今日格言： 今天不想跑，所以才去跑，这才是长距离跑者的思维方式。

思维导图

基本概念

微分方程及其阶

表示未知函数及其导数(微分)与自变量之间关系的方程称为微分方程。形式是：
$$F(x,y,y^{\prime },\dots ,y^{(n)})=0$$
在上述方程中$y^{(n)}$是必须出现的，其他变量可以不出现。也就是说，只要满足以下两个条件，就可以确定它是微分方程：

• 是一个方程
• 还有未知函数的导数(微分)
  微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。

常微分方程（ODE） vs 偏微分方程（PDE）

类型	未知函数	导数类型	示例
ODE	一元函数 $y(x)$	普通导数 $dy/dx$	$y^{\prime \prime }+y=0$
PDE	多元函数 $u(x,t)$	偏导数 $\partial u/\partial$	热方程 $\frac{\partial u}{\partial t}=k{\nabla }^{2}u$

微分方程的解、通解、初始条件与特解、奇解

• 只要一个函数带入微分方程，使方程成为恒等式，则称该函数为微分方程的解。
• 若微分方程的解中含有的独立常数C的个数等于微分方程的阶数，则该解称为微分方程的通解。
• 独立常数C不一定是任意常数，也可能是符合题目条件的取值范围。
• 能够带入方程求出通解中常数的条件就是初始条件。
• 确定了通解中的常数后，解就成了特解。
• 奇解：不包含在通解中的解。奇解没有独立常数。

n阶线性微分方程

如题，n阶就可以知道最高阶导数的阶数是n，那么这个线性是什么意思呢？
其实就是导数的阶数从n阶逐渐减少直到变成了未求导的原函数y。形式如下：
$$a_n(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\dots \dots +a_1(x)y^{\prime }+a_0(x)y=f(x)$$
其中$a_n(x)$都是自变量x的函数，可以看作是高阶导数前的系数。
当$a_n(x)$都是常数时，又称方程为n阶常系数线性微分方程。
若右端函数f(x)恒为0，则称方程为n阶齐次线性微分方程，否则称其为n阶非齐次线性微分方程。

一阶微分方程的求解

可分离变量型微分方程

直接可分离

从这一题可以看出任意常数C可以是符合题意的某一个范围内的值。

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从导数定义和微分方程结合的角度来出题，也是神了

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不为难度，为过程和心静

换元后可分离

齐次型微分方程

比如下面这个贼难的例题，有两个点贼难：
1.不要把根式平方，直接就把x除进去，得到分式，平方后反而更难求了
2.不定积分的积分公式忘了
对于微分方程而言，越短的题可能越难。

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这类题，果然啊，名不虚传，难想还难算，如果考场上忘记了，那可真是老惨了

一阶线性微分方程

形如$y^{\prime }+p(x)y=q(x)$的方程叫作一阶线性微分方程，其中$p(x),q(x)$为已知的连续函数，其通解公式为

本质上是不定积分中的凑微分法。
推导公式如下：

另外学习的时候不要学的太死，y可以当因变量，x也可以当因变量，也算一个脑筋急转弯吧，例题如下：
例15.8 微分方程$ydx+(x-3y^2)dy=0$满足条件$x=1时，y=1$时的解是什么？

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这个居然没有分辨出来是哪一种形式？简直不可思议

伯努利方程

记住伯努利方程的特征，方程右侧是$q(x)y^{2/3/4...}$而不是$q(x)$。

二阶可降阶微分方程

这种题普遍可能要积分两次，所以说，计算过程会复杂，要沉住气。

高阶线性微分方程的求解

二阶常系数齐次线性微分方程

形如$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$的方程，其中$p,q$是常数，就被称为二阶常系数齐次线性微分方程。
顾名思义以下，不难理解，二阶就是$y^{\prime \prime }$,常系数就是$p,q$是常系数，齐次指的是方程右侧为$0$，线性指的就是$y^{\prime \prime },y^{\prime },y$的排列。

解的结构

若$y_1(x),y_2(x)$是$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$的两个解，且$\frac{y_1(x)}{y_2(x)}\ne C（常数）$，则称$y_1(x)，y_2(x)$是该方程的两个线性无关的解，且$y(x)=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)$是方程$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$的通解。

通解

对于$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$,其对应的特征方程为$r^2+pr+q=0$。
①若$p^2-4q>0$，设$r_1,r_2$是特征方程的两个不等实根，即$r_1\ne r_2$可得其通解为：$$y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}$$
②若$p^2-4q=0$，设$r_1,r_2$是特征方程的两个相等的实根，即二重根，令$r_1=r_2=r$可得其通解为：$$y=(C_1+C_{2}x)e^{rx}$$

③若$p^2-4q＜0$，设$\alpha \pm \beta i$是特征方程的一对共轭复根，可得其通解为：$$y=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$$

二阶常系数非齐次线性微分方程

顾名思义，和上面的有所不同：
形如$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$，f(x)≠0的方程，f(x)为已知的连续函数，叫作自由项。

解的结构

①若$y_1(x)是y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f_1(x)$的解，$y_2(x)是y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f_2(x)$的解，则$y_1(x)+y_2(x)$是$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f_1(x)+f_2(x)$的解
例题：

②设$y_1,y_2$都是$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$的特解，则$y_1,y_2$是对应齐次方程的解。

通解

若$y(x)=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)$是$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$的通解，$y^{\ast }(x)$是$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$的一个特解，则$y(x)+y^{\ast }(x)$是$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$的通解。

数学考试大纲的要求—待定系数法

大纲只要求我们会求以下两种情况下的特解：
①


②

这个第二种情况感觉像是二阶常系数齐次线性微分方程的一种逆变换，不过还是同样的由三部分组成：

• $e^{\alpha x}$照抄
• $P_m(x),P_n(x)$分别被替换为$Q_l^{(1)}(x)和Q_l^{(2)}(x)$这两个不同的x的$l$次多项式。
• 一看自由项的α和β，二算特征方程的根，三比较α±βi以及特征方程的根，如果相等则k＝0，否则k＝1。
  比如这个例子：
  
  
  还有就是逆向思维的题目：
  15.17 设二阶常系数线性微分方程$y^{\prime \prime }+\alpha y^{\prime }+\beta y=\gamma e^x$的一个特解为$y^{\ast }=e^{2x}+(1+x)e^x$，确定常数$\alpha ,\beta ,\gamma$，并求该方程的通解。
  解：

微分算子法

待定系数法步骤固定，易掌握但是计算繁琐（需解方程组）而微分算子法计算快捷（公式化）但需记忆公式，技巧性强。

n(n>2)阶常系数齐次线性微分方程

比如下面中道题，就要有一点点逆向思维：

n大于二阶微分方程的特征方程与解空间的维度

• 方程：$y^{(n)}+a_1{y}^{(n-1)}+\cdots +a_{n}y=0$
• 特征方程：$r^n+a_1{r}^{n-1}+\cdots +a_n=0$
• 核心定理：
  每个 k 重特征根（实或复）对应 k 个线性无关解，通解是所有解的线性组合。

2. 三类根的解法原理

特征根类型	解的函数形式	数学原理
k 重实根 ( r )	$(C_1+C_{2}x+\cdots +C_k{x}^{k-1})e^{rx}$	降阶法：构造线性无关解 $e^{rx},x{e}^{rx},\dots ,x^{k-1}{e}^{rx}$
单复根 $\alpha \pm i\beta$	$e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$	欧拉公式取实部/虚部 → 实
m 重复根 $\alpha \pm i\beta$	$e^{\alpha x}\left[(C_1+C_{3}x+\cdots )\cos \beta x+(C_2+C_{4}x+\cdots )\sin \beta x\right]$	复根重数 m → 实部/虚部分别乘$x^j（j=0,1,\dots ,m-1)$

例题：
已知某四阶常系数齐次线性微分方程有特解$y_1(x)=e^{x}cos2x,y_2(x)=x$，且方程中$y^{(4)}$前的系数为1，该方程为：

欧拉方程

形如：$x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+px\frac{dy}{dx}+qy=f(x)$的方程称为欧拉方程，其中p与q为常数，f(x)为已知的连续函数。
其解法如下，就是换元法：

两种情况都考的例题：

微分方程的几何应用

说实话这个光滑曲线给我搞蒙了，原来是连续可导啊

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与变限积分有关的综合题

典型的题目：

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这个也是比较典型

方程分类与解法映射表

方程类型	识别特征	核心解法
齐次型微分方程	$\frac{dy}{dx}=\varphi (\frac{y}{x})$	令 $u=\frac{y}{x}$化可分离变量
一阶线性微分方程	$y^{\prime }+P(x)y=Q(x)$	积分因子 $e^{\int P(x)dx}$
伯努利方程	$y^{\prime }+Py=Q{y}^n$	令 $z=y^{1-n}$ 化线性
二阶常系数齐次线性微分方程	$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$	特征方程 $r^2+pr+q=0$
二阶常系数非齐次线性微分方程	$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$	齐次通解 + 特解（待定系数）
欧拉方程	$x^2{y}^{\prime \prime }+px{y}^{\prime }+qy=0$	令 $x=e^t$ 化常系数

错题

考研目前还没考四阶，需要特别注意：

这个思想非常好，真题经常考


第一次做对了，第二次做错了，题不在多而在于做过的都会都做对，又快又准。

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这个方法不仅小题里面能用，大题里面也能用

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兵无常势，水无常形，解微分方程两大思想一直在用，一个是：换元，一阶微分方程中的不可分离变量型，以及齐次型，还有伯努利方程以及二阶微分方程中的欧拉方程（$令x=e^t$）；另一个就是凑微分，一阶线性非齐次微分方程中的公式推导、二阶常系数齐次线性微分方程的公式推导。
在这里这道题用到的是换元法。

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