语义通信的兴起，一个自然而重要的问题是：在语义级ISAC中，折中的数学结构是什么？

语义通信的核心特点：

• 通信关注"含义"而非"比特"，其性能度量可能是任务完成度
• 语义信息比比特信息更"紧凑"，相同信息量可由更少比特表示
• 语义编码器可能引入额外的结构，降低信息熵

语义感知的核心特点：

• 感知关注"场景理解"而非"参数估计"
• 失真度量可能是语义分割准确率、目标检测精度等高层指标
• 语义特征空间可能具有不同的几何结构

开放问题：

1. 语义级DRT是否比比特级DRT更轻？语义信息是否本质上更"确定性"？
2. 语义感知与语义通信之间是否存在新的协同机会？
3. 如何定义语义级ISAC的统一信息论框架？

11.2 AI生成信道下的ISAC信息论

当通信或感知信道由AI模型（如生成式信道模型）描述时，传统信息论框架面临根本性挑战。

传统信息论的假设：

• 信道分布 $P_{Y|X}(y|x)$ 是已知且固定的
• Fisher信息、互信息等度量可精确计算
• 大数定律保证渐近可靠性

AI信道模型的特点：

• 信道分布由神经网络隐式定义，难以解析表达
• 模型泛化误差引入额外的信道不确定性
• 信道分布可能随环境变化而漂移

开放问题：

1. 鲁棒性：在模型失配下，理论极限是否仍可达？如何量化失配损失？
2. 感知可靠性：AI生成的信道分布是否可靠地反映物理世界？感知结论的可信度如何评估？
3. 在线适应：面对信道漂移，如何设计自适应ISAC策略？

11.3 网络级ISAC的信息论

单基站ISAC的信息论已相对成熟，但网络级（多基站协作）ISAC的信息论仍处于起步阶段。

多接入ISAC信道：

多个发射端同时进行感知和通信，干扰结构极为复杂：

$${\mathbf{Y}}_{c,k}=\sum _{j=1}^J{\mathbf{H}}_{kj}{\mathbf{X}}_j+{\mathbf{Z}}_k,k=1,\dots ,K$$

其中 $J$ 个发射端，$K$ 个接收端。如何刻画多用户CRB-Rate区域是开放问题。

Cell-free ISAC：

分布式接入点(AP)协作进行感知，感知精度取决于多节点观测的融合方式：

1. 集中式融合：所有AP将原始数据发送给中央处理器
2. 分布式融合：AP之间交换压缩后的统计量
3. 去中心化融合：无需信息交换，仅基于本地观测

开放问题：

1. 多基站协作感知的DOF如何定义？
2. 协作感知的容量-失真折中是否不同于单站场景？
3. 如何在感知精度与通信开销之间权衡？

11.4 安全约束下的ISAC

当感知与通信存在隐私冲突时（例如通信用户不希望被感知），信息论需要同时考虑保密性约束。

保密-感知-通信三方折中：

通信发射端希望：

1. 与合法接收端保持高通信速率
2. 最小化窃听者（可能是非协作感知接收端）获取的信息
3. 同时满足感知精度要求

数学上，保密通信速率定义为：

$$R_{\text{secure}}=I(\mathbf{X};{\mathbf{Y}}_c)-I(\mathbf{X};{\mathbf{Y}}_e)$$

其中 ${\mathbf{Y}}_e$ 为窃听者的观测。

开放问题：

1. 保密-感知-通信三方的Pareto边界如何刻画？
2. 感知本身是否会泄露通信信息？如何量化这种"侧信道"？
3. 是否存在同时提升保密性、感知精度和通信速率的"三全其美"方案？

11.5 有限块长理论

传统信息论假设渐近长码字（$n\to \infty$），但实际系统受时延约束，码字长度有限（$n<100$ symbols）。在有限块长(Finite Blocklength, FBL) regime下：

通信性能的新度量：

$$R\approx C-\sqrt{\frac{V}{n}}{Q}^{-1}(ϵ)+o(1)$$

其中 $C$ 为容量，$V$ 为信道色散，$ϵ$ 为误码率，$Q^{-1}$ 为Q函数的逆函数。

感知性能的新度量：

有限块长下的CRB修正需要考虑：

• 样本协方差矩阵的波动
• 参数估计的有偏性
• 非渐近界（如Cramér型界）

开放问题：

1. FBL下ISAC的率-CRB折中是否仍保持相同结构？
2. 短包通信（如URLLC）与高精度感知的兼容条件是什么？
3. 如何设计FBL下的ISAC联合编码？

11.6 本章小结

本章探讨了ISAC信息论的五个前沿开放问题：语义级ISAC、AI生成信道、网络级ISAC、安全约束下的ISAC，以及有限块长理论。这些问题代表了ISAC从理论走向实用化的关键挑战，需要信息论、估计论、机器学习和优化理论的深度交叉。

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十二、总结：从"手电筒"到"投影仪"

12.1 核心结论回顾

回到本文的标题比喻：

"手电筒"模式：传统的TDM/FDM/SDM方案，感知和通信各自照亮一个方向——简单但效率受限。手电筒的光束（有限的发射功率和空间自由度）必须在不同方向之间分配。

"投影仪"模式：联合波形方案，一套信号同时"投影"出感知和通信两幅画面——高效但需要精心设计。投影仪的核心挑战是同时管理两个关键技术权衡。

12.2 双重权衡：ISAC的数学本质

从信息论的角度，联合波形方案的最优设计由双重权衡决定：

权衡一：子空间权衡(ST)

ST决定了"投影"的光束方向。感知信道 ${\mathcal{S}}_s$ 与通信信道 ${\mathcal{S}}_c$ 的子空间对齐程度决定了共享DOF的多少：

$$\text{ST}\propto \dim ({\mathcal{S}}_c\cap {\mathcal{S}}_s)$$

• 完全对齐 → 无ST → 联合设计无额外代价
• 完全正交 → ST最大 → 必须显式权衡

权衡二：确定性-随机权衡(DRT)

DRT决定了"投影"的光束质量。信号的随机性在承载通信信息和损害感知性能之间存在根本矛盾：

$$\text{DRT: }\text{信号随机性}\{\begin{array}{l}\uparrow \Rightarrow \text{通信容量}\uparrow \\ \uparrow \Rightarrow \text{感知CRB}\uparrow \end{array}$$

DRT的根源在于信息论（Shannon容量）与估计论（Cramér-Rao界）对信号随机性的相反需求。

12.3 两条理论主线的统一

本文介绍了刻画ISAC折中的两条理论主线：

框架	CRB-Rate区域	容量-失真折中
核心度量	$(ϵ,R)$	$(D,C)$
理论基础	Fisher信息 + 互信息	率失真理论
优势	连续参数估计精确刻画	一般性（离散/连续）
联系	MSE失真下界	CRB给出下界

两者从不同角度揭示了同一本质：在ISAC中，没有免费的午餐，但联合设计可以比时间共享更高效，前提是充分利用子空间对齐带来的增益，并精心管理信号的随机性。

12.4 工程设计启示

本文的理论分析为ISAC工程实践提供了以下启示：

启示1：信道条件评估是关键

ISAC增益高度依赖于感知信道与通信信道的空间对齐程度。在部署前，应通过信道探测评估：

• $\dim ({\mathcal{S}}_c\cap {\mathcal{S}}_s)$ 的大小
• DRT对感知精度的影响
• 选择TDM/联合波形的最优切换点

启示2：帧长设计需权衡

• 长帧长（$T\gg N_t$）：DRT的影响趋于消失，主要受ST限制
• 短帧长（$T\sim N_t$）：DRT不可忽略，需要精心设计信号分布

启示3：Massive MIMO减轻DRT

Massive MIMO的信道硬化效应使DRT的影响减轻，可以更放心地采用联合波形设计。

启示4：混合架构是务实选择

在实现复杂度与性能之间，混合TDM-联合波形架构可能是近期可行的折中方案。

12.5 未来研究方向

随着6G标准化的推进，ISAC从理论走向实践的关键挑战在于：

1. 实际约束下的逼近：如何在有限帧长、非理想CSI、多用户干扰等实际约束下，逼近信息论预测的性能边界？

2. 标准化与产业化：3GPP/ITU-R等标准化组织正在推进ISAC技术规范，如何将理论成果转化为标准提案？

3. 跨学科融合：ISAC研究需要信号处理、优化理论、信息论、雷达工程和通信工程的深度交叉。

12.6 结语

ISAC代表着6G时代无线系统设计的范式转变——从功能分离到功能融合，从资源独占到资源共享。这一转变的成败，取决于我们能否深入理解并有效管理其内在的双重权衡。子空间权衡与确定性-随机权衡，正是这一"权衡的艺术"的数学表达。

正如古人所言："鱼与熊掌，不可兼得。"但信息论告诉我们：可以通过精心设计的数学结构，在"鱼"与"熊掌"之间找到最优的折中点。这正是ISAC信息论的价值所在。

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参考文献

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[3] Z. Ren, X. Song, Y. Fang, L. Qiu, and J. Xu, “Fundamental CRB-Rate Tradeoff in Multi-Antenna Multicast Channel with Integrated Sensing and Communications,” IEEE Trans. Commun., 2023. arXiv:2205.15615

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[7] M. Ahmadipour, M. Kobayashi, M. Wigger, and G. Caire, “An Information-Theoretic Approach to Joint Sensing and Communication,” IEEE Trans. Inf. Theory, vol. 68, no. 12, pp. 7886-7908, Dec. 2022.

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[10] M. Wigger, et al., “Exploring Integrated Sensing and Communications: Information-Theoretic Insights and Open Problems,” Entropy, vol. 27, no. 4, 2025. PMC12026050

[11] Z. Ren, et al., “Sensing With Random Signals: Analysis and Design of Integrated Sensing and Communications,” IEEE Trans. Signal Process., vol. 72, pp. 1343-1358, 2024. arXiv:2309.02375

[12] F. Liu and C. Masouros, “Integration of Radar and Communications: From Fundamental Tradeoffs to Collaborative Beamforming,” IEEE Signal Process. Mag., vol. 40, no. 5, pp. 39-59, Sep. 2023.

[13] A. R. Chiriyath, B. Paul, G. M. Jacyna, and D. W. Bliss, “Inner Bounds on Performance of Radar and Communications Co-Design,” IEEE Trans. Signal Process., vol. 64, no. 2, pp. 464-470, Jan. 2016.

[14] B. Tang and J. Li, “Spectrally Constrained MIMO Radar Waveform Design Based on Mutual Information,” IEEE Trans. Signal Process., vol. 67, no. 4, pp. 821-834, Feb. 2019.

[15] J. Li, J. Xu, P. Stoica, K. W. Forsythe, and D. W. Bliss, “Range Compression and Waveform Optimization in MIMO Radar: A DRT-Based Approach,” IEEE Trans. Signal Process., vol. 56, no. 12, pp. 5921-5935, Dec. 2008.

[16] 刘凡等, 《通感一体化：6G愿景与技术路线》, 人民邮电出版社, 2024.

[17] ISAC通感一体化前沿调研报告, 通信哲匠内部资料, 2026.

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💡 延伸阅读推荐：

• Xie et al., “On the Fundamental Tradeoff of ISAC Under Gaussian Channels” (arXiv:2204.06938)
• Kobayashi et al., “Joint State Estimation and Communication over State-Dependent Channels” (IEEE Trans. IT, 2019)

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