推导一下 等差数列 和 等比数列 的通项公式与求和公式。

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一、等差数列（Arithmetic Sequence）

设等差数列为：

$$a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n,\dots$$

其中 首项为 $a_1$，公差为 $d$。

1. 通项公式推导

由定义：

$$a_2=a_1+d,a_3=a_2+d=a_1+2d,\dots$$

推得：

$$a_n=a_1+(n-1)d$$

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2. 求和公式推导

前 $n$ 项和：

$$S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n$$

写两遍，一正一反：

$$S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\cdots +[a_1+(n-1)d]$$

$$S_n=[a_1+(n-1)d]+[a_1+(n-2)d]+\cdots +a_1$$

逐项相加：

$$2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+\cdots +(a_n+a_1)$$

一共有 $n$ 对：

$$2S_n=n(a_1+a_n)$$

$$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$$

代入 $a_n=a_1+(n-1)d$，得：

$$S_n=\frac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]$$

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二、等比数列（Geometric Sequence）

设等比数列为：

$$a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n,\dots$$

其中 首项为 $a_1$，公比为 $q$。

1. 通项公式推导

由定义：

$$a_2=a_{1}q,a_3=a_{2}q=a_1{q}^2,\dots$$

推得：

$$a_n=a_1{q}^{n-1}$$

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2. 求和公式推导

前 $n$ 项和：

$$S_n=a_1+a_{1}q+a_1{q}^2+\cdots +a_1{q}^{n-1}$$

如果 $q\ne 1$，将等式乘以 $q$：

$$q{S}_n=a_{1}q+a_1{q}^2+\cdots +a_1{q}^n$$

相减：

$$S_n-q{S}_n=a_1-a_1{q}^n$$

$$S_n(1-q)=a_1(1-q^n)$$

$$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q},(q\ne 1)$$

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3. 特殊情况（无穷等比数列）

若 $|q|<1$，则当 $n\to \infty$：

$$S=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\frac{a_1}{1-q}$$

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✅ 总结：

• 等差数列：

$$a_n=a_1+(n-1)d,S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)=\frac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]$$

• 等比数列：

$$a_n=a_1{q}^{n-1},S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}(q\ne 1),S_{\infty }=\frac{a_1}{1-q}(|q|<1)$$

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要不要我帮你画一张 公式推导的逻辑图（像思维导图那样）？