线性代数知识汇总，零基础入门到精通，收藏这篇就够了

leah126

7961人浏览 · 2025-08-05 08:39:30

leah126 · 2025-08-05 08:39:30 发布

1. 线性代数知识图谱

线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系意即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有 n个未知量的一次方程称为线性方程。变于关量是一次的函数称为线性函数。线性关系问题简称线性问题。解线性方程组的问题是最简单的线性问题。

线性（linear）指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数

非线性（non-linear）则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数。

行列式非零 $\Leftrightarrow$ 矩阵可逆 $\Leftrightarrow$ 方阵满秩 $\Leftrightarrow$ 向量组满秩（向量个数等于维数）。

2. 行列式

2.1 定义

  矩阵的行列式，determinate（简称det），是基于矩阵所包含的行列数据计算得到的一个标量。是为求解线性方程组而引入的。

2.2 二阶行列式

  计算方式：对角线法则

  ![](https://img-blog.csdn.net/20161127170020443)

2.3 三阶行列式

  计算方式：对角线法则

  ![](https://img-blog.csdn.net/20161127170302327)

2.4 n阶行列式

2.4.1 计算排列的逆序数

  ![](https://img-blog.csdn.net/20161127171146792)

2.4.2 计算n阶行列式

  ![](https://img-blog.csdn.net/20161127171514391)

2.4.3 简化计算总结

2.4.4 行列式的3种表示方法

2.5 行列式的性质

性质1 行列式与它的转置行列式相等
注：行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.

性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号
推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零

性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数k，等于用数k乘以此行列式.
推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．

性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．

性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,则等于对应的两个行列式之和.

性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．

2.6 计算行列式的方法

 1）利用定义  
 2）利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值

定理中包含着三个结论：  
   1）方程组有解；（解的存在性）   
   2）解是唯一的；（解的唯一性）  
   3）解可以由公式(2)给出.

定理4 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解,而且解是唯一的 .
定理4′ 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.

齐次线性方程组的相关定理
定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式D不等于0，则齐次线性方程组只有零解，没有非零解.
定理5′ 如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为零.

1. 用克拉默法则解线性方程组的两个条件
1) 方程个数等于未知量个数；
2) 系数行列式不等于零.

2. 克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系．它主要适用于理论推导．

2.8 行列式按行(列)展开

  对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.  
  本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式.

3. 矩阵

3.1 矩阵的定义

3.1.1 矩阵与行列式的区别

3.2 特殊矩阵

3.3 矩阵与线性变换

3.4 矩阵的运算

3.4.1 矩阵的加法

行列式与矩阵加法的比较：

3.4.2 数乘矩阵

3.4.3 矩阵与矩阵相乘

3.4.4 矩阵的转置

反对称矩阵(skew symmetric matrix)

3.4.5 方阵的行列式

3.4.6 伴随矩阵

3.4.7 共轭矩阵

3.5 可逆矩阵(或称非奇异矩阵)

3.6 矩阵分块法

分块矩阵不仅形式上进行转置，而且每一个子块也进行转置．

4. 矩阵的初等变换与线性方程组

4.1 矩阵的初等变换

4.2 矩阵之间的等价关系

4.3 初等变换与矩阵乘法的关系

4.4 矩阵的秩

4.5 线性方程组的多解

4. 向量组的线性相关性

4.1 向量组及其线性组合

4.2 向量组的线性相关性

4.3 向量组的秩

结论：矩阵的最高阶非零子式一般不是唯一的，但矩阵的秩是唯一的．

4.4 线性方程组的解的结构

问题：什么是线性方程组的解的结构？

答：所谓线性方程组的解的结构，就是当线性方程组有无限多个解时，解与解之间的相互关系．

备注：
1）当方程组存在唯一解时，无须讨论解的结构．
2）下面的讨论都是假设线性方程组有解．

4.5 向量空间

4.5.1 封闭的概念

     定义：所谓封闭，是指集合中任意两个元素作某一运算得到的结果仍属于该集合．

4.5.2 向量空间的概念

     定义：设 V 是 n 维向量的集合，如果  
     ① 集合 V 非空，  
     ② 集合 V 对于向量的加法和乘数两种运算封闭，  
         具体地说，就是：  
         若 a ∈ V， b ∈ V，则a + b ∈ V ．（对加法封闭）  
         若 a ∈ V， l ∈ R，则 l a ∈ V ．（对乘数封闭）  
         那么就称集合 V 为向量空间．

4.5.3 子空间的概念

     定义：如果向量空间 V 的非空子集合 V1 对于 V 中所定义的加法及乘数两种运算是封闭的，则称 V1 是 V 的子空间．

4.5.4 向量空间的基的概念

相似矩阵及二次型

5.1 向量的内积、长度及正交性

5.1.1 向量的内积

5.1.2 向量的长度或范数

单位向量：长度为1的向量。

5.1.3 向量的正交性

向量正交：向量内积为0。

5.1.4 正交矩阵或正交阵

5.1.5 正交矩阵的性质

5.2 方阵的特征值与特征向量

5.2.1 正定矩阵/半正定矩阵

1）矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于等于零(>=0)。

2）矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零(>0)。

5.3 相似矩阵

5.4 对称矩阵的对角化

5.5 二次型及其它标准型

  ![](https://img-blog.csdn.net/20161129162832621)

计算机热门就业方向

从目前市场情况来讲，网络安全的就业前景是非常不错的，2022年的统计数据，网络安全专业的缺口已经增长到140万人。

1、就业岗位多，发展方向广

①就业环境：网络安全可以在计算机科学与技术、信息通信、电子商务、互联网金融、电子政务等领域从事相关工作，还可以在政府机关事业单位、银行、保险、证券等金融机构，电信、传媒等行业从事相关工作。

②就业岗位：网络安全工程师、渗透测试工程师、代码审计工程师、等级保护工程师、安全运维工程师、安全运营工程师、安全服务工程师等。

2、薪资待遇可观，提升较快

作为一个新兴行业，网络安全人才的市场需求远远大于供给，企业想真正招到人才，就必须在薪酬福利上有足够的竞争优势。因此，网络安全领域的薪资近年来也呈现稳步增长的态势。

根据工信部发布的《网络安全产业人才发展报告》显示，网络安全人才平均年薪为21.28万元，整体薪资水平较高。数据显示，网络安全人才年薪主要集中在10-20万元，占比40.62%，与往年持平；其次是20-30万元，占比为38.43%，较2020年占比19.48%有显著提高；而年薪在10万以下人才占比由2020年的19.74%下降至2022年的9.08%。由此可见，网络安全行业作为新兴赛道，尚在快速发展阶段，从业人员薪资水平提升较快，也显示出网络安全行业相对更重视人才留存。

3、职业发展空间大

从网络安全专业学习的主要内容来看，包括linux运维、Python开发、渗透测试、代码审计、等级保护、应急响应、风险评估等。可见该网络安全专业的技术性很强，具有鲜明的专业特点，是一门能够学到真正技术的工科类专业之一。

因此，在职业发展上，网络安全专业除了就业岗位众多之外，由于专业技术性较强，在工作单位将处于技术核心骨干地位，职业发展空间很大。

盘点网络安全的岗位汇总

0****1

岗位一：渗透测试工程师

**岗位释义：**模拟黑客攻击，利用黑客技术，挖掘漏洞，提出修复建议。有些大厂，例如奇安信，甚至会将渗透岗位分为红蓝两方，对候选人的技术要求比较高，大部分刚入行的新人，也将渗透岗位作为后期的发展目标。

岗位职责：

负责对客户网络、系统、应用进行渗透测试、安全评估和安全加固
在出现网络攻击或安全事件时，提供应急响应服务，帮助用户恢复系统及调查取证
针对客户网络架构，建议合理的网络安全解决方案

**工作难度：**5颗星

薪资现状：

0****2

岗位二：安全运维工程师

**岗位释义：**维护网络系统的正常、安全运行，如果受到黑客攻击，则需要进行应急响应和入侵排查安全加固。很多刚毕业入行的新人，基本都从运维做起。

岗位职责：

日常终端维护，操作系统安装加固
完成网络安全设备故障排查、处置
完成相关管理制度文档的编写和提交

**工作难度：**3颗星

薪资现状：

0****3

岗位三：安全运营工程师

**岗位释义：**在运维的基础上，高效可持续地不断提升企业的安全防御能力。

岗位职责：

负责监控、扫描等各类安全策略的制定和优化
负责信息安全事件的应急响应
参与网络安全评估工作、安全加固工作和监控等等

**工作难度：**3颗星

薪资现状：

0****4

岗位四：安全开发工程师

**岗位释义：**顾名思义，对安全产品及平台、策略等进行开发工作。

岗位职责：

负责网络安全产品的系统技术设计、代码开发与实现、单元测试、静态检查、本地构建等工作；
参与公司其他产品的系统技术设计以及研发工作。

**工作难度：**5颗星

薪资现状：

0****5

岗位五：等保测评工程师

**岗位释义：**等保测评也叫等级保护测评，主要负责开展信息安全等级保护测评、信息安全风险评估、应急响应、信息安全咨询等工作。

岗位职责：

网络安全等级保护测评项目实施；
Web渗透测试、操作系统安全加固等安全项目实施配合

**工作难度：**3颗星

薪资现状：

0****6

岗位六：安全研究工程师

**岗位释义：**网络安全领域的研究人才。

岗位职责：

跟踪和分析国内外安全事件、发展趋势和解决方案
承担或参与创新型课题研究
参与项目方案设计，组织推动项目落实，完成研究内容、
负责网络安全关键技术攻关和安全工具研发

**工作难度：**5颗星

薪资现状：

0****7

岗位七：漏洞挖掘工程师

**岗位释义：**主要从事逆向、软件分析、漏洞挖掘工作

岗位职责：

通过模拟实施特定方法所获得的结果，评估计算机网络系统安全状况；
通过特定技术的实施，寻找网络安全漏洞，发现但不利用漏洞。

**工作难度：**5颗星

薪资现状：

0****8

岗位八：安全管理工程师

**岗位释义：**负责信息安全相关流程、规范、标准的制定和评审，负责公司整体安全体系建设。

岗位职责：

全业务系统网络安全技术体系的规划和建设，优化网络安全架构；
负责网络安全相关流程、规范、标准的指定和评审，高效处置突发事件；
负责网络安全防护系统的建设，提升网络安全保障水平；

**工作难度：**4颗星

0****9

岗位九：应急响应工程师

**岗位释义：**主要负责信息安全事件应急响应、攻击溯源、取证分析工作，参与应急响应、攻击溯源、取证分析技术的研究，提升整体重大信息安全事件应急处置能力。

岗位职责：

负责信息安全事件应急响应、攻击溯源、取证分析工作；
对安全事件的应急处置进行经验总结，开展应急响应培训；
负责各业务系统的上线前安全测试（黑盒白盒）及渗透测试工作；
参与应急响应、攻击溯源、取证分析技术的研究，提升整体重大信息安全事件应急处置能力。
跟踪国内外安全热点事件、主流安全漏洞、威胁情报、黑灰产动态并进行分析研究，形成应对方案；

**工作难度：**4颗星

薪酬现状：

岗位十：数据安全工程师

**岗位释义：**主要对公司的数据安全的日常维护和管理工作，确保公司数据安全。

岗位职责：

负责数据安全日常维护和管理工作，包括数据安全审核、数据安全事件的监控与响应、安全合规的审计与调查等；
负责数据安全标准规范的制定和管理，包括数据安全需求识别、风险分析、数据分级分类、数据脱敏、数据流转、泄露防护、权限管控等；推进相关安全管控策略在平台落地、执行。
负责开展与数据全生命周期管理有关的各项数据安全工作;
负责跨平台、跨地域数据传输、交互等数据安全方案制定与落地
定期组织开展数据安全自评工作，发现潜在数据安全风险，制定相应的管控措施，并推进落实整改。

**工作难度：**4颗星

薪酬现状：