一、实验目标

在本实验中，你将学习：

• 实现基于单变量的线性回归模型
• 理解模型参数 w（权重）和 b（偏置）的作用
• 使用训练好的模型进行房价预测

二、问题陈述

我们将使用课程中的房价预测例子：

面积 (1000 sqft)	价格 (1000s of dollars)
1.0	300

| 2.0 | 500 |

通过这两个数据点，我们想要拟合一条直线（线性回归模型），然后用它来预测其他面积的房价，比如1200平方英尺的房子。

三、环境准备

3.1 安装依赖库

3.1.1、在PycharmProjects里面创建test.ipynb文件

pip install numpy matplotlib

3.2 导入库

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

四、实验步骤

4.1 创建训练数据集

# x_train: 房屋面积（单位：1000平方英尺）
# y_train: 房屋价格（单位：1000美元）
x_train = np.array([1.0, 2.0])
y_train = np.array([300.0, 500.0])

print(f"x_train = {x_train}")
print(f"y_train = {y_train}")

运行结果：

x_train = [1. 2.]
y_train = [300. 500.]

4.2 查看训练样本数量

print(f"x_train.shape: {x_train.shape}")
m = x_train.shape[0]
print(f"训练样本数量是: {m}")

运行结果：

x_train.shape: (2,)
训练样本数量是: 2

4.3 绘制数据点

plt.scatter(x_train, y_train, marker='x', c='r')
plt.title("房价数据")
plt.ylabel('价格 (千美元)')
plt.xlabel('面积 (千平方英尺)')
plt.show()

输出图像：

图中显示了两个红色的叉号，分别代表(1.0, 300)和(2.0, 500)两个数据点。

4.4 定义线性回归模型函数

线性回归模型公式为：f_wb(x) = w * x + b

def compute_model_output(x, w, b):
    """
    计算线性模型的预测值
    
    参数:
      x (ndarray (m,)): 包含m个样本的数据
      w, b (scalar)    : 模型参数
    
    返回:
      y (ndarray (m,)): 预测值
    """
    m = x.shape[0]
    f_wb = np.zeros(m)
    for i in range(m):
        f_wb[i] = w * x[i] + b
    return f_wb

4.5 尝试不同的参数

我们先尝试 w = 100, b = 100，看看这条直线是否适合我们的数据：

w = 100
b = 100
tmp_f_wb = compute_model_output(x_train, w, b)

plt.plot(x_train, tmp_f_wb, c='b', label='我们的预测')
plt.scatter(x_train, y_train, marker='x', c='r', label='实际数据')
plt.title("房价预测 (w=100, b=100)")
plt.ylabel('价格 (千美元)')
plt.xlabel('面积 (千平方英尺)')
plt.legend()
plt.show()

输出图像：

可以看到，蓝色直线并没有穿过两个红色数据点，说明参数 w=100, b=100 不合适。

4.6 找到合适的参数

通过计算斜率：

• 斜率 = (500 - 300) / (2 - 1) = 200
• 代入第一个点：300 = 200 × 1 + b → b = 100

所以正确答案是 w = 200, b = 100。

w = 200
b = 100
tmp_f_wb = compute_model_output(x_train, w, b)

plt.plot(x_train, tmp_f_wb, c='b', label='我们的预测')
plt.scatter(x_train, y_train, marker='x', c='r', label='实际数据')
plt.title("房价预测 (w=200, b=100)")
plt.ylabel('价格 (千美元)')
plt.xlabel('面积 (千平方英尺)')
plt.legend()
plt.show()

输出图像：

现在蓝色直线完美地穿过了两个红色数据点，说明我们找到了合适的参数。

4.7 使用模型进行预测

预测1200平方英尺（即1.2千平方英尺）的房价：

w = 200
b = 100
x_i = 1.2
price = w * x_i + b

print(f"预测价格: ${price:.0f} 千美元")

运行结果：

预测价格: $340 千美元

五、实验总结

通过本实验，你学到了：

知识点	说明
线性回归模型	建立特征（面积）与目标（价格）之间的线性关系
模型参数	w（权重）和 b（偏置），通过训练数据来拟合
模型预测	参数确定后，可以用模型对新数据进行预测

六、完整代码

以下是本实验的完整代码（可直接复制运行）：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 1. 创建训练数据
x_train = np.array([1.0, 2.0])
y_train = np.array([300.0, 500.0])

# 2. 定义模型函数
def compute_model_output(x, w, b):
    m = x.shape[0]
    f_wb = np.zeros(m)
    for i in range(m):
        f_wb[i] = w * x[i] + b
    return f_wb

# 3. 找到合适的参数 w=200, b=100
w = 200
b = 100

# 4. 计算预测值并绘图
tmp_f_wb = compute_model_output(x_train, w, b)

plt.plot(x_train, tmp_f_wb, c='b', label='预测')
plt.scatter(x_train, y_train, marker='x', c='r', label='实际数据')
plt.title("房价预测")
plt.ylabel('价格 (千美元)')
plt.xlabel('面积 (千平方英尺)')
plt.legend()
plt.show()

# 5. 预测1200平方英尺的房价
x_i = 1.2
price = w * x_i + b
print(f"预测价格: ${price:.0f} 千美元")

七、思考题

问题：三个数据点 (1,300)、(2,500)、(3,700) 时，w 和 b 应该是多少？
计算斜率（任选两点）：

用 (1,300) 和 (2,500)：

w = (500-300)/(2-1) = 200

代入求 b：

300 = 200×1 + b → b = 100

验证第三个点：

x=3：200×3+100 = 700 ✅

答案：w=200, b=100

结论：这三个点恰好在同一条直线上，所以存在一条直线同时穿过三个点。

如果三个点不在同一条直线上怎么办？
例如 (1,300)、(2,500)、(3,650)：

用前两个点算出 w=200, b=100

但 x=3 时预测值为 700，实际为 650，误差为 50

这时没有任何一条直线能同时穿过三个点。机器学习要做的就是找到一条误差最小的直线，这正是梯度下降算法要解决的问题。

八、实验结论

知识点 说明
线性回归模型 建立特征与目标之间的线性关系：f(x) = w×x + b
w（权重） 控制直线的斜率，决定每单位特征变化对预测值的影响
b（偏置） 控制直线的截距，决定特征为0时的基准预测值
模型拟合 两个数据点可以唯一确定一条直线，需要找到正确的 w 和 b
模型预测 参数确定后，可以对新数据进行预测