一、一般形式

  先来说下什么是内积，这里仅考虑实线性空间上的内积，设 $V$ 是实线性空间，在其上定义内积运算 $(\cdot ,\cdot ):V\times V\to R$，即 $\forall x,y\in V,\exists$ 唯一的元素 $(x,y)\in R$ 与之对应，称为 $x$ 与 $y$ 的内积，且满足以下性质：

$(x,x)\ge 0且(x,x)=0\iff x=0$
$(x,y)=(y,x)$
$(ax,z)=a(x,z),a\in R$
$(x+y,z)=(x,z)+(y,z)$

柯西-施瓦兹不等式：
$$(a,b{)}^2\le (a,a)(b,b)$$上面就是大名鼎鼎的柯西施瓦兹不等式了，但看不出来它在说什么.

二、解释

  首先，可以根据内积定义向量的长度：$\Vert x\Vert =\sqrt{(x,x)}$.
  对不等式两边开根号，得$$|(a,b)|\le \Vert a\Vert \Vert b\Vert$$  (好吧，还是看不出来它在说什么)
  不妨设 $b\ne 0$，$b=0$ 时不等式显然成立.
  $\because b\ne 0,\therefore \Vert b\Vert \ne 0$，不等式两边同时除以 $\Vert b\Vert$，得$$\frac{|(a,b)|}{\Vert b\Vert }\le \Vert a\Vert$$  这时应该能看出来一些东西了，好像是在比较两个向量的长度. 但左侧是哪个向量的长度呢？下面来回答这个问题.
  因为 $b\ne 0$，所以可以将其扩充为空间中的一组正交基，然后对向量 $a$ 进行正交分解，如图所示.

                           (注：这是一个侧视图)

则 $a$ 可以表示为 $$a=kb+u$$其中 $u$ 与 $b$ 垂直，即 $(u,b)=0$.
两边同时与 $b$ 作内积，得 $$(a,b)=k(b,b)+0$$则$$a=\frac{(a,b)}{(b,b)}b+u$$令 $$v=\frac{(a,b)}{(b,b)}b$$则 $v$ 的长度 $$\Vert v\Vert =\frac{|(a,b)|}{\Vert b\Vert }$$  所以，不等式可以这么理解：向量 $a$ 在向量 $b$ 方向上投影的长度小于等于向量 $a$ 自身的长度.

三、证明

证法1：

$$\begin{array}{rl}\Vert a{\Vert }^2& =(a,a)\\ & =(kb+u,kb+u)\\ & =(kb,kb)+2k(b,u)+(u,u)\\ & =(kb,kb)+(u,u)\\ & =(v,v)+(u,u)\\ & =\Vert v{\Vert }^2+\Vert u{\Vert }^2\\ & \ge \Vert v{\Vert }^2\\ \therefore \Vert a{\Vert }^2& \ge \Vert v{\Vert }^2,\Vert a\Vert \ge \Vert v\Vert \\ \therefore \Vert a\Vert & \ge \frac{|(a,b)|}{\Vert b\Vert }\end{array}$$不等式成立.

证法2：

若 $a=0$，不等式显然成立；
否则，考虑$$(ta+b,ta+b)=(a,a)t^2+2(a,b)t+(b,b)\ge 0$$将其看作是关于 $t$ 的二次函数，则有$$\Delta =4(a,b{)}^2-4(a,a)(b,b)\le 0$$所以 $(a,b{)}^2\le (a,a)(b,b)$，当且仅当 $ta+b=0$ 时，“$=$” 成立.

四、特殊形式

1. $R^n$ 中

  设 $a=(a_1,a_2,\cdots ,a_n),b=(b_1,b_2,\cdots ,b_n),a,b\in R^n$，则 $$(a,b{)}^2=(\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i{)}^2\le (\sum _{i=1}^n{a}_i^2)(\sum _{i=1}^n{b}_i^2)=(a,a)(b,b)$$当且仅当 $a=\lambda b$ 时，“$=$” 成立.

2. $l^2$ 中

  设 $a=(a_1,a_2,\cdots ),b=(b_1,b_2,\cdots ),a,b\in l^2$，即
$$(\sum _{i=1}^{\infty }|a_i{|}^2{)}^{\frac{1}{2}}<\infty ,(\sum _{i=1}^{\infty }|b_i{|}^2{)}^{\frac{1}{2}}<\infty$$则 $$(a,b{)}^2=(\sum _{i=1}^{\infty }{a}_i{b}_i{)}^2\le (\sum _{i=1}^{\infty }{a}_i^2)(\sum _{i=1}^{\infty }{b}_i^2)=(a,a)(b,b)$$当且仅当 $a=\lambda b$ 时，“$=$” 成立.

3. $L^2[a,b]$ 中

  设 $f,g\in L^2[a,b]$，即$${\int }_{[a,b]}{f}^2(x)dx<\infty ,{\int }_{[a,b]}{g}^2(x)dx<\infty$$则
$$(f,g{)}^2=({\int }_{[a,b]}f(x)g(x)dx{)}^2\le ({\int }_{[a,b]}{f}^2(x)dx)({\int }_{[a,b]}{g}^2(x)dx)=(f,f)(g,g)$$当且仅当 $tf(x)+g(x)\equiv 0$ 时，“$=$” 成立.

4. 概率空间中

  设 ${\xi }_1,{\xi }_2$ 为两个随机变量，则
$$(E({\xi }_1{\xi }_2){)}^2\le E({\xi }_1^2)E({\xi }_2^2)$$当且仅当 P { t ξ 1 + ξ 2 = 0 } = 1 P\lbrace t\xi_1+\xi_2=0\rbrace=1 P{tξ1​+ξ2​=0}=1 时，“$=$” 成立.

Plus: 如有错误、可以改进的地方、或任何想说的，请在评论区留言！