【资料分析】增长率 - 混合增长率

学金融的廖哥

6734人浏览 · 2025-08-03 20:26:08

学金融的廖哥 · 2025-08-03 20:26:08 发布

📚 考点速览

主要题型	对应原理
求混合增长率 $R$
求部分增长率 $r 1$ 或 $r 2$
求现期量比值 $V1V2\frac{V_1}{V_2}$	这个题型没有推论，就是纯粹地使用公式 $(2):r2−RR−r1=V1V2(2):\frac{r_2 - R}{R - r_1} = \frac{V_1}{V_2}$ ，填入左边的三个增长率即可得到答案。

🧮 基本原理

案例导入

混合增长率，是指两个或多个部分增长率混合后的整体增长率。一般计算只考察两部分混合，部分范围选择题会考察三个部分混合。下面是关于考公两个混合增长率的导入例题，采用表格形式：

项目	2022年投资额（亿元）	2023年投资额（亿元）	2023年投资额同比增长（%）
第一产业	100(考试不给)	120	20%
第二产业	200(考试不给)	250	25%
全产业总计	300(考试不给)	370	23.33%（考试考点）

按照公式 $(1)$ ，即按照日常生活逻辑计算，计算量过于庞大。全产业 2023 年投资同比增长率可以采用三种主要方法：

直接计算法，考试不会给总计数据❌： $\frac{370 - 300}{300} \times 100\% \approx 23.33\%$
基期加权法，考试不会给基期数据❌： $\frac{100 \times 0.2 + 200 \times 0.25}{100 + 200} = \frac{20 + 50}{300} = \frac{70}{300} \approx 23.33\%$
现期加权法，考试只会给现期数据✔️： $\frac{120 \times 0.2 + 250 \times 0.25}{120 + 250} = \frac{24 + 62.5}{370} \approx \frac{86.5}{370} \approx 23.38\%$ （现期加权计算的结果与基期加权计算的结果差别不大，可以近似替代）

按照公式 $(2)$ ，且在考公速算要求、数据不充分的情况下，应该用2023年现期值当权重，近似计算2023年同比增长率。

基期加权法，考试不会给基期数据❌：列式 $25%−RR−20%=100200=12\frac{25\% - R}{R - 20\%} = \frac{100}{200} = \frac{1}{2}$ ，解得 $R≈23.33%R≈23.33\%$
现期加权法，考试只会给现期数据✔️：列式 $25%−RR−20%=120250=1225\frac{25\% - R}{R - 20\%} = \frac{120}{250} = \frac{12}{25}$ ，解得 $R≈23.38%R≈23.38\%$ （现期加权计算的结果与基期加权计算的结果差别不大，可以近似替代）

模型总结

基本模型公式：混合增长率的计算原理类似加权平均的思想，且考公中基本只考察两个部分的混合增长率，部分情况会考三元混合，这里以三元混合为例来进行讲解。这里 $r_1$ 、 $r_2$ 、 $r_3$ 为增长率， $V_1$ 、 $V_2$ 、 $V_3$ 为基期值/现期值当作权重，求得混合增长率 $R$ 为：
$R=r1V1+r2V2+r3V3V1+V2+V3=r1⋅V1V1+V2+V3+r2⋅V2V1+V2+V3+r3⋅V3V1+V2+V3\begin{align}R = \frac{r_1 V_1 + r_2 V_2 + r_3 V_3}{V_1 + V_2 + V_3}= r_1 \cdot \frac{V_1}{V_1 + V_2 + V_3} + r_2 \cdot \frac{V_2}{V_1 + V_2 + V_3} + r_3 \cdot \frac{V_3}{V_1 + V_2 + V_3}\end{align}$
考试速算公式：公式 $(2)$ 是考试中常用的形态，这种形态精简了不必要的计算项，方便快速计算。记忆方法主要依据性质2-偏向性，增速之差与权重成反比。即权重越大，增速之差越小；权重越小，增速之差越大。等价变形 $(1)$ 式子，有以下过程：
$R⋅（V1+V2+V3）=r1V1+r2V2+r3V3\implies R\cdot（V_1+V_2+V_3）=r_1V_1+r_2V_2+r_3V_3$
$（r1−R）⋅V1+（r2−R）⋅V2+（r3−R）⋅V3=0\implies （r_1-R）\cdot V_1 +（r_2-R）\cdot V_2+（r_3-R）\cdot V_3=0$
以上三元速算公式基本不考察，常考的是二元速算公式，考试时常考知4求1，知3求2等题型，那么二元的公式形态如下：
$（r1−R）⋅V1=（R−r2）⋅V2\implies （r_1-R）\cdot V_1=（R-r_2）\cdot V_2$
$则可得，r2−RR−r1=V1V2\begin{align}则可得，\frac{r_2 - R}{R - r_1} = \frac{V_1}{V_2}\end{align}$

📜 主要题型

公式(1)：求混合增长率R

补充推论

求混合增长率R常考三元、二元混合，但三元混合基本不涉及大量计算，只需使用二元混合的推论快速解决即可。以下是解题需要用到的推论，以及它们的证明过程：

二元混合性质1-极值：混合增长率介于部分增长率之间，即 $min(r_1,r_2)<R<max(r_1,r_2)$ 。
二元混合性质2-偏向性：混合增长率更偏向于权重/占比（基期值/现期值）较大的部分的增长率，对于 $r_1<R<r_2$ ：

若 $V_1>V_2$ ，那么 $R$ 更接近 $r_1$ ，即 $R∈(r1，r1+r22)R\in (r_1，\frac{r_1+r_2}{2})$
若 $V_2>V_1$ ，那么 $R$ 更接近 $r_2$ ，即 $R∈(r1+r22，r2)R\in (\frac{r_1+r_2}{2}，r_2)$

证明性质1：混合增长率介于部分增长率之间
假设 $r_1 < r_2$ ，那么有：

$r1V1+r1V2V1+V2<r1V1+r2V2V1+V2<r2V1+r2V2V1+V2\frac{r_1 V_1 + r_1 V_2}{V_1 + V_2}<\frac{r_1 V_1 + r_2 V_2}{V_1 + V_2}<\frac{r_2 V_1 + r_2 V_2}{V_1 + V_2}$

所以， $r_1 < R < r_2$ ，即整体增长率介于部分增长率之间。

证明性质2：混合增长率更偏向于权重/占比（基期值/现期值）较大的部分的增长率
假设 $r_1 < r_2$ ，当 $V_1>V_2$ 时，则 $V2V1+V2<12\frac{V_2}{V_1 + V_2}<\frac{1}{2}$ ，此时：

$R=r1V1+r2V2V1+V2=（r1V1+r1V2）+（r2V2−r1V2）V1+V2=r1+（r2−r1）V2V1+V2<r1+r2−r12（不等式缩放）\begin{align*} R &= \frac{r_1 V_1 + r_2 V_2}{V_1 + V_2}\\ &=\frac{（r_1 V_1+ r_1 V_2）+ （r_2 V_2-r_1V_2）}{V_1 + V_2}\\ &=r_1+\frac{（r_2-r_1）V_2}{V_1 + V_2}\\ &<r_1+\frac{r_2-r_1}{2}（不等式缩放） \end{align*}$

所以 $r1<R<r1+r22r_1 < R < \frac{r_1+r_2}{2}$ ，这意味着 $r_1$ 的权重更大，因此整体增长率 $R$ 更接近 $r_1$ 。

假设 $r_1 < r_2$ ，当 $V_2 > V_1$ 时，则 $V1V1+V2<12\frac{V_1}{V_1 + V_2}<\frac{1}{2}$ ，此时：

$R=r1V1+r2V2V1+V2=(r2V1+r2V2)+(r1V1−r2V1)V1+V2=r2+(r1−r2)V1V1+V2<r2+r1−r22（不等式缩放）\begin{align*} R&=\frac{r_1 V_1 + r_2 V_2}{V_1 + V_2}\\ &=\frac{(r_2 V_1+ r_2 V_2)+(r_1 V_1 - r_2 V_1)}{V_1 + V_2}\\ &=r_2+\frac{(r_1 - r_2)V_1}{V_1 + V_2}\\ &<r_2+\frac{r_1 - r_2}{2}（不等式缩放） \end{align*}$

所以 $r2<R<r1+r22r_2 < R < \frac{r_1 + r_2}{2}$ ，这意味着 $r_2$ 的权重更大，因此整体增长率 $R$ 更接近 $r_2$ 。

真题练习（二元混合）

例题1

在这里插入图片描述
解析：
已知房产开发贷余额同比增长 $r_1=12.3\%$ ，地产开发贷余额同比增长 $r_2=21.4\%$ ；房产开发贷余额 $V_1=3.2万亿$ ，地产开发贷余额 $V_2=1.04万亿$ ，则房地产开发贷余额同比增长率 $R$ 满足：
① $12.3%<R<21.4%12.3\%<R<21.4\%$
②因为 $V_1>V_2$ ，所以 $R∈(r1，r1+r22)R\in (r_1，\frac{r_1+r_2}{2})$ ，即 $R∈(12.3%，16.85%)R\in (12.3\%，16.85\%)$
选项A、B、C超出取值区间范围，所以正确答案选C。

例题2

在这里插入图片描述
解析：
已知工艺美术品生产企业收入同比增长 $r_1=4.4\%$ ，文化用品生产企业收入同比增长 $r_2=6.3\%$ ；工艺美术品生产企业收入 $V_1=3272亿元$ ，文化用品生产企业收入 $V_2=6422亿$ ，则两个企业总体收入同比增长率 $R$ 满足：
① $4.4%<R<6.3%4.4\%<R<6.3\%$
②因为 $V_1<V_2$ ，所以 $R∈(r1+r22，r2)R\in (\frac{r_1+r_2}{2}，r_2)$ ，即 $R∈(5.35%，6.3%)R\in (5.35\%，6.3\%)$
选项A、B、D超出取值区间范围，所以正确答案选C。

例题3

在这里插入图片描述
解析：
已知邮政业务量同比增长 $r_1=32.0\%$ ，电信业务量同比增长 $r_2=75.8\%$ ；邮政业务量 $V_1=2489.85亿元$ ，电信业务量 $V_2=3575.86亿$ ，则邮电业务总量同比增长率 $R$ 满足：
① $32.0%<R<75.8%32.0\%<R<75.8\%$
②因为 $V_1<V_2$ ，所以 $R∈(r1+r22，r2)R\in (\frac{r_1+r_2}{2}，r_2)$ ，即 $R∈(53.9%，75.8%)R\in (53.9\%，75.8\%)$
看选项，显然正确答案选C。

真题练习（三元混合）

例题1

在这里插入图片描述
解析：
三元混合类型的题，根据公式 $\frac{r_1 V_1 + r_2 V_2 + r_3 V_3}{V_1 + V_2 + V_3}$ ，权重 $V_i$ 极小的可以忽略不计，在此题中中部地区求职人数增加量-0.4万人与其他地区差距过大，因此剔除。
那么，已知西部地区求职人数同比增长 $r_1=-7.4\%$ ，东部地区求职人数同比增长 $r_2=-6.2\%$ ；西部地区求职人数增加量 $V_1=-4.7万人$ ，东部地区求职人数 $V_2=-12.2万人$ ，则第一、二、三产业同比增长率 $R$ 满足：
① $−7.4%<R<−6.2%-7.4\%<R<-6.2\%$
②因为 $V_1<V_2$ ，所以 $R∈(r1+r22，r2)R\in (\frac{r_1+r_2}{2}，r_2)$ ，即 $R∈(−6.8%，−6.2%)R\in (-6.8\%，-6.2\%)$

此时看选项，没有一个符合目前推出的范围。则按照补充推论二元混合性质1-极值，推广到三元可有（证明过程比较简单，这里省略证明推理）： $min(r_1,r_2,r_3)<R<max(r_1,r_2,r_3)$
显然，这道题的 $R$ 应该满足： $−0.4%<R<−7.4%-0.4\%<R<-7.4\%$ ，排除B、C、D选择，所以正确答案选择A。

例题2

在这里插入图片描述
解析：
三元混合类型的题，根据公式 $\frac{r_1 V_1 + r_2 V_2 + r_3 V_3}{V_1 + V_2 + V_3}$ ，权重 $V_i$ 极小的可以忽略不计，在此题中第一产业投资额92.74亿元与其他产业差距过大，因此剔除。
那么，已知第二产业投资额同比增长 $r_1=6.5\%$ ，第三产业投资额同比增长 $r_2=18.5\%$ ；第二产业投资额 $V_1=4431.69亿元$ ，第三产业投资额 $V_2=11532.46亿$ ，则第一、二、三产业同比增长率 $R$ 满足：
① $6.5%<R<18.5%6.5\%<R<18.5\%$
②因为 $V_1<V_2$ ，所以 $R∈(r1+r22，r2)R\in (\frac{r_1+r_2}{2}，r_2)$ ，即 $R∈(12.5%，18.5%)R\in (12.5\%，18.5\%)$
选项A、C、D超出取值区间范围，所以正确答案选B。

公式(2)：求部分增长率r1或r2

补充推论

回到最开始的案例导入，这次2022年的基期值未知，只有2023年的现期值，已知 $r_1$ 和 $R$ ，求 $r_2$ ：

项目	2022年投资额（亿元）	2023年投资额（亿元）	2023年投资额同比增长（%）
第一产业	$100=1201+20%100=\frac{120}{1+20\%}$ (考试不给最终数值)	120	$r_1=20\%$
第二产业	$200=2501+r2%200=\frac{250}{1+r_2\%}$ (考试不给最终数值)	250	$r_2=？\%$ （考试考点）
全产业总计	$300=3701+23.33%300=\frac{370}{1+23.33\%}$ (考试不给最终数值)	370	$R=23.33%R=23.33\%$

按照公式 $(1)$ 求解 $r_2$ ，计算过程会非常复杂。所以必须按照公式 $(2):r2−RR−r1=V1V2(2):\frac{r_2 - R}{R - r_1} = \frac{V_1}{V_2}$ ，使用基期加权列式求解 $r_2$ ，即： $r2−23.33%23.33%−20%=1201+20%2501+r2%\frac{r_2 - 23.33\%}{23.33\% - 20\%} = \frac{\frac{120}{1+20\%}}{\frac{250}{1+r_2\%}}$
可见基期加权会导致计算项非常多，非常耗时，所以想要速算，可以使用现期加权估算，即： $r2−23.33%23.33%−20%=1201+20%2501+r2%≈120250\frac{r_2 - 23.33\%}{23.33\% - 20\%} = \frac{\frac{120}{1+20\%}}{\frac{250}{1+r_2\%}}\approx\frac{120}{250}$

总结，这类求增长率 $r_1$ 或 $r_2$ 的题型，根本方法即用现期值替代基期值硬算：
$r2−RR−r1=V1基期V2基期≈V1现期V2现期\frac{r_2 - R}{R - r_1} = \frac{V_{1基期}}{V_{2基期}}\approx\frac{V_{1现期}}{V_{2现期}}$
注意部分流行的线段法秒杀技巧，其实质就是把以上公式表达的比例关系，用线段的方式展示出来，即如下图所示的线段法使用。一定程度上，画线段可以快速理清思路，排除干扰选项，在熟练的情况下，会更快选出正确答案。

真题练习

例题1

在这里插入图片描述
解析：
已知存在“7月收入+1-6月收入=1-7月收入”的部分与整体的关系，总结题目条件为以下表格：

	2017年收入额（亿元）	2018年收入额（亿元）	2018年同比增长率
7月商品零售收入	无	$27391$	$r_1=8.7\%$
1-6月商品零售收入	无	$160560 = 187951 - 27391$	$r_2=?$
1-7月商品零售收入	无	$187951$	$R=9.2%R=9.2\%$

$对公式(2):r2−RR−r1=V1V2对公式(2):\frac{r_2 - R}{R - r_1} = \frac{V_1}{V_2}$ ，列式有 $r2−9.2%9.2%−8.7%≈27391160560≈2.716≈16\frac{r_2 - 9.2\%}{9.2\% - 8.7\%}\approx\frac{27391}{160560} \approx\frac{2.7}{16}\approx\frac{1}{6}$
$r2−9.2%≈0.5%6\implies r_2 - 9.2\%\approx\frac{0.5\%}{6}$
$r2≈0.5%6+9.2%\implies r_2 \approx\frac{0.5\%}{6}+ 9.2\%$
显然 $9.2\%<r_2<9.5\%$ ，所以A、B、D选择排除，正确选项是C。

例题2

在这里插入图片描述
解析：
已知存在“净资产+负债=总资产”的部分与整体的关系，总结题目条件为以下表格：

	去年额（亿元）	当年额（亿元）	当年额同比增长率
城商行净资产	无	$19251 = 293063 - 273812$	$r_1=?$
城商行负债	无	$273812$	$r_2=20\%$
城商行总资产	无	$293063$	$R=19.7%R=19.7\%$

$对公式(2):r2−RR−r1=V1V2对公式(2):\frac{r_2 - R}{R - r_1} = \frac{V_1}{V_2}$ ，列式有 $20%−19.7%19.7%−r1≈19251273812≈1.927≈113.5\frac{20\% - 19.7\%}{19.7\% - r_1}\approx\frac{19251}{273812} \approx\frac{1.9}{27}\approx\frac{1}{13.5}$
$19.7%−r1≈0.3%13.5\implies 19.7\% - r_1\approx\frac{0.3\%}{13.5}$
$r1≈9.2%−0.3%13.5\implies r_1 \approx 9.2\%-\frac{0.3\%}{13.5}$
显然 $r_1<12.2\%$ ，所以题目的判断是错误的。

例题3

在这里插入图片描述
解析：
已知存在“一般公共预算税收收入+一般公共预算非税收收入=一般公共预算收入”的部分与整体的关系，总结题目条件为以下表格：

	2015年1-8月（亿元）	2016年1-8月（亿元）	2016年1-8月同比增长率
一般公共预算非税收收入	无	$17541 = 110178 - 92637$	$r_1=?$
一般公共预算税收收入	无	$92637$	$r_2=7.3\%$
一般公共预算收入	无	$110178$	$R=6%R=6\%$

$对公式(2):r2−RR−r1=V1V2对公式(2):\frac{r_2 - R}{R - r_1} = \frac{V_1}{V_2}$ ，列式有 $7.3%−6%6%−r1≈1754192637≈17.592.6≈17.5+1.7592.6+9.26=19.25101.8≈15\frac{7.3\% - 6\%}{6\% - r_1}\approx\frac{17541}{92637} \approx\frac{17.5}{92.6}\approx\frac{17.5+1.75}{92.6+9.26}=\frac{19.25}{101.8}\approx\frac{1}{5}$
$6%−r1≈1.3%×5\implies 6\% - r_1\approx1.3\%\times5$
$r1≈6%−6.5%=−0.5%\implies r_1 \approx 6\%-6.5\%=-0.5\%$
显然 $r_1$ 下降 $0.5%0.5\%$ ，符合选项C。

例题4

在这里插入图片描述
解析：
已知存在“逆差+出口=进口”的部分与整体的关系，总结题目条件为以下表格：

	2009年1-3月（亿美元）	2010年1-3月（亿美元）	2010年1-3月同比增长率
逆差	无	$205.02 = 1469.72 - 1264.7$	$r_1=?$
出口	无	$1264.7$	$r_2=14.5\%$
进口	无	$1469.72$	$R=12.4%R=12.4\%$

$对公式(2):r2−RR−r1=V1V2对公式(2):\frac{r_2 - R}{R - r_1} = \frac{V_1}{V_2}$ ，列式有 $14.5%−12.4%12.4%−r1≈205.021264.7≈212≈16\frac{14.5\% - 12.4\%}{12.4\% - r_1}\approx\frac{205.02}{1264.7} \approx\frac{2}{12}\approx\frac{1}{6}$
$12.4%−r1≈2.1%×6\implies 12.4\% - r_1\approx2.1\%\times6$
$r1≈12.4%−12.6%=−0.2%\implies r_1 \approx 12.4\%-12.6\%=-0.2\%$
显然符合误差范围的只有选项A，所以正确答案是A。
注意：这道题通过计算机硬算得到的 $r_1=-0.55\%$ 与我们约分计算的 $−0.2%-0.2\%$ 相差不大，但和正确答案A差距较大，这是用现期量替代基期量导致的正常误差。

例题5

在这里插入图片描述
解析：
已知存在“第四季度+前三季度=全年”的部分与整体的关系，总结题目条件为以下表格：

	2008年工业增加值（亿元）	2009年工业增加值（亿元）	2009年工业增加值同比增长率
第四季度	无	$828$	$r_1=12.5\%$
前三季度	无	$2279 = 3107 - 828$	$r_2=？$
全年	无	$3107$	$R=8.7%R=8.7\%$

$对公式(2):r2−RR−r1=V1V2对公式(2):\frac{r_2 - R}{R - r_1} = \frac{V_1}{V_2}$ ，列式有 $r2−8.7%8.7%−12.5%≈8282279≈822≈8+222+5.5=1027.5≈12.8\frac{r_2 - 8.7\%}{8.7\% - 12.5\%}\approx\frac{828}{2279} \approx\frac{8}{22}\approx\frac{8+2}{22+5.5}=\frac{10}{27.5}\approx\frac{1}{2.8}$
$8.7%−r2≈3.8%2.8\implies 8.7\% - r_2\approx\frac{3.8\%}{2.8}$
$r2≈8.7%−3.8%2.8\implies r_2 \approx 8.7\%-\frac{3.8\%}{2.8}$
显然 $r_2<8.8\%$ ，符合选项A。

注意，这道题出题人设置的选项难度较低，直接通过 $R∈(r2,r1+r22)R\in(r_2,\frac{r_1+r_2}{2})$ 的取值，得出 $r_2<R(8.7\%)$ 的取值范围即可快速选出正确答案。

例题6

在这里插入图片描述
解析：
已知存在“1-2月+3月=1-3月”的部分与整体的关系，总结题目条件为以下表格：

	2007年数值（亿元）	2008年数值（亿元）	2008年数值同比增长率
3月	无	$1692.4$	$r_1=19.4\%$
1-2月	无	$3646.4 = 5338.8 - 1692.4$	$r_2=？$
1-3月	无	$5338.8$	$R=18.3%R=18.3\%$

$对公式(2):r2−RR−r1=V1V2对公式(2):\frac{r_2 - R}{R - r_1} = \frac{V_1}{V_2}$ ，列式有 $r2−18.3%18.3%−19.4%≈1692.43646.4≈1736≈17+1.736+3.6=18.739.6≈1940≈12\frac{r_2 - 18.3\%}{18.3\% - 19.4\%}\approx\frac{1692.4}{3646.4} \approx\frac{17}{36}\approx\frac{17+1.7}{36+3.6}=\frac{18.7}{39.6}\approx\frac{19}{40}\approx\frac{1}{2}$
$18.3%−r2≈1.1%2\implies 18.3\% - r_2\approx\frac{1.1\%}{2}$
$r2≈18.3%−1.1%2\implies r_2 \approx 18.3\%-\frac{1.1\%}{2}$
显然 $r_2接近17.8\%$ ，符合选项C。

公式(2)：求现期量比值V1/V2

补充推论

这个题型没有推论，就是纯粹地使用公式 $(2):r2−RR−r1=V1V2(2):\frac{r_2 - R}{R - r_1} = \frac{V_1}{V_2}$ ，填入左边的三个增长率即可得到答案。

真题练习

例题1

在这里插入图片描述
解析：
已知存在“第1季度+第2季度=1-6月”的部分与整体的关系，总结题目条件为以下表格：

	2014年数值（亿元）	2015年数值（亿元）	2015年数值同比增长率
第1季度	无	$？$	$r_1=6.7\%$
第2季度	无	$？$	$r_2=8.2\%$
1-6月	无	$？$	$R=7.4%R=7.4\%$

$对公式(2):r2−RR−r1=V1V2对公式(2):\frac{r_2 - R}{R - r_1} = \frac{V_1}{V_2}$ ，列式有 $V1V2=8.2%−7.4%7.4%−6.7%=0.8%0.7%≈1.1429\frac{V_1}{V_2}=\frac{8.2\% - 7.4\%}{7.4\% - 6.7\%}=\frac{0.8\%}{0.7\%} \approx1.1429$
显然，符合选项C。