第二章 关系模型导论

2.1 关系数据库的结构

在逻辑层面上，关系数据库是被称为关系 (Relation) 的二维表的集合。每个关系代表一个实体集或一个关系集。

2.1.1 基本概念

术语	定义
关系 (Relation)	二维表，代表一个实体集或关系集
元组 (Tuple)	关系中的一行，代表一个实体或一个关系
属性 (Attribute)	关系中的一列，具有名称
域 (Domain)	每个属性允许的值的集合
原子性 (Atomic)	属性值不可再分（如：属性值可以是一个账户号，但不能是一组账户号的集合）
null	特殊值，是每个域的成员，表示未知或不存在

2.1.2 关系的数学定义

给定集合 $D_1,D_2,\dots ,D_n$，一个关系 $r$ 是笛卡尔积的子集：

$$r\subseteq D_1\times D_2\times \cdots \times D_n$$

因此，关系是一组 n 元组的集合，其中每个元组 $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ 满足 $a_i\in D_i$。

例：ID × name × salary → 关系 instructor 是该笛卡尔积的一个子集。

2.1.3 元组变量

元组变量是代表一个元组的变量，其域是某个特定关系的所有元组的集合。

例：t 是指向 instructor 中一个元组的变量：

• t[ID] → 12121
• t[name] → Wu
• t[dept_name] → Finance
• t[salary] → 90000

2.1.4 关系是无序的

元组的顺序无关紧要——元组可以按任意顺序存储。

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2.2 关系模式

2.2.1 关系模式与实例

• 关系模式：$R=(A_1,A_2,\dots ,A_n)$，其中 $A_i$ 为属性名
  • 例：instructor_schema = (ID, name, dept_name, salary)
• 关系实例：$r(R)$ 表示关系模式 R 上的一个关系
  • 当前值（关系实例）由表指定

类比编程语言：模式 ≈ 类型声明，实例 ≈ 变量的值。

2.2.2 关系数据库

数据库由多个关系组成，企业信息被拆分为若干部分，每个关系存储一部分信息：

关系	存储信息
instructor	教师信息
advisor	哪位教师指导哪位学生
student	学生信息

为什么不把所有信息放在一个关系中？

问题	说明
信息重复	若一位教师指导多名学生，教师信息会被重复存储
需要 null 值	要表示没有导师的学生，只能在教师相关列填 null

规范化理论（第七章） 专门处理如何设计关系模式。

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2.3 键

2.3.1 超键

设 $K\subseteq R$（R 为关系模式），K 是 R 的超键 (Superkey)，当且仅当 K 的值足以唯一标识每个可能的关系 $r(R)$ 中的一个元组。

"可能的关系"指企业建模中可能存在的关系。

例：{ID} 和 {ID, name} 都是 instructor 的超键。

2.3.2 候选键

超键 K 是候选键 (Candidate Key)，当且仅当 K 是最小的——K 的任意真子集都不是超键。

例：{ID} 是 instructor 的候选键（它是超键且没有子集是超键），而 {ID, name} 不是候选键。

2.3.3 主键

主键 (Primary Key)：被选作唯一标识元组的主要手段的候选键。

• 应选择其值从不或极少变化的属性
• 例：email 地址虽唯一但会变，不适合做主键

2.3.4 外键

关系 $r_1$ 的某属性对应于另一个关系 $r_2$ 的主键——该属性称为外键 (Foreign Key)。

术语	含义
引用关系 (Referencing Relation)	包含外键的关系（$r_1$）
被引用关系 (Referenced Relation)	被外键引用的关系（$r_2$）

例：depositor 中的 customer_name 和 account_number 分别引用 customer 和 account 的主键。

2.3.5 参照约束

被引用关系主键中出现的值才能出现在引用关系的外键中。

即：外键值集 ⊆ 主键值集。

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2.4 模式图

模式图以图形方式展示数据库中各关系及其之间的外键依赖关系，是理解数据库整体结构的直观工具。

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2.5 关系查询语言

分类	特点	代表
过程式	用户指定需要什么数据以及如何获取	关系代数
非过程式（声明式）	用户只指定需要什么，不指定如何获取	元组关系演算、域关系演算

以上三种"纯"语言在计算能力上等价，但都不是图灵完备的。它们构成实际使用的查询语言（如 SQL）的底层基础。

本章重点讲解关系代数。

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2.6 关系代数

关系代数是一种过程式语言，由一组以一个或两个关系为输入、产生一个新关系作为输出的运算组成。

2.6.1 六种基本运算

运算	符号	说明
选择	$\sigma$	选出满足谓词的元组
投影	$\pi$	选出指定的列
并	$\cup$	两个关系的集合并
差	$-$	两个关系的集合差
笛卡尔积	$\times$	两个关系元组的所有可能配对
重命名	$\rho$	给关系和属性重命名

2.6.2 选择运算

选出满足给定谓词的元组。对应 SQL 中 WHERE 子句。

σp(r)={t∣t∈r 且 p(t)}\sigma_p(r) = \{t \mid t \in r \text{ 且 } p(t)\}σp​(r)={t∣t∈r 且 p(t)}

其中 p 是由以下项通过 $\wedge$ (and)、$\vee$ (or)、$\neg$ (not) 连接的命题演算公式，每项为：

$$\text{<属性> op <属性> 或 <常量>}$$

op 为：=、≠、>、≥、<、≤

-- 例：查找年龄小于 20 的所有学生
σ Sage < 20 (Student)

2.6.3 投影运算

选出指定的列——一元运算，从关系中擦除未列出的列。对应 SQL 中 SELECT 子句。

$${\pi }_{A_1,A_2,\dots ,A_k}(r)$$

结果中重复行被去除，因为关系是集合。

-- 例：查找所有学生的姓名和院系
π Sname, Sdept (Student)
-- 或使用列序号：π 2,5 (Student)

2.6.4 并运算

集合的并运算。

r∪s={t∣t∈r 或 t∈s}r \cup s = \{t \mid t \in r \text{ 或 } t \in s\}r∪s={t∣t∈r 或 t∈s}

前提条件：

1. $r$ 和 $s$ 必须具有相同的元数（相同属性数）
2. 属性域必须兼容（如：r 的第 2 列与 s 的第 2 列处理相同类型的值）

-- 例：查找 2017 秋或 2018 春开课的所有课程
π course_id (σ semester="Fall" ∧ year=2017 (section))
∪
π course_id (σ semester="Spring" ∧ year=2018 (section))

2.6.5 集合差运算

集合的差运算。

r−s={t∣t∈r 且 t∉s}r - s = \{t \mid t \in r \text{ 且 } t \notin s\}r−s={t∣t∈r 且 t∈/s}

同样要求 r 和 s 兼容。

-- 例：查找 2017 秋开课但 2018 春未开课的课程
π course_id (σ semester="Fall" ∧ year=2017 (section))
−
π course_id (σ semester="Spring" ∧ year=2018 (section))

2.6.6 集合交运算

集合的交运算。可由差运算推导：$r\cap s=r-(r-s)$

r∩s={t∣t∈r 且 t∈s}r \cap s = \{t \mid t \in r \text{ 且 } t \in s\}r∩s={t∣t∈r 且 t∈s}

-- 例：查找 2017 秋和 2018 春都开课的课程
π course_id (σ semester="Fall" ∧ year=2017 (section))
∩
π course_id (σ semester="Spring" ∧ year=2018 (section))

2.6.7 笛卡尔积运算

将一个关系的每个元组与另一个关系的每个元组配对。

r×s={t q∣t∈r 且 q∈s}r \times s = \{t\ q \mid t \in r \text{ 且 } q \in s\}r×s={t q∣t∈r 且 q∈s}

• 假设 $r(R)$ 和 $s(S)$ 的属性不相交（$R\cap S=\varnothing$）
• 若属性名重叠，必须使用重命名

直接使用笛卡尔积意义不大，需结合选择运算才有用。

示例： instructor × teaches

• 结果包含两个关系中每个可能的元组对
• 由于 ID 同时出现在两个关系中，用关系名前缀区分：instructor.ID 和 teaches.ID

2.6.8 关系运算的复合

关系代数运算的结果也是关系，因此可以将多个运算复合成一个关系代数表达式。

-- 例：查找 Physics 系所有教师的名字
π name (σ dept_name="Physics" (instructor))

2.6.9 连接运算

笛卡尔积 instructor × teaches 会将每个 instructor 元组与每个 teaches 元组关联——其中大多无实际意义。

连接 = 笛卡尔积 + 选择：只保留与目标相关的元组对。

-- 获取每位教师及其所教课程的信息
σ instructor.ID = teaches.ID (instructor × teaches)

等值连接：连接谓词为等值比较的连接。

2.6.10 重命名运算

$${\rho }_x(E)$$
$${\rho }_{x(A_1,A_2,\dots ,A_n)}(E)$$

形式	含义
${\rho }_x(E)$	将表达式 E 的结果命名为 x
${\rho }_{x(A_1,\dots ,A_n)}(E)$	将结果命名为 x 并将属性重命名为 $A_1,\dots ,A_n$

用途：

• 对关系代数表达式的结果命名以便引用
• 允许用多个名称引用同一关系（如自连接场景）

-- 例：查找与 Smith 住在同一城市的所有客户
-- 先将名为 "Smith" 的客户信息选出并重命名为 smith_info
-- 再做笛卡尔积 + 选择 + 投影
π customer.customer_name (
    σ customer.customer_city = smith_info.customer_city (
        customer × ρ smith_info (σ customer_name="Smith" (customer))
    )
)

2.6.11 赋值运算

用 $\leftarrow$ 将关系代数表达式的部分结果赋给临时关系变量，便于编写顺序程序式的查询。

-- 例：查找 Physics 系和 Music 系的教师
Physics ← σ dept_name="Physics" (instructor)
Music   ← σ dept_name="Music" (instructor)
Physics ∪ Music

2.6.12 等价查询

同一个查询可以有多种关系代数写法——形式不同但结果等价。

-- 查询 1：一步完成
σ dept_name="Physics" ∧ salary > 90000 (instructor)

-- 查询 2：分两步选择
σ dept_name="Physics" (σ salary > 90000 (instructor))

-- 两者在任何数据库上给出相同结果——它们是等价的

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本章重点：理解关系模型的数学基础（笛卡尔积定义）、关系模式与实例的区别、超级键/候选键/主键/外键的层级关系与参照约束、以及关系代数的六种基本运算（$\sigma ,\pi ,\cup ,-,\times ,\rho$）及其复合使用。关系代数是 SQL 的理论基础——SELECT 对应投影、WHERE 对应选择、FROM+JOIN 对应笛卡尔积+选择。