1. 求反函数的一阶导数：
   设 $y=f(x)$，则反函数 $x=f^{-1}(y)$ 的一阶导数为：
   $$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$$
   这里 $f^{\prime }(x)$ 是 $f(x)$ 的一阶导数。

2. 求反函数的二阶导数：
   对 $\frac{dx}{dy}$ 再求一次导数。设 $g(y)=f^{-1}(y)$，则 $g^{\prime }(y)=\frac{dx}{dy}$。我们要求 $g^{\prime \prime }(y)$，即 $\frac{d^{2}x}{d{y}^2}$。

   使用链式法则，我们有：
   $$\frac{d^{2}x}{d{y}^2}=\frac{d}{dy}\left(\frac{dx}{dy}\right)$$
   将 $\frac{dx}{dy}$ 代入，得到：
   $$\frac{d^{2}x}{d{y}^2}=\frac{d}{dy}\left(\frac{1}{f^{\prime }(x)}\right)$$
   这里 $x=f^{-1}(y)$，所以需要对 $\frac{1}{f^{\prime }(x)}$ 求导。使用链式法则有：
   $$\frac{d}{dy}\left(\frac{1}{f^{\prime }(x)}\right)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{f^{\prime }(x)}\right)\cdot \frac{dx}{dy}$$
   计算 $\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{f^{\prime }(x)}\right)$：
   $$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{f^{\prime }(x)}\right)=-\frac{f^{\prime \prime }(x)}{(f^{\prime }(x){)}^2}$$
   因此：
   $$\frac{d^{2}x}{d{y}^2}=-\frac{f^{\prime \prime }(x)}{(f^{\prime }(x){)}^2}\cdot \frac{1}{f^{\prime }(x)}$$
   简化后得到：
   $$\frac{d^{2}x}{d{y}^2}=-\frac{f^{\prime \prime }(x)}{(f^{\prime }(x){)}^3}$$

3. 总结：
   反函数 $x=f^{-1}(y)$ 的二阶导数为：
   $$\frac{d^{2}x}{d{y}^2}=-\frac{f^{\prime \prime }(f^{-1}(y))}{(f^{\prime }(f^{-1}(y)){)}^3}$$

反函数的二阶导数依赖于原函数的二阶导数和一阶导数的立方，需要注意 $f^{\prime }(f^{-1}(y))\ne 0$，以确保分母不为零。