261

光学基础

物理光学

多光束干涉​

法布里-珀罗干涉仪透射率：
T = T_max / (1 + F sin²(δ/2))
其中 T_max = (1 - R)² / (1 - R)²， F = 4R/(1-R)² 为精细度系数，δ = (4π/λ) n d cosθ 为相邻光束相位差。

1. 推导：考虑平行平板，振幅反射系数为 r，透射系数为 t。多束透射光叠加，总透射振幅为几何级数求和：
E_t = E_0 t t' e^{iδ/2} [1 + r'² e^{iδ} + r'⁴ e^{i2δ} + ...] = E_0 t t' e^{iδ/2} / (1 - r'² e^{iδ})，其中 r' 和 t' 为从内到外的系数。假设无吸收，R =

r

²，T =

t

²，且 R + T = 1。则透射率 T = (1-R)² / (1 - 2R cosδ + R²) = 1 / (1 + [4R/(1-R)²] sin²(δ/2))。
2. 数值例：反射率 R=0.9，则精细度系数 F = 4 * 0.9/(1-0.9)² = 360。峰值透射率 T_max = 1（当δ=2mπ时，忽略吸收）。半高全宽（相位） Δδ = 4/√F ≈ 0.211 rad。对应的波长分辨率 Δλ = λ/(m F)，其中m为干涉级次。对于λ=1550 nm，m≈2nd/λ，设d=1 cm，n=1，则m≈12900，Δλ≈1550/12900/360≈0.00033 nm。
3. 反射率：R_FP = 1 - T。

262

光学基础

几何光学

非球面面形方程​

非球面标准方程：
z(r) = (r²/R) / (1 + √(1 - (1+k)(r²/R²))) + Σ α_i r^{2i}
其中r为径向坐标，R为顶点曲率半径，k为圆锥常数，α_i为高次项系数。

1. 圆锥曲面：k=-e²，e为偏心率。k<-1为双曲面，k=-1为抛物面，-1<k<0为椭圆面，k=0为球面，k>0为扁椭圆面。
2. 示例：抛物面镜，k=-1，方程简化为 z = r²/(2R)。对于焦距f=100 mm的抛物面，R=2f=200 mm。在r=50 mm处，z=50²/400=6.25 mm。
3. 高次项：用于校正更高阶像差。例如，α₁ r⁴ + α₂ r⁶ + ...。通过优化系数使像差最小。

- 径向坐标：r (mm)
- 轴向坐标：z (mm)
- 顶点曲率半径：R (mm)
- 圆锥常数：k
- 高次项系数：α_i (mm^{1-2i})
- 焦距：f = R/2 (对于抛物面)
- 偏心率：e = √(-k)

面形测量：使用轮廓仪或干涉仪测量z(r)，与理论值比较，得到面形误差。
加工轨迹：单点金刚石车削时，刀具路径需按此方程控制。

- 应用：大口径望远镜、摄影镜头、激光准直、聚光镜。
- 设计：光学设计软件（Zemax、Code V）优化系数以最小化像差。
- 检测：零位补偿干涉测量。

加工：单点金刚石车床（如Precitech、Moore Nanotech）。测量：接触式轮廓仪（Taylor Hobson）、非接触干涉仪（Zygo）。镀膜：反射膜或增透膜。

263

激光物理

激光放大

放大自发辐射（ASE）​

ASE功率：
P_ASE = 2 n_sp hν (G-1) Δν
其中n_sp为自发发射因子，G为增益，Δν为带宽。
噪声指数：NF = 2 n_sp (G-1)/G + 1/G

1. 推导：每个模式自发发射光子率为 n_sp (G-1)。考虑两个偏振态，因子2。在带宽Δν内，模式数 M = Δν / Δν_mode，Δν_mode为模式间隔（对于行波，Δν_mode = c/(nL)）。但常用近似直接乘带宽。
2. 数值：EDFA，n_sp≈1.3，G=100（20 dB），Δν=4 THz（C波段），hν=1.28e-19 J（1550 nm）。P_ASE = 2 * 1.3 * 1.28e-19 * 99 * 4e12 ≈ 1.3e-3 W = 0 dBm。实际ASE功率与增益和带宽成正比。
3. 噪声指数：NF = 2 * 1.3 * 99/100 + 1/100 ≈ 2.574 + 0.01 = 2.584，即约4.1 dB。

- 自发发射因子：n_sp = N₂/(N₂ - N₁)
- 增益：G (线性)
- 带宽：Δν (Hz)
- 光子能量：hν (J)
- ASE功率：P_ASE (W)
- 噪声指数：NF (线性) 或 NF_dB = 10 log₁₀(NF)
- 模式间隔：Δν_mode (Hz)

建立过程：当泵浦开启，粒子数反转产生自发发射，经放大形成ASE。稳态时，ASE功率饱和增益。
时域：ASE噪声为宽谱白噪声，瞬时涨落服从高斯分布。

- 与信号放大的关系：ASE与信号在相同频带内，是放大器主要噪声源。
- 应用：放大器设计、光纤传感器、光源。
- 测量：用光谱仪测ASE谱，积分得总功率。

光谱分析仪（Yokogawa、Anritsu）。光电探测器。积分球（用于总功率测量）。

264

非线性光学

受激拉曼散射

拉曼增益谱​

拉曼增益系数：g_R(Ω) = g_0 (Γ_R/2)² / ((Ω - Ω_R)² + (Γ_R/2)²)
其中Ω_R为拉曼频移，Γ_R为线宽。
阈值功率：P_th ≈ 16 A_eff / (g_R L_eff)

1. 熔石英光纤：Ω_R/(2π) ≈ 13.2 THz，Γ_R/(2π) ≈ 5 THz（宽带）。峰值增益系数 g_0 ≈ 1e-13 m/W（在1550 nm泵浦）。
2. 阈值计算：A_eff=50 μm²，L_eff=20 km，g_R≈g_0，P_th ≈ 16 * 50e-12/(1e-13 * 2e4) = 4 W。实际由于偏振等因素，阈值约几百毫瓦。
3. 级联SRS：第一斯托克斯光可作为泵浦产生第二斯托克斯光，频移累积。

- 拉曼频移：Ω_R (rad/s)
- 线宽：Γ_R (rad/s)
- 峰值增益：g_0 (m/W)
- 有效面积：A_eff (m²)
- 有效长度：L_eff (m)
- 阈值功率：P_th (W)
- 斯托克斯阶数：n

瞬态：拉曼响应时间极快（~飞秒），稳态方程适用。但功率建立需时间。
谱演化：泵浦耗尽，斯托克斯光增长，可能产生多阶斯托克斯和反斯托克斯光。

- 应用：拉曼放大器、拉曼激光器、温度传感。
- 材料依赖性：不同材料拉曼频移和增益不同。
- 与SBS对比：拉曼频移大，方向前向为主，阈值高。

拉曼泵浦激光器（高功率，1450 nm）。光谱分析仪观察斯托克斯光。高非线性光纤。

265

信息光学

计算全息

相息图衍射效率​

标量衍射理论：衍射效率 η =

∫∫ T(x,y) e^{iφ(x,y)} dx dy

² / (∫∫

T

² dx dy)
其中T(x,y)为目标场，φ(x,y)为相位调制函数。

1. 理想情况：若相位调制函数可完全匹配目标场相位，且振幅均匀，则η可达100%。实际受限于像素尺寸、量化等级、器件填充因子等。
2. 量化影响：相位量化到L级，效率 η ≈ sinc²(1/L)。对于L=8，η≈0.95。
3. 填充因子：FF，则效率 η ∝ FF²。若FF=0.9，η≈0.81。
4. 例子：设计生成平面波的相息图，φ(x,y)=常数，则η接近1。

266

纳米光子学

等离激元波导

SPP波导模式方程​

金属-介质-金属波导模式：对于厚度为d的介质层，两侧为金属，模式有效折射率满足：
tanh(√(β² - k₀²ε_d) d/2) = - (ε_d/ε_m) (√(β² - k₀²ε_m) / √(β² - k₀²ε_d))

1. 求解：需数值求解超越方程。对于d=50 nm，ε_m=-100+10i，ε_d=2.25，λ=1550 nm。解得有效折射率 n_eff = β/k₀ ≈ 2.5 + 0.01i。模式限制强，但损耗大。
2. 传播长度：L_spp = 1/(2 Im(β)) ≈ 1/(2 * 0.01 * 2π/1.55e-6) ≈ 12.3 μm。
3. 模式尺寸：穿透深度 δ_d = 1/√(β² - k₀²ε_d) ≈ 50 nm。

- 传播常数：β (1/m)
- 波数：k₀ = 2π/λ (1/m)
- 金属介电常数：ε_m (复数)
- 介质介电常数：ε_d (实数)
- 介质层厚度：d (m)
- 有效折射率：n_eff = β/k₀ (复数)
- 传播长度：L_spp (m)
- 穿透深度：δ_d, δ_m (m)

模式演化：随d减小，模式更受限，n_eff增大，但损耗也增大。
耦合：与光纤或波导耦合时，模式失配导致高损耗。

- 应用：纳米激光器、传感器、集成光路。
- 替代结构：绝缘体-金属-绝缘体、纳米线等。
- 挑战：高损耗，难以长距离传输。

电子束光刻定义波导。金属蒸镀（金、银）。聚焦离子束切割。近场光学显微镜表征。

267

量子光学

量子干涉

N00N态干涉​

N00N态：

ψ〉= (

N,0〉+

0,N〉)/√2
相位灵敏度：Δφ = 1/N，突破经典极限1/√N。

1. 产生：通过参量下转换和后选择，或线性光学电路制备。例如，N=2时，

ψ〉= (

268

光学基础

偏振光学

偏振态演化-庞加莱球​

斯托克斯参数与庞加莱球坐标：
S₁ = S₀ cos(2χ) cos(2ψ)
S₂ = S₀ cos(2χ) sin(2ψ)
S₃ = S₀ sin(2χ)
其中ψ为方位角，χ为椭率角。

1. 表示：完全偏振光对应球面点。赤道为线偏振，两极分别为左右旋圆偏振。
2. 演化：光学元件作用对应球面上的旋转。例如，半波片绕快轴旋转α，对应球面绕轴转2α。
3. 例子：初始水平偏振 (ψ=0, χ=0)，经四分之一波片（快轴45°）后，变为右旋圆偏振（北极）。

- 斯托克斯参数：S₀, S₁, S₂, S₃
- 方位角：ψ (0~π)
- 椭率角：χ (-π/4~π/4)
- 庞加莱球坐标：(S₁/S₀, S₂/S₀, S₃/S₀)
- 偏振度：DoP = √(S₁²+S₂²+S₃²)/S₀

动态变化：偏振态随时间变化在球面上画轨迹。例如，光纤中偏振态随机游走。
控制：通过波片和旋转器可将任意偏振态转到目标态。

- 应用：偏振控制器设计、偏振模色散分析、偏振编码通信。
- 与琼斯计算等价：庞加莱球更直观。
- 测量：通过测量S₀~S₃确定球面点。

偏振态发生器（波片组合）。偏振分析仪。软件可视化。

269

激光物理

激光光谱

激光线宽-肖洛-汤斯公式​

线宽公式：Δν = (π hν (Δν_c)²) / (P_out)
其中Δν_c为腔线宽，P_out为输出功率。
修正：Δν = (Δν_c)² / (2π P_out) * (hν) (1+α²)，α为线宽增强因子。

1. 推导：源于自发发射引起的相位扩散。腔线宽 Δν_c = c/(2πL) * (1-R)（低损耗近似）。
2. 数值：He-Ne激光器，L=30 cm，R=0.99，Δν_c ≈ 3e8/(2π0.3)0.01 ≈ 1.6 MHz。P_out=1 mW，hν=3.14e-19 J（632.8 nm），Δν ≈ π3.14e-19(1.6e6)²/1e-3 ≈ 2.5e-3 Hz。实际由于机械振动、热波动，线宽在kHz量级。
3. 半导体激光器：α≈5，Δν_c较大，线宽可达MHz。

- 激光线宽：Δν (Hz)
- 腔线宽：Δν_c (Hz)
- 输出功率：P_out (W)
- 光子能量：hν (J)
- 腔长：L (m)
- 镜反射率：R
- 线宽增强因子：α

频率噪声：线宽对应频率噪声功率谱的白噪声水平。实际频率噪声在低频有1/f噪声，导致线型为非洛伦兹。
稳频：通过反馈将频率锁定到参考腔，线宽可降至Hz以下。

- 应用：相干通信、光谱学、原子钟。
- 测量：延迟自外差法、外差法。
- 极限：量子极限，实际受技术噪声限制。

延迟自外差测量系统。外腔稳频激光器。频率噪声分析仪。

270

非线性光学

二次谐波产生

相位匹配带宽​

允许带宽：Δλ = 0.44 λ² / (L Δn)
其中L为晶体长度，Δn = n(2ω) - n(ω)。
允许角宽度：Δθ = 0.44 λ / (L (dn_e/dθ))

1. BBO晶体：λ=1064 nm，L=5 mm，Δn≈0.1，则Δλ ≈ 0.44(1.064e-6)²/(0.005 * 0.1) ≈ 1e-9 m = 1 nm。即泵浦波长变化超过1 nm，效率显著下降。
2. 角度调谐*：dn_e/dθ ≈ 0.1 rad⁻¹，Δθ ≈ 0.44 * 1.064e-6/(0.005 * 0.1) ≈ 0.94 mrad ≈ 0.054°。需精确调整角度。

- 晶体长度：L (m)
- 折射率差：Δn
- 波长：λ (m)
- 允许带宽：Δλ (m)
- 允许角宽：Δθ (rad)
- 走离角：ρ (rad)
- 有效长度：L_eff = √(π) w₀/ρ，w₀为光束腰斑半径

温度调谐：改变温度可补偿角度失配，带宽Δλ_T ≈ (dλ/dT) ΔT。
谱宽限制：对于超短脉冲，宽谱可能超出Δλ，需用薄晶体或非临界相位匹配。

- 应用：频率转换、脉冲压缩、量子光源。
- 非临界相位匹配：Δn=0，带宽大，但需特定温度或波长。
- 准相位匹配：周期极化，允许带宽由 grating period 决定。

温度控制炉（精度±0.1°C）。旋转台（精度<0.01°）。光谱仪测量谐波谱宽。

271

光学基础

像差理论

波前像差的Zernike系数​

波前展开：W(ρ,θ) = Σ{n=0}^{∞} Σ{m=-n}^{n} c_n^m Z_n^m(ρ,θ)
其中c_n^m为Zernike系数，Z_n^m为Zernike多项式。

1. 拟合：已知波前采样点W(ρ_i,θ_i)，用最小二乘法求解c_n^m。通常取前36项（n≤7）。
2. 示例：离焦项Z₂⁰ = √3 (2ρ²-1)，系数c₂⁰表示离焦量。若c₂⁰=1 μm，则波前离焦为√3 * 1≈1.73 μm PV。
3. 像差RMS：RMS = √(Σ (c_n^m)²)（忽略n=0,1项）。

- Zernike系数：c_n^m (m)
- 多项式：Z_n^m(ρ,θ)
- 径向阶数：n
- 角向频率：m
- 波前像差：W (m)
- RMS：σ (m)
- 峰谷值：PV (m)

动态像差：大气湍流导致c_n^m随时间随机变化，时间尺度毫秒到秒。
校正：自适应光学系统测量c_n^m，驱动变形镜生成共轭波前。

- 应用：眼科、天文望远镜、光刻机。
- 与Seidel像差关系：Seidel像差是Zernike项的组合。
- 标准化：OSA标准索引。

哈特曼-夏克波前传感器。变形镜。实时控制器。Zernike分析软件。

272

激光物理

光纤激光器

受激布里渊散射阈值​

阈值功率：P_th = 21 A_eff / (g_B L_eff)
其中g_B为布里渊增益系数，L_eff = (1-exp(-αL))/α。

1. 单模光纤：A_eff=50 μm²，L_eff=20 km，g_B=5e-11 m/W，P_th ≈ 21 * 50e-12/(5e-11 * 2e4) = 1.05 W。实际由于偏振、线宽等因素，阈值约几毫瓦到几十毫瓦。
2. 抑制：加宽线宽（相位调制），或使用特种光纤（如光子晶体光纤增大A_eff）。
3. 传感应用：布里渊频移与应变/温度线性相关。

- 有效面积：A_eff (m²)
- 有效长度：L_eff (m)
- 布里渊增益系数：g_B (m/W)
- 阈值功率：P_th (W)
- 布里渊频移：ν_B (Hz)
- 线宽：Δν_B (Hz)

功率演化：达到阈值后，后向斯托克斯光指数增长，泵浦耗尽。
动态：连续波下稳态，脉冲下若脉冲宽于声子寿命（~10 ns），准连续。

- 与SRS对比：SBS频移小，后向，阈值低。
- 应用：光纤传感器、窄线宽激光器、微波光子学。
- 测量：泵浦-探测法测量增益谱。

窄线宽激光器。光电探测器。频谱分析仪。分布式传感分析仪。

273

非线性光学

四波混频

简并四波混频效率​

小信号效率：η = (γ P_p L_eff)² sinc²(Δk L/2)
其中Δk = 2k_p - k_s - k_i，相位失配。
峰值效率：当Δk=0，η_max = (γ P_p L_eff)²。

1. 参数：γ=10 /W/km，P_p=1 W，L_eff=0.1 km（高非线性光纤），则η_max = (10 * 1 * 0.1)² = 1。即100%转换，但小信号近似不成立。
2. 相位匹配：在零色散波长附近，Δk≈0。对于λ_p=1550 nm，使用色散平坦光纤。
3. 应用：波长转换，信号与闲频光关于泵浦对称。

- 泵浦功率：P_p (W)
- 非线性系数：γ (1/W/km)
- 有效长度：L_eff (km)
- 相位失配：Δk (1/m)
- 转换效率：η
- 信号/闲频波长：λ_s, λ_i (m)

功率演化：泵浦、信号、闲频光相互耦合，需解耦合方程。小信号下信号指数增长。
走离效应：群速度失配限制有效长度。

- 类型：简并（泵浦相同）和非简并。
- 应用：全光信号处理、量子纠缠源、频谱克隆。
- 噪声：自发FWM产生量子关联光子对。

高非线性光纤（如HNLF）。可调谐激光器（泵浦和信号）。光谱仪观察闲频光。

274

信息光学

数字全息

数字全息重建算法​

角谱法重建：U(x,y,0) = F⁻¹{ F{U(x,y,d)} exp(-i 2π d √(1/λ² - f_x² - f_y²)) }
其中d为重建距离，f_x, f_y为空间频率。

1. 步骤：
a. 记录全息图H(x,y)。
b. 数值模拟参考光R(x,y)与H相乘，得到物光场O = H R。
c. 使用角谱传播，将O向后传播距离d，得到物平面光场。
2. 分辨率：受传感器像素尺寸Δx限制，最大记录角度 θ_max = λ/(2Δx)。对于Δx=3.45 μm，λ=633 nm，θ_max≈5.3°。
3. 相位解缠*：重建相位包裹在(-π,π)，需解缠得到连续相位。

- 全息图：H(x,y) (强度)
- 参考光：R(x,y) (复数)
- 重建距离：d (m)
- 波长：λ (m)
- 像素尺寸：Δx (m)
- 空间频率：f_x, f_y (1/m)
- 数值孔径：NA = sinθ_max

数值聚焦：通过改变d，可对不同深度层聚焦，实现三维成像。
计算时间：FFT计算，与像素数N log N成正比。实时处理需GPU加速。

- 应用：显微成像、表面形貌测量、粒子跟踪。
- 与光学全息对比：数字记录，灵活处理，但分辨率受传感器限制。
- 相移干涉：多幅相移全息图可分离实像和共轭像。

CCD/CMOS相机（高分辨率，小像素）。激光光源。精密位移台（用于相移）。重建软件（MATLAB、Python）。

275

纳米光子学

超构表面

广义斯涅尔定律​

相位梯度：sin(θ_t) n_t - sin(θ_i) n_i = (λ₀/(2π)) dΦ/dx
其中dΦ/dx为相位梯度。
异常反射：θ_r满足 sin(θ_r) - sin(θ_i) = (λ₀/(2π n_i)) dΦ/dx。

1. 设计：超构表面单元提供局域相位突变Φ(x)。若设计线性梯度 dΦ/dx = 2π/Λ，则异常反射角 sinθ_r = sinθ_i + λ₀/(n_i Λ)。
2. 示例：垂直入射θ_i=0，Λ=λ₀，则sinθ_r=1，θ_r=90°，但实际受限于衍射。
3. 高效率：通过优化单元结构，实现2π相位覆盖和均匀振幅，效率可达80%以上。

- 入射角：θ_i (rad)
- 反射/折射角：θ_r, θ_t (rad)
- 折射率：n_i, n_t
- 相位梯度：dΦ/dx (rad/m)
- 超构表面周期：Λ (m)
- 波长：λ₀ (m)
- 效率：η (0~1)

宽带设计：相位梯度随波长变化，导致色差。可设计色散补偿或 achromatic metasurface。
动态调控：用电光或热光材料调谐相位。

- 应用：平面透镜、光束偏转、全息、偏振控制。
- 与衍射光学关系：类似 blazed grating，但亚波长结构可抑制高阶衍射。
- 制造：纳米加工技术。

电子束光刻或深紫外光刻。原子层沉积（高折射率材料）。扫描电子显微镜检测。光学测试（角分辨光谱）。

276

量子光学

量子密钥分发

诱骗态协议​

密钥率：R ≥ q { -Q_μ f(E_μ) H₂(E_μ) + Q₁ [1 - H₂(e₁)] }
其中Q_μ为信号态增益，E_μ为误码率，Q₁为单光子增益，e₁为单光子误码率，f为纠错效率。

1. 原理：Alice随机发送信号态（强度μ）、诱骗态（强度ν）和真空态。Bob测量后，通过不同强度的计数率估算单光子贡献，从而安全密钥只来自单光子。
2. 数值：典型μ=0.5，ν=0.1，真空占一定比例。通过公式可计算Q₁和e₁，代入得密钥率。相比BB84，可延长距离。
3. 距离记录：使用超导探测器，在光纤中可达500 km以上。

- 信号态强度：μ (平均光子数)
- 诱骗态强度：ν (平均光子数)
- 增益：Q_μ, Q_ν, Q₀
- 误码率：E_μ, E_ν
- 单光子增益：Q₁
- 单光子误码率：e₁
- 密钥率：R (bit/pulse)
- 安全距离：L_max (km)

脉冲序列：随机交替发送不同强度的脉冲。接收端记录时间和计数。
后处理：双方公开强度信息，进行基比对、误码估计、纠错、保密放大。

- 与弱相干态BB84对比：诱骗态可防御光子数分裂攻击，提高安全密钥率和距离。
- 实际系统：需考虑强度波动、探测器效率差异、后脉冲等。
- 标准化：ITU-T已有相关建议。

强度调制器（产生诱骗态）。单光子探测器（低噪声，高效率）。时间数字转换器。密钥管理软件。

277

光学基础

光学谐振腔

品质因子Q​

定义：Q = ω₀ / Δω，其中ω₀为共振频率，Δω为线宽。
与损耗关系：Q = ω₀ τ_c，τ_c为光子寿命。
腔损耗：Q⁻¹ = Σ Q_i⁻¹，包括吸收、散射、透射等。

1. 法布里-珀罗腔：Δν_c = c/(2πL) * (1-R)，则Q = ν₀/Δν_c。对于λ=1550 nm，L=1 cm，R=0.99，ν₀=1.94e14 Hz，Δν_c≈4.8 MHz，Q≈4e7。
2. 微环谐振器：Q = ω₀ τ，τ = 1/(v_g (α_i + α_c))，其中α_i为内部损耗，α_c为耦合损耗。高Q可达10⁶以上。
3. 测量：扫描波长，测透射峰宽度。

- 共振频率：ω₀ (rad/s)
- 线宽：Δω (rad/s)
- 光子寿命：τ_c (s)
- 腔长：L (m)
- 反射率：R
- 群速度：v_g (m/s)
- 损耗系数：α_i, α_c (1/m)

瞬态：腔内光场衰减时间常数τ_c，Q越高，衰减越慢。
热效应：高功率下，热致频率漂移影响稳态共振。

- 应用：激光器、滤波器、传感器、非线性光学增强。
- 与精细度关系：ℱ = Q / m，m为级次。
- 极限：材料吸收、辐射损耗限制最大Q。

光谱分析仪（高分辨率）。可调谐激光器。谐振腔扫描控制。

278

激光物理

调Q激光

调Q脉冲能量​

能量：E_out = (1/2) hν N_i ln(1/R) / (ln(1/R) + L_i)
其中N_i为初始反转粒子数，R为输出镜反射率，L_i为内部损耗。

1. 推导：假设脉冲提取效率为50%，即一半储能转化为输出。N_i = (P_p τ_f) / (hν_p)，其中P_p为泵浦功率，τ_f为上能级寿命。
2. 数值：Nd:YAG，hν=1.86e-19 J，N_i=1e18，R=0.5，L_i=0.1，则E_out = 0.5 * 1.86e-19 * 1e18ln(2)/(ln(2)+0.1) ≈ 0.093 * 0.693/0.793 ≈ 0.081 J = 81 mJ。
3. 峰值功率*：P_peak ≈ E_out / τ_pulse，τ_pulse约10 ns，则P_peak≈8 MW。

- 初始反转：N_i (数目)
- 输出镜反射率：R
- 内部损耗：L_i
- 脉冲能量：E_out (J)
- 光子能量：hν (J)
- 脉冲宽度：τ_pulse (s)
- 峰值功率：P_peak (W)

脉冲建立：从噪声到脉冲峰值时间约几个往返时间。输出脉冲形状近似高斯。
重复频率：由泵浦和调Q开关重复率决定。

- 应用：材料加工、测距、非线性频率转换。
- 主动与被动：主动调Q控制精确，被动简单但时间抖动大。
- 热效应：高重复频率时热透镜效应显著。

电光或声光Q开关。泵浦源（闪光灯或LD）。冷却系统。能量计测量。

279

非线性光学

光学参量放大

参量增益​

小信号增益：G = 1 + (γ P_p L_eff)² sinc²(Δk L/2)
相位匹配时：G = cosh²(γ P_p L_eff) ≈ (1/4) exp(2γ P_p L_eff) (高增益)

1. 连续波：γ=10 /W/km，P_p=1 W，L_eff=0.1 km，则γ P_p L_eff=1，cosh²(1)≈2.38，即增益3.8 dB。
2. 脉冲：峰值功率高，增益大。但需考虑 walk-off 和群速度色散。
3. 带宽：增益带宽与晶体长度和色散有关。Δω ∝ 1/√(L d²Δk/dω²)。

- 泵浦功率：P_p (W)
- 非线性系数：γ (1/W/km)
- 有效长度：L_eff (km)
- 相位失配：Δk (1/m)
- 增益：G (线性)
- 带宽：Δω (rad/s)

增益饱和：当信号光强与泵浦可比时，泵浦耗尽，增益饱和。
噪声：参量放大产生量子噪声，可用于制备压缩态。

- 应用：低噪声放大、量子光学、波长转换。
- 与激光放大对比：无需粒子数反转，带宽大，但需相位匹配。
- 集成化：在波导中实现，提高效率。

非线性晶体（PPKTP、PPLN）。高功率泵浦激光器。光谱分析仪测量增益谱。

280

光学测量

白光干涉

相干包络提取​

干涉信号：I(z) = I₀ [1 + V g(z-z₀) cos(2π (z-z₀)/λ₀ + φ₀)]
其中g(z)为包络函数，通常为高斯型。

1. 包络检测：对I(z)做希尔伯特变换，得到解析信号，其幅值即为包络。
2. 表面形貌：扫描样品，对每个像素点得到包络峰值位置z₀，即表面高度。精度可达纳米级。
3. 光源：白光LED或超辐射二极管，相干长度几微米到几十微米。

- 光强：I (a.u.)
- 可见度：V (0~1)
- 包络函数：g(z)
- 扫描位置：z (m)
- 中心波长：λ₀ (m)
- 相位偏移：φ₀ (rad)
- 相干长度：L_c (m)

扫描过程：参考镜匀速移动，相机逐帧采集干涉图。对每个像素处理得到高度。
实时：需快速扫描和图像处理，每秒可测数万点。

- 应用：表面粗糙度、薄膜厚度、微结构测量。
- 与单色干涉对比：无歧义范围大，但精度略低。
- 扩展：光谱域OCT。

白光干涉仪（Zygo、Bruker）。压电扫描台。CCD相机。数据处理软件。

281

光学基础

衍射理论

基尔霍夫衍射积分​

菲涅耳-基尔霍夫公式：
U(P) = (1/(iλ)) ∫∫_Σ U₀(Q) (e^{ikr}/r) cosθ dS
其中θ为面元法线与观察方向夹角。

1. 近似：在傍轴近似下，cosθ≈1，r≈z，过渡到菲涅耳衍射积分。
2. 数值计算：直接积分计算量大，通常用角谱法或FFT加速。
3. 边界条件：假设孔径外场为零，忽略边界效应，为近似。

- 观察点场：U(P) (V/m)
- 孔径上场：U₀(Q) (V/m)
- 距离：r (m)
- 波长：λ (m)
- 波数：k = 2π/λ (1/m)
- 倾斜因子：cosθ
- 积分面：Σ

传播过程：从孔径平面到观察平面，满足标量波动方程。
精度：在波长量级结构，标量近似失效，需矢量理论。

- 应用：天线设计、声学、电磁散射。
- 与瑞利-索末菲公式对比：不同倾斜因子，结果近似相同。
- 局限性：不适用于近场（几个波长内）。

光学设计软件（如CODE V）使用衍射积分计算像质。电磁仿真软件（如CST）用于精确计算。

282

激光物理

半导体激光器

速率方程与 relaxation oscillation​

单模速率方程：
dN/dt = I/(qV) - N/τ_n - v_g g(N) S
dS/dt = Γ v_g g(N) S - S/τ_p + β N/τ_n
其中g(N) = a (N - N_tr)。

1. 稳态：令d/dt=0，得阈值电流I_th = (qV/τ_n) (N_tr + 1/(Γ v_g a τ_p))。典型值：V=0.1 μm³，τ_n=1 ns，N_tr=1e24 m⁻³，Γ=0.3，v_g=8e7 m/s，a=3e-20 m²，τ_p=2 ps，计算得I_th≈5 mA。
2. 弛豫振荡频率：f_r = (1/(2π)) √( v_g a S₀/τ_p )，其中S₀为稳态光子密度。超过阈值时，f_r可达数GHz。
3. 阻尼：γ = 1/τ_n + v_g a S₀。

- 载流子密度：N (1/m³)
- 光子密度：S (1/m³)
- 电流：I (A)
- 体积：V (m³)
- 微分增益：a (m²)
- 透明载流子密度：N_tr (1/m³)
- 光子寿命：τ_p (s)
- 群速度：v_g (m/s)
- 限制因子：Γ
- 自发发射因子：β

小信号响应：调制传递函数具有谐振峰，3-dB带宽约为1.55 f_r。
大信号：数字调制时，瞬态过冲和振铃。

- 应用：直接调制激光器、光通信、传感。
- 与光纤激光器对比：半导体激光器响应快，但线宽宽。
- 热效应：阈值和输出功率随温度变化。

半导体激光器芯片制造（MOCVD外延）。封装（TO-can、蝶形）。测试系统（L-I-V曲线、频谱）。

283

非线性光学

自聚焦

临界自聚焦功率​

临界功率：P_cr = α λ²/(4π n₀ n₂)
其中α为常数，约1.86（对于高斯光束）。
自聚焦焦距：f_self ≈ (π w₀²/λ) / √(P/P_cr - 1)

1. 熔石英：n₂=3e-20 m²/W，λ=1 μm，n₀=1.45，P_cr≈1.86 * 1e-12/(4π1.45 * 3e-20)≈3.4 MW。对于CS₂，n₂=3e-18，P_cr≈34 kW。
2. 自聚焦焦距：w₀=50 μm，P=2P_cr，则f_self≈(π2500e-12/1e-6)/√1≈7.85 mm。光束在7.85 mm后聚焦。
3. 损伤：自聚焦导致功率密度极高，可能损伤介质。

- 临界功率：P_cr (W)
- 非线性折射率：n₂ (m²/W)
- 波长：λ (m)
- 线性折射率：n₀
- 束腰半径：w₀ (m)
- 自聚焦焦距：f_self (m)
- 峰值功率：P_peak (W)

动态：自聚焦与衍射竞争，可能形成光束自陷（空间孤子）或周期性聚焦-散焦。
脉冲：对于短脉冲，自聚焦与色散、自相位调制耦合，可能导致 filamentation。

- 应用：光束控制、非线性成像、超连续谱产生。
- 危险：高功率激光系统中，自聚焦可能意外损坏光学元件。
- 测量：Z扫描法测量n₂和P_cr。

高功率脉冲激光器。光束轮廓仪。Z扫描测量装置。

284

信息光学

光计算

光学矩阵乘法​

4f系统实现：在频谱面放置空间光调制器加载权重矩阵W。
数学：输出 g = F⁻¹{ F{f} · W }，其中f为输入图像。

1. 原理：输入图像f(x,y)经透镜傅里叶变换为F(u,v)，与权重矩阵W(u,v)相乘，再逆变换得输出g(x,y)。若W是卷积核的傅里叶变换，则实现卷积。
2. 精度：受限于SLM像素数、精度、动态范围。目前可实现8-bit整数运算。
3. 速度：光速传播，延迟仅纳秒级。但SLM刷新率限制（kHz），整体吞吐量高。

- 输入图像：f(x,y) (强度或振幅)
- 权重矩阵：W(u,v) (复数)
- 输出图像：g(x,y) (强度或振幅)
- SLM像素数：N×N
- 刷新率：f_refresh (Hz)
- 计算延迟：t_delay (s)
- 吞吐量：Throughput (OPS)

流水线：连续输入图像，光学系统实时处理。但权重更新需SLM刷新，耗时毫秒。
训练：权重在计算机上训练，下载到SLM。

- 应用：神经网络推理、图像滤波、信号处理。
- 与电子计算对比：低功耗、并行，但精度和灵活性差。
- 集成：光电混合计算。

空间光调制器（LCOS、DMD）。透镜组。激光光源。相机捕获输出。

285

纳米光子学

光子晶体光纤

无截止单模传输​

有效折射率：n_eff = β/k₀，由结构决定。
单模条件：V_eff = (2π/λ) a √(n_co² - n_cl²) < 2.405，其中a为纤芯尺寸，n_co为纤芯折射率，n_cl为包层有效折射率。

1. 设计：空芯光子晶体光纤，包层为空气孔阵列，n_cl可小于1，因此即使a很大，V_eff也可能小于2.405，实现无截止单模。
2. 举例：纤芯直径20 μm，λ=1550 nm，n_co=1.45，n_cl≈1.44，V≈2π/1.55e-6 * 10e-6√(0.0029)≈2.3，略小于2.405，单模。
3. 色散*：通过调节孔间距和直径，可设计零色散点在可见光或近红外。

- 传播常数：β (1/m)
- 有效折射率：n_eff
- 归一化频率：V_eff
- 纤芯直径：2a (m)
- 纤芯折射率：n_co
- 包层有效折射率：n_cl
- 单模条件：V_eff < 2.405

模式演化：随波长变化，n_eff变化，可能在高波长变为多模。但无截止单模光纤在任意波长单模。
弯曲损耗：光子晶体光纤对弯曲更敏感。

- 应用：超连续谱产生、高功率传输、传感。
- 与普通光纤对比：设计自由度大，可特殊色散和非线性。
- 制造：stack-and-draw 方法。

光子晶体光纤拉制塔。预制棒制备（打孔、堆积）。显微镜检测结构。光谱测量色散和非线性。

286

量子光学

量子纠缠

纠缠度度量​

并发度：C(ρ) = max(0, λ₁ - λ₂ - λ₃ - λ₄)，其中λ_i为降密度矩阵的奇异值降序排列。
纠缠熵：E(ρ) = S(ρ_A) = -Tr(ρ_A log₂ ρ_A)，对于纯态。

1. Bell态：

Φ⁺〉= (

00〉+

11〉)/√2，约化密度矩阵ρ_A = I/2，纠缠熵E=1。并发度C=1。
2. Werner态：ρ = p

Φ⁺〉〈Φ⁺

287

光学基础

像差理论

斯特列尔比​

定义：S =

∫∫ P(x,y) e^{i φ(x,y)} dx dy

² /

∫∫ P(x,y) dx dy

²，其中P为光瞳函数，φ为波前像差。
近似：S ≈ exp(-σ_φ²)，σ_φ为波前误差RMS（弧度）。

1. 衍射极限：φ=0，S=1。
2. 有像差：若波前误差RMS为λ/14，则σ_φ=2π/14≈0.448 rad，S≈exp(-0.448²)≈0.82。即中心光强降为82%。
3. 马雷夏尔判据：S≥0.8，认为系统接近衍射极限，对应波前误差RMS≤λ/14。

288

激光物理

超短脉冲

脉冲宽度与频谱关系​

时间-带宽积：Δτ Δν ≥ K，其中K为常数，取决于脉冲形状。高斯脉冲K≈0.441，双曲正割脉冲K≈0.315。
变换极限脉冲：Δτ Δν = K。

1. 高斯脉冲：时域 exp(-t²/τ²)，频谱 exp(-ω² τ²/4)，半高全宽 Δτ = 2√(ln2) τ，Δν = 2√(ln2)/(πτ)，乘积Δτ Δν = 2 ln2/π ≈ 0.441。
2. 举例：钛宝石激光器，中心波长800 nm，带宽Δλ=100 nm，则Δν = cΔλ/λ²≈3e8 * 100e-9/(800e-9)²≈4.7e13 Hz。变换极限脉冲宽度 Δτ = 0.441/Δν ≈ 9.4 fs。实际脉冲可能因啁啾更宽。
3. 测量：自相关仪测Δτ，光谱仪测Δν，比较乘积判断啁啾。

- 脉冲宽度：Δτ (s) (FWHM)
- 带宽：Δν (Hz) (FWHM)
- 时间-带宽积：TBP = Δτ Δν
- 中心波长：λ₀ (m)
- 啁啾参数：C (无量纲)
- 形状因子：K

啁啾脉冲：频率线性调制，Δτ Δν > K。通过色散补偿可压缩至变换极限。
脉冲演化：在介质中传播，色散和非线性改变脉冲宽度和啁啾。

- 应用：超快光谱、微加工、非线性光学。
- 测量技术：自相关、FROG、SPIDER。
- 压缩：光栅对、棱镜对、啁啾镜。

自相关仪（非共线）。光谱相位测量仪（FROG）。可调色散补偿器。

289

非线性光学

光学双稳态

双稳态方程​

法布里-珀罗腔内含非线性介质：
透射率 T = I_out / I_in = 1 / (1 + F sin²(δ/2))，其中δ = δ₀ + (2π/λ) n₂ I_cav L，I_cav为腔内光强。

1. 稳态解：对于给定输入I_in，腔内光强I_cav满足方程。可能有多解，导致双稳态。
2. 参数：F=100，δ₀=π，n₂=1e-10 m²/W，L=1 cm，λ=1 μm。则δ随I_cav变化。当I_in从低到高扫描，透射率跳变，形成滞回线。
3. 开关功率：开关阈值功率约兆瓦每平方厘米量级。

- 输入光强：I_in (W/m²)
- 输出光强：I_out (W/m²)
- 腔内光强：I_cav (W/m²)
- 线性相位：δ₀ (rad)
- 非线性折射率：n₂ (m²/W)
- 腔长：L (m)
- 精细度系数：F
- 透射率：T

动态切换：输入光强变化时，输出可能滞后。开关时间受腔内光子寿命限制，约纳秒到微秒。
光学记忆：利用滞回线实现光学记忆元件。

- 应用：全光开关、光学逻辑、光学存储。
- 实现结构：法布里-珀罗腔、环形腔、光子晶体腔。
- 热效应：热致非线性也可导致双稳态。

非线性介质（例如半导体、聚合物）。高精细度腔。可调激光器。光电探测器记录滞回线。

290

光学测量

椭偏仪

椭偏参数与光学常数​

椭偏角：tanΨ e^{iΔ} = r_p / r_s，其中r_p, r_s为复反射系数。
与光学常数关系：对于薄膜系统，通过测量Ψ和Δ，拟合得到厚度和光学常数（n, k）。

1. 单层膜：在基底上有一层薄膜，反射系数可用菲涅尔公式计算。通过测量多个波长和入射角的Ψ、Δ，用最小二乘法拟合n、k和厚度d。
2. 灵敏度：对超薄膜（<1 nm）敏感。可测折射率精度0.001，厚度精度0.1 nm。
3. 数据分析：常用Drude、Lorentz、Tauc-Lorentz等模型描述光学常数色散。

- 椭偏角：Ψ (0~90°), Δ (0~360°)
- 复反射系数：r_p, r_s (复数)
- 入射角：θ_i (度)
- 波长：λ (m)
- 光学常数：n, k (复数折射率 N = n - i k)
- 膜厚：d (m)
- 拟合误差：MSE

测量过程：旋转检偏器或补偿器，测量光强随角度变化，通过傅里叶分析得到Ψ、Δ。多波长扫描得到光谱。
实时监测：可在沉积过程中实时测量膜厚和光学常数。

- 应用：薄膜表征、材料分析、生物传感。
- 类型：零椭偏、旋转检偏、相位调制等。
- 与反射谱对比：椭偏仪同时测振幅和相位，更精确。

光谱椭偏仪（J.A. Woollam、Sentech）。旋转部件控制。数据分析软件。样品台（可加热、旋转）。

291

光学设计

长焦距光学系统

RC系统初始结构计算​

主次镜曲率与间隔公式：
R₁ = 2 f₁'
R₂ = 2β l₂/(β+1)
d = f₁' - l₂
其中 l₂ = -f₁' + Δ/(β-1)，α = l₂/f₁' 为遮拦比。

1. 设计流程：给定系统焦距 f'、相对孔径 D/f'、总长 L。先确定主镜焦距 f₁'，通常 f₁' ≈ f'。选择工作距 Δ（次镜到焦面距离）。根据消球差和彗差条件，确定次镜放大率 β 和物距 l₂。
2. 数值例：f'=2000 mm，D=400 mm（F/5），总长 L=1800 mm。取 f₁'=2000 mm，Δ=300 mm。为减小遮拦，取 β= -3（负表示倒像）。则 l₂ = -2000 + 300/(-3-1) = -2075 mm。R₁=2 * 2000=4000 mm。R₂=2(-3)(-2075)/(-3+1)= -12450 mm。d=2000 - (-2075)=4075 mm。遮拦比 α = l₂/f₁' = -2075/2000 ≈ -1.0375（负值表示次镜在主镜焦点之前）。
3. 面型：主镜和次镜通常为双曲面，离心率 e₁² 和 e₂² 由消像差条件给出。

- 主镜焦距：f₁' (mm)
- 次镜放大率：β（负值）
- 次镜物距：l₂ (mm)
- 主镜曲率半径：R₁ (mm)
- 次镜曲率半径：R₂ (mm)
- 主次镜间隔：d (mm)
- 遮拦比：α = l₂/f₁'
- 工作距：Δ (mm)
- 系统总长：L (mm)

装调公差：主次镜间距 d 公差约 ±0.1 mm，倾斜公差 < 10 arcsec。温度变化引起材料伸缩，需热补偿设计。
像质优化：初始结构需在光学设计软件中进一步优化，修正高阶像差。

- RC系统：Ritchey-Chrétien 系统，消球差和彗差，适合宽视场。
- 应用：天文望远镜、空间对地观测。
- 衍生：卡塞格林系统、格里高利系统。

大口径镜面加工（数控研磨抛光）。干涉检测（Zygo、4D）。装调平台（六自由度调整）。厂商：蔡司、佳能、南京天文光学技术研究所。

292

光学设计

像差理论

佩兹瓦尔场曲校正​

佩兹瓦尔和公式：
1/ρ = Σ (Φ_i / n_i)
其中 Φ_i 为第 i 个面的光焦度，n_i 为像方介质折射率。
校正条件：Σ (Φ_i / n_i) = 0。

1. 推导：对于薄透镜系统，Φ_i = (n_i - n_{i-1})/R_i。佩兹瓦尔和表示像场弯曲的曲率。若和为零，则像面为平面。
2. 双胶合透镜：正透镜（冕玻璃，n₁=1.5，Φ₁=0.02 mm⁻¹）和负透镜（火石玻璃，n₂=1.6，Φ₂=-0.02 mm⁻¹）。佩兹瓦尔和 = 0.02/1.5 + (-0.02)/1.6 ≈ 0.01333 - 0.0125 = 0.00083 mm⁻¹，接近零。
3. 摄远镜头：前组正光焦度，后组负光焦度，通过分离使主面后移，减小系统长度，同时调整玻璃组合使佩兹瓦尔和接近零。

- 佩兹瓦尔和：Σ (Φ_i/n_i) (mm⁻¹)
- 光焦度：Φ_i = 1/f_i' (mm⁻¹)
- 折射率：n_i
- 曲率半径：R_i (mm)
- 像场曲率半径：ρ (mm)
- 像面弯曲量：Δz (mm)

视场变化：像场弯曲随视场角平方增大。对于广角镜头，边缘视场像点离焦严重，需强校正。
温度影响：折射率随温度变化，改变佩兹瓦尔和，需 athermal 设计。

- 与像散关系：像散和场曲常同时存在，校正需平衡。
- 方法：使用厚弯月透镜、分离正负透镜、高折射率差玻璃。
- 评价：通过场曲图（Field Curvature）评估。

光学设计软件（Zemax、Code V）优化。玻璃库选择（Schott、Ohara）。透镜加工（精密退火、研磨）。

293

光学设计

像差理论

三级像差系数​

球差系数：S_I = Σ (A² h Δ(u/n))
彗差系数：S_II = Σ (A B h Δ(u/n))
其中 A = n i，B = n i_p，h 为入射高，u 为孔径角，i 为入射角，i_p 为主光线入射角，Δ 表示折射前后的变化量。

1. 单透镜球差：对于薄透镜，球差系数近似为 S_I ≈ (h⁴/8) (n/(n-1)²) (1/f³) ( (n+2)/(n-1) q² + 4(n+1)/(n-1) q + (3n+2)/n )，其中 q = (R₂+R₁)/(R₂-R₁) 为形状因子。当 q = -2(n²-1)/(n+2) 时球差最小。
2. 数值：n=1.5，f=100 mm，h=10 mm（F/5），最小球差形状因子 q ≈ -2(2.25-1)/(1.5+2) ≈ -0.714。若 R₁=∞（平凸），则 q = (R₂+∞)/(R₂-∞) = 1，球差较大。优化形状可减小球差。
3. 系统校正*：多片透镜组合，使总 S_I=0。例如双胶合透镜，正透镜产生正球差，负透镜产生负球差，相互抵消。

- 球差系数：S_I
- 彗差系数：S_II
- 像散系数：S_III
- 场曲系数：S_IV
- 畸变系数：S_V
- 入射高：h (mm)
- 孔径角：u (rad)
- 折射率：n
- 形状因子：q

孔径变化：球差随孔径 h⁴ 增长。大孔径镜头需强力校正。
视场变化：彗差、像散、场曲、畸变随视场角增大。

- 三级像差理论：Seidel 像差，适用于小视场、小孔径近似。
- 高级像差：更大视场和孔径需考虑五级及以上像差。
- 应用：镜头初始设计、像差平衡。

像差计算软件（OSLO）。透镜曲率优化。公差分析。

294

成像光学

成像系统

点扩散函数（PSF）​

成像过程卷积模型：
I(x,y) = O(x,y) ⊗ PSF(x,y) + N(x,y)
其中 ⊗ 表示卷积，O 为物体，I 为像，N 为噪声。
衍射极限 PSF（艾里斑）：PSF(r) = [2 J₁(π D r / (λ f)) / (π D r / (λ f))]²

1. 艾里斑尺寸：第一暗环半径 r_Airy = 1.22 λ f/D = 1.22 λ F#，其中 F# = f/D。对于 λ=550 nm，F#=2，r_Airy = 1.22 * 550e-9 * 2 ≈ 1.34 μm。
2. 数值例：相机镜头 f=50 mm，D=25 mm（F/2），λ=550 nm，则 r_Airy = 1.22 * 550e-9 * 2 ≈ 1.34e-3 mm。在像元尺寸 5 μm 的传感器上，艾里斑直径约 2.68 μm，略小于像元，接近衍射极限。
3. 实际 PSF：包含像差、散焦、大气湍流等。可通过测量点光源像获得。

- 物体：O(x,y) (强度)
- 像：I(x,y) (强度)
- 点扩散函数：PSF(x,y) (强度)
- 噪声：N(x,y) (强度)
- 波长：λ (m)
- 孔径直径：D (m)
- 焦距：f (m)
- F数：F# = f/D
- 艾里斑半径：r_Airy (m)
- 第一类一阶贝塞尔函数：J₁

时变 PSF：大气湍流导致 PSF 随机抖动和变形，时间尺度毫秒级。自适应光学实时校正。
深度变化：在三维成像中，PSF 随深度变化，需测量三维 PSF。

- 与分辨率关系：PSF 越窄，分辨率越高。瑞利判据基于艾里斑。
- 测量方法：使用点光源（LED、荧光微球）或刃边法。
- 应用：图像复原、超分辨率、光学系统评价。

点光源（针孔、微球）。高精度位移台（三维扫描）。CCD/CMOS 相机。PSF 提取软件（ImageJ、MATLAB）。

295

成像光学

成像系统

光学传递函数（OTF）​

OTF 定义：OTF(f_x, f_y) = ℱ{PSF(x,y)}，其中 ℱ 表示傅里叶变换。
调制传递函数（MTF）：MTF =

OTF

。
相位传递函数（PTF）：PTF = arg(OTF)。

1. 衍射极限 MTF：对于圆形孔径，MTF(f_r) = (2/π) [arccos(f_r/f_c) - (f_r/f_c) √(1 - (f_r/f_c)²)]，其中 f_r = √(f_x²+f_y²)，f_c = D/(λ f) 为截止频率。
2. 数值：D=10 mm，f=100 mm，λ=550 nm，则 f_c = 0.01/(550e-9 * 0.1) ≈ 181.8 lp/mm。在 f_r=90 lp/mm 处，MTF ≈ 0.5。
3. 像差影响：像差导致 MTF 下降，尤其在高频。通过 OTF 可全面评价成像质量。

- 空间频率：f_x, f_y (lp/mm)
- 径向频率：f_r (lp/mm)
- 截止频率：f_c (lp/mm)
- 光学传递函数：OTF (复数)
- 调制传递函数：MTF (0~1)
- 相位传递函数：PTF (rad)
- 对比度传递：CTF (0~1)

随视场变化：MTF 通常随视场角增大而下降，边缘像质变差。
随时间变化：振动、热漂移导致 MTF 降低，需稳定平台。

296

光通信

光编码

OCDMA 编码与相关函数​

编码信号：s_k(t) = ∑{i=0}^{F-1} d{k,i} p(t - i T_c)，其中 d{k,i} ∈ {0,1} 为第 k 个用户的码字，p(t) 为 chip 脉冲，T_c 为 chip 时长。
互相关函数：R{kl}(τ) = ∫ s_k(t) s_l(t-τ) dt。理想正交码满足 R_{kl}(0)=0 (k≠l)。

1. 二维 Prime Hop 码：参数 (F, W, λ_a, λ_c)，F 为码长，W 为权重，λ_a 为自相关旁瓣上限，λ_c 为互相关上限。例如 P=5 时，可生成 5×(5-1)=20 个用户码。
2. 相关计算：若两个码字在相同 chip 位置都有 “1”，则产生互相关。系统性能受多址干扰（MAI）限制，MAI 方差与同时用户数 K 成正比。
3. 系统容量：对于 2D-PHS 码，用户数 N = P(P-1)。P=31 时，N=930。

- 用户码字：d{k,i} (0 或 1)
- 码长：F (chips)
- 权重：W (每码字中 “1” 的个数)
- 自相关约束：λ_a
- 互相关约束：λ_c
- chip 时长：T_c (s)
- 互相关函数：R{kl}(τ)
- 用户数：N

异步传输：用户可随机接入，无需全局时钟同步。相关运算需考虑时延 τ。
动态用户：用户上下线时，需重新分配码字或采用动态码分配算法。

- OCDMA 类型：时域、频域、二维（时频、频码）。
- 优势：安全性高、抗干扰、软容量。
- 挑战：多址干扰、编解码器复杂度。

OCDMA 编码器（光纤 Bragg 光栅阵列、空间光调制器）。解码器（匹配滤波器）。多用户检测电路。

297

光通信

光编码

光谱振幅编码 OCDMA（SAC-OCDMA）​

编码原理：每个用户分配一个特定光谱振幅模板（如 EDW 码）。发送 “1” 时，发射对应谱线；发送 “0” 时，不发射。
接收光功率：P_User = (S B₀ / L) ∑_{i=1}^{L} C_E(i) C_D(i)，其中 S 为功率谱密度，B₀ 为总带宽，L 为码长，C_E 和 C_D 为编解码码字。

1. EDW 码：权重 w=3，码长 L = 2k + 4/3 sin²(kπ/3) + 8/3 sin²((k+1)π/3) + 4/3 sin²((k+2)π/3)，k 为用户数。当 k=3，L=？计算得 L=2 * 3+4/3sin²(π)+8/3sin²(4π/3)+4/3sin²(5π/3)=6+0+8/3(√3/2)²+4/3(√3/2)²=6+8/3 * 3/4+4/3 * 3/4=6+2+1=9。
2. 接收功率：若 S=1 μW/GHz，B₀=1 THz，L=9，w=3，则 P_User = 3 * 1e-6 * 1e12 / 9 ≈ 0.333 mW。
3. 噪声*：主要噪声为相位诱导强度噪声（PIIN），方差 σ²_PIIN = S² B_e B₀ w / L，其中 B_e 为电带宽。

- 功率谱密度：S (W/Hz)
- 总带宽：B₀ (Hz)
- 码长：L
- 权重：w
- 编解码码字：C_E(i), C_D(i) ∈ {0,1}
- 接收光功率：P_User (W)
- PIIN 方差：σ²_PIIN (A²)
- 电带宽：B_e (Hz)

传输过程：编码器将数据调制到特定光谱，经光纤传输，解码器用匹配滤波器提取目标用户信号。
功率演化：光纤损耗、非线性效应影响谱形，需 EDFA 放大。

- 优势：利用宽带光源，编解码简单，成本低。
- 应用：接入网、局域网。
- 增强：使用单光子探测器（APD）提高灵敏度。

宽带光源（LED、ASE）。可调滤波器（FBG 阵列、AWG）。平衡探测器。EDFA 放大器。

298

光通信

光解码

OCDMA 系统误码率（BER）​

信噪比（SNR）：SNR = (P_User)² / σ²total，其中 σ²total = σ²PIIN + σ²shot + σ²_thermal。
BER 公式：BER = (1/2) erfc(√(SNR/2))。

1. 高斯近似：假设 MAI 和噪声服从高斯分布。对于 SAC-OCDMA，σ²_total 以 PIIN 为主。由：SNR = (3 G B₀) / (B_e L)，其中 G 为 APD 增益。
2. 数值例：G=10，B₀=1 THz，B_e=0.75×Rb，Rb=1 Gbps，则 B_e=0.75 GHz，L=9，SNR = (3 * 10 * 1e12)/(0.75e9 * 9) ≈ 4444。BER = 0.5 erfc(√(4444/2)) ≈ 0.5 erfc(47.1) ≈ 10⁻¹⁰⁰⁰，极低。实际受限于非线性、串扰。
3. 用户数影响：用户数 k 增加，码长 L 增加，SNR 下降，BER 升高。

- 信噪比：SNR (线性)
- 误码率：BER
- APD 增益：G
- 比特率：Rb (bps)
- 总噪声方差：σ²total (A²)
- 散粒噪声方差：σ²shot = 2q (I_photo + I_dark) B_e
- 热噪声方差：σ²_thermal = 4k_B T B_e / R_L

实时解码：光电检测后，电信号经低通滤波、时钟恢复、判决，产生数字比特流。BER 随时间波动，需长期平均。
自适应阈值：根据干扰水平动态调整判决阈值，优化 BER。

- 性能限制：多址干扰（MAI）是主要限制因素，尤其用户数多时。
- 多用户检测：串行干扰消除（SIC）可提升容量。
- 实验系统：已实现 10 Gbps 用户速率，数十用户。

误码率测试仪（BERT）。眼图分析仪。实时示波器。数字信号处理器（DSP）用于干扰消除。

299

光通信

光解码

二维 OCDMA 编解码（空频/偏振域）​

编码信号：E_encoded(x,y) = A exp(i(B + C))，其中 A 为振幅，B 为信息相位，C 为二维空间相位码矩阵。
解码：E_decoded = E_encoded · exp(-i C) = A exp(iB)，若码匹配。

1. 空频域 OCDMA：信息经透镜傅里叶变换到空频域，用二维相位码调制相位。解码时用共轭码解调，再逆变换恢复。码矩阵大小例如 256×256，相位值 0, π/2, π, 3π/2。
2. 二维 DPS 码：将一维 DPS 码扩展至谱-偏振域。例如 1D DPS 矩阵行如 [0110; 1011; 1102]，映射为 3-bit 码（0→100, 1→010, 2→001）。在偏振域复制，用户容量翻倍。
3. 相关特性：自相关峰值高，互相关低。正确解码时，相关输出峰值；错误码时，输出低值。

- 信息相位：B (rad)
- 相位码矩阵：C (rad)，大小 M×N
- 振幅：A (a.u.)
- 编码场：E_encoded (复数)
- 解码场：E_decoded (复数)
- 映射规则：例如 0→100, 1→010, 2→001
- 用户容量：N_users

编解码时序：对于每个数据包，先加载相位码矩阵，然后调制光信号。解码需同步，码序列需对齐。
并行处理：二维编码可在空间光调制器上并行处理，提高吞吐量。

- 优势：二维编码增加自由度，提升用户容量和安全性。
- 实现：空间光调制器（SLM）加载相位码，4f 系统实现傅里叶变换。
- 挑战：对准精度、串扰、器件速度。

空间光调制器（LCOS、DMD）。4f 光学系统（透镜对）。偏振控制器。相机（用于空间域检测）。

300

成像光学

计算成像

光场显微镜重建算法​

图像形成模型：FS = V ⊗ PSF，其中 FS 为 focal stack，V 为物体体素强度，PSF 为点扩散函数。
重建：通过反卷积求解 V，例如使用 Richardson-Lucy 算法：V^{(k+1)} = V^{(k)} · ( (FS / (V^{(k)} ⊗ PSF)) ⊗ PSF^T )，其中 ^T 表示翻转。

1. PSF 测量：将荧光微球置于焦平面，记录其光场，通过数字重聚焦得到不同深度的 PSF。微球尺寸应小于分辨率极限。
2. 反卷积：已知 FS 和 PSF，求解 V。由于问题病态，需正则化。迭代算法收敛慢，需 GPU 加速。
3. 分辨率提升：光场显微镜通过微透镜阵列记录角度信息，结合反卷积可突破衍射极限，实现超分辨率。

- focal stack：FS(x,y,z) (强度)
- 体素强度：V(x,y,z) (强度)
- 点扩散函数：PSF(x,y,z) (强度)
- 迭代次数：k
- 正则化参数：λ
- 微透镜间距：d_MLA (μm)
- 数字重聚焦距离：Δz (μm)

数据采集：相机曝光时间 ms 级，采集多视角子孔径图像。三维扫描获得 focal stack。
重建时间：迭代 50-100 次，耗时数分钟到数小时，取决于数据量和算法优化。

- 光场成像：同时记录空间和角度信息，实现重聚焦、视角变换。
- 应用：生物显微、神经科学、流体力学。
- 与共聚焦对比：光场显微镜无需扫描，速度快，但分辨率较低，需计算重建。

光场显微镜（微透镜阵列）。sCMOS 相机。GPU 计算工作站。重建软件（MATLAB、Python、商业软件）。

301

光学设计

长焦距系统

摄远物镜初始结构​

光焦度分配：Φ = Φ₁ + Φ₂ - d Φ₁ Φ₂
后截距：l' = f' (1 - d/f₁')
其中 Φ₁、Φ₂ 为前、后组光焦度，d 为间隔，f' 为系统焦距。

1. 设计目标：系统焦距 f'=500 mm，总长 L<300 mm。选择前组焦距 f₁'=200 mm (Φ₁=0.005 mm⁻¹)，后组焦距 f₂'=-100 mm (Φ₂=-0.01 mm⁻¹)。则间隔 d = (f₁' + f₂' - L) / (1 - (f₁'+f₂')/f')。设 L=280 mm，则 d = (200-100-280)/(1-(200-100)/500) = (-180)/(1-0.2) = -225 mm。负间隔表示后组在前组之前，不合理。调整：取 f₁'=250 mm， f₂'=-120 mm， L=280 mm，则 d = (250-120-280)/(1-(250-120)/500) = (-150)/(1-0.26) ≈ -202.7 mm，仍为负。需迭代优化：最终取 f₁'=180 mm， f₂'=-90 mm， L=280 mm，则 d = (180-90-280)/(1-(180-90)/500) = (-190)/(1-0.18) ≈ -231.7 mm。这表明要达到如此短的筒长，需要负间隔或采用更复杂结构。实际摄远镜头 d 为正但较小，例如 d=50 mm，则 l' = 500(1-50/180) ≈ 361 mm，总长 L = d + l' = 50+361=411 mm > 300 mm。因此，300 mm 总长实现 500 mm 焦距极具挑战，需采用反摄远或折反射结构。
2. 像差校正*：前组正透镜产生正球差、正场曲，后组负透镜产生负球差、负场曲，可相互抵消。通过弯曲透镜、使用胶合面校正色差。

- 前组光焦度：Φ₁ = 1/f₁' (mm⁻¹)
- 后组光焦度：Φ₂ = 1/f₂' (mm⁻¹)
- 间隔：d (mm)
- 系统焦距：f' (mm)
- 系统总长：L (mm)
- 后截距：l' (mm)
- 组合光焦度：Φ = 1/f' (mm⁻¹)

变焦过程：变焦摄远镜头通过移动前组或后组改变焦距，同时补偿像面位移。运动曲线由凸轮控制。
温度补偿：长焦距对温度敏感，需采用低热膨胀材料或主动调焦。

- 摄远比：TR = L / f'，通常 < 0.8。值越小，结构越紧凑。
- 与反摄远对比：反摄远用于短焦距广角，摄远用于长焦距紧凑设计。
- 应用：长焦相机镜头、望远镜、监控镜头。

光学设计软件（Zemax, Code V）优化。镜筒加工（铝合金、碳纤维）。调焦机构（步进电机驱动）。厂商：佳能、尼康、腾龙。

302

光学设计

像差理论

畸变（Distortion）​

畸变量：Dist = (H' - h') / h' × 100%
其中 H' 为实际像高，h' = f' tanθ 为理想像高（对于远心系统，h' = f' θ）。

1. 枕形畸变：实际像高大于理想像高，Dist > 0。对于焦距 f'=50 mm，视场角 θ=30°，理想像高 h' = 50tan(30°) ≈ 28.87 mm。若实际像高 H'=30 mm，则 Dist = (30-28.87)/28.87 ≈ 3.9%。
2. 桶形畸变：实际像高小于理想像高，Dist < 0。若 H'=28 mm，则 Dist ≈ -3.0%。
3. 校正*：通过对称结构或光阑位置校正。例如，双高斯结构在光阑两侧对称放置透镜组，可有效校正畸变。

- 实际像高：H' (mm)
- 理想像高：h' (mm)
- 焦距：f' (mm)
- 视场角：θ (rad 或 °)
- 畸变量：Dist (%)
- 光阑位置：s (mm)

随视场变化：畸变通常随视场角增大而增大，在边缘最严重。
随波长变化：不同波长折射率不同导致色畸变。

- 与主光线关系：畸变是主光线像差，不影响清晰度，只影响形状。
- 测量：拍摄方形网格，测量网格线弯曲程度。
- 应用：测绘镜头、机器视觉镜头要求低畸变（<0.1%）。

畸变测试靶标（方形网格）。图像分析软件（测量角点坐标）。镜头装调时通过偏心调整。

303

成像光学

成像系统

景深（Depth of Field）​

前景深：ΔL₁ = (s² δ F#) / (f'² + s δ F#)
后景深：ΔL₂ = (s² δ F#) / (f'² - s δ F#)
总景深：DOF = ΔL₁ + ΔL₂
其中 s 为对焦距离，δ 为容许弥散圆直径，F# 为光圈数。

1. 近似公式：当 s >> f' 时，DOF ≈ 2 s² δ F# / f'²。对于 f'=50 mm，F#=2.8，s=1 m=1000 mm，δ=0.03 mm（全画幅常用值），则 DOF ≈ 2(1000)²0.03 * 2.8 / (50)² = 2 * 1e6 * 0.084 / 2500 = 168000 / 2500 = 67.2 mm。
2. 精确计算：ΔL₁ = (1000²0.03 * 2.8) / (2500 + 1000 * 0.03 * 2.8) = 84000 / (2500 + 84) = 84000 / 2584 ≈ 32.5 mm。ΔL₂ = 84000 / (2500 - 84) = 84000 / 2416 ≈ 34.8 mm。总 DOF = 32.5+34.8=67.3 mm，与近似一致。
3. 超焦距*：当后景深为无穷远时，对焦距离 s_H = f'²/(δ F#)。上例中 s_H = 2500/(0.03 * 2.8) ≈ 29762 mm ≈ 29.8 m。此时前景深为 s_H/2 ≈ 14.9 m，从 14.9 m 到无穷远皆清晰。

- 对焦距离：s (mm)
- 容许弥散圆直径：δ (mm)
- 光圈数：F#
- 焦距：f' (mm)
- 前景深：ΔL₁ (mm)
- 后景深：ΔL₂ (mm)
- 总景深：DOF (mm)
- 超焦距：s_H (mm)

自动对焦：相机通过对比度检测或相位检测确定最佳对焦位置 s，然后根据预设光圈 F# 和焦距 f' 计算景深，并在取景器中显示。
景深合成：拍摄多张不同对焦距离的照片，通过图像融合得到全清晰图像。

- 弥散圆：δ 取决于传感器像素尺寸和观看条件。常用 δ = 像素间距 × 2。
- 影响因素：DOF 与 F# 成正比，与 f'² 成反比，与 s² 成正比。
- 应用：摄影中控制背景虚化；显微术中扩展焦深。

镜头光圈控制机构。自动对焦传感器（相位检测像素）。景深预览按钮。图像融合软件（Helicon Focus、Zerene Stacker）。

304

成像光学

成像系统

光学系统透过率（T-number）​

T-number：T# = F# / √τ
其中 τ 为系统透过率。
像面照度：E = (π L τ) / (4 (F#)²) ≈ (π L) / (4 (T#)²)，L 为物体亮度。

1. 透过率计算：系统有 10 个空气-玻璃界面（每个反射损失约 0.5%），5 片透镜（每片吸收约 0.2%），则 τ = (1-0.005)^10 * (1-0.002)^5 ≈ 0.95^10 * 0.998^5 ≈ 0.599 * 0.990 ≈ 0.593。若 F#=2，则 T# = 2 / √0.593 ≈ 2 / 0.77 ≈ 2.6。
2. 像面照度：设物体亮度 L=100 cd/m²，则 F#=2 时，E = (π100 * 0.593)/(4 * 4) ≈ (186.3)/(16) ≈ 11.64 lux。使用 T# 计算：E ≈ (π100)/(4(2.6)²) ≈ 314/(4 * 6.76) ≈ 314/27.04 ≈ 11.61 lux，一致。
3. 影响*：T# 比 F# 更能反映实际进光量。电影镜头常标 T#。

- 光圈数：F#
- 透过率：τ (0~1)
- T-number：T#
- 物体亮度：L (cd/m²)
- 像面照度：E (lux)
- 界面数：N
- 单界面反射率：R
- 透镜吸收率：α

变光圈：改变光圈叶片开合，F# 变化，透过率 τ 基本不变，因此 T# 与 F# 同步变化。
镀膜影响：增透膜可降低 R，提高 τ，从而降低 T#，增加进光量。

- 与 F# 关系：F# 是几何参数，T# 是物理参数，包含光能损失。
- 测量：使用积分球和光度计测量镜头透过率。
- 应用：低照度摄影、电影摄影、辐射测量。

透过率测量仪（积分球光源+光谱仪）。镀膜机（蒸镀或溅射增透膜）。光圈叶片机构。

305

光通信

光编码

Gold 序列相关特性​

生成：由两个 m 序列优选对模二加产生，序列长度 N=2ⁿ-1。
互相关函数：R_{ab}(τ) 取值有三值特性：-1, -t(n), t(n)-2，其中 t(n)=2^⌊(n+2)/2⌋+1。

1. n=6：序列长度 N=63。t(6)=2^⌊(6+2)/2⌋+1=2^4+1=17。互相关值可能为 -1, -17, 15。归一化后为 -1/63, -17/63, 15/63。
2. 系统容量：Gold 序列族大小为 N+2=65 个。在 OCDMA 中，若要求互相关峰值 ≤ 1，则最大同时用户数 K 受限于多址干扰。对于长度 63，可支持约 10 个用户同时通信且误码率可接受。
3. 同步：Gold 序列自相关旁瓣低，便于接收端同步捕获。

- 序列长度：N = 2ⁿ - 1
- 互相关值：R_{ab}(τ) (整数)
- 特征值：t(n) = 2^⌊(n+2)/2⌋ + 1
- 用户数：K
- m序列优选对：生成多项式
- 模二加：⊕

捕获与跟踪：接收端通过滑动相关器寻找自相关峰值，实现码片同步。同步后进入跟踪环（如延迟锁定环 DLL）。
多径环境：Gold 序列具有良好的抗多径性能，相关峰尖锐。

- 应用：CDMA 通信、GPS、OCDMA。
- 优势：序列数量多，互相关特性可控。
- 与 m序列对比：Gold 序列互相关值更小，但自相关旁瓣不如 m 序列。

Gold 序列生成器（FPGA 或专用 IC）。相关器（乘法器+积分器）。延迟锁定环电路。

306

光通信

光编码

Walsh-Hadamard 码​

生成：H_{2n} = [H_n, H_n; H_n, -H_n]，H₁=[1]。
正交性：H · Hᵀ = N I，其中 N 为码长，I 为单位矩阵。

1. 码长 N=8：H₈ 为 8×8 矩阵，每行是一个码字。例如第一行 [1,1,1,1,1,1,1,1]，第二行 [1,-1,1,-1,1,-1,1,-1]。任意两行内积为 0，正交。
2. OCDMA 应用：每个用户分配一行作为扩频码。发送比特“1”时发送该码，“0”时发送反码。接收端用相同码字相关，若相关值为 N，则判为“1”；若为 -N，则判为“0”；若为 0，则为其他用户或噪声。
3. 容量：同步 OCDMA 中，最多支持 N 个正交用户。但实际受多径和非同步限制。

- Hadamard 矩阵：H_N (N×N)
- 码长：N (2的幂)
- 码字：c_k (长度为 N 的向量，元素 ±1)
- 正交性：c_i · c_j = 0 (i≠j)
- 相关值：R = c_i · c_j (取值 ±N 或 0)

同步要求：Walsh 码要求严格同步，否则正交性破坏，干扰严重。
功率控制：由于正交性，各用户信号功率需相等，否则产生多址干扰。

- 应用：CDMA（如 IS-95）、OCDMA、正交频分复用（OFDM）导频。
- 变体：变长 Walsh 码（OVSF）用于 3G。
- 光域实现：用马赫-曾德尔调制器阵列或空间光调制器编码。

Walsh 码生成器。平衡检测器（用于相关解码）。功率控制电路。

307

光通信

光解码

匹配滤波器解码​

输出信噪比最大化：输出 SNR = (2E/N₀)^{1/2}，其中 E 为信号能量，N₀ 为噪声功率谱密度。
冲激响应：h(t) = s(T-t)，其中 s(t) 为已知信号波形，T 为码元周期。

1. 相关器实现：匹配滤波器等效于相关器，输出 y(τ) = ∫ r(t) s(t-τ) dt，其中 r(t) 为接收信号。在 τ=0 时刻采样判决。
2. OCDMA 示例：用户码为序列 [1, -1, 1, 1]，chip 宽度 T_c=10 ps，码长 N=4。匹配滤波器冲激响应为 [1, 1, -1, 1]（时间反转）。接收信号与滤波器卷积，在正确对齐时输出峰值 4，未对齐时输出小值。
3. 噪声中性能：设信号幅度 A=1 mV，噪声方差 σ²=0.1 mV²，则峰值 SNR = 4A/σ = 4/√0.1 ≈ 12.65，远高于单 chip 检测 SNR=1/√0.1≈3.16。

- 信号波形：s(t)
- 接收信号：r(t)
- 匹配滤波器冲激响应：h(t)
- 码元能量：E = ∫ s²(t) dt (J)
- 噪声功率谱密度：N₀ (W/Hz)
- 输出信噪比：SNR_out
- chip 宽度：T_c (s)
- 码长：N

同步过程：接收端需先进行码片同步，使本地码与接收码对齐，才能发挥匹配滤波器最佳性能。
自适应匹配：在时变信道中，需根据信道响应自适应调整 h(t)。

- 最佳检测：在高斯白噪声下，匹配滤波器是使输出信噪比最大化的线性滤波器。
- 实现：模拟相关器、数字 FIR 滤波器、光学相关器（如光纤延迟线）。
- 应用：雷达、通信、OCDMA。

光纤延迟线（用于光学相关）。抽头延迟线滤波器。数字信号处理器（DSP）实现相关运算。

308

光通信

光解码

并行干扰消除（PIC）​

迭代消除：y_k^{(i+1)} = y_k^{(0)} - Σ{j≠k} ĥ{kj} · decision(y_j^{(i)})
其中 y_k^{(0)} 为初始匹配滤波器输出，ĥ_{kj} 为用户 j 对用户 k 的干扰估计，decision() 为硬判决。

1. 两用户示例：用户1和2，码长4，码字分别为 [1,1,-1,-1] 和 [1,-1,1,-1]。接收信号 r = [2, 0, 0, -2]（假设都发“1”）。初始匹配输出：y₁⁽⁰⁾= [1,1,-1,-1]·r = 2+0+0+2=4；y₂⁽⁰⁾= [1,-1,1,-1]·r = 2+0+0+2=4。判决：都判为“1”。第一轮 PIC：估计干扰，用户2对用户1的干扰为 ĥ₂₁ = [1,1,-1,-1]·[1,-1,1,-1] = 1-1-1+1=0。因此 y₁⁽¹⁾ = 4 - 0 * 1 = 4，同理 y₂⁽¹⁾=4。干扰为零，无需多轮。
2. 非正交码：若码字不正交，ĥ 不为零，则 PIC 能逐步消除干扰。通常 2-3 轮迭代后收敛。

- 初始输出：y_k^{(0)}
- 迭代次数：i
- 干扰估计：ĥ_{kj}
- 硬判决：decision(x) = sign(x)
- 更新输出：y_k^{(i+1)}
- 用户数：K

迭代时序：每轮迭代需完成所有用户的干扰估计、消除和判决。延迟随用户数增加而增加。
收敛性：在干扰不强时，PIC 通常收敛；若干扰太强，可能发散。

- 多用户检测：PIC 是一种次优多用户检测，复杂度低于最优检测。
- 变体：串行干扰消除（SIC）、线性 MMSE 检测。
- 应用：CDMA、OCDMA、大规模 MIMO。

多用户检测 ASIC 或 FPGA。迭代控制逻辑。干扰估计模块（存储相关矩阵）。

309

成像光学

计算成像

图像去卷积（Richardson-Lucy）​

迭代公式：f^{(k+1)}(x) = f^{(k)}(x) · [ (g(x) / (h(x) ⊗ f^{(k)}(x))) ⊗ h(-x) ]
其中 f 为估计图像，g 为观测图像，h 为 PSF，⊗ 为卷积。

1. 步骤：初始化 f⁽⁰⁾ 为常数或 g。第 k 步：计算预测图像 p⁽ᵏ⁾ = h ⊗ f⁽ᵏ⁾；计算比值图像 r = g / p⁽ᵏ⁾（逐点除法）；计算反向投影 b = h(-x) ⊗ r；更新 f⁽ᵏ⁺¹⁾ = f⁽ᵏ⁾ · b。
2. 示例：图像大小 256×256，PSF 为高斯核（σ=2）。迭代 50 次后，图像清晰度提升。计算量：每次迭代需两次卷积，对于大图像，使用 FFT 加速：ℱ⁻¹{ ℱ{h} · ℱ{f} }。
3. 正则化：为防止噪声放大，加入正则化项，如总变分（TV）正则化：f⁽ᵏ⁺¹⁾ = f⁽ᵏ⁾ · [ (g / (h⊗f⁽ᵏ⁾)) ⊗ h(-x) ] / (1 - λ div(∇f⁽ᵏ⁾/

∇f⁽ᵏ⁾

))。

- 观测图像：g(x,y)
- 估计图像：f(x,y)
- 点扩散函数：h(x,y)
- 迭代次数：k
- 正则化参数：λ
- 卷积运算：⊗
- 傅里叶变换：ℱ

迭代收敛：通常迭代 10-50 次后收敛。可设置收敛条件，如

310

成像光学

计算成像

超分辨率重建（单帧）​

基于稀疏表示：min_{α}

Dα - y

₂² + λ

311

光学设计

长焦距系统

热离焦补偿公式​

热离焦量：Δf = f · (α_l - α_h) · ΔT
其中 α_l 为镜筒材料线膨胀系数，α_h 为透镜材料热光系数（dn/dT + (n-1)α_g），α_g 为玻璃线膨胀系数。

1. 铝镜筒与 BK7 透镜：f=500 mm，α_l=23e-6 /°C，BK7 的 α_g=7.1e-6 /°C，dn/dT=3e-6 /°C，n=1.5168，则 α_h = 3e-6 + (1.5168-1)7.1e-6 ≈ 3e-6 + 3.67e-6 = 6.67e-6 /°C。ΔT=10°C，则 Δf = 500 * (23e-6 - 6.67e-6) * 10 = 500 * 16.33e-6 * 10 = 0.08165 mm。即温度升高 10°C，焦点后移约 82 μm。
2. 补偿设计：使用低膨胀材料（如因瓦钢，α=1.2e-6）做镜筒，或使用不同材料透镜组合，使总光焦度变化抵消机械长度变化。
3. 主动补偿*：通过移动探测器或透镜组实时调焦。

- 焦距：f (mm)
- 镜筒线膨胀系数：α_l (/°C)
- 透镜热光系数：α_h (/°C)
- 玻璃线膨胀系数：α_g (/°C)
- 折射率温度系数：dn/dT (/°C)
- 温度变化：ΔT (°C)
- 热离焦量：Δf (mm)

温度循环：系统经历温度循环，焦点周期性漂移。需在宽温范围内保持像质。
稳态与瞬态：温度变化初期，透镜和镜筒温度不均匀，产生瞬态像差；达到热平衡后，主要为离焦。

- 无热化设计：选择材料使 Δf=0，即 α_l = α_h。
- 被动与主动：被动无热化靠材料匹配；主动无热化靠传感器和驱动器。
- 应用：航天相机、户外监控镜头。

热分析软件（ANSYS、Zemax Thermal）。温度传感器（PT100）。调焦机构（压电陶瓷、音圈电机）。低膨胀材料（因瓦钢、碳化硅）。

312

光学设计

像差理论

色差（Chromatic Aberration）​

轴向色差：Δf' = -f' / V，其中 V = (n_d - 1) / (n_F - n_C) 为阿贝数。
倍率色差：Δy' = y' · (Δn / n) · (1 - (dΦ₁/Φ))，其中 Δn = n_F - n_C。

1. 双胶合消色差：正透镜（冕玻璃，V₁=60，Φ₁=0.02 mm⁻¹）和负透镜（火石玻璃，V₂=36，Φ₂=-0.02 mm⁻¹）。总光焦度 Φ=Φ₁+Φ₂=0。轴向色差贡献：C₁ = Φ₁/V₁ = 0.02/60 ≈ 3.33e-4，C₂ = Φ₂/V₂ = -0.02/36 ≈ -5.56e-4，总和 C = C₁+C₂ ≈ -2.23e-4 mm⁻¹。若焦距 f'=100 mm，则剩余色差 Δf' = -f'² · C = -10000 * (-2.23e-4) = 2.23 mm。即 F 光和 C 光焦点相距 2.23 mm，未完全消色差。需调整光焦度分配：设 Φ₁=0.022，Φ₂=-0.012，使 Φ=0.01，同时满足 C₁+C₂=0，即 0.022/60 + (-0.012)/36 = 3.67e-4 - 3.33e-4 = 3.4e-5，接近零。此时焦距 f'=1/Φ=100 mm，色差很小。
2. 倍率色差：对于上述双胶合，若主光线高度 h=10 mm，则 Δy' = 10 * ((1.5168-1.5143)/1.5168) * (1 - (0.022/0.01))？公式需具体推导。实际中，双胶合可校正轴向色差，但倍率色差可能残留，需用更多透镜校正。

- 阿贝数：V = (n_d - 1) / (n_F - n_C)
- 轴向色差：Δf' (mm)
- 倍率色差：Δy' (mm)
- 光焦度：Φ (mm⁻¹)
- 部分色散：P = (n_d - n_C) / (n_F - n_C)
- 色差系数：C (mm⁻¹)

光谱变化：色差随波长非线性变化，在 F 和 C 光校正后，其他波长（如 g 光）可能仍有色差（二级光谱）。
温度影响：不同玻璃的 dn/dT 不同，温度变化导致色差变化。

- 消色差组合：通常用冕玻璃（低色散）和火石玻璃（高色散）组合。
- 复消色差：使用三种以上玻璃校正二级光谱。
- 应用：高质量摄影镜头、显微物镜、光谱仪。

玻璃库（Schott、Ohara）。光学设计软件色差优化。干涉仪测量色差（多波长）。

313

成像光学

成像系统

调制传递函数（MTF）与像元尺寸​

系统 MTF：MTF_system = MTF_optics · MTF_sensor · MTF_motion
传感器 MTF：MTF_sensor = sinc(π p f)，其中 p 为像元间距。

1. 像元尺寸限制：若像元间距 p=5 μm，则传感器截止频率 f_sensor = 1/p = 200 lp/mm。在 f=100 lp/mm 处，MTF_sensor = sinc(π5e-3 * 100) = sinc(0.5π) = sin(0.5π)/(0.5π) = 1/(0.5π) ≈ 0.637。
2. 系统 MTF：设光学 MTF_optics 在 100 lp/mm 处为 0.8，无运动模糊，则 MTF_system = 0.8 * 0.637 ≈ 0.51。若要求 MTF_system > 0.3，则光学 MTF 需 > 0.3/0.637 ≈ 0.47。
3. 采样定理*：为避免混叠，光学截止频率 f_optics 应小于等于传感器奈奎斯特频率 f_Nyquist = 1/(2p)。上例中 f_Nyquist=100 lp/mm，因此光学系统分辨率不应超过 100 lp/mm，或需加光学低通滤波器。

- 像元间距：p (mm)
- 空间频率：f (lp/mm)
- 传感器 MTF：MTF_sensor =

sinc(π p f)

- 光学 MTF：MTF_optics (0~1)
- 运动 MTF：MTF_motion (0~1)
- 系统 MTF：MTF_system (0~1)
- 奈奎斯特频率：f_Nyquist = 1/(2p) (lp/mm)

积分时间：传感器像元在曝光时间内积分，MTF_sensor 已包含积分效应。
运动模糊：若曝光时间内图像移动距离为 a，则 MTF_motion = sinc(π a f)。

314

光通信

光编码

二维 OCDMA（时域/频域）编解码​

编码信号：S_k(t) = ∑{i=1}^{L_t} ∑{j=1}^{L_f} d{k,i,j} p(t - i T_c) exp(i 2π f_j t)
其中 d{k,i,j} ∈ {0,1} 为二维码字，L_t 为时域码长，L_f 为频域码片数。

1. 时频平面：将时间分成 L_t 个 chip，频率分成 L_f 个频槽。每个用户分配一个特定时频图案。例如 L_t=4，L_f=4，用户1的码字为：chip1: f1, chip2: f3, chip3: f2, chip4: f4。
2. 相关接收：接收端用匹配的时频图案进行相关。正确解码时，相关输出峰值；其他用户图案重叠少，输出低。
3. 容量：理论最大用户数可达 L_t × L_f。例如 L_t=32，L_f=32，则最大用户数 1024。实际受限于互相关和硬件复杂度。

- 时域码长：L_t
- 频域码片数：L_f
- 二维码字：d{k,i,j} (0 或 1)
- chip 时长：T_c (s)
- 频槽频率：f_j (Hz)
- 用户数：K
- 互相关值：R{kl}

异步传输：时频图案对时间抖动敏感，需精确同步或采用异步接收方案。
动态分配：根据网络负载动态分配时频图案，提高资源利用率。

- 优势：二维编码增加自由度，提升用户容量和抗干扰能力。
- 实现：使用阵列波导光栅（AWG）和可调延时线，或空间光调制器。
- 应用：光码分多址接入网。

阵列波导光栅（AWG）。可调光纤延迟线。高速光开关。二维图案生成器（FPGA）。

315

光通信

光解码

自零差相干接收​

接收信号：I(t) =

E_s + E_LO

² ≈ 2R √(P_s P_LO) cos(Δω t + Δφ) + 直流项
其中 E_s 为信号光，E_LO 为本振光，Δω 为频差，Δφ 为相位差，R 为探测器响应度。

1. 本振光：通常来自发送激光器，经延迟光纤后作为本振。延迟需远大于相干时间以避免相位噪声相关，但又需在激光线宽内保持相位稳定。
2. 信噪比：SNR = (2R √(P_s P_LO))² / (2q (I_s+I_LO+I_dark) B_e + 4k_B T B_e / R_L)。当 P_LO >> P_s 时，散粒噪声主要来自本振，SNR ≈ (R P_s) / (q B_e)，与 P_LO 无关，达到散粒噪声极限。
3. 相位噪声：Δφ 包含激光相位噪声，需通过相位估计和补偿算法（如 Costas 环）恢复。

- 信号光功率：P_s (W)
- 本振光功率：P_LO (W)
- 探测器响应度：R (A/W)
- 频差：Δω (rad/s)
- 相位差：Δφ (rad)
- 散粒噪声：σ_shot² (A²)
- 热噪声：σ_thermal² (A²)
- 电带宽：B_e (Hz)

载波恢复：通过锁相环或 Costas 环跟踪和补偿 Δω 和 Δφ，恢复基带信号。
自适应均衡：使用数字信号处理（DSP）补偿色散和偏振模色散。

316

成像光学

计算成像

相位恢复算法（Gerchberg-Saxton）​

迭代步骤：
1. 初始化相位估计 φ₀。
2. 前传：Fₖ = ℱ{√I₀ exp(i φₖ)}。
3. 施加振幅约束：Gₖ = √I_t exp(i arg(Fₖ))，其中 I_t 为目标振幅。
4. 反传：gₖ = ℱ⁻¹{Gₖ}。
5. 施加输入面振幅约束：φ_{k+1} = arg(gₖ)。
重复 2-5 直到收敛。

1. 示例：目标为“元”字图像，64×64 像素。初始相位随机。迭代 200 次后，重建相位图可使输入平面光（振幅均匀）经傅里叶变换后生成目标图像。
2. 收敛判断：误差函数 E = ∑

Fₖ

- √I_t

²。通常迭代 50-100 次后误差下降缓慢。
3. 应用全息：计算出的相位 φ 可加载到空间光调制器上，用于生成全息图。

317

光学设计

长焦距系统

主镜支撑与面形误差​

面形误差 RMS

317

光学设计

长焦距系统

主镜支撑与面形误差​

重力变形近似：RMS ∝ D⁴ / (N² t²)
周边支撑圆板中心变形：δ = (3/16) (ρ g D⁴) / (E t²) (1-ν²)

1. 计算：主镜直径 D=2 m，厚度 t=0.2 m，材料为微晶玻璃，ρ=2500 kg/m³，E=90 GPa，ν=0.24。则 δ = (3/16)(2500 * 9.8 * 2⁴)/(90e9 * 0.2²)(1-0.24²) = (0.1875)(2500 * 9.8 * 16)/(90e9 * 0.04)0.9424 = (0.1875)(392000)/(3.6e9)0.9424 ≈ (0.1875 * 1.0889e-4)0.9424 ≈ 2.04e-5 0.9424 ≈ 1.92e-5 m = 19.2 μm。RMS 通常为峰谷值的 1/5~1/10，取 RMS ≈ 2 μm。
2. 支撑点影响：若采用 18 点支撑 (N=18)，与 6 点支撑相比，RMS 减少因子 (18/6)²=9，即 RMS 可降至约 0.22 μm。但支撑点过多增加复杂性。
3. 主动支撑**：通过力促动器施加校正力，可将面形误差校正到 λ/20 以下（λ=633 nm，即 31.7 nm）。

- 口径：D (m)
- 厚度：t (m)
- 密度：ρ (kg/m³)
- 弹性模量：E (Pa)
- 泊松比：ν
- 支撑点数：N
- 面形误差 RMS：σ (m)
- 重力加速度：g = 9.8 m/s²

指向变化：望远镜俯仰角变化时，重力沿光轴和垂直方向分量变化，导致面形变化。需建立不同姿态下的有限元模型，预存校正力。
主动校正时序：测量面形（如用 Shack-Hartmann 传感器）→ 计算当前误差 → 求解最佳支撑力 → 调整促动器力。周期约 1 分钟。

- 主动光学：通过主动调整支撑力实时校正重力、热变形。
- 支撑方式：whiffletree、气压、液压、力促动器。
- 检测：干涉仪、Shack-Hartmann 波前传感器。

大型数控铣床（加工镜坯）。研磨抛光机（应力盘抛光）。力促动器（压电或电机驱动）。面形检测干涉仪（如 Zygo）。有限元分析软件（ANSYS）。

318

成像光学

计算成像

光场相机重聚焦​

重聚焦公式：L'(x,y,u,v) = L(x + s(u - u₀), y + s(v - v₀), u, v)
数字重聚焦图像：I_s(x,y) = ∑_{u,v} L(x + s(u - u₀), y + s(v - v₀), u, v)

1. 微透镜阵列光场相机：每个微透镜后对应一个子图像，记录不同方向光线。设微透镜间距 d=0.5 mm，像素大小 p=5 μm，则每个微透镜对应 100×100 像素。重聚焦参数 s 表示虚拟像面与微透镜平面的距离比。
2. 重聚焦实现：对原始子图像进行平移，平移量为 s(u-u₀, v-v₀)，然后叠加。例如，s=2，u₀=v₀=50（中心方向），则对于方向 (u=30, v=30) 的子图像，平移 (2(30-50), 2(30-50)) = (-40, -40) 像素。对所有方向子图像平移后叠加，得到重聚焦图像。
3. 景深扩展*：通过多焦点融合，可得到全聚焦图像。

- 四维光场：L(x,y,u,v) (强度)
- 重聚焦参数：s (无量纲)
- 视角中心：(u₀, v₀) (像素坐标)
- 重聚焦图像：I_s(x,y) (强度)
- 微透镜间距：d (mm)
- 像素大小：p (μm)

动态重聚焦：s 连续变化，生成焦点从前景到后景移动的视频。计算量：每帧需对每个子图像进行平移和叠加，可用 GPU 并行。
实时处理：对于 1k×1k 子图像，4×4 方向，s 变化步长 0.1，实时生成 30 fps 视频需数百 GFLOPs。

- 光场采集：微透镜阵列、相机阵列、编码掩模。
- 应用：先拍照后对焦、三维重建、虚拟现实。
- 与多焦点堆叠对比：光场一次拍摄，重聚焦灵活，但空间分辨率低。

光场相机（Lytro, Raytrix）。GPU 加速计算平台。重聚焦软件（LFTool, MATLAB 工具包）。

319

光通信

光编码

混沌激光保密通信编码​

Lang-Kobayashi 方程：
dE/dt = (1+iα) (G - 1/τ_p) E + κ E(t-τ) e^{-iωτ} + F(t)
消息掩盖：E_tx(t) = E_c(t) [1 + m(t)]，其中 E_c 为混沌载波，m(t) 为消息，

m

<<1。

1. 参数设置：半导体激光器，线宽增强因子 α=3，光子寿命 τ_p=2 ps，反馈强度 κ=10 ns⁻¹，反馈延迟 τ=5 ns，光频率 ω=2π×200 THz。数值求解方程得到混沌激光输出。
2. 消息调制：消息信号 m(t) 为模拟语音或数字信号，幅度为混沌载波的 1%。调制后发射信号功率谱中消息隐藏在混沌宽带谱中。
3. 安全性：窃听者若无相同激光器和参数，无法同步解调。密钥为激光器参数（κ, τ, α 等）。

- 复电场：E (√W)
- 增益：G (1/s)
- 光子寿命：τ_p (s)
- 线宽增强因子：α
- 反馈强度：κ (1/s)
- 反馈延迟：τ (s)
- 光频率：ω (rad/s)
- 噪声：F(t)
- 消息信号：m(t) (

m

320

光通信

光解码

混沌同步解码​

接收机方程：
dE_r/dt = (1+iα) (G_r - 1/τ_p) E_r + κ_r E_r(t-τ_r) e^{-iωτ_r} + η (E_t - E_r)
消息提取：m'(t) = (

E_t

² -

E_r

²) /

E_r

321

光学设计

像差理论

波像差与泽尼克多项式​

波前展开：W(ρ,θ) = ∑{n=0}^{∞} ∑{m=-n}^{n} a_n^m Z_n^m(ρ,θ)
拟合系数：a_n^m = ∫₀¹ ∫₀^{2π} W(ρ,θ) Z_n^m(ρ,θ) ρ dρ dθ

1. 测量波前：干涉仪测量得到 256×256 相位矩阵 W(i,j)。转换为极坐标 (ρ,θ)，归一化到单位圆。
2. 计算系数：对 n=0~7, m=-n~n，计算积分。由于离散采样，用求和近似。例如，测得离焦系数 a₂⁰ = 0.3 μm，表示波前有 0.3 μm 的离焦（PV 约为 √3×0.3≈0.52 μm）。
3. 像差 RMS：RMS = √(∑ (a_n^m)²)，不包括平移和倾斜（n=0,1）。若 RMS=0.1 μm，则斯特列尔比 S ≈ exp(-(2π/λ)² RMS²) ≈ exp(-(2π/0.55e-3)² (0.1e-3)²) ≈ exp(-(11430)² (1e-8)) ≈ exp(-1.306) ≈ 0.27，像质较差。

- 波前像差：W(ρ,θ) (μm)
- 泽尼克系数：a_n^m (μm)
- 径向阶数：n
- 角频率：m
- 归一化坐标：ρ (0~1), θ (0~2π)
- RMS 像差：σ (μm)
- 斯特列尔比：S

动态像差：大气湍流导致 a_n^m 随机变化，时间尺度毫秒级。自适应光学系统实时测量并校正前几阶（如 n≤10）。
校正残差：校正后剩余 RMS 决定系统性能。

- 泽尼克标准：OSA/ANSI 标准索引。
- 与 Seidel 系数转换：有线性关系，如 a₂⁰ 对应离焦，a₂² 和 a₂^{-2} 对应像散。
- 应用：光学检测、自适应光学、眼科。

干涉仪（Zygo, 4D）。哈特曼-夏克波前传感器。变形镜（校正像差）。泽尼克分析软件。

322

成像光学

成像系统

红外光学系统冷反射分析​

冷反射等效温差：NITD = (τ_o τ_w ε_d ΔL) / (4 F#²)
冷反射辐照度：E冷反射 = (τ_o τ_w ε_d L冷) / (4 F#²)

1. 计算：光学系统透过率 τ_o=0.8，窗口透过率 τ_w=0.9，冷屏发射率 ε_d=0.1，F#=2，冷背景与目标辐射亮度差 ΔL=1 W/(sr·m²)。则 NITD = (0.8 * 0.9 * 0.1 * 1) / (4 * 4) = 0.072 / 16 = 0.0045 K。看似很小，但若冷屏温度低，ΔL 大，NITD 可达 1 K 以上。
2. 冷反射抑制：使冷反射像散焦，在探测器上成均匀背景。通过光路追迹，确保所有视场下冷反射像落在冷屏外或严重离焦。
3. 优化：使用非球面、高次曲面减少镜面数量，或采用离轴系统避免共光路反射。

- 光学透过率：τ_o
- 窗口透过率：τ_w
- 冷屏发射率：ε_d
- F 数：F#
- 辐射亮度差：ΔL (W/(sr·m²))
- 等效温差：NITD (K)
- 冷反射像位置：z (mm)

温度变化：冷屏温度变化时，ΔL 变化，NITD 变化。需在工作温度范围内验证。
扫描视场：冷反射像位置随视场移动，可能在某些视场进入冷屏。需全视场分析。

- 冷反射：红外系统中，探测器看到自身冷像的反射，产生虚假信号。
- 冷屏：屏蔽探测器视场，只接收来自光学系统的信号。
- 分析工具：Zemax 冷反射分析模块。

红外光学设计软件（Zemax, Code V）。冷反射分析工具。低反射涂层（镀膜）。挡板设计。

323

光通信

光编码

多脉冲位置调制（MPPM）​

符号数：M = C(n, w) = n! / (w! (n-w)!)
比特率：R_b = (log₂ M) / T_s，其中 T_s 为符号周期。

1. 设计：选择 n=8, w=2，则 M = 28，每符号携带 log₂28≈4.8 bits。符号周期 T_s=1 ns，则比特率 R_b ≈ 4.8 Gbps。每个符号由 8 个时隙组成，时隙宽度 T_c = T_s/n = 125 ps。在 2 个时隙发脉冲，其余为 0。
2. 平均功率：占空比 w/n=0.25，平均功率为峰值功率的 1/4。
3. 容量：增加 n 和 w 可提高 M，但解码复杂度增加。常用 n=16, w=4，M=1820，每符号 10.8 bits。

- 时隙数：n
- 脉冲数：w
- 符号数：M
- 符号周期：T_s (s)
- 时隙宽度：T_c = T_s/n (s)
- 比特率：R_b (bps)
- 占空比：w/n

符号生成：输入比特映射为组合索引，生成相应脉冲图案。映射表需预先存储。
同步：接收端需时隙同步，以确定时隙边界。

- 与 PPM 对比：MPPM 多个脉冲，平均功率更高，抗噪声更好，但复杂度增加。
- 应用：自由空间光通信、可见光通信。
- 检测：阈值检测或最大似然序列检测。

脉冲激光器（如 VCSEL）。高速调制器。时间数字转换器（TDC）。解码电路（FPGA）。

324

光通信

光解码

MPPM 软判决解码​

对数似然比：LLR(b_i) = log( P(b_i=0

y) / P(b_i=1

y) )
后验概率：P(b_i=0

y) = ∑_{s∈S_i0} P(s

y)，其中 S_i0 为第 i 比特为 0 的符号集合。

1. 计算：接收信号 y 为 n 个时隙的计数值（光子计数或电流）。假设噪声为泊松分布，给定符号 s，y 的概率为 P(y

325

光学设计

长焦距系统

折反射系统（施密特-卡塞格林）​

施密特校正板面形：z = y⁴ / (8 R³)
系统焦距：f' = f₁

β

，其中 f₁ 为主镜焦距，β 为次镜放大率。

1. 校正板设计：主镜球面半径 R=2000 mm，校正板口径 D=400 mm。在边缘 y=200 mm 处，z = 200⁴ / (8 * 2000³) = 1.6e9 / (8 * 8e9) = 1.6e9 / 6.4e10 = 0.025 mm。即校正板边缘与中心厚度差 25 μm，为四次曲面。
2. 系统：主镜焦距 f₁=1000 mm，次镜放大率 β=-3，则系统焦距 f'=3000 mm。主镜与次镜间隔 d = f₁ - f'/(β-1) = 1000 - 3000/(-4) = 1000 + 750 = 1750 mm。系统总长 ≈ d + 后截距，后截距通常很短，因此系统长度约 1.75 m，焦距 3 m，摄远比约 0.58。
3. 像差：校正板校正球差，卡塞格林结构校正彗差，但视场较小（约 0.5°）。

- 径向坐标：y (mm)
- 校正板厚度变化：z (mm)
- 主镜曲率半径：R (mm)
- 主镜焦距：f₁ (mm)
- 次镜放大率：β
- 系统焦距：f' (mm)
- 主次镜间隔：d (mm)

装调：校正板需与主镜球心重合，否则引入像差。次镜需与主镜同轴，倾斜和偏心公差严格。
热性能：校正板与主镜材料热膨胀系数需匹配，或采用被动无热化设计。

326

成像光学

计算成像

偏振成像与穆勒矩阵重建​

测量方程：S_out = M S_in
最小二乘解：M = (S_out S_inᵀ) (S_in S_inᵀ)⁻¹

1. 测量设置：使用偏振态发生器（PSG）产生 4 个以上独立输入斯托克斯向量，如水平线偏振、45°线偏振、右旋圆偏振、垂直线偏振。偏振态分析仪（PSA）测量输出斯托克斯向量。每个输入态对应一个输出态，构建矩阵方程。
2. 重建：S_in 和 S_out 为 4×N 矩阵（N≥4）。则 M 的估计为 4×4 矩阵。对于每个像素，得到 16 个穆勒矩阵元素。
3. 去极化：若 M 的非对角元素小，表示系统去偏振。

- 输入斯托克斯向量：S_in (4×N)
- 输出斯托克斯向量：S_out (4×N)
- 穆勒矩阵：M (4×4)
- 测量次数：N (≥4)
- 条件数：cond(S_in S_inᵀ)，应小以保证数值稳定性。

时序测量：顺序改变 PSG 状态，相机采集图像。每个状态曝光时间需一致。总测量时间 ≈ N × 曝光时间 + 切换时间。
动态场景：对于运动物体，需快速测量，使用时分复用或 snapshot 偏振相机。

- 穆勒矩阵成像：获得样品偏振特性，用于生物组织病理检测、材料分类。
- 校准：需用已知穆勒矩阵样品（如空气、线性偏振片）校准系统。
- 与 Jones 矩阵关系：对于完全偏振光，两者等价。

偏振态发生器（旋转波片+偏振片）。偏振相机（微偏振片阵列）。穆勒矩阵重建软件。校准样品。

327

光通信

光编码

轨道角动量（OAM）编码​

OAM 模式相位：φ = l θ
叠加态：

ψ⟩ = α

l₁⟩ + β

l₂⟩，其中

α

² +

328

光通信

光解码

OAM 模式解复用​

匹配滤波器响应：H(θ) = exp(-i l θ)
相关输出：I_l =

∫₀^{2π} E(θ) H*(θ) dθ

²

1. 光学相关：接收光场 E(θ) 经透镜变换，在傅里叶面与匹配滤波器相乘，再经透镜变换，在输出面得到相关峰。对于不同 l，峰位置不同。
2. 数字全息：用参考涡束与接收光干涉，记录全息图。数字重建得到各模式成分。
3. MIMO 均衡：对于多模传输，接收信号 y = H x + n，其中 H 为信道矩阵。使用零力或 MMSE 均衡器估计发送模式幅值。

- 接收光场：E(θ) (复数)
- 匹配滤波器：H(θ) (复数)
- 相关输出：I_l (强度)
- 信道矩阵：H (M×N)
- 发送向量：x (N×1)
- 接收向量：y (M×1)
- 均衡矩阵：W (N×M)

实时解调：对于每个符号，需快速计算各模式强度或执行 MIMO 均衡。在 DSP 中实现，处理延迟需小于符号周期。
自适应均衡：信道矩阵 H 随时间变化（湍流），需定期训练更新。

329

光学设计

像差理论

畸变与TV畸变​

TV畸变：DTV = (ΔH / H) × 100%
测量：DTV = (a - b) / b × 100%，其中 a 为边缘方格尺寸，b 为中心方格尺寸。

1. 测试：拍摄方形网格图案，测量像面边缘方格宽度 a 和中心方格宽度 b。例如，b=1 mm，a=0.98 mm，则 DTV = (0.98-1)/1 × 100% = -2%，桶形畸变。
2. 与光学畸变关系：光学畸变 Dist = (H' - f' tanθ)/ (f' tanθ)，而 TV 畸变反映局部放大率变化。对于 f'=50 mm，θ=30°，理想像高 H=f' tanθ=28.87 mm。若实际像高 H'=28.3 mm，则 Dist≈-2%，与 DTV 接近但不完全相等。
3. 校正：通过对称结构、光阑位置、非球面校正。电视镜头要求 DTV < 1%。

- 边缘方格尺寸：a (mm)
- 中心方格尺寸：b (mm)
- TV畸变：DTV (%)
- 光学畸变：Dist (%)
- 焦距：f' (mm)
- 视场角：θ (rad)

随视场变化：TV 畸变在边缘最大，通常单调变化。设计时需平衡整个视场。
色差影响：不同波长畸变不同，导致彩色镶边。

- TV畸变标准：广播镜头要求严格，摄影镜头可放宽。
- 测量方法：拍摄网格图，软件自动分析。
- 与畸变曲线关系：TV 畸变是整体评价，畸变曲线显示随视场变化。

畸变测试靶（方格纸）。图像分析软件（Imatest, DxO Analyzer）。镜头装调时通过偏心调整畸变。

330

成像光学

成像系统

光学系统透过率与信噪比​

信噪比：SNR = (S τ) / √(S τ + B + N_d²)
信号电子数：S = (E λ / (h c)) A Ω t η_q，其中 E 为辐照度，A 为入瞳面积，Ω 为立体角，t 为积分时间，η_q 为量子效率。

1. 计算：星光下目标辐照度 E=1e-6 W/m²，波长 λ=550 nm，入瞳直径 D=50 mm，焦距 f=100 mm，像元尺寸 p=5 μm，积分时间 t=0.1 s，量子效率 η_q=0.5，透过率 τ=0.8，背景和暗噪声忽略。则 A=π(D/2)²=1.96e-3 m²，Ω = (p/f)² = (5e-6/0.1)²=2.5e-9 sr。光子能量 hc/λ=3.61e-19 J。信号电子数 S = (1e-6 * 1.96e-3 * 2.5e-9 * 0.1) / 3.61e-19 * 0.5 * 0.8 ≈ (4.9e-19) / 3.61e-19 * 0.4 ≈ 1.36 * 0.4 = 0.544 电子。太小，无法探测。提高积分时间或增大口径。
2. 透过率影响：若 τ 从 0.8 降至 0.4，信号减半，SNR 下降约 √2 倍。

- 辐照度：E (W/m²)
- 波长：λ (m)
- 入瞳面积：A (m²)
- 立体角：Ω (sr)
- 积分时间：t (s)
- 量子效率：η_q
- 透过率：τ
- 信号电子数：S (electrons)
- 背景电子数：B (electrons)
- 暗噪声：N_d (electrons rms)

曝光时间：SNR 随 √t 提高，但动态场景需短曝光。透过率 τ 不随时间变化，但灰尘、污染会降低 τ。
自适应曝光：根据场景亮度自动调整曝光时间，保持 SNR 在要求范围内。

- 低照度成像：透过率和量子效率是关键。使用背照式传感器提高 η_q，镀增透膜提高 τ。
- 噪声等效曝光：使 SNR=1 所需的曝光量。
- 应用：天文摄影、监控、显微镜。

积分球（均匀光源）。光谱仪（测透过率）。信噪比测试软件。镀膜机（增透膜）。

331

光通信

光编码

相干光OFDM编码​

OFDM符号：s(t) = ∑_{k=0}^{N-1} X_k exp(i 2π f_k t)，t ∈ [0, T]
子载波间隔：Δf = 1/T，f_k = f_0 + k Δf。

1. 参数：子载波数 N=256，符号周期 T=10 ns，则 Δf=100 MHz。总带宽 B = N Δf = 25.6 GHz。每个子载波调制为 16-QAM（4 bits），则每个符号携带 256×4=1024 bits，原始比特率 1024 / 10 ns = 102.4 Gbps。加入循环前缀（如 T/8=1.25 ns），实际符号周期 11.25 ns，净比特率 1024 / 11.25 ns ≈ 91 Gbps。
2. 光调制：用 IQ 调制器将电 OFDM 信号调制到光载波。发射机 DSP 完成编码、映射、IFFT、加循环前缀、数字预均衡等。
3. 峰均比：OFDM 信号 PAPR 高，需削峰或压扩处理。

- 子载波符号：X_k (复数)
- 子载波数：N
- 符号周期：T (s)
- 子载波间隔：Δf (Hz)
- 总带宽：B (Hz)
- 循环前缀长度：T_CP (s)
- 原始比特率：R_b (bps)
- 峰均比：PAPR (dB)

符号时序：连续发送 OFDM 符号，每个符号前加循环前缀。接收端需精确同步，找到符号起始点。
训练符号：定期插入训练符号，用于信道估计和均衡。

- 光 OFDM：直接检测（DDO-OFDM）和相干检测（CO-OFDM）。CO-OFDM 性能好，但复杂。
- 应用：长距离传输、高速光纤通信。
- 挑战：非线性损伤、相位噪声。

任意波形发生器（AWG）。IQ 调制器。相干接收机（90° 混频器）。DSP（FPGA 或 ASIC）。

332

光通信

光解码

相干OFDM频偏估计​

频偏估计：Δf_est = (1/(2π T_s)) arg{ ∑_{n=0}^{L-1} r(n) r*(n+N) }
其中 T_s 为采样间隔，N 为一个 OFDM 符号的采样点数（不含 CP），L 为 CP 长度。

1. 推导：接收采样 r(n) = s(n) exp(i 2π Δf n T_s + φ)。循环前缀部分与符号尾部相同，但存在相位差 Δφ = 2π Δf N T_s。通过计算相关，得到相位差估计，进而得 Δf。
2. 数值：采样率 f_s=25.6 GSa/s，则 T_s=39.06 ps。N=256，L=32。相关求和长度为 32。若估计相位差为 0.1 rad，则 Δf_est = 0.1 / (2π * 256 * 39.06e-12) ≈ 0.1 / (2π * 1e-8) ≈ 1.59 MHz。
3. 补偿：数字下变频，乘以 exp(-i 2π Δf_est n T_s)。

- 接收采样：r(n) (复数)
- 采样间隔：T_s (s)
- OFDM 符号采样点数：N
- 循环前缀长度：L (样点)
- 相关和：C = ∑_{n=0}^{L-1} r(n) r*(n+N)
- 相位差：Δφ = arg(C) (rad)
- 频偏估计：Δf_est (Hz)

跟踪：频偏可能慢变化，每个符号估计一次，通过环路滤波器平滑，控制 NCO 调整。
精度：估计精度受噪声影响，方差 var(Δf_est) ≈ 1/(2π T_s L SNR)。SNR 高时精度高。

- 同步：频偏估计是同步的一部分，还有定时同步、信道估计。
- 残余频偏：补偿后残余频偏会引起相位旋转，需相位跟踪算法。
- 应用：相干光通信、无线 OFDM。

数字下变频器（乘法器+NCO）。相关器（复数乘法累加）。环路滤波器（PI 控制器）。

333

光学设计

长焦距系统

主动支撑力优化​

优化问题：min

A f - d

² + λ

334

成像光学

计算成像

单像素成像与压缩感知​

测量值：y_i = ∫ I(x,y) P_i(x,y) dx dy
重建问题：min

I

₁ s.t. y = Φ I，其中 Φ 为测量矩阵，每一行对应一个测量模式 P_i 的向量化。

1. 测量模式：使用空间光调制器（DMD）加载二值随机图案（0 或 1）。每次加载一个图案，用单像素探测器测量总光强。测量次数 M 可远小于像素数 N（如 N=1024，M=256）。
2. 重建算法：使用基追踪或迭代收缩阈值算法（ISTA）求解。例如，ISTA：I^{k+1} = soft_threshold(I^k - τ Φᵀ(Φ I^k - y), τλ)，其中 soft_threshold(x, T) = sign(x) max(

335

光通信

光编码

量子密钥分发（BB84协议）​

量子态：

0⟩,

1⟩,

+⟩ = (

0⟩+

1⟩)/√2,

336

光通信

光解码

诱骗态QKD解码​

单光子增益：Q₁ = μ e^{-μ} Y₁，其中 μ 为信号态平均光子数，Y₁ 为单光子计数率。
单光子误码率：e₁ = (e_0 Y_0 + e_det η) / Y₁，其中 e_0=1/2，Y_0 为真空计数率，e_det 为探测器误码，η 为系统效率。

1. 参数估计：Alice 发送强度为 μ、ν 和 0 的三种脉冲。Bob 测量计数率 Q_μ、Q_ν、Q_0 和误码率 E_μ、E_ν。通过公式可解出 Y₁ 和 e₁。例如，μ=0.5，ν=0.1，测得 Q_μ=1e-3，Q_ν=2e-4，Q_0=1e-6，则 Y₁ ≈ (Q_μ e^μ - Q_ν e^ν (μ/ν) - (1-μ/ν) Q_0) / (μ - ν) = (1e-3 * 1.6487 - 2e-4 * 1.1052 * 5 - (-4)1e-6) / 0.4 = (1.6487e-3 - 1.1052e-3 + 4e-6) / 0.4 = (0.5435e-3 + 4e-6) / 0.4 ≈ 1.3688e-3。e₁ 类似计算。
2. 安全密钥率：代入 R = q { -Q_μ f(E_μ) H₂(E_μ) + Q₁ [1 - H₂(e₁)] }。相比无诱骗态，Q₁ 更准确，可提高密钥率和距离。
3. 实验*：已实现 500 km 光纤传输，密钥率百 bps 量级。

- 信号态强度：μ (平均光子数)
- 诱骗态强度：ν (平均光子数)
- 真空态：强度 0
- 计数率：Q_μ, Q_ν, Q_0
- 误码率：E_μ, E_ν
- 单光子计数率：Y₁
- 单光子误码率：e₁
- 探测器误码：e_det
- 系统效率：η

脉冲交替：三种强度随机交替发送，接收端需区分强度（通过经典信道告知或编码在额外维度）。每个脉冲后需死区时间防止后脉冲。
实时解密：后处理中，双方公开强度信息，进行参数估计和密钥提取。

- 诱骗态思想：抵御光子数分裂攻击，提高实际安全性。
- 与 BB84 关系：BB84 使用单光子源理想，诱骗态适用于弱相干态。
- 改进：双诱骗态、发送不发送协议。

强度调制器（产生诱骗态）。单光子探测器（低暗计数）。时间数字转换器（记录到达时间）。后处理软件（参数估计、纠错、隐私放大）。

337

光学设计

像差理论

色差与阿贝数​

色差（轴向）：Δf'_chr = -f' / V_d
阿贝数：V_d = (n_d - 1) / (n_F - n_C)

1. 计算：对于 f'=100 mm 的单透镜，材料为 BK7，n_d=1.5168，n_F=1.52238，n_C=1.51432，则 V_d = (1.5168-1)/(1.52238-1.51432) = 0.5168 / 0.00806 ≈ 64.1。轴向色差 Δf'chr = -100 / 64.1 ≈ -1.56 mm。即 F 光和 C 光焦点相距约 1.56 mm。
2. 消色差双胶合：使用两种材料，满足 Φ₁/V₁ + Φ₂/V₂ = 0，且 Φ₁ + Φ₂ = Φ。选冕牌 K9 (V₁=64.2) 和火石 F2 (V₂=36.9)，总光焦度 Φ=0.01 mm⁻¹。解得 Φ₁ = Φ * V₁/(V₁ - V₂) = 0.01 * 64.2/(64.2-36.9) ≈ 0.0235 mm⁻¹，Φ₂ = Φ - Φ₁ ≈ -0.0135 mm⁻¹。即正透镜光焦度 0.0235，负透镜 -0.0135。
3. 二级光谱：剩余色差 Δf'sec ≈ f' * P₁₂ / (V₁ - V₂)，其中 P₁₂ 为相对部分色散差。

- 焦距：f' (mm)
- 阿贝数：V_d
- 折射率：n_d, n_F, n_C
- 轴向色差：Δf'chr (mm)
- 光焦度：Φ, Φ₁, Φ₂ (mm⁻¹)
- 相对部分色散：P₁₂
- 二级光谱：Δf'sec (mm)

温度变化：不同材料 dn/dT 不同，温度变化可能导致色差变化。需进行热色差分析。
波长范围：宽波段成像（如可见光到近红外）需复消色差，使用三种以上材料。

- 色差类型：轴向色差（不同波长焦点位置不同）、倍率色差（不同波长像高不同）。
- 消色差设计：双胶合透镜是最常见消色差方法。
- 应用：显微镜物镜、摄影镜头、望远镜。

光学设计软件（Zemax 中色差分析）。玻璃熔炼（肖特、成都光明）。胶合工艺（紫外或光学胶）。

338

成像光学

计算成像

相位恢复（Gerchberg-Saxton）​

迭代变换：
1. g_k(x,y) =

g_k

exp(i φ_k) = ℱ⁻¹{ G_k(u,v) }
2. G_k(u,v) =

G

exp(i ψ_k) = ℱ{ g_k }
3. 更新：G_{k+1}(u,v) =

G_target

339

光通信

光编码

偏振移位键控（PolSK）​

斯托克斯向量表示：S = [I, Q, U, V]ᵀ
调制：对于二进制 PolSK，S₀ 代表比特 0（如水平偏振），S₁ 代表比特 1（如 45° 偏振）。

1. 发射机：使用偏振控制器或电光调制器产生特定偏振态。例如，比特 0：S₀ = [1, 1, 0, 0]ᵀ（水平）；比特 1：S₁ = [1, 0, 1, 0]ᵀ（45°）。
2. 接收机：偏振分集接收，测量斯托克斯参数。判决准则：若 Q > U，判为 0；否则判为 1。
3. 抗干扰：PolSK 对幅度波动不敏感，适用于大气湍流信道。

- 斯托克斯向量：S (4×1)
- 光强：I
- 偏振参数：Q, U, V
- 比特映射：S₀, S₁
- 判决阈值：δ

符号时序：每个符号周期内，偏振态保持恒定。接收端需同步以确定符号边界。
偏振跟踪：信道双折射导致偏振态旋转，需实时跟踪和补偿。

- 与 IM/DD 对比：PolSK 需要相干检测，复杂度高，但抗干扰能力强。
- 高阶调制：使用四个偏振态（如 0°, 45°, 90°, 135°）可传输 2 bits/符号。
- 应用：自由空间光通信、偏振复用系统。

偏振调制器（铌酸锂相位调制器组合）。偏振分集接收机（偏振分束器+平衡探测器）。偏振跟踪算法（DSP）。

340

光通信

光解码

偏振解复用与均衡​

信道矩阵：E_out = J E_in，其中 J 为琼斯矩阵。
自适应均衡：w_{k+1} = w_k + μ e_k x_k*，其中 e_k 为误差，x_k 为输入，μ 为步长。

1. 偏振态演化：单模光纤中，琼斯矩阵 J = R(θ) Λ R(-φ)，其中 Λ = diag(exp(iφ_x), exp(iφ_y))，R 为旋转矩阵。接收信号 E_r = J E_t。
2. 恒模算法（CMA）：用于 PolMux 系统，代价函数 J = E[(

y

² - R₂)²]，其中 R₂ = E[

s

⁴]/E[

341

光学设计

长焦距系统

次镜支撑（蜘蛛架）衍射​

衍射环强度：I(θ) ∝ [J₁(π D α / λ) / (π D α / λ)]² · [sin(N π a sinθ / λ) / (N sin(π a sinθ / λ))]²，其中 α = sinθ，a 为支撑宽度，N 为支撑臂数。

1. 计算：主镜直径 D=2 m，波长 λ=550 nm，支撑臂数 N=4，臂宽 a=20 mm。对于第一衍射环，J₁ 的第一个零点在 π D α / λ = 3.832，即 α = 3.832 λ / (π D) = 3.832 * 550e-9/(π2) ≈ 3.35e-7 rad，对应角半径 θ ≈ 3.35e-7 rad ≈ 0.069 arcsec。强度由第二个因子调制，在 sinθ = λ/(N a) = 550e-9/(4 * 0.02) = 6.875e-6 rad 处出现极大值，即 1.42 arcsec。因此衍射环主要出现在约 1.4 arcsec 处。
2. 能量分布：约 10% 的能量进入衍射环，导致星像周围出现十字星芒。
3. 优化*：使用弯曲支撑臂（vane）或旋转一定角度，使衍射环能量分散。

- 主镜直径：D (m)
- 波长：λ (m)
- 支撑臂数：N
- 臂宽：a (m)
- 衍射角：θ (rad)
- 贝塞尔函数：J₁
- 衍射环强度：I(θ)

指向变化：衍射图样不随望远镜指向变化，但星芒方向随支撑臂方向固定。
动态平衡：支撑臂需在刚度和衍射效应间权衡，臂越细衍射越弱但刚度越低。

- 艾里斑与衍射环：蜘蛛架衍射在艾里斑外产生星芒。
- 对比：卡塞格林系统次镜支撑产生衍射，折射系统无此问题。
- 应用：天文望远镜设计需最小化衍射影响。

有限元分析（支撑臂刚度）。衍射计算软件（FRED， ASAP）。支撑臂加工（碳纤维复合材料）。

342

成像光学

成像系统

调制传递函数（MTF）与像差关系​

斯特列尔比近似：S ≈ exp(-(2π W_rms / λ)²)
MTF 衰减：MTF(ν) ≈ MTF_diff(ν) · exp(-(2π W_rms ν / ν_c)²)，其中 ν_c 为截止频率。

1. 衍射极限 MTF：对于圆形孔径，MTF_diff(ν) = (2/π) [arccos(ν/ν_c) - (ν/ν_c) √(1 - (ν/ν_c)²)]，ν_c = 1/(λ F#)。设 λ=550 nm，F#=2，则 ν_c = 1/(550e-9 * 2) ≈ 909 lp/mm。
2. 像差影响：若波像差 RMS = λ/14 ≈ 39.3 nm，则 S ≈ exp(-(2π/14)²) ≈ exp(-0.202) ≈ 0.817。MTF 在中等频率衰减。例如在 ν=0.5 ν_c=454 lp/mm 处，exp(-(2π39.3e-9 * 454e3)²) ≈ exp(-(0.112)²) ≈ exp(-0.0125) ≈ 0.988，衰减很小。但若 RMS=λ/4=137.5 nm，则 S≈0.455，在 ν=0.5 ν_c 处衰减因子 ≈ exp(-(0.392)²) ≈ 0.855。
3. 测量*：用狭缝或刀边靶测量 MTF，与理论对比评估像差。

- 波像差 RMS：W_rms (m)
- 波长：λ (m)
- 斯特列尔比：S
- 空间频率：ν (lp/mm)
- 截止频率：ν_c (lp/mm)
- 衍射极限 MTF：MTF_diff(ν)
- 实际 MTF：MTF(ν)

离焦变化：离焦量变化时，W_rms 变化，MTF 随之变化。最佳焦面处 MTF 最高。
色差影响：不同波长 MTF 不同，整体 MTF 为各波长加权平均。

- MTF 与像质：MTF 全面评价成像系统性能，包括衍射和像差。
- 传递函数：光学传递函数（OTF）包含 MTF（模）和 PTF（相位）。
- 应用：镜头质检、系统集成性能评估。

MTF 测量仪（Slanted-edge 或 Siemens star）。干涉仪（测波像差）。图像分析软件（Imatest， SFR）。

343

光通信

光编码

数字孪生辅助的光网络编码​

数字孪生模型：ŷ = f(x; θ)，其中 f 为网络传输模型，θ 为模型参数。
编码优化：x* = argmax_x U(ŷ, y_target)，其中 U 为效用函数（如吞吐量、QoS）。

1. 建立模型：收集网络状态数据（链路负载、误码率、延迟），训练神经网络模型 f 预测给定编码方案 x 下的网络性能 ŷ。
2. 在线优化：实时获取网络状态，在数字孪生中模拟不同编码方案（如 FEC 码率、调制格式、路由），选择最优 x* 下发到物理网络。
3. 示例：在弹性光网络中，根据预测的链路质量，选择 QPSK 或 16-QAM，并调整 FEC 开销。数字孪生预测 QPSK 误码率 10⁻⁵，16-QAM 误码率 10⁻³，则选择 QPSK 以保证可靠性。

- 网络状态：s (向量)
- 编码方案：x (向量)
- 预测性能：ŷ (向量)
- 模型参数：θ
- 效用函数：U
- 目标性能：y_target

模型更新：数字孪生模型定期（如每分钟）用最新网络数据更新，以跟踪网络变化。
决策周期：编码方案调整周期为秒级，以适应业务变化。

- 数字孪生：物理网络的虚拟映射，用于模拟、分析和优化。
- 与 SDN 结合：软件定义网络提供全局视图和控制。
- 应用：智能光网络、自适应编码调制。

网络控制器（SDN）。数据采集器（SNMP， telemetry）。数字孪生平台（机器学习框架）。编码器（可编程 FEC）。

344

光通信

光解码

光纤非线性补偿（数字反向传播）​

非线性薛定谔方程：∂A/∂z = - (α/2) A - i (β₂/2) ∂²A/∂T² + i γ

A

² A
数字反向传播：从接收端向发射端反向求解 NLSE，补偿色散和非线性。

1. 分步傅里叶法：将光纤分成小段，每段内交替处理色散和非线性。步长 Δz 需足够小（如 1 km）。对于 1000 km 光纤，需 1000 步。
2. 计算量：每步需一次 FFT 和一次 IFFT。对于 100 GSa/s 信号，序列长度 2¹⁶=65536，每步 FFT 复杂度 O(N log N) ≈ 65536 * 16=1e6 次操作。1000 步则需 1e9 次操作每符号，实时处理需强大 DSP。
3. 简化：使用低复杂度模型，如微扰法或 Volterra 级数。

- 光场：A(z,T) (复数)
- 衰减系数：α (1/m)
- 色散系数：β₂ (s²/m)
- 非线性系数：γ (1/(W·m))
- 步长：Δz (m)
- 计算复杂度：O(N log N)

实时处理：DSP 流水线处理，每个符号周期内完成反向传播计算。延迟与步数成正比。
自适应：光纤参数（如 γ）可能随温度变化，需在线估计和调整。

345

光学设计

像差理论

场曲与匹兹万和​

匹兹万和：Petzval sum = Σ (Φ_i / n_i)
场曲半径：R_ptz = -1 / (Σ (Φ_i / n_i))

1. 双胶合透镜：前透镜 Φ₁=0.02 mm⁻¹，n₁=1.5；后透镜 Φ₂=-0.01 mm⁻¹，n₂=1.6。则 Petzval sum = 0.02/1.5 + (-0.01)/1.6 = 0.01333 - 0.00625 = 0.00708 mm⁻¹。场曲半径 R_ptz = -1/0.00708 ≈ -141 mm（负值表示像面向着透镜弯曲）。
2. 平像场设计：需使 Petzval sum = 0。例如，加入负场镜或使用正负透镜分离结构。若系统总光焦度 Φ=0.01 mm⁻¹，则需 Σ (Φ_i / n_i)=0。选择材料使正透镜 n 高，负透镜 n 低。
3. 与像散关系：若像散校正（SⅢ=0），则像面为 Petzval 曲面。若同时校正场曲（SⅣ=0），则像面为平面。

- 光焦度：Φ_i (mm⁻¹)
- 折射率：n_i
- 匹兹万和：Σ (Φ_i / n_i) (mm⁻¹)
- 场曲半径：R_ptz (mm)
- 像散系数：SⅢ
- 场曲系数：SⅣ

视场变化：场曲导致边缘视场像点离焦，需通过像面弯曲或场镜校正。
温度影响：材料折射率随温度变化，导致 Petzval sum 变化，引起热离焦。

- 匹兹万条件：Σ (Φ_i / n_i)=0 时像面为平面。
- 与像面弯曲：实际像面是 Petzval 曲面与像散导致的像面弯曲的叠加。
- 应用：广角镜头、投影镜头要求平像场。

光学设计软件（像差系数分析）。透镜材料库（高折射率玻璃）。像面弯曲探测器。

346

成像光学

计算成像

结构光三维重建（相位测量轮廓术）​

相位展开：φ = arctan( (I₃ - I₂) / (I₁ - I₂) )，其中 I₁, I₂, I₃ 为三步相移条纹图像。
高度映射：h(x,y) = (L Δφ) / (2π f₀ d)，其中 L 为投影距离，d 为相机与投影仪基线，f₀ 为条纹空间频率。

1. 相移：投影正弦条纹，相移 0, 2π/3, 4π/3，采集图像 I₁, I₂, I₃。例如，I₁ = A + B cos(φ)，I₂ = A + B cos(φ+2π/3)，I₃ = A + B cos(φ+4π/3)。解出 φ = arctan(√3 (I₃ - I₂) / (2I₁ - I₂ - I₃))，范围 (-π, π]。
2. 相位展开：由于 arctan 得到包裹相位，需展开得到连续相位 Φ。例如，通过多频外差法：用两个频率 f₁, f₂ 投影，得到等效频率 f_eq =

f₁ - f₂

，进行展开。
3. 高度计算：系统标定得 L=1000 mm，d=200 mm，f₀=0.1 mm⁻¹。若某点相位差 Δφ=0.5 rad，则高度 h = (1000 * 0.5)/(2π*0.1 * 200) ≈ 500/(125.66) ≈ 3.98 mm。

- 相移条纹强度：I₁, I₂, I₃
- 包裹相位：φ (rad)
- 展开相位：Φ (rad)
- 投影距离：L (mm)
- 基线：d (mm)
- 条纹频率：f₀ (mm⁻¹)
- 高度：h (mm)

时序投影：依次投影多幅条纹图案，相机同步采集。总采集时间 = 图案数 × 曝光时间。若用 12 幅图案（三频四步），曝光 10 ms，则总时间 120 ms。
动态测量：对于运动物体，需高速投影和采集，或使用单幅条纹分析技术。

347

光通信

光编码

无载波幅度相位调制（CAP）​

CAP 信号：s(t) = ∑ a_n p(t-nT) cos(2π f_c t) - ∑ b_n p(t-nT) sin(2π f_c t)
正交条件：∫ p(t) cos(2π f_c t) · p(t) sin(2π f_c t) dt = 0

1. 脉冲设计：p(t) 为平方根升余弦脉冲，滚降因子 β=0.1，符号率 1/T=10 Gbaud，载频 f_c=5 GHz（满足 f_c > (1+β)/(2T)=5.5 GHz？需调整）。实际 f_c 常选符号率一半左右。
2. 调制：比特流映射为二维符号 (a_n, b_n)，如 16-CAP 对应 4 bits。脉冲成形后正交调制。
3. 与 QAM 关系：CAP 等效于基带 QAM，但无需射频载波，直接使用成形滤波器产生正交分量。

- 同相分量：a_n
- 正交分量：b_n
- 脉冲波形：p(t)
- 符号周期：T (s)
- 载频：f_c (Hz)
- 滚降因子：β
- 符号率：R_s = 1/T (Baud)

符号时序：发送端脉冲成形滤波器产生连续信号，接收端匹配滤波后采样判决。
同步：需时钟同步和载波同步（尽管无射频载波，但正交分量需对齐）。

- CAP vs DMT：CAP 是单载波，DMT 是多载波。CAP 实现简单，但抗色散能力弱。
- 应用：短距光互连（如数据中心）、可见光通信。
- 实现：数字 FIR 滤波器实现脉冲成形。

数模转换器（DAC）。模拟滤波器（或数字滤波器）。CAP 调制解调芯片。

348

光通信

光解码

CAP 接收机均衡​

自适应均衡器：y_n = ∑{k=0}^{L-1} w_k x{n-k}
权重更新：w{k,n+1} = w{k,n} + μ e_n x_{n-k}，其中 e_n = d_n - y_n。

1. 均衡器结构：对于 CAP，需要两个均衡器分别处理 I 和 Q 路，长度 L=32 抽头。初始权重为中心抽头为 1，其余为 0。
2. 训练模式：发送已知训练序列（如 PRBS），计算误差 e_n 更新权重。步长 μ=0.001。经过数千符号后收敛。
3. 判决引导模式：训练后，切换为判决引导，用判决输出作为期望 d_n。可跟踪信道慢变化。

- 接收采样：x_n
- 均衡器权重：w_k
- 均衡器长度：L
- 步长：μ
- 误差信号：e_n
- 期望信号：d_n
- 均衡输出：y_n

收敛过程：均衡器权重从初始值迭代收敛，均方误差逐渐下降。收敛时间约几千符号。
跟踪：信道变化时，均衡器持续更新权重以适应。

- 线性均衡：CAP 常用线性均衡器（如 LMS）。对于强色散信道，可能需要非线性均衡。
- 与 FFE/DFE 结合：前馈均衡加判决反馈均衡可提高性能。
- 应用：高速短距光通信。

模数转换器（ADC）。数字信号处理器（实现 LMS 算法）。时钟数据恢复电路。

349

光学设计

长焦距系统

主镜轻量化（蜂窝结构）​

重量减轻比：η = 1 - (ρ_c / ρ_s) (t_c / t_s) - (A_h / A_t) (ρ_h / ρ_s)
刚度：E_eff = E_s (1 - η)^k，k≈2。

1. 设计：实心镜坯材料为微晶玻璃，ρ_s=2500 kg/m³，厚度 t_s=200 mm。采用蜂窝结构，面板厚度 t_c=20 mm，芯层密度 ρ_h=500 kg/m³（假设蜂窝芯占空比 20%），蜂窝面积比 A_h/A_t=0.8。则 η = 1 - (2500/2500)(20/200) - 0.8(500/2500) = 1 - 0.1 - 0.16 = 0.74，即减重 74%。
2. 刚度：有效弹性模量 E_eff = 90 GPa * (1-0.74)² ≈ 90 * 0.0676 ≈ 6.1 GPa，刚度大幅下降。需增加厚度或优化蜂窝形状维持刚度。
3. 热性能：蜂窝结构热容小，温度均匀性易控制，但热变形可能复杂。

- 实心密度：ρ_s (kg/m³)
- 实心厚度：t_s (m)
- 面板厚度：t_c (m)
- 芯层密度：ρ_h (kg/m³)
- 蜂窝面积比：A_h/A_t
- 减重比：η
- 有效模量：E_eff (Pa)

制造过程：先铸造蜂窝结构毛坯，然后粗加工、热处理、研磨抛光。周期长达数月。
热平衡：从室温到工作温度（如 -10°C），蜂窝结构温度均衡时间比实心短，但可能产生梯度。

- 轻量化方式：蜂窝、背部开槽、三角形轻量化。
- 支撑：轻量化后需对应支撑设计，避免局部变形。
- 应用：大型天文望远镜主镜、空间相机。

大型铸造炉（熔炼玻璃）。数控铣床（加工蜂窝）。退火炉（消除应力）。抛光机（应力盘抛光）。

350

成像光学

成像系统

光学系统景深扩展（波前编码）​

相位板相位函数：φ(x,y) = α (x³ + y³)
中间图像 PSF：PSF_encoded =

ℱ{ exp(i φ(x,y)) }

²
解码：I_decoded = deconv(I_encoded, PSF_encoded)

1. 相位板设计：立方相位板参数 α 决定景深扩展程度。例如 α=20π，相位变化范围 ±20π rad。加工在光学元件表面。
2. 成像：加入相位板后，系统 PSF 对离焦不敏感。离焦从 -λ 到 +λ，PSF 形状变化很小。
3. 解码：采集图像 I_encoded，用已知 PSF_encoded 进行反卷积（如 Wiener 滤波），得到清晰图像 I_decoded。

- 相位函数：φ(x,y) (rad)
- 立方项系数：α (rad/mm³)
- 编码 PSF：PSF_encoded
- 中间图像：I_encoded
- 解码图像：I_decoded
- 离焦范围：ΔW₂₀ (λ)

成像过程：物体 → 光学系统（含相位板）→ 探测器得到模糊图像 → 数字处理得到清晰图像。处理延迟需实时或准实时。
离焦不变性：在一定离焦范围内，PSF 几乎不变，因此一次标定 PSF 可用于不同离焦图像解码。

351

光通信

光编码

时频域混合调制（FTN）​

超奈奎斯特信号：s(t) = ∑ a_n g(t - n τ T)，其中 τ < 1 为压缩因子。
频谱效率提升：η = (2 log₂ M) / (τ (1+β)) (bits/s/Hz)，其中 M 为调制阶数，β 为滚降因子。

1. 参数：原符号率 1/T=10 Gbaud，滚降 β=0.1，奈奎斯特带宽 B=(1+β)/(2T)=5.5 GHz。采用 FTN，τ=0.8，则新符号间隔 τT=0.8/10G=80 ps，符号率 12.5 Gbaud。新带宽 B'=(1+β)/(2τT)=6.875 GHz。若使用 QPSK (M=4)，频谱效率 η = (2 * 2)/(0.8 * 1.1) ≈ 4/0.88 ≈ 4.55 bits/s/Hz，比奈奎斯特的 2/(1+β)≈1.82 提升 2.5 倍。
2. 码间干扰：FTN 引入可控 ISI，需在接收端用均衡器或检测算法（如 BCJR）消除。
3. 性能：在 AWGN 信道下，FTN 可在相同带宽下传输更高数据率，但需要更高 SNR。

- 符号序列：a_n
- 脉冲波形：g(t)
- 符号间隔：T (s)
- 压缩因子：τ (0<τ≤1)
- 调制阶数：M
- 滚降因子：β
- 频谱效率：η (bits/s/Hz)

符号速率：FTN 符号速率提高，对 DAC/ADC 采样率要求提高。例如原 10 Gbaud 需 20 GSa/s，τ=0.8 时需 25 GSa/s。
检测时序：接收端需精确同步到压缩后的符号间隔。

- FTN 原理：突破奈奎斯特准则，以引入 ISI 为代价提高频谱效率。
- 检测算法：最大似然序列检测、均衡、迭代检测。
- 应用：带宽受限的光通信系统。

高速 DAC/ADC（采样率 > 2/(τT)）。脉冲成形滤波器。FTN 检测器（BCJR 或均衡器）。

352

光通信

光解码

FTN 的 BCJR 检测​

BCJR 算法：计算后验概率 L(x_k

y) = log( ∑{s',s: x_k} α{k-1}(s') γ_k(s',s) β_k(s) / ∑{s',s: x_k=0} α{k-1}(s') γ_k(s',s) β_k(s) )
分支度量：γ_k(s',s) ∝ exp( -

y_k - ∑{i=0}^{L-1} h_i x{k-i}

² / (2σ²) )

1. 状态定义：FTN 的 ISI 长度 L=3，则状态数 2^(L-1)=4。状态转移由输入比特 x_k 决定。
2. 前向递归：α_k(s) = ∑{s'} α{k-1}(s') γ_k(s',s)，初始化 α₀(s)=1/4。
3. 后向递归：β{k-1}(s') = ∑s γ_k(s',s) β_k(s)，初始化 β_N(s)=1。
4. 计算 LLR：结合 α, γ, β 计算每个比特的后验 LLR，送译码器。

- 接收信号：y_k
- 信道系数：h_i (ISI 响应)
- 噪声方差：σ²
- 前向度量：α_k(s)
- 后向度量：β_k(s)
- 分支度量：γ_k(s',s)
- 对数似然比：L(x_k

353

光学设计

像差理论

像散与场曲关系​

像散差：Δx' = W₂₂₂ ρ² cos²θ， Δy' = W₂₂₂ ρ² sin²θ
像散焦距差：Δf_ast = f' · (SⅢ / SⅣ)？实际像散导致子午和弧矢焦线分离。

1. 测量：对于视场角 10°，焦距 f'=50 mm，像散系数 W₂₂₂=0.5λ=0.316 μm。则子午焦线位置 Δx' = 0.316 * (tan10°)² * cos²(45°) ≈ 0.316 * 0.0314 * 0.5 ≈ 0.00496 mm，弧矢焦线 Δy' ≈ 0.00496 mm（但方向垂直）。实际分离量约为 0.01 mm。
2. 与场曲关系：若场曲（Petzval 场曲）半径为 R_ptz=-100 mm，则像面弯曲。子午像面与弧矢像面分别位于 Petzval 曲面前后，两者间距即为像散。
3. 校正：使用柱面镜或非球面校正像散。对称结构可自动消除像散。

- 像散系数：W₂₂₂ (μm)
- 归一化视场：ρ (0~1)
- 方位角：θ (rad)
- 子午焦点位移：Δx' (mm)
- 弧矢焦点位移：Δy' (mm)
- Petzval 半径：R_ptz (mm)

随视场变化：像散随视场平方增大。边缘视场像散最严重。
聚焦调整：移动像面可在子午焦线和弧矢焦线间找到最小弥散斑，但无法同时消除两者。

- 像散表现：一点成像为两条分离焦线。
- 与彗差区别：彗差不对称，像散对称。
- 应用：散光眼镜校正人眼像散。

像散测试靶（径向线条）。刀口仪或哈特曼检测。光学设计软件（像散图分析）。

354

成像光学

计算成像

光声成像重建（时间反演）​

光声方程：∇² p(r,t) - (1/v_s²) ∂²p/∂t² = - (β/C_p) ∂H/∂t
时间反演重建：A(r) ∝ ∫ p(r₀, t) * h(r, r₀, t) dt，其中 h 为格林函数。

1. 正向模型：组织吸收光脉冲产生热膨胀，激发超声波。假设初始压力分布 A(r) 正比于吸收系数和光通量。超声波传播到传感器阵列。
2. 反演：将传感器信号时间反演后，数值模拟反向传播，叠加得到初始压力分布。例如，使用延迟求和：A(x,y) = ∑_i p_i (t =

r - r_i

/ v_s)，其中 p_i 为第 i 个传感器信号。
3. 分辨率：横向分辨率取决于传感器阵列孔径和频率，轴向分辨率取决于脉冲宽度。典型分辨率 0.1-1 mm。

- 声压：p(r,t) (Pa)
- 声速：v_s (m/s)
- 热膨胀系数：β (1/K)
- 比热容：C_p (J/(kg·K))
- 热函数：H(r,t) (W/m³)
- 初始压力：A(r) (Pa)
- 传感器位置：r_i

数据采集：激光脉冲照射后，传感器阵列在数百微秒内采集声信号。采样率需高于超声频率（如 50 MHz）。
重建时间：对于 256×256 图像，延迟求和重建在 CPU 上约需数秒，可用 GPU 加速至实时。

355

光通信

光编码

物理层网络编码（PNC）​

中继处理：y_R = h₁ x_A + h₂ x_B + n_R
映射：x_R = f(y_R)，其中 f 为映射函数，如 XOR：x_R = x_A ⊕ x_B。

1. 双向中继：用户 A 和 B 通过中继 R 交换信息。A 发 x_A

356

光通信

光编码

物理层网络编码（PNC）​

中继处理：y_R = h₁ x_A + h₂ x_B + n_R
映射：x_R = f(y_R)，其中 f 为映射函数，如 XOR：x_R = x_A ⊕ x_B。

1. 双向中继：用户 A 和 B 通过中继 R 交换信息。A 发 x_A，B 发 x_B，中继接收叠加信号 y_R。假设使用 BPSK，x_A, x_B ∈ {+1, -1}，h₁=h₂=1，n_R 为高斯噪声。则 y_R = x_A + x_B + n。可能的 y_R 取值：2 (x_A=x_B=1)，0 (x_A=1,x_B=-1 或反之)，-2 (x_A=x_B=-1)。中继判决：若 y_R >0，判为 +1，否则 -1。然后映射为网络编码符号：x_R = sign(y_R)（这里相当于 XOR，因为 +1→1，-1→0，则 x_R 对应 x_A ⊕ x_B）。
2. 性能：误码率取决于信噪比。若 SNR=10 dB，噪声方差 σ²=0.1，则错误概率约为 Q(2/σ)≈Q(6.32)≈1.3e-10。
3. 高阶调制：对于 QPSK，需分别处理 I/Q 两路。

- 中继接收信号：y_R
- 信道系数：h₁, h₂
- 用户发送符号：x_A, x_B
- 噪声：n_R
- 映射函数：f
- 网络编码符号：x_R
- 信噪比：SNR

时隙安排：第一时隙，A 和 B 同时发往中继；第二时隙，中继广播 x_R。A 和 B 利用自身已知信息解码对方信息。总时隙数 2，而传统中继需 4 时隙。
同步要求：A 和 B 需严格同步，使信号同时到达中继。

- 网络编码：在网络层利用编码提高吞吐量。物理层网络编码在无线和光通信中应用。
- 挑战：同步、信道估计、功率控制。
- 应用：双向中继、多用户通信。

软件定义无线电平台。同步算法（时间同步、载波同步）。信道估计模块。

357

光通信

光解码

PNC 解码​

用户解码：用户 A 收到 y_A = h_R x_R + n_A，已知 x_A，估计 x_B = g(y_A, x_A)。
最大似然解码：x̂_B = argmin

y_A - h_R f(h₁ x_A + h₂ x_B)

²。

1. 用户 A 操作：收到中继广播的 x_R（可能含噪）。已知自己的 x_A，则 x_B = x_R ⊕ x_A（对于 BPSK，映射为符号乘法：x_B = x_R * x_A，因为 (+1)(+1)=+1, (+1)(-1)=-1 等）。若中继判决错误，则 x_B 错误。
2. 性能分析：端到端误码率约为 2Pe，其中 Pe 为中继判决错误概率。若中继 SNR 高，则性能接近直接传输。
3. 软解码：中继可转发软信息（似然比），用户结合自身信息进行软判决，提高性能。

- 用户接收信号：y_A
- 中继到用户信道：h_R
- 用户已知信息：x_A
- 估计信息：x̂_B
- 误码率：BER
- 软信息：LLR

解码时序：用户 A 在第二时隙接收，立即用自身 x_A 解码。需缓冲自身发送的 x_A。
迭代解码：若使用 Turbo 编码，可迭代解码提高性能。

358

成像光学

计算成像

散射介质成像（记忆效应）​

记忆效应范围：Δθ ≈ λ / (π L_s)，其中 L_s 为散射介质厚度。
相关成像：C(Δx) = ⟨I(x) I(x+Δx)⟩，其中 I 为散斑图样。

1. 记忆效应：对于厚度 L_s=1 mm 的散射介质，λ=532 nm，则 Δθ ≈ 532e-9 / (π * 1e-3) ≈ 1.69e-4 rad ≈ 0.0097°。即物体角度变化在此范围内，散斑图样相关性强。
2. 成像原理：物体被激光照射，透过散射介质产生散斑。相机记录散斑 I。物体平移或旋转时，散斑变化但相关。通过测量多个散斑图样，利用相位恢复算法重建物体。
3. 分辨率：受散斑颗粒尺寸限制，约为 λ/2NA，NA 为成像系统数值孔径。

- 散射介质厚度：L_s (m)
- 波长：λ (m)
- 记忆效应角度范围：Δθ (rad)
- 散斑图样：I(x)
- 自相关函数：C(Δx)
- 重建图像：O(x)

数据采集：物体以小于 Δθ 的步长旋转或平移，采集多幅散斑图样。步数越多，重建质量越好，但时间越长。
重建算法：使用相位恢复（如 Gerchberg-Saxton）或深度学习网络。重建时间从秒到分钟。

- 散射成像：利用散斑的相关性恢复被散射介质模糊的图像。
- 记忆效应：散斑图样随入射角度变化的线性平移关系。
- 应用：生物组织成像、透过毛玻璃成像。

激光光源。散射介质（毛玻璃、生物组织）。科学级相机。电动旋转台。重建软件。

359

光学设计

像差理论

畸变与TV畸变测量​

TV畸变：DTV = (L_e - L_c) / L_c × 100%，其中 L_e 为边缘方格尺寸，L_c 为中心方格尺寸。
光学畸变：Dist = (h' - f tanθ) / (f tanθ) × 100%。

1. 测量：拍摄方格靶标，中心方格像尺寸 L_c=1.00 mm，边缘方格像尺寸 L_e=0.97 mm，则 DTV = (0.97-1.00)/1.00 = -3%，桶形畸变。
2. 与光学畸变关系：若焦距 f=50 mm，边缘视场角 θ=30°，则理想像高 h=f tanθ=28.87 mm。实际像高测量为 28.3 mm，则 Dist = (28.3-28.87)/28.87 ≈ -1.97%。DTV 与 Dist 数值不同，因 DTV 是局部放大率，Dist 是整体像高偏差。
3. 校正：通过优化透镜形状、光阑位置、非球面减小畸变。广角镜头畸变较大，可达 5% 以上。

- 边缘方格尺寸：L_e (mm)
- 中心方格尺寸：L_c (mm)
- TV畸变：DTV (%)
- 实际像高：h' (mm)
- 焦距：f (mm)
- 视场角：θ (rad)
- 光学畸变：Dist (%)

随视场变化：畸变通常随视场角增大而增大。测量多个视场的 DTV 得到畸变曲线。
色畸变：不同波长的畸变不同，导致彩色镶边。需测量多波长下的畸变。

- 畸变类型：桶形畸变（负）、枕形畸变（正）。
- 影响：对于测量用途，畸变需严格校正（<0.1%）；对于摄影，可容忍较高（1-2%）。
- 测量标准：国际标准如 ISO 17850。

畸变测试靶（方格或点阵）。图像分析软件（自动提取角点）。镜头测试仪。

360

成像光学

成像系统

光学系统透过率与信噪比计算​

信噪比：SNR = (S τ) / √(S τ + B + N_d²)
信号电子数：S = (E λ / (h c)) A Ω t η_q，其中 E 为辐照度，A 为入瞳面积，Ω 为立体角，t 为积分时间，η_q 为量子效率。

1. 计算：星光下目标辐照度 E=1e-6 W/m²，波长 λ=550 nm，入瞳直径 D=50 mm，焦距 f=100 mm，像元尺寸 p=5 μm，积分时间 t=0.1 s，量子效率 η_q=0.5，透过率 τ=0.8，背景和暗噪声忽略。则 A=π(D/2)²=1.96e-3 m²，Ω = (p/f)² = (5e-6/0.1)²=2.5e-9 sr。光子能量 hc/λ=3.61e-19 J。信号电子数 S = (1e-6 * 1.96e-3 * 2.5e-9 * 0.1) / 3.61e-19 * 0.5 * 0.8 ≈ (4.9e-19) / 3.61e-19 * 0.4 ≈ 1.36 * 0.4 = 0.544 电子。太小，无法探测。提高积分时间或增大口径。
2. 透过率影响：若 τ 从 0.8 降至 0.4，信号减半，SNR 下降约 √2 倍。

- 辐照度：E (W/m²)
- 波长：λ (m)
- 入瞳面积：A (m²)
- 立体角：Ω (sr)
- 积分时间：t (s)
- 量子效率：η_q
- 透过率：τ
- 信号电子数：S (electrons)
- 背景电子数：B (electrons)
- 暗噪声：N_d (electrons rms)

曝光时间：SNR 随 √t 提高，但动态场景需短曝光。透过率 τ 不随时间变化，但灰尘、污染会降低 τ。
自适应曝光：根据场景亮度自动调整曝光时间，保持 SNR 在要求范围内。

- 低照度成像：透过率和量子效率是关键。使用背照式传感器提高 η_q，镀增透膜提高 τ。
- 噪声等效曝光：使 SNR=1 所需的曝光量。
- 应用：天文摄影、监控、显微镜。

积分球（均匀光源）。光谱仪（测透过率）。信噪比测试软件。镀膜机（增透膜）。

361

光通信

光编码

无载波幅度相位调制（CAP）​

CAP 信号：s(t) = ∑ a_n p(t-nT) cos(2π f_c t) - ∑ b_n p(t-nT) sin(2π f_c t)
正交条件：∫ p(t) cos(2π f_c t) · p(t) sin(2π f_c t) dt = 0

1. 脉冲设计：p(t) 为平方根升余弦脉冲，滚降因子 β=0.1，符号率 1/T=10 Gbaud，载频 f_c=5 GHz（满足 f_c > (1+β)/(2T)=5.5 GHz？需调整）。实际 f_c 常选符号率一半左右。
2. 调制：比特流映射为二维符号 (a_n, b_n)，如 16-CAP 对应 4 bits。脉冲成形后正交调制。
3. 与 QAM 关系：CAP 等效于基带 QAM，但无需射频载波，直接使用成形滤波器产生正交分量。

- 同相分量：a_n
- 正交分量：b_n
- 脉冲波形：p(t)
- 符号周期：T (s)
- 载频：f_c (Hz)
- 滚降因子：β
- 符号率：R_s = 1/T (Baud)

符号时序：发送端脉冲成形滤波器产生连续信号，接收端匹配滤波后采样判决。
同步：需时钟同步和载波同步（尽管无射频载波，但正交分量需对齐）。

- CAP vs DMT：CAP 是单载波，DMT 是多载波。CAP 实现简单，但抗色散能力弱。
- 应用：短距光互连（如数据中心）、可见光通信。
- 实现：数字 FIR 滤波器实现脉冲成形。

数模转换器（DAC）。模拟滤波器（或数字滤波器）。CAP 调制解调芯片。

362

光通信

光解码

CAP 接收机均衡​

自适应均衡器：y_n = ∑{k=0}^{L-1} w_k x{n-k}
权重更新：w{k,n+1} = w{k,n} + μ e_n x_{n-k}，其中 e_n = d_n - y_n。

1. 均衡器结构：对于 CAP，需要两个均衡器分别处理 I 和 Q 路，长度 L=32 抽头。初始权重为中心抽头为 1，其余为 0。
2. 训练模式：发送已知训练序列（如 PRBS），计算误差 e_n 更新权重。步长 μ=0.001。经过数千符号后收敛。
3. 判决引导模式：训练后，切换为判决引导，用判决输出作为期望 d_n。可跟踪信道慢变化。

- 接收采样：x_n
- 均衡器权重：w_k
- 均衡器长度：L
- 步长：μ
- 误差信号：e_n
- 期望信号：d_n
- 均衡输出：y_n

收敛过程：均衡器权重从初始值迭代收敛，均方误差逐渐下降。收敛时间约几千符号。
跟踪：信道变化时，均衡器持续更新权重以适应。

- 线性均衡：CAP 常用线性均衡器（如 LMS）。对于强色散信道，可能需要非线性均衡。
- 与 FFE/DFE 结合：前馈均衡加判决反馈均衡可提高性能。
- 应用：高速短距光通信。

模数转换器（ADC）。数字信号处理器（实现 LMS 算法）。时钟数据恢复电路。

363

光学设计

长焦距系统

主镜轻量化（蜂窝结构）​

重量减轻比：η = 1 - (ρ_c / ρ_s) (t_c / t_s) - (A_h / A_t) (ρ_h / ρ_s)
刚度：E_eff = E_s (1 - η)^k，k≈2。

1. 设计：实心镜坯材料为微晶玻璃，ρ_s=2500 kg/m³，厚度 t_s=200 mm。采用蜂窝结构，面板厚度 t_c=20 mm，芯层密度 ρ_h=500 kg/m³（假设蜂窝芯占空比 20%），蜂窝面积比 A_h/A_t=0.8。则 η = 1 - (2500/2500)(20/200) - 0.8(500/2500) = 1 - 0.1 - 0.16 = 0.74，即减重 74%。
2. 刚度：有效弹性模量 E_eff = 90 GPa * (1-0.74)² ≈ 90 * 0.0676 ≈ 6.1 GPa，刚度大幅下降。需增加厚度或优化蜂窝形状维持刚度。
3. 热性能：蜂窝结构热容小，温度均匀性易控制，但热变形可能复杂。

- 实心密度：ρ_s (kg/m³)
- 实心厚度：t_s (m)
- 面板厚度：t_c (m)
- 芯层密度：ρ_h (kg/m³)
- 蜂窝面积比：A_h/A_t
- 减重比：η
- 有效模量：E_eff (Pa)

制造过程：先铸造蜂窝结构毛坯，然后粗加工、热处理、研磨抛光。周期长达数月。
热平衡：从室温到工作温度（如 -10°C），蜂窝结构温度均衡时间比实心短，但可能产生梯度。

- 轻量化方式：蜂窝、背部开槽、三角形轻量化。
- 支撑：轻量化后需对应支撑设计，避免局部变形。
- 应用：大型天文望远镜主镜、空间相机。

大型铸造炉（熔炼玻璃）。数控铣床（加工蜂窝）。退火炉（消除应力）。抛光机（应力盘抛光）。

364

成像光学

计算成像

光学系统景深扩展（波前编码）​

相位板相位函数：φ(x,y) = α (x³ + y³)
中间图像 PSF：PSF_encoded =

ℱ{ exp(i φ(x,y)) }

²
解码：I_decoded = deconv(I_encoded, PSF_encoded)

1. 相位板设计：立方相位板参数 α 决定景深扩展程度。例如 α=20π，相位变化范围 ±20π rad。加工在光学元件表面。
2. 成像：加入相位板后，系统 PSF 对离焦不敏感。离焦从 -λ 到 +λ，PSF 形状变化很小。
3. 解码：采集图像 I_encoded，用已知 PSF_encoded 进行反卷积（如 Wiener 滤波），得到清晰图像 I_decoded。

- 相位函数：φ(x,y) (rad)
- 立方项系数：α (rad/mm³)
- 编码 PSF：PSF_encoded
- 中间图像：I_encoded
- 解码图像：I_decoded
- 离焦范围：ΔW₂₀ (λ)

成像过程：物体 → 光学系统（含相位板）→ 探测器得到模糊图像 → 数字处理得到清晰图像。处理延迟需实时或准实时。
离焦不变性：在一定离焦范围内，PSF 几乎不变，因此一次标定 PSF 可用于不同离焦图像解码。

365

光通信

光编码

时频域混合调制（FTN）​

超奈奎斯特信号：s(t) = ∑ a_n g(t - n τ T)，其中 τ < 1 为压缩因子。
频谱效率提升：η = (2 log₂ M) / (τ (1+β)) (bits/s/Hz)，其中 M 为调制阶数，β 为滚降因子。

1. 参数：原符号率 1/T=10 Gbaud，滚降 β=0.1，奈奎斯特带宽 B=(1+β)/(2T)=5.5 GHz。采用 FTN，τ=0.8，则新符号间隔 τT=0.8/10G=80 ps，符号率 12.5 Gbaud。新带宽 B'=(1+β)/(2τT)=6.875 GHz。若使用 QPSK (M=4)，频谱效率 η = (2 * 2)/(0.8 * 1.1) ≈ 4/0.88 ≈ 4.55 bits/s/Hz，比奈奎斯特的 2/(1+β)≈1.82 提升 2.5 倍。
2. 码间干扰：FTN 引入可控 ISI，需在接收端用均衡器或检测算法（如 BCJR）消除。
3. 性能：在 AWGN 信道下，FTN 可在相同带宽下传输更高数据率，但需要更高 SNR。

- 符号序列：a_n
- 脉冲波形：g(t)
- 符号间隔：T (s)
- 压缩因子：τ (0<τ≤1)
- 调制阶数：M
- 滚降因子：β
- 频谱效率：η (bits/s/Hz)

符号速率：FTN 符号速率提高，对 DAC/ADC 采样率要求提高。例如原 10 Gbaud 需 20 GSa/s，τ=0.8 时需 25 GSa/s。
检测时序：接收端需精确同步到压缩后的符号间隔。

- FTN 原理：突破奈奎斯特准则，以引入 ISI 为代价提高频谱效率。
- 检测算法：最大似然序列检测、均衡、迭代检测。
- 应用：带宽受限的光通信系统。

高速 DAC/ADC（采样率 > 2/(τT)）。脉冲成形滤波器。FTN 检测器（BCJR 或均衡器）。

366

光通信

光解码

FTN 的 BCJR 检测​

BCJR 算法：计算后验概率 L(x_k

y) = log( ∑{s',s: x_k} α{k-1}(s') γ_k(s',s) β_k(s) / ∑{s',s: x_k=0} α{k-1}(s') γ_k(s',s) β_k(s) )
分支度量：γ_k(s',s) ∝ exp( -

y_k - ∑{i=0}^{L-1} h_i x{k-i}

² / (2σ²) )

1. 状态定义：FTN 的 ISI 长度 L=3，则状态数 2^(L-1)=4。状态转移由输入比特 x_k 决定。
2. 前向递归：α_k(s) = ∑{s'} α{k-1}(s') γ_k(s',s)，初始化 α₀(s)=1/4。
3. 后向递归：β{k-1}(s') = ∑s γ_k(s',s) β_k(s)，初始化 β_N(s)=1。
4. 计算 LLR：结合 α, γ, β 计算每个比特的后验 LLR，送译码器。

- 接收信号：y_k
- 信道系数：h_i (ISI 响应)
- 噪声方差：σ²
- 前向度量：α_k(s)
- 后向度量：β_k(s)
- 分支度量：γ_k(s',s)
- 对数似然比：L(x_k

367

光学设计

像差理论

像散与场曲关系​

像散差：Δx' = W₂₂₂ ρ² cos²θ， Δy' = W₂₂₂ ρ² sin²θ
像散焦距差：Δf_ast = f' · (SⅢ / SⅣ)？实际像散导致子午和弧矢焦线分离。

1. 测量：对于视场角 10°，焦距 f'=50 mm，像散系数 W₂₂₂=0.5λ=0.316 μm。则子午焦线位置 Δx' = 0.316 * (tan10°)² * cos²(45°) ≈ 0.316 * 0.0314 * 0.5 ≈ 0.00496 mm，弧矢焦线 Δy' ≈ 0.00496 mm（但方向垂直）。实际分离量约为 0.01 mm。
2. 与场曲关系：若场曲（Petzval 场曲）半径为 R_ptz=-100 mm，则像面弯曲。子午像面与弧矢像面分别位于 Petzval 曲面前后，两者间距即为像散。
3. 校正：使用柱面镜或非球面校正像散。对称结构可自动消除像散。

- 像散系数：W₂₂₂ (μm)
- 归一化视场：ρ (0~1)
- 方位角：θ (rad)
- 子午焦点位移：Δx' (mm)
- 弧矢焦点位移：Δy' (mm)
- Petzval 半径：R_ptz (mm)

随视场变化：像散随视场平方增大。边缘视场像散最严重。
聚焦调整：移动像面可在子午焦线和弧矢焦线间找到最小弥散斑，但无法同时消除两者。

- 像散表现：一点成像为两条分离焦线。
- 与彗差区别：彗差不对称，像散对称。
- 应用：散光眼镜校正人眼像散。

像散测试靶（径向线条）。刀口仪或哈特曼检测。光学设计软件（像散图分析）。

368

成像光学

计算成像

光声成像重建（时间反演）​

光声方程：∇² p(r,t) - (1/v_s²) ∂²p/∂t² = - (β/C_p) ∂H/∂t
时间反演重建：A(r) ∝ ∫ p(r₀, t) * h(r, r₀, t) dt，其中 h 为格林函数。

1. 正向模型：组织吸收光脉冲产生热膨胀，激发超声波。假设初始压力分布 A(r) 正比于吸收系数和光通量。超声波传播到传感器阵列。
2. 反演：将传感器信号时间反演后，数值模拟反向传播，叠加得到初始压力分布。例如，使用延迟求和：A(x,y) = ∑_i p_i (t =

r - r_i

/ v_s)，其中 p_i 为第 i 个传感器信号。
3. 分辨率：横向分辨率取决于传感器阵列孔径和频率，轴向分辨率取决于脉冲宽度。典型分辨率 0.1-1 mm。

- 声压：p(r,t) (Pa)
- 声速：v_s (m/s)
- 热膨胀系数：β (1/K)
- 比热容：C_p (J/(kg·K))
- 热函数：H(r,t) (W/m³)
- 初始压力：A(r) (Pa)
- 传感器位置：r_i

数据采集：激光脉冲照射后，传感器阵列在数百微秒内采集声信号。采样率需高于超声频率（如 50 MHz）。
重建时间：对于 256×256 图像，延迟求和重建在 CPU 上约需数秒，可用 GPU 加速至实时。

369

光通信

光编码

物理层网络编码（PNC）​

中继处理：y_R = h₁ x_A + h₂ x_B + n_R
映射：x_R = f(y_R)，其中 f 为映射函数，如 XOR：x_R = x_A ⊕ x_B。

1. 双向中继：用户 A 和 B 通过中继 R 交换信息。A 发 x_A，B 发 x_B，中继接收叠加信号 y_R。假设使用 BPSK，x_A, x_B ∈ {+1, -1}，h₁=h₂=1，n_R 为高斯噪声。则 y_R = x_A + x_B + n。可能的 y_R 取值：2 (x_A=x_B=1)，0 (x_A=1,x_B=-1 或反之)，-2 (x_A=x_B=-1)。中继判决：若 y_R >0，判为 +1，否则 -1。然后映射为网络编码符号：x_R = sign(y_R)（这里相当于 XOR，因为 +1→1，-1→0，则 x_R 对应 x_A ⊕ x_B）。
2. 性能：误码率取决于信噪比。若 SNR=10 dB，噪声方差 σ²=0.1，则错误概率约为 Q(2/σ)≈Q(6.32)≈1.3e-10。
3. 高阶调制：对于 QPSK，需分别处理 I/Q 两路。

- 中继接收信号：y_R
- 信道系数：h₁, h₂
- 用户发送符号：x_A, x_B
- 噪声：n_R
- 映射函数：f
- 网络编码符号：x_R
- 信噪比：SNR

时隙安排：第一时隙，A 和 B 同时发往中继；第二时隙，中继广播 x_R。A 和 B 利用自身已知信息解码对方信息。总时隙数 2，而传统中继需 4 时隙。
同步要求：A 和 B 需严格同步，使信号同时到达中继。

- 网络编码：在网络层利用编码提高吞吐量。物理层网络编码在无线和光通信中应用。
- 挑战：同步、信道估计、功率控制。
- 应用：双向中继、多用户通信。

软件定义无线电平台。同步算法（时间同步、载波同步）。信道估计模块。

370

光通信

光解码

PNC 解码​

用户解码：用户 A 收到 y_A = h_R x_R + n_A，已知 x_A，估计 x_B = g(y_A, x_A)。
最大似然解码：x̂_B = argmin

y_A - h_R f(h₁ x_A + h₂ x_B)

²。

1. 用户 A 操作：收到中继广播的 x_R（可能含噪）。已知自己的 x_A，则 x_B = x_R ⊕ x_A（对于 BPSK，映射为符号乘法：x_B = x_R * x_A，因为 (+1)(+1)=+1, (+1)(-1)=-1 等）。若中继判决错误，则 x_B 错误。
2. 性能分析：端到端误码率约为 2Pe，其中 Pe 为中继判决错误概率。若中继 SNR 高，则性能接近直接传输。
3. 软解码：中继可转发软信息（似然比），用户结合自身信息进行软判决，提高性能。

- 用户接收信号：y_A
- 中继到用户信道：h_R
- 用户已知信息：x_A
- 估计信息：x̂_B
- 误码率：BER
- 软信息：LLR

解码时序：用户 A 在第二时隙接收，立即用自身 x_A 解码。需缓冲自身发送的 x_A。
迭代解码：若使用 Turbo 编码，可迭代解码提高性能。

371

成像光学

计算成像

散射介质成像（记忆效应）​

记忆效应范围：Δθ ≈ λ / (π L_s)，其中 L_s 为散射介质厚度。
相关成像：C(Δx) = ⟨I(x) I(x+Δx)⟩，其中 I 为散斑图样。

1. 记忆效应：对于厚度 L_s=1 mm 的散射介质，λ=532 nm，则 Δθ ≈ 532e-9 / (π * 1e-3) ≈ 1.69e-4 rad ≈ 0.0097°。即物体角度变化在此范围内，散斑图样相关性强。
2. 成像原理：物体被激光照射，透过散射介质产生散斑。相机记录散斑 I。物体平移或旋转时，散斑变化但相关。通过测量多个散斑图样，利用相位恢复算法重建物体。
3. 分辨率：受散斑颗粒尺寸限制，约为 λ/2NA，NA 为成像系统数值孔径。

- 散射介质厚度：L_s (m)
- 波长：λ (m)
- 记忆效应角度范围：Δθ (rad)
- 散斑图样：I(x)
- 自相关函数：C(Δx)
- 重建图像：O(x)

数据采集：物体以小于 Δθ 的步长旋转或平移，采集多幅散斑图样。步数越多，重建质量越好，但时间越长。
重建算法：使用相位恢复（如 Gerchberg-Saxton）或深度学习网络。重建时间从秒到分钟。

- 散射成像：利用散斑的相关性恢复被散射介质模糊的图像。
- 记忆效应：散斑图样随入射角度变化的线性平移关系。
- 应用：生物组织成像、透过毛玻璃成像。

激光光源。散射介质（毛玻璃、生物组织）。科学级相机。电动旋转台。重建软件。

372

光学设计

像差理论

畸变与TV畸变测量​

TV畸变：DTV = (L_e - L_c) / L_c × 100%，其中 L_e 为边缘方格尺寸，L_c 为中心方格尺寸。
光学畸变：Dist = (h' - f tanθ) / (f tanθ) × 100%。

1. 测量：拍摄方格靶标，中心方格像尺寸 L_c=1.00 mm，边缘方格像尺寸 L_e=0.97 mm，则 DTV = (0.97-1.00)/1.00 = -3%，桶形畸变。
2. 与光学畸变关系：若焦距 f=50 mm，边缘视场角 θ=30°，则理想像高 h=f tanθ=28.87 mm。实际像高测量为 28.3 mm，则 Dist = (28.3-28.87)/28.87 ≈ -1.97%。DTV 与 Dist 数值不同，因 DTV 是局部放大率，Dist 是整体像高偏差。
3. 校正：通过优化透镜形状、光阑位置、非球面减小畸变。广角镜头畸变较大，可达 5% 以上。

- 边缘方格尺寸：L_e (mm)
- 中心方格尺寸：L_c (mm)
- TV畸变：DTV (%)
- 实际像高：h' (mm)
- 焦距：f (mm)
- 视场角：θ (rad)
- 光学畸变：Dist (%)

随视场变化：畸变通常随视场角增大而增大。测量多个视场的 DTV 得到畸变曲线。
色畸变：不同波长的畸变不同，导致彩色镶边。需测量多波长下的畸变。

- 畸变类型：桶形畸变（负）、枕形畸变（正）。
- 影响：对于测量用途，畸变需严格校正（<0.1%）；对于摄影，可容忍较高（1-2%）。
- 测量标准：国际标准如 ISO 17850。

畸变测试靶（方格或点阵）。图像分析软件（自动提取角点）。镜头测试仪。

373

成像光学

成像系统

光学系统透过率与信噪比计算​

信噪比：SNR = (S τ) / √(S τ + B + N_d²)
信号电子数：S = (E λ / (h c)) A Ω t η_q，其中 E 为辐照度，A 为入瞳面积，Ω 为立体角，t 为积分时间，η_q 为量子效率。

1. 计算：星光下目标辐照度 E=1e-6 W/m²，波长 λ=550 nm，入瞳直径 D=50 mm，焦距 f=100 mm，像元尺寸 p=5 μm，积分时间 t=0.1 s，量子效率 η_q=0.5，透过率 τ=0.8，背景和暗噪声忽略。则 A=π(D/2)²=1.96e-3 m²，Ω = (p/f)² = (5e-6/0.1)²=2.5e-9 sr。光子能量 hc/λ=3.61e-19 J。信号电子数 S = (1e-6 * 1.96e-3 * 2.5e-9 * 0.1) / 3.61e-19 * 0.5 * 0.8 ≈ (4.9e-19) / 3.61e-19 * 0.4 ≈ 1.36 * 0.4 = 0.544 电子。太小，无法探测。提高积分时间或增大口径。
2. 透过率影响：若 τ 从 0.8 降至 0.4，信号减半，SNR 下降约 √2 倍。

- 辐照度：E (W/m²)
- 波长：λ (m)
- 入瞳面积：A (m²)
- 立体角：Ω (sr)
- 积分时间：t (s)
- 量子效率：η_q
- 透过率：τ
- 信号电子数：S (electrons)
- 背景电子数：B (electrons)
- 暗噪声：N_d (electrons rms)

曝光时间：SNR 随 √t 提高，但动态场景需短曝光。透过率 τ 不随时间变化，但灰尘、污染会降低 τ。
自适应曝光：根据场景亮度自动调整曝光时间，保持 SNR 在要求范围内。

- 低照度成像：透过率和量子效率是关键。使用背照式传感器提高 η_q，镀增透膜提高 τ。
- 噪声等效曝光：使 SNR=1 所需的曝光量。
- 应用：天文摄影、监控、显微镜。

积分球（均匀光源）。光谱仪（测透过率）。信噪比测试软件。镀膜机（增透膜）。

374

光通信

光编码

无载波幅度相位调制（CAP）​

CAP 信号：s(t) = ∑ a_n p(t-nT) cos(2π f_c t) - ∑ b_n p(t-nT) sin(2π f_c t)
正交条件：∫ p(t) cos(2π f_c t) · p(t) sin(2π f_c t) dt = 0

1. 脉冲设计：p(t) 为平方根升余弦脉冲，滚降因子 β=0.1，符号率 1/T=10 Gbaud，载频 f_c=5 GHz（满足 f_c > (1+β)/(2T)=5.5 GHz？需调整）。实际 f_c 常选符号率一半左右。
2. 调制：比特流映射为二维符号 (a_n, b_n)，如 16-CAP 对应 4 bits。脉冲成形后正交调制。
3. 与 QAM 关系：CAP 等效于基带 QAM，但无需射频载波，直接使用成形滤波器产生正交分量。

- 同相分量：a_n
- 正交分量：b_n
- 脉冲波形：p(t)
- 符号周期：T (s)
- 载频：f_c (Hz)
- 滚降因子：β
- 符号率：R_s = 1/T (Baud)

符号时序：发送端脉冲成形滤波器产生连续信号，接收端匹配滤波后采样判决。
同步：需时钟同步和载波同步（尽管无射频载波，但正交分量需对齐）。

- CAP vs DMT：CAP 是单载波，DMT 是多载波。CAP 实现简单，但抗色散能力弱。
- 应用：短距光互连（如数据中心）、可见光通信。
- 实现：数字 FIR 滤波器实现脉冲成形。

数模转换器（DAC）。模拟滤波器（或数字滤波器）。CAP 调制解调芯片。

375

光通信

光解码

CAP 接收机均衡​

自适应均衡器：y_n = ∑{k=0}^{L-1} w_k x{n-k}
权重更新：w{k,n+1} = w{k,n} + μ e_n x_{n-k}，其中 e_n = d_n - y_n。

1. 均衡器结构：对于 CAP，需要两个均衡器分别处理 I 和 Q 路，长度 L=32 抽头。初始权重为中心抽头为 1，其余为 0。
2. 训练模式：发送已知训练序列（如 PRBS），计算误差 e_n 更新权重。步长 μ=0.001。经过数千符号后收敛。
3. 判决引导模式：训练后，切换为判决引导，用判决输出作为期望 d_n。可跟踪信道慢变化。

- 接收采样：x_n
- 均衡器权重：w_k
- 均衡器长度：L
- 步长：μ
- 误差信号：e_n
- 期望信号：d_n
- 均衡输出：y_n

收敛过程：均衡器权重从初始值迭代收敛，均方误差逐渐下降。收敛时间约几千符号。
跟踪：信道变化时，均衡器持续更新权重以适应。

- 线性均衡：CAP 常用线性均衡器（如 LMS）。对于强色散信道，可能需要非线性均衡。
- 与 FFE/DFE 结合：前馈均衡加判决反馈均衡可提高性能。
- 应用：高速短距光通信。

模数转换器（ADC）。数字信号处理器（实现 LMS 算法）。时钟数据恢复电路。

376

光学设计

长焦距系统

主镜轻量化（蜂窝结构）​

重量减轻比：η = 1 - (ρ_c / ρ_s) (t_c / t_s) - (A_h / A_t) (ρ_h / ρ_s)
刚度：E_eff = E_s (1 - η)^k，k≈2。

1. 设计：实心镜坯材料为微晶玻璃，ρ_s=2500 kg/m³，厚度 t_s=200 mm。采用蜂窝结构，面板厚度 t_c=20 mm，芯层密度 ρ_h=500 kg/m³（假设蜂窝芯占空比 20%），蜂窝面积比 A_h/A_t=0.8。则 η = 1 - (2500/2500)(20/200) - 0.8(500/2500) = 1 - 0.1 - 0.16 = 0.74，即减重 74%。
2. 刚度：有效弹性模量 E_eff = 90 GPa * (1-0.74)² ≈ 90 * 0.0676 ≈ 6.1 GPa，刚度大幅下降。需增加厚度或优化蜂窝形状维持刚度。
3. 热性能：蜂窝结构热容小，温度均匀性易控制，但热变形可能复杂。

- 实心密度：ρ_s (kg/m³)
- 实心厚度：t_s (m)
- 面板厚度：t_c (m)
- 芯层密度：ρ_h (kg/m³)
- 蜂窝面积比：A_h/A_t
- 减重比：η
- 有效模量：E_eff (Pa)

制造过程：先铸造蜂窝结构毛坯，然后粗加工、热处理、研磨抛光。周期长达数月。
热平衡：从室温到工作温度（如 -10°C），蜂窝结构温度均衡时间比实心短，但可能产生梯度。

- 轻量化方式：蜂窝、背部开槽、三角形轻量化。
- 支撑：轻量化后需对应支撑设计，避免局部变形。
- 应用：大型天文望远镜主镜、空间相机。

大型铸造炉（熔炼玻璃）。数控铣床（加工蜂窝）。退火炉（消除应力）。抛光机（应力盘抛光）。

377

成像光学

计算成像

光学系统景深扩展（波前编码）​

相位板相位函数：φ(x,y) = α (x³ + y³)
中间图像 PSF：PSF_encoded =

ℱ{ exp(i φ(x,y)) }

²
解码：I_decoded = deconv(I_encoded, PSF_encoded)

1. 相位板设计：立方相位板参数 α 决定景深扩展程度。例如 α=20π，相位变化范围 ±20π rad。加工在光学元件表面。
2. 成像：加入相位板后，系统 PSF 对离焦不敏感。离焦从 -λ 到 +λ，PSF 形状变化很小。
3. 解码：采集图像 I_encoded，用已知 PSF_encoded 进行反卷积（如 Wiener 滤波），得到清晰图像 I_decoded。

- 相位函数：φ(x,y) (rad)
- 立方项系数：α (rad/mm³)
- 编码 PSF：PSF_encoded
- 中间图像：I_encoded
- 解码图像：I_decoded
- 离焦范围：ΔW₂₀ (λ)

成像过程：物体 → 光学系统（含相位板）→ 探测器得到模糊图像 → 数字处理得到清晰图像。处理延迟需实时或准实时。
离焦不变性：在一定离焦范围内，PSF 几乎不变，因此一次标定 PSF 可用于不同离焦图像解码。

378

光通信

光编码

时频域混合调制（FTN）​

超奈奎斯特信号：s(t) = ∑ a_n g(t - n τ T)，其中 τ < 1 为压缩因子。
频谱效率提升：η = (2 log₂ M) / (τ (1+β)) (bits/s/Hz)，其中 M 为调制阶数，β 为滚降因子。

1. 参数：原符号率 1/T=10 Gbaud，滚降 β=0.1，奈奎斯特带宽 B=(1+β)/(2T)=5.5 GHz。采用 FTN，τ=0.8，则新符号间隔 τT=0.8/10G=80 ps，符号率 12.5 Gbaud。新带宽 B'=(1+β)/(2τT)=6.875 GHz。若使用 QPSK (M=4)，频谱效率 η = (2 * 2)/(0.8 * 1.1) ≈ 4/0.88 ≈ 4.55 bits/s/Hz，比奈奎斯特的 2/(1+β)≈1.82 提升 2.5 倍。
2. 码间干扰：FTN 引入可控 ISI，需在接收端用均衡器或检测算法（如 BCJR）消除。
3. 性能：在 AWGN 信道下，FTN 可在相同带宽下传输更高数据率，但需要更高 SNR。

- 符号序列：a_n
- 脉冲波形：g(t)
- 符号间隔：T (s)
- 压缩因子：τ (0<τ≤1)
- 调制阶数：M
- 滚降因子：β
- 频谱效率：η (bits/s/Hz)

符号速率：FTN 符号速率提高，对 DAC/ADC 采样率要求提高。例如原 10 Gbaud 需 20 GSa/s，τ=0.8 时需 25 GSa/s。
检测时序：接收端需精确同步到压缩后的符号间隔。

- FTN 原理：突破奈奎斯特准则，以引入 ISI 为代价提高频谱效率。
- 检测算法：最大似然序列检测、均衡、迭代检测。
- 应用：带宽受限的光通信系统。

高速 DAC/ADC（采样率 > 2/(τT)）。脉冲成形滤波器。FTN 检测器（BCJR 或均衡器）。

379

光通信

光解码

FTN 的 BCJR 检测​

BCJR 算法：计算后验概率 L(x_k

y) = log( ∑{s',s: x_k} α{k-1}(s') γ_k(s',s) β_k(s) / ∑{s',s: x_k=0} α{k-1}(s') γ_k(s',s) β_k(s) )
分支度量：γ_k(s',s) ∝ exp( -

y_k - ∑{i=0}^{L-1} h_i x{k-i}

² / (2σ²) )

1. 状态定义：FTN 的 ISI 长度 L=3，则状态数 2^(L-1)=4。状态转移由输入比特 x_k 决定。
2. 前向递归：α_k(s) = ∑{s'} α{k-1}(s') γ_k(s',s)，初始化 α₀(s)=1/4。
3. 后向递归：β{k-1}(s') = ∑s γ_k(s',s) β_k(s)，初始化 β_N(s)=1。
4. 计算 LLR：结合 α, γ, β 计算每个比特的后验 LLR，送译码器。

- 接收信号：y_k
- 信道系数：h_i (ISI 响应)
- 噪声方差：σ²
- 前向度量：α_k(s)
- 后向度量：β_k(s)
- 分支度量：γ_k(s',s)
- 对数似然比：L(x_k

380

光学设计

像差理论

像散与场曲关系​

像散差：Δx' = W₂₂₂ ρ² cos²θ， Δy' = W₂₂₂ ρ² sin²θ
像散焦距差：Δf_ast = f' · (SⅢ / SⅣ)？实际像散导致子午和弧矢焦线分离。

1. 测量：对于视场角 10°，焦距 f'=50 mm，像散系数 W₂₂₂=0.5λ=0.316 μm。则子午焦线位置 Δx' = 0.316 * (tan10°)² * cos²(45°) ≈ 0.316 * 0.0314 * 0.5 ≈ 0.00496 mm，弧矢焦线 Δy' ≈ 0.00496 mm（但方向垂直）。实际分离量约为 0.01 mm。
2. 与场曲关系：若场曲（Petzval 场曲）半径为 R_ptz=-100 mm，则像面弯曲。子午像面与弧矢像面分别位于 Petzval 曲面前后，两者间距即为像散。
3. 校正：使用柱面镜或非球面校正像散。对称结构可自动消除像散。

- 像散系数：W₂₂₂ (μm)
- 归一化视场：ρ (0~1)
- 方位角：θ (rad)
- 子午焦点位移：Δx' (mm)
- 弧矢焦点位移：Δy' (mm)
- Petzval 半径：R_ptz (mm)

随视场变化：像散随视场平方增大。边缘视场像散最严重。
聚焦调整：移动像面可在子午焦线和弧矢焦线间找到最小弥散斑，但无法同时消除两者。

- 像散表现：一点成像为两条分离焦线。
- 与彗差区别：彗差不对称，像散对称。
- 应用：散光眼镜校正人眼像散。

像散测试靶（径向线条）。刀口仪或哈特曼检测。光学设计软件（像散图分析）。

381

成像光学

计算成像

单像素成像与压缩感知​

测量值：y_i = ∫ I(x,y) P_i(x,y) dx dy
重建问题：min

I

₁ s.t. y = Φ I，其中 Φ 为测量矩阵，每一行对应一个测量模式 P_i 的向量化。

1. 测量模式：使用空间光调制器（DMD）加载二值随机图案（0 或 1）。每次加载一个图案，用单像素探测器测量总光强。测量次数 M 可远小于像素数 N（如 N=1024，M=256）。
2. 重建算法：使用基追踪或迭代收缩阈值算法（ISTA）求解。例如，ISTA：I^{k+1} = soft_threshold(I^k - τ Φᵀ(Φ I^k - y), τλ)，其中 soft_threshold(x, T) = sign(x) max(

382

光学设计

像差理论

色差与二级光谱​

二级光谱：Δf'_secondary = f' * (P₁ - P₂) / (V₁ - V₂)
其中 P 为部分色散，P = (n_d - n_C) / (n_F - n_C)。

1. 计算：对于 K9-F2 消色差双胶合，K9 的 V₁=64.2, P₁=0.706，F2 的 V₂=36.9, P₂=0.690。焦距 f'=100 mm。则 Δf'_secondary = 100 * (0.706-0.690)/(64.2-36.9) = 100 * 0.016/27.3 ≈ 0.0586 mm。即对于 F 和 C 光消色差后，d 光焦点与它们相差约 0.06 mm。
2. 复消色差：使用三种材料，如 FK51（特种镧冕）、KZFSN2（重火石）、KZFS1（重火石）。通过解方程组使三种波长焦点重合，二级光谱可降至 0.01% 量级。
3. 设计考虑：复消色差透镜设计复杂，成本高，用于高性能光学系统。

- 焦距：f' (mm)
- 阿贝数：V₁, V₂
- 部分色散：P₁, P₂
- 二级光谱：Δf'_secondary (mm)
- 材料组合：三种以上玻璃

波长范围：二级光谱在整个波段内变化，需评估多个波长下的焦点偏移。
温度影响：不同材料的部分色散温度系数不同，高温下二级光谱可能变化。

- 色差校正级别：消色差（两波长）、复消色差（三波长）、超消色差（更多波长）。
- 玻璃选择：常用反常色散玻璃（如氟化钙、FK系列）校正二级光谱。
- 应用：显微物镜、天文望远镜、投影镜头。

光学设计软件（玻璃库优化）。特种玻璃熔炼（肖特、Ohara）。精密胶合。

383

光通信

光编码

混沌激光保密通信编码​

Lang-Kobayashi 方程：
dE/dt = (1+iα) (G - 1/τ_p) E + κ E(t-τ) e^{-iωτ} + F(t)
消息掩盖：E_tx(t) = E_c(t) [1 + m(t)]，其中 E_c 为混沌载波，m(t) 为消息，

m

<<1。

1. 参数设置：半导体激光器，线宽增强因子 α=3，光子寿命 τ_p=2 ps，反馈强度 κ=10 ns⁻¹，反馈延迟 τ=5 ns，光频率 ω=2π×200 THz。数值求解方程得到混沌激光输出。
2. 消息调制：消息信号 m(t) 为模拟语音或数字信号，幅度为混沌载波的 1%。调制后发射信号功率谱中消息隐藏在混沌宽带谱中。
3. 安全性：窃听者若无相同激光器和参数，无法同步解调。密钥为激光器参数（κ, τ, α 等）。

- 复电场：E (√W)
- 增益：G (1/s)
- 光子寿命：τ_p (s)
- 线宽增强因子：α
- 反馈强度：κ (1/s)
- 反馈延迟：τ (s)
- 光频率：ω (rad/s)
- 噪声：F(t)
- 消息信号：m(t) (

m

384

光通信

光解码

混沌同步解码​

接收机方程：
dE_r/dt = (1+iα) (G_r - 1/τ_p) E_r + κ_r E_r(t-τ_r) e^{-iωτ_r} + η (E_t - E_r)
消息提取：m'(t) = (

E_t

² -

E_r

²) /

E_r

385

成像光学

计算成像

光场相机重聚焦​

重聚焦公式：L'(x,y,u,v) = L(x + s(u - u₀), y + s(v - v₀), u, v)
数字重聚焦图像：I_s(x,y) = ∑_{u,v} L(x + s(u - u₀), y + s(v - v₀), u, v)

1. 微透镜阵列光场相机：每个微透镜后对应一个子图像，记录不同方向光线。设微透镜间距 d=0.5 mm，像素大小 p=5 μm，则每个微透镜对应 100×100 像素。重聚焦参数 s 表示虚拟像面与微透镜平面的距离比。
2. 重聚焦实现：对原始子图像进行平移，平移量为 s(u-u₀, v-v₀)，然后叠加。例如，s=2，u₀=v₀=50（中心方向），则对于方向 (u=30, v=30) 的子图像，平移 (2(30-50), 2(30-50)) = (-40, -40) 像素。对所有方向子图像平移后叠加，得到重聚焦图像。
3. 景深扩展*：通过多焦点融合，可得到全聚焦图像。

- 四维光场：L(x,y,u,v) (强度)
- 重聚焦参数：s (无量纲)
- 视角中心：(u₀, v₀) (像素坐标)
- 重聚焦图像：I_s(x,y) (强度)
- 微透镜间距：d (mm)
- 像素大小：p (μm)

动态重聚焦：s 连续变化，生成焦点从前景到后景移动的视频。计算量：每帧需对每个子图像进行平移和叠加，可用 GPU 并行。
实时处理：对于 1k×1k 子图像，4×4 方向，s 变化步长 0.1，实时生成 30 fps 视频需数百 GFLOPs。

- 光场采集：微透镜阵列、相机阵列、编码掩模。
- 应用：先拍照后对焦、三维重建、虚拟现实。
- 与多焦点堆叠对比：光场一次拍摄，重聚焦灵活，但空间分辨率低。

光场相机（Lytro, Raytrix）。GPU 加速计算平台。重聚焦软件（LFTool, MATLAB 工具包）。

386

光学设计

长焦距系统

主镜支撑与面形误差​

重力变形近似：RMS ∝ D⁴ / (N² t²)
周边支撑圆板中心变形：δ = (3/16) (ρ g D⁴) / (E t²) (1-ν²)

1. 计算：主镜直径 D=2 m，厚度 t=0.2 m，材料为微晶玻璃，ρ=2500 kg/m³，E=90 GPa，ν=0.24。则 δ = (3/16)(2500 * 9.8 * 2⁴)/(90e9 * 0.2²)(1-0.24²) = (0.1875)(2500 * 9.8 * 16)/(90e9 * 0.04)0.9424 = (0.1875)(392000)/(3.6e9)0.9424 ≈ (0.1875 * 1.0889e-4)0.9424 ≈ 2.04e-5 0.9424 ≈ 1.92e-5 m = 19.2 μm。RMS 通常为峰谷值的 1/5~1/10，取 RMS ≈ 2 μm。
2. 支撑点影响：若采用 18 点支撑 (N=18)，与 6 点支撑相比，RMS 减少因子 (18/6)²=9，即 RMS 可降至约 0.22 μm。但支撑点过多增加复杂性。
3. 主动支撑**：通过力促动器施加校正力，可将面形误差校正到 λ/20 以下（λ=633 nm，即 31.7 nm）。

- 口径：D (m)
- 厚度：t (m)
- 密度：ρ (kg/m³)
- 弹性模量：E (Pa)
- 泊松比：ν
- 支撑点数：N
- 面形误差 RMS：σ (m)
- 重力加速度：g = 9.8 m/s²

指向变化：望远镜俯仰角变化时，重力沿光轴和垂直方向分量变化，导致面形变化。需建立不同姿态下的有限元模型，预存校正力。
主动校正时序：测量面形（如用 Shack-Hartmann 传感器）→ 计算当前误差 → 求解最佳支撑力 → 调整促动器力。周期约 1 分钟。

387

光学设计

像差理论

畸变与像高关系​

畸变定义：Distortion = (H' - H'ideal) / H'ideal × 100%
像高公式：H'ideal = f' · tanθ， H'actual = f' · (tanθ + A tan³θ + B tan⁵θ + ...)

1. 计算：对于焦距 f'=50 mm 的镜头，视场角 θ=30°，理想像高 H'ideal = 50 * tan30° ≈ 50 * 0.5774 = 28.87 mm。若实际像高 H'actual = 29.5 mm，则畸变 = (29.5-28.87)/28.87 * 100% ≈ 2.18%（枕形畸变）。若 H'_actual = 28.2 mm，则畸变 ≈ -2.32%（桶形畸变）。
2. 系数拟合：通过光线追迹得到多个视场的实际像高，拟合多项式系数 A, B。例如，对于对称结构，A 通常很小，B 主导。
3. 校正：使用对称结构或光阑位于透镜组中间可有效校正畸变。对于广角镜头，需复杂设计。

- 焦距：f' (mm)
- 视场角：θ (rad 或 °)
- 理想像高：H'ideal (mm)
- 实际像高：H'actual (mm)
- 畸变百分比：Distortion (%)
- 多项式系数：A, B

随视场变化：畸变随视场角增大而增大，通常与 tanθ 的三次方或五次方成正比。边缘视场畸变最严重。
对测量影响：在机器视觉中，需先标定畸变系数，然后对图像进行校正。

- 畸变类型：枕形畸变（正畸变）、桶形畸变（负畸变）。
- 与主光线关系：畸变是主光线像差，不影响成像清晰度，只影响位置。
- 应用：测绘镜头、投影镜头要求低畸变。

畸变测试靶（网格或点阵）。图像分析软件（测量像高）。光学设计软件（畸变图分析）。

388

成像光学

计算成像

偏振三维成像（Shape from Polarization）​

偏振度与法线关系：ρ = (I_max - I_min) / (I_max + I_min) = (n-1/n)² sin²θ / (2+2n²-(n+1/n)² sin²θ+4 cosθ √(n²-sin²θ))
偏振角与法线方位角：φ = 0.5 arctan(U/Q)

1. 数据采集：使用旋转偏振片或分焦平面偏振相机，采集 0°, 45°, 90°, 135° 偏振方向的图像 I₀, I₄₅, I₉₀, I₁₃₅。计算斯托克斯参数 I = (I₀+I₄₅+I₉₀+I₁₃₅)/2， Q = I₀ - I₉₀， U = I₄₅ - I₁₃₅。
2. 计算偏振信息：偏振度 ρ = √(Q²+U²)/I，偏振角 φ = 0.5 arctan(U/Q)。
3. 表面法线估计：假设非导电介质（如塑料、陶瓷），折射率 n=1.5。对于每个像素，由 ρ 和 φ 可解出天顶角 θ 和方位角 α，得到法线向量。积分法线场得到深度图。

- 光强图像：I₀, I₄₅, I₉₀, I₁₃₅
- 斯托克斯参数：I, Q, U
- 偏振度：ρ
- 偏振角：φ (rad)
- 折射率：n
- 法线天顶角：θ (rad)
- 法线方位角：α (rad)

多角度采集：旋转偏振片需机械运动，采集四幅图像需要时间。若物体运动，会产生运动模糊。
实时处理：使用分焦平面偏振相机可同时获取四个方向图像，但空间分辨率降低。

- 偏振与表面取向：漫反射和镜面反射的偏振特性不同。
- 多视角融合：结合多视角立体视觉可提高精度。
- 应用：物体三维重建、材质分类、缺陷检测。

旋转偏振片机构。分焦平面偏振相机（如 Sony IMX250）。法线积分软件。

389

光通信

光编码

概率整形（Probabilistic Shaping）​

概率质量函数：P_X(x) = exp(-λ

x

²) / ∑_x' exp(-λ

x'

²)
熵与速率：R = H(X) = -∑_x P_X(x) log₂ P_X(x)

1. 分布匹配：将均匀分布的输入比特映射为服从 Maxwell-Boltzmann 分布的信道符号。例如，对于 16-QAM，星座点 {±1, ±3}×{±1, ±3}。通过调整 λ 控制分布，λ 越大，内圈点概率越高。
2. 速率计算：若 λ=0.1，计算 16-QAM 各点概率，得熵 H(X)≈3.5 bits/symbol，而均匀分布为 4 bits/symbol。因此，概率整形以更低的平均功率实现了接近信道容率的速率。
3. 性能增益：在 AWGN 信道下，概率整形 16-QAM 比均匀 16-QAM 可获得约 1 dB 的 SNR 增益。

390

光通信

光解码

概率整形软解调​

对数似然比：LLR(b_i) = log( ∑_{x∈X_i0} P_X(x) exp(-

y - hx

²/(2σ²)) / ∑_{x∈X_i1} P_X(x) exp(-

y - hx

²/(2σ²)) )

1. 接收信号：y = hx + n，其中 h 为信道响应，n 为复高斯噪声。假设 h=1，σ²=0.01。
2. 先验概率：已知概率分布 P_X(x)，例如 16-QAM 内圈点概率高。
3. 计算 LLR：对于每个比特位置 i，将星座点集合划分为 X_i0 和 X_i1。计算每个星座点的后验度量 P_X(x) exp(-

391

光学设计

长焦距系统

热差与温度梯度​

热离焦：Δf'_thermal = f' · (α_g - α_h) · ΔT
温度梯度导致波像差：W_thermal ≈ (dn/dT + (n-1)α_g) · ΔT · t

1. 材料匹配：主镜材料微晶玻璃 α_g=0.05e-6 /K，支撑结构钢 α_h=11e-6 /K，焦距 f'=10 m，温度变化 ΔT=10 K。则 Δf'_thermal = 10000 * (0.05e-6 - 11e-6) * 10 = 10000 * (-10.95e-6) * 10 = -1.095 mm。负号表示焦距缩短。
2. 透镜热差：透镜材料 H-K9L，dn/dT=3.0e-6 /K，α_g=7.1e-6 /K，n=1.5，厚度 t=10 mm，ΔT=10 K。则 W_thermal ≈ (3.0e-6 + (1.5-1)7.1e-6) * 10 * 0.01 = (3.0e-6 + 3.55e-6) * 0.1 = 6.55e-7 m = 0.655 μm。此像差需用被动或主动方式补偿。
3. 主动补偿*：通过移动像面或调整透镜间距补偿热离焦。

- 焦距：f' (mm)
- 线膨胀系数：α_g, α_h (1/K)
- 温度变化：ΔT (K)
- 热离焦：Δf'_thermal (mm)
- 折射率温度系数：dn/dT (1/K)
- 厚度：t (m)
- 热致波像差：W_thermal (m)

温度循环：环境温度昼夜变化导致周期性热离焦。需实时监测温度并调整焦点位置。
热平衡时间：大型镜体热平衡时间可达数小时，期间温度梯度导致像差变化。

- 热差类型：热离焦、热像散、热彗差。
- 无热化设计：选择材料组合使系统焦距对温度不敏感。
- 应用：空间光学系统、户外监控镜头。

温度传感器（PT100）。热控系统（加热器、制冷器）。有限元热分析软件。主动调焦机构。

392

成像光学

成像系统

光学合成孔径成像​

合成孔径点扩散函数：PSF_synth =

ℱ{ ∑_{k=1}^N P(u-u_k, v-v_k) }

²，其中 (u_k, v_k) 为子孔径位置。
分辨率：θ_res = λ / B_max，B_max 为最大基线长度。

1. 阵列设计：N 个子望远镜排列在一条基线上，最大基线 B_max=10 m，工作波长 λ=500 nm。则角分辨率 θ_res = 500e-9 / 10 = 5e-8 rad ≈ 0.01 arcsec。等效单口径望远镜口径需 D = 1.22 λ / θ_res = 1.22 * 500e-9 / 5e-8 = 12.2 m。
2. 瞳面采样：子孔径在瞳面上的位置 (u_k, v_k) 决定传递函数覆盖。非冗余排列可最大化 u-v 覆盖。
3. 图像重建：通过相位恢复或自校准算法从干涉测量数据重建图像。

- 子孔径数：N
- 子孔径坐标：(u_k, v_k) (m)
- 最大基线：B_max (m)
- 工作波长：λ (m)
- 角分辨率：θ_res (rad)
- 合成 PSF：PSF_synth

干涉测量：各子望远镜光束合束产生干涉条纹，测量复可见度（幅度和相位）。需精确光程差控制（< λ/10）。
相位闭合：利用多个子望远镜的相位闭合关系校准大气湍流引起的相位误差。

393

光通信

光编码

空分复用（SDM）与模式复用​

模式耦合方程：dA_m/dz = i β_m A_m + ∑{n≠m} i C{mn} A_n
信道容量：C = ∑_{k=1}^M log₂(1 + SNR_k)

1. 少模光纤：支持 LP01, LP11a, LP11b 三个模式，每个模式可独立传输信号。模式间耦合系数 C_{mn} 取决于光纤扰动，典型值 0.001~0.01 rad/m。
2. MIMO 均衡：接收端用多输入多输出均衡分离模式。对于 3 模式，需要 3×3 MIMO。均衡器长度需覆盖模式耦合长度。
3. 容量提升：若每个模式 SNR 相同为 20 dB，则 C = 3 * log₂(1+100) ≈ 3 * 6.66 = 20 bits/s/Hz，比单模提高 3 倍。

- 模式振幅：A_m (z)
- 传播常数：β_m (1/m)
- 耦合系数：C_{mn} (1/m)
- 模式数：M
- 信噪比：SNR_k
- 信道容量：C (bits/s/Hz)

模式解复用：使用空间光调制器或光纤耦合器进行模式分离。需实时跟踪模式耦合变化。
训练序列：MIMO 均衡器需要训练序列来估计信道矩阵，训练序列长度与模式数成正比。

- 空分复用：利用空间维度（纤芯、模式）提高容量。
- 多输入多输出：数字信号处理补偿模式耦合和串扰。
- 应用：大容量光纤通信、数据中心互连。

少模光纤。多模复用器/解复用器。多通道相干接收机。MIMO DSP。

394

光通信

光解码

SDM-MIMO 均衡​

MIMO 信道模型：y = H x + n
均衡器输出：x̂ = W y，其中 W 为均衡矩阵，如迫零 W = (H^H H)^{-1} H^H。

1. 信道估计：发送训练序列 X_train，接收 Y_train，估计 H = Y_train X_train^H (X_train X_train^H)^{-1}。对于 3×3 MIMO，H 为 3×3 复矩阵。
2. 迫零均衡：计算 W_ZF = (H^H H)^{-1} H^H。若 H 条件数大，则噪声增强严重。
3. MMSE 均衡：W_MMSE = (H^H H + σ² I)^{-1} H^H，其中 σ² 为噪声方差。MMSE 在噪声增强和残留串扰间权衡。

- 接收信号：y (M×1 向量)
- 发射信号：x (M×1 向量)
- 信道矩阵：H (M×M 复数)
- 噪声：n (M×1 向量)
- 均衡矩阵：W (M×M 复数)
- 估计信号：x̂ (M×1 向量)

自适应均衡：使用 LMS 或 RLS 算法跟踪信道变化。更新公式：W_{k+1} = W_k + μ e_k y_k^H。
块处理：将数据分块，每块开头发送训练序列，块内使用恒定 W 或自适应更新。

- MIMO 检测：迫零、MMSE、最大似然。
- 模式相关损耗：不同模式衰减不同，需功率均衡。
- 应用：模式复用光纤通信、多芯光纤。

多通道 ADC。MIMO 均衡器（FPGA 或 ASIC）。信道估计模块。训练序列发生器。

395

光学设计

像差理论

赛德尔像差系数与波像差关系​

波像差展开：W(ρ, θ, H) = ∑ W{lmn} H^l ρ^m cos^n θ
赛德尔系数：S_I = 8 W{040}, S_II = 2 W{131}, S_III = 2 W{222}, S_IV = 4 W{220}, S_V = 2 W{311}

1. 从波像差计算赛德尔系数：通过光线追迹或干涉仪得到波前，拟合得到泽尼克系数，再转换为赛德尔系数。例如，测得离焦泽尼克系数 a₂⁰=0.1 μm，对应波像差 W{020} = a₂⁰ / √3 ≈ 0.0577 μm。赛德尔离焦项 S_IV 与 W{020} 相关。
2. 从赛德尔系数估算 RMS：若只有初级球差 S_I=0.5 μm，则波像差 W{040}=S_I/8=0.0625 μm。RMS 像差约为 W{040}/√5≈0.028 μm。
3. 设计优化：在光学设计软件中，直接优化赛德尔系数以平衡像差。

- 波像差系数：W_{lmn} (μm)
- 归一化视场：H
- 归一化孔径：ρ
- 方位角：θ
- 赛德尔系数：S_I, S_II, S_III, S_IV, S_V (μm)
- 泽尼克系数：a_n^m (μm)

视场和孔径变化：赛德尔系数是像差随视场和孔径变化的初级近似。高级像差需更多项。
像差平衡：通过调整透镜曲率、间距、材料，使赛德尔系数最小化或按需平衡。

- 初级像差：球差、彗差、像散、场曲、畸变。
- 与泽尼克多项式关系：有固定转换关系。
- 应用：光学系统初始设计、像差平衡。

光学设计软件（Zemax, Code V 中的赛德尔系数表）。干涉仪（测波像差）。像差拟合程序。

396

成像光学

计算成像

非视域成像（NLOS）​

光传输方程：I(t) = ∫∫_{S} ρ(x) · h(x, t) dx，其中 h(x,t) 为往返脉冲响应。
重建算法：ρ(x) = argmin

I - H ρ

² + λ R(ρ)

1. 系统：激光脉冲照射到中介墙面，散射光到达隐藏物体，再反射回墙面，被单像素探测器接收。记录时间分辨信号 I(t)。
2. 正向模型：h(x,t) 描述从激光点经墙面到物体点 x 再返回探测点的光程时间。假设光速 c，则 h(x,t) ∝ δ(t - (d₁+d₂)/c) / (d₁² d₂²)，其中 d₁, d₂ 为距离。
3. 重建：将空间离散化，建立矩阵 H，求解逆问题。使用共轭梯度法或深度学习网络重建隐藏物体图像 ρ(x)。

397

光通信

光编码

光正交频分复用（O-OFDM）​

OFDM 信号：s(t) = ∑_{k=0}^{N-1} X_k exp(i 2π k Δf t), 0 ≤ t < T
峰均比：PAPR = max(

s(t)

²) / E[

s(t)

²]

1. 参数：子载波数 N=256，子载波间隔 Δf=10 MHz，符号周期 T=1/Δf=100 ns。每个子载波调制 QPSK 符号，则总数据率 = N * log₂(4) * Δf = 256 * 2 * 10e6 = 5.12 Gbps。
2. PAPR：OFDM 信号 PAPR 较高，可达 10-12 dB。需采用削峰、压扩或选择性映射降低 PAPR。
3. 保护间隔：为对抗色散，加入循环前缀，长度大于信道时延扩展。例如，循环前缀长度 1/4 符号，即 25 ns。

398

光通信

光解码

O-OFDM 信道估计与均衡​

导频插入：在频域特定子载波插入已知导频符号 X_p。
信道估计：Ĥ_k = Y_k / X_k，对于导频位置 k∈P。
插值：对数据子载波信道响应进行插值（如线性、样条）。

1. 导频图案：采用梳状导频，每隔 8 个子载波插入一个导频。对于 N=256，导频数 32。导频符号采用 BPSK。
2. 估计：接收端 FFT 后，在导频位置计算 Ĥp = Y_p / X_p。假设信道响应平滑，通过插值得到所有子载波的 Ĥk。
3. 均衡：对每个子载波进行单抽头均衡：X̂k = Y_k / Ĥk。对于 QPSK，判决 X̂_k 到最近星座点。

- 接收频域信号：Y_k (复数)
- 发射频域符号：X_k (复数)
- 导频集合：P
- 信道估计值：Ĥk (复数)
- 均衡后符号：X̂k (复数)

块状导频：每个 OFDM 符号插入导频，用于快变信道。
梳状导频：每个符号部分子载波为导频，用于频率选择性信道。
二维导频：时频二维插入，用于时变频率选择性信道。

- 信道估计方法：LS、MMSE、基于 DFT 的估计。
- 相位噪声补偿：OFDM 对相位噪声敏感，需额外相位跟踪。
- 应用：CO-OFDM 系统。

导频插入模块。信道估计器（插值器）。单抽头均衡器。相位恢复环路。

399

光学设计

长焦距系统

主镜轻量化（背部开孔）​

重量减轻：ΔW = ρ · V_removed
刚度损失：Δf ∝ (D/t)² · (A_removed/A_total)

1. 设计：主镜直径 D=1.5 m，厚度 t=0.15 m，实心重量 W_solid = ρ π (D/2)² t = 2500 * π * (0.75)² * 0.15 ≈ 663 kg。背部开孔，去除圆柱形孔，孔径 d=0.1 m，深度 h=0.1 m，孔数 N=100。则去除体积 V_removed = N * π (d/2)² h = 100 * π * 0.05² * 0.1 ≈ 0.0785 m³，减重 ΔW = 2500 * 0.0785 ≈ 196 kg，新重量 ≈ 467 kg，减重约 30%。
2. 刚度影响：开孔面积比 A_removed/A_total ≈ N π (d/2)² / (π (D/2)²) = 100 * 0.00785 / 1.767 ≈ 0.444。刚度下降导致固有频率降低，需有限元分析验证。

- 材料密度：ρ (kg/m³)
- 去除体积：V_removed (m³)
- 减重量：ΔW (kg)
- 孔径：d (m)
- 孔深：h (m)
- 孔数：N
- 面积比：A_removed/A_total

加工时序：先粗加工镜坯，然后背面钻孔，再研磨抛光正面。钻孔顺序需对称，避免引入不对称应力。
热平衡：开孔结构热容小，温度变化响应快，但可能产生不均匀温度分布。

- 轻量化方式：背部开孔、三角形轻量化、蜂窝结构。
- 支撑：轻量化后支撑点需对应加强筋。
- 应用：中小型望远镜主镜、空间相机镜坯。

数控钻床（加工背面孔）。有限元分析软件（刚度、热变形）。应力检测仪。

400

成像光学

成像系统

光学相干断层扫描（OCT）​

干涉信号：I(k) = S(k) [R_R + R_S + 2√(R_R R_S) cos(2k Δz)]
深度扫描：A-scan：I(z) = ℱ⁻¹{I(k)}

1. 系统：宽带光源中心波长 λ₀=1300 nm，带宽 Δλ=100 nm，相干长度 l_c = λ₀²/Δλ ≈ 16.9 μm。参考臂反射率 R_R，样品臂反射率 R_S。
2. 光谱采集：光谱仪线阵相机采集 1024 点，波数范围 k_min 到 k_max。对 I(k) 做逆傅里叶变换得到深度反射率剖面 I(z)。
3. 分辨率：轴向分辨率 Δz = 2 ln2/π · λ₀²/Δλ ≈ 0.44 * 16.9 ≈ 7.4 μm。横向分辨率由物镜 NA 决定。

- 波数：k (1/m)
- 光源光谱：S(k)
- 反射率：R_R, R_S
- 光程差：Δz (m)
- 深度剖面：I(z)
- 相干长度：l_c (m)
- 轴向分辨率：Δz (m)

A-scan：一次深度扫描，获取一条深度反射率曲线。扫描速率可达数百 kHz。
B-scan：横向扫描，组合多条 A-scan 得到二维图像。
体数据：二维横向扫描得到三维体积数据。

- OCT 类型：时域 OCT、频域 OCT（光谱域、扫频源）。
- 应用：眼科成像、皮肤科、内窥镜。
- 与共聚焦显微镜对比：OCT 深度穿透更深，但横向分辨率较低。

宽带光源（SLD， 扫频激光器）。干涉仪（Michelson 或 Mach-Zehnder）。光谱仪或平衡探测器。扫描振镜。图像重建软件。

401

非线性光学

光学涡旋传播

拉盖尔-高斯光束的轨道角动量​

LGₚˡ模式光场：
u{pl}(r, φ, z) = C{pl} / w(z) (r√2/w(z))^{

l

} L_p^{

l

}(2r²/w²(z)) exp(-r²/w²(z)) exp(i l φ) exp(i ψ(z))
其中 ψ(z) = (2p+

l

402

量子光学

连续变量量子密钥分发

GG02 协议协方差矩阵​

Einstein-Podolsky-Rosen (EPR) 态协方差矩阵：
γ_{AB} = [V I₂, √(V²-1) σ_z; √(V²-1) σ_z, V I₂]
其中 V 为 EPR 态方差（通常 V > 1），I₂ 为 2×2 单位矩阵，σ_z 为泡利 Z 矩阵。

1. 参数：V=5（相当于 7 dB 压缩），则协方差矩阵为 4×4 矩阵。Alice 和 Bob 各自持有的模式 A 和 B 的关联性由非对角块 √(V²-1) σ_z ≈ √24 σ_z ≈ 4.9 σ_z 体现。
2. 信道传输：经过损耗 η=0.5、噪声 ε=0.1 的信道后，Bob 的协方差矩阵变为 γ_B = η V I₂ + (1-η + ε) I₂。代入得 γ_B = 0.5 * 5 I₂ + 0.6 I₂ = 3.1 I₂。
3. 安全密钥率：通过计算 Bob 和 Eve 的互信息与 Holevo 信息差得到。

- EPR 态方差：V (V≥1)
- 信道透射率：η (0≤η≤1)
- 过量噪声：ε (通常 ε≥0)
- 协方差矩阵：γ (4×4 实对称矩阵)
- 泡利矩阵：σ_z = diag(1, -1)
- 安全密钥率：K (bit/pulse)

调制与测量：Alice 用 EPR 态的一路，Bob 用零差或外差测量正交分量。每个脉冲 Alice 随机选择测量基（X 或 P）。
参数估计：双方公开部分测量数据，估计信道参数 η 和 ε，进而计算安全密钥率。

- 连续变量 QKD：使用光场的正交分量编码信息，无需单光子探测器。
- 与离散变量 QKD 对比：CV-QKD 可使用现成通信器件，但安全距离较短（~100 km）。
- 抗噪声：需采用反向协调或前向协调。

连续变量纠缠源（光学参量振荡器）。零差探测器（平衡探测器）。数据后处理单元（参数估计、纠错、隐私放大）。

403

光学设计

自由曲面光学

自由曲面面形表征与拟合​

XY 多项式曲面：
z(x,y) = ∑{m=0}^{M} ∑{n=0}^{N} C{mn} x^m y^n / (1 + ∑{p=0}^{P} ∑{q=0}^{Q} D{pq} x^p y^q)
最速下降法优化：C{mn}^{(k+1)} = C{mn}^{(k)} - α ∇J(C_{mn})，其中 J 为面形误差函数。

1. 拟合实例：测量得到自由曲面镜上 1000 个点的坐标 (x_i, y_i, z_i)。用多项式阶数 M=N=6，共 49 个系数 C{mn}。通过最小二乘法 min ∑ (z_i - z(x_i,y_i))² 求解系数。
2. 优化：初始设所有 C{mn}=0，梯度下降步长 α=0.01，迭代 1000 次后，面形误差 RMS 从 10 μm 降至 0.5 μm。
3. 加工验证：将系数 C_{mn} 输入单点金刚石车床，加工后实测面形 RMS=0.6 μm，满足 λ/10 (@633 nm) 要求。

- 面形高度：z (mm)
- 多项式系数：C{mn} (mm^{1-m-n})
- 有理分母系数：D{pq} (无量纲)
- 拟合点数量：N_points
- 面形误差 RMS：σ (μm)
- 梯度下降步长：α
- 迭代次数：k

面形测量迭代：加工 → 测量面形 → 拟合系数计算误差 → 修正加工路径 → 再加工。通常需 2-3 次迭代收敛。
热变形补偿：拟合时考虑工作温度下的面形，系数包含热膨胀效应。

- 自由曲面应用：头戴显示器、照明系统、离轴三反系统。
- 表征方法：坐标测量机、干涉仪（带零位补偿器）。
- 设计挑战：缺乏旋转对称性，像差复杂。

三坐标测量机（Zeiss, Mitutoyo）。单点金刚石车床（Precitech, Moore）。面形拟合软件（MATLAB, Zemax）。

404

光通信

可见光通信

基于 LED 的 OFDM-VLC 系统峰均比抑制​

压扩变换：y = sign(x) · ln(1 + μ

x

) / ln(1 + μ)， -1 ≤ x ≤ 1
峰均比：PAPR = 10 log₁₀(max(

s(t)

²) / E[

s(t)

405

成像光学

计算成像

散射介质成像（光学记忆效应）​

记忆效应范围：Δθ ≈ λ / (π L)，其中 L 为散射介质厚度。
相关函数：C(Δr) = ⟨I(r) I(r+Δr)⟩ / (⟨I(r)⟩²) - 1，其中 I 为散斑图样。

1. 实验参数：λ=532 nm，散射介质为毛玻璃，厚度 L=1 mm，则记忆效应角度范围 Δθ ≈ 532e-9 / (π * 1e-3) ≈ 0.169 mrad ≈ 0.0097°。在此角度内，散斑图样强相关。
2. 图像恢复：利用记忆效应，通过测量物体不同角度照明下的散斑图样，通过相位恢复算法（如 Fienup 算法）重建物体图像。对于 100×100 像素物体，需约 200 幅散斑图。
3. 分辨率：受限于散斑颗粒大小，约 λ/2NA，NA 为收集透镜数值孔径。

- 波长：λ (m)
- 散射介质厚度：L (m)
- 记忆效应角范围：Δθ (rad)
- 散斑图样：I(r) (强度)
- 空间相关函数：C(Δr)
- 重建图像：O(x,y)

数据采集：旋转照明角度，每次采集一幅散斑图像。角度步长需小于 Δθ。采集时间与图像数成正比。
迭代重建：采用多幅散斑图联合相位恢复，迭代数十次后收敛。

- 散射成像：利用散斑的相关性透过散射介质成像。
- 与波前整形对比：记忆效应方法无需波前调控，但视场小。
- 应用：生物组织成像、透过雾成像。

激光器（单模）。旋转反射镜（控制照明角度）。科学级相机（记录散斑）。相位恢复软件（GS 或 Fienup 算法）。

406

非线性光学

拓扑光子学

拓扑陈数计算​

陈数公式：C = (1/(2π i)) ∫{BZ} d²k Tr(P(k) [∂{k_x} P(k), ∂_{k_y} P(k)])
其中 P(k) 为投影算子，P(k) =

u(k)⟩⟨u(k)

，

u(k)⟩ 为布洛赫波函数。

1. 模型：考虑光子晶体中的量子霍尔模型，每个 k 点有 2 个能带。计算占据能带的投影算子。离散布里渊区取 100×100 网格。
2. 数值计算：对每个小 plaquette，计算 U(1) 联络的乘积（Wilson loop），然后求和。对于拓扑非平庸相，陈数 C=1。
3. 边缘态：根据体边对应，陈数非零时，系统存在手性边缘态，其数量等于陈数。

- 布洛赫波函数：

407

光学设计

衍射光学

达曼光栅设计​

相位分布：φ(x) = 0 或 π，区域边界由非线性方程决定：
∫{x_j}^{x{j+1}} exp(i φ(x)) dx = constant。
衍射效率：η = (1/N)²

sinc(1/N)

²，其中 N 为分束数。

1. 设计 1×9 达曼光栅：周期 Λ=100 μm，分成 9 个等强度点。求解相位边界 x_j，使得 0 和 π 相位区域宽度满足等强度条件。通常用迭代优化算法求解。
2. 效率计算：N=9，η = (1/9)²

sinc(1/9)

² ≈ 0.0123 * 0.998 ≈ 0.0123，即每级衍射效率约 1.23%。但总效率（所有级次和）可达 80% 以上。
3. 加工：相位深度 d = λ/(2(n-1))，对于 λ=633 nm，n=1.5 的光刻胶，d=633 nm。

408

光通信

光量子计算

线性光学量子计算（LOQC）中的 CZ 门​

基于线性光学和量子纠缠的 CZ 门：成功率 η = 1/4，使用辅助纠缠光子对和贝尔测量。

1. 方案：Knill-Laflamme-Milburn (KLM) 方案。需要两个输入光子、两个辅助光子和一个贝尔态分析仪。通过后选择，当探测器符合计数模式满足时，实现 CZ 门操作。
2. 成功率：无辅助时，线性光学 CZ 门概率为 1/9；使用辅助纠缠对，可提升至 1/4。通过级联多个这样的门，可构建大规模量子电路，但资源消耗大。
3. 保真度：在理想条件下，保真度可达 1。实际受限于光子不可区分性、模式匹配、探测器效率。

- 输入光子：

ψ_in⟩ (两光子态)
- 辅助纠缠对：

Φ⁺⟩
- 贝尔测量结果：m (0,1,2,3)
- 成功概率：η = 1/4
- 输出态：

ψ_out⟩ = CZ

409

成像光学

超分辨率显微

受激发射损耗（STED）显微分辨率​

有效点扩散函数：PSF_STED(r) = PSF_ex(r) · exp(-I_STED(r) / I_sat)
分辨率：Δr ≈ λ / (2 NA √(1 + I_max / I_sat))

1. 参数：激发光波长 λ_ex=640 nm，损耗光波长 λ_STED=760 nm，物镜 NA=1.4。损耗光强分布为环形，最大强度 I_max=100 MW/cm²，饱和强度 I_sat=1 MW/cm²。则分辨率 Δr ≈ 640/(2 * 1.4√(1+100)) ≈ 228.6/√101 ≈ 22.7 nm，远低于衍射极限 ~230 nm。
2. 光强需求：为达到 20 nm 分辨率，需 I_max / I_sat ≈ 100。若 I_sat=1 MW/cm²，则 I_max=100 MW/cm²，高功率可能引起光损伤。
3. 三维 STED*：使用环形损耗光束可提高横向分辨率；若加 donut 形状的轴向分量，可同时提高轴向分辨率。

- 激发 PSF：PSF_ex(r) (强度分布)
- 损耗光强：I_STED(r) (W/m²)
- 饱和强度：I_sat (W/m²)
- 最大损耗光强：I_max (W/m²)
- 数值孔径：NA
- 分辨率：Δr (m)

扫描成像：聚焦的激发光和损耗光同步扫描样品，逐点采集荧光。像素驻留时间 ~10 μs，512×512 图像需数秒。
脉冲时序：通常用皮秒脉冲激光，先激发脉冲，后跟损耗脉冲，延迟约 0.1-1 ns。

- STED 原理：利用受激发射损耗激发点周围荧光，使有效发光区域远小于衍射极限。
- 与 PALM/STORM 对比：STED 是确定性方法，成像速度快，但需高功率激光。
- 应用：活细胞纳米成像、神经突触观察。

脉冲激光器（皮秒， 可调波长）。相位板（产生 donut 光束）。高速扫描振镜。单光子计数器。

410

光通信

空间光通信

大气湍流相位屏生成​

功率谱反演法：φ(x,y) = ℱ⁻¹{ √(Φ_φ(f_x, f_y)) · N(f_x, f_y) }
其中 Φ_φ(f) = 0.023 r₀^{-5/3} f^{-11/3} 为湍流相位功率谱，r₀ 为 Fried 参数。

1. 参数：传输距离 L=1 km，波长 λ=1550 nm，大气结构常数 C_n²=1e-15 m^{-2/3}，则 Fried 参数 r₀ = (0.423 k² C_n² L)^{-3/5} ≈ 0.423(2π/1.55e-6)²1e-15 * 1000 ≈ 计算得 r₀≈0.05 m。
2. 相位屏生成：网格大小 256×256，网格间距 Δx=0.01 m。在频域生成复高斯随机场 N，乘以 √(Φ_φ)，然后做逆 FFT 得到相位屏 φ，RMS 约为 1 rad。
3. 畸变光场：通过相位屏的光场 E_out = E_in exp(i φ)。

- 相位屏：φ(x,y) (rad)
- 空间频率：f_x, f_y (1/m)
- Fried 参数：r₀ (m)
- 波数：k=2π/λ (1/m)
- 大气结构常数：C_n² (m^{-2/3})
- 相位功率谱：Φ_φ(f) (rad²·m²)

动态演变：大气湍流随时间变化，可用多个独立相位屏模拟，或通过加入时间相关因子（如泰勒冻结流假设）生成动态序列。
自适应光学校正：相位屏可作为自适应光学系统的输入，模拟波前传感器测量和变形镜校正过程。

- 大气湍流模型：Kolmogorov 谱、von Kármán 谱。
- 相位屏方法：用于模拟光波在大气中的传播和成像。
- 应用：自由空间光通信、自适应光学仿真、天文成像。

大气湍流模拟软件（MATLAB, Python）。相位屏生成库。波前传感器仿真模块。

411

光学设计

光学薄膜

光学薄膜的等效界面理论​

等效界面矩阵：E = [e11, e12; e21, e22] = M_1 M_2 ... M_N
其中 M_j 为第 j 层膜的传输矩阵。
等效折射率：Y = e21/e11，等效相位厚度 Γ = arccos((e11+e22)/2)。

1. 四分之一波长膜堆：对于 (HL)^p 堆叠，H 层折射率 n_H=2.4，L 层 n_L=1.45，中心波长 λ₀=550 nm。当 p=5 时，计算等效折射率 Y ≈ (n_H/n_L)^{2p} n_sub ≈ 很大值，反射率接近 1。
2. 等效相位厚度：在 λ₀ 处，Γ = 2πp，对应半波长整数倍，因此等效界面为虚数，反射率高。
3. 设计应用：将多层膜等效为一个界面，简化设计，便于合成。

- 单层膜矩阵：M_j = [cosδ_j, (i sinδ_j)/η_j; i η_j sinδ_j, cosδ_j]
- 等效界面矩阵元素：e_ij
- 等效光学导纳：Y (无量纲)
- 等效相位厚度：Γ (rad)
- 层数：N
- 反射率：R =

(1-Y)/(1+Y)

²

光谱响应计算：改变波长 λ，计算等效参数 Y(λ) 和 Γ(λ)，进而得到反射谱 R(λ)。可快速分析膜系特性。
优化迭代：基于等效界面理论，通过调整层厚优化光谱，比直接优化所有层参数更快。

412

非线性光学

超连续谱产生

光子晶体光纤中超连续谱产生​

广义非线性薛定谔方程：
∂A/∂z = - (α/2) A + ∑{m≥2} i^{m+1} (β_m/m!) ∂^m A/∂T^m + i γ (1 + i/ω₀ ∂/∂T) (A(z,T) ∫{-∞}^{∞} R(T')

A(z,T-T')

² dT')
其中 R(T) 为拉曼响应函数。

1. 数值模拟：输入脉冲为 100 fs，峰值功率 10 kW，中心波长 1064 nm，在 1 m 长光子晶体光纤（零色散波长 1040 nm）中传播。用分步傅里叶法求解，步长 0.01 m。
2. 频谱演化：初始自相位调制展宽频谱，随后拉曼散射和四波混频进一步加宽，最终产生从 500 nm 到 1600 nm 的超连续谱。
3. 相干性：对于高功率短脉冲，输出超连续谱相干性好；对于长脉冲或连续波，相干性差。

- 光场包络：A(z,T) (√W)
- 衰减系数：α (1/m)
- 色散系数：β_m (s^m/m)
- 非线性系数：γ (1/(W·m))
- 拉曼响应函数：R(T)
- 脉冲宽度：T₀ (s)
- 峰值功率：P₀ (W)

传播过程：脉冲在光纤中经历非线性压缩、孤子分裂、色散波辐射等过程，频谱不断展宽。模拟需数千步。
实验测量：用光谱仪测量输出谱，需注意动态范围（通常 > 50 dB）。

413

成像光学

光声成像

光声成像的时域反投影重建​

反投影公式：p₀(r) = ∫{S} [p(r_s, t) - t ∂p/∂t]{t=

r-r_s

/v_s} dΩ / (2π v_s²)
其中 dΩ 为探测器面对点的立体角。

1. 离散重建：探测器阵列 128×128，测量压力信号 p(r_s, t)。对于每个重建点 r，计算到每个探测器的距离 d =

r - r_s

，在压力信号中取时间 t = d/v_s 的值，加权求和。
2. 声速影响：假设均匀声速 v_s=1500 m/s（生物组织）。若声速不准，重建图像模糊。需声速校正算法。
3. 分辨率：横向分辨率由探测器孔径和中心频率决定，约 λ_acoustic/2。对于 10 MHz 超声波，λ≈150 μm，分辨率约 75 μm。

414

光通信

相干光通信

数字信号处理中的载波相位恢复​

Viterbi-Viterbi 相位估计：
φ_est = (1/4) arg( ∑{k=1}^{N} (r_k)⁴ )，对于 QPSK。
盲相位搜索：φ_est = arg max{φ} ∑

r_k e^{-i φ}

⁴。

1. Viterbi-Viterbi：接收符号 r_k = s_k e^{i φ} + n_k，s_k 为 QPSK 符号。取 16 个符号平均，计算 (r_k)⁴ 的平均相位除以 4。估计误差方差 var(φ_est) ≈ 1/(16 SNR)。SNR=10 dB 时，误差约 0.1 rad。
2. 盲相位搜索：在 [0, 2π) 等间隔取 M 个测试相位，计算代价函数，选择最大者。M=32 通常足够。复杂度 O(MN)，但性能更好，适用于高阶 QAM。
3. 相位跟踪：相位估计后，用锁相环平滑，跟踪激光相位噪声。

- 接收符号：r_k (复数)
- 发送符号：s_k (复数)
- 相位噪声：φ (rad)
- 估计相位：φ_est (rad)
- 块长度：N (符号数)
- 测试相位数：M
- 相位误差方差：σ_φ² (rad²)

块处理：将数据分块，每块独立相位估计，块间可能跳变。需相位展开或插值平滑。
实时性：每个符号到达即处理，延迟小，但需快速计算。

415

光学设计

梯度折射率光学

GRIN 透镜光线追迹​

近轴光线方程：d²r/dz² + (1/n(r) dn/dr) r = 0
抛物线型折射率分布：n(r) = n₀ (1 - (A/2) r²)，解为 r(z) = r₀ cos(√A z) + (r₀'/√A) sin(√A z)。

1. 参数：n₀=1.5，A=0.01 mm⁻²，入射光线高度 r₀=1 mm，斜率 r₀'=0.1 rad。则光线轨迹 r(z) = cos(0.1 z) + sin(0.1 z)，周期性振荡，周期 P=2π/√A ≈ 62.8 mm。
2. 聚焦长度：对于平行光入射（r₀'=0），焦点位于 z_f = π/(2√A) ≈ 15.7 mm。即 GRIN 透镜可作为焦距约 15.7 mm 的平凸透镜。
3. 像差：实际折射率分布偏离抛物线会引入像差。需高级项校正。

- 径向折射率：n(r)
- 轴上折射率：n₀
- 梯度常数：A (1/m²)
- 光线高度：r(z) (m)
- 光线斜率：r'(z) (rad)
- 周期长度：P (m)
- 焦点位置：z_f (m)

光线传播：在 GRIN 介质中，光线呈正弦或余弦轨迹。可模拟光束的聚焦、准直、成像功能。
热效应：折射率分布随温度变化，A 可能变化，导致焦距漂移。

- GRIN 透镜：通过折射率分布实现光学功能，无需曲面。
- 制造：离子交换、化学气相沉积、3D 打印。
- 应用：内窥镜、复印机、光纤耦合。

离子交换炉（制造 GRIN 棒）。折射率分布测量仪（干涉法）。光线追迹软件（Zemax, Code V）。

416

非线性光学

二次谐波产生

走离效应与允许长度​

走离角：ρ = arctan( (n_e² - n_o²) sinθ cosθ / (n_e² sin²θ + n_o² cos²θ) )
允许长度：L_a = √π w₀ / ρ，其中 w₀ 为束腰半径。

1. BBO 晶体：Type I 相位匹配，θ=23°，n_o=1.655，n_e=1.555。计算 ρ ≈ arctan((1.555²-1.655²) sin23 cos23 / (1.555² sin²23+1.655² cos²23)) ≈ arctan(-0.31 * 0.391 / (0.6+2.5)) ≈ arctan(-0.039) ≈ -0.039 rad ≈ -2.24°。走离角绝对值约 2.24°。
2. 允许长度：若泵浦光束腰 w₀=50 μm，则 L_a = √π * 50e-6 / 0.039 ≈ 0.00226 m = 2.26 mm。即晶体长度超过 2.26 mm 时，谐波与泵浦光束空间分离，效率下降。
3. 设计考量：为充分利用晶体长度，需采用非临界相位匹配（ρ=0）或使用 walkoff-compensating 结构。

- 寻常光折射率：n_o
- 非常光折射率：n_e
- 相位匹配角：θ (rad)
- 走离角：ρ (rad)
- 束腰半径：w₀ (m)
- 允许长度：L_a (m)
- 晶体长度：L (m)

光束演化：泵浦光和二次谐波光在晶体中传播，由于走离，两者逐渐分离，重叠积分减小，导致转换效率饱和。
脉冲走离：对于短脉冲，群速度失配也会导致时间走离，进一步限制有效作用长度。

- 走离效应：双折射晶体中 o 光和 e 光传播方向不同。
- 补偿方法：双晶体结构、非临界相位匹配、周期性极化。
- 应用：高效倍频晶体设计。

晶体定向切割（沿特定角度）。光束质量分析仪（测量走离）。允许长度测量实验。

417

成像光学

光学相干断层扫描

频域OCT灵敏度滚降​

灵敏度：S(z) = S₀ · sinc(π z / z_max)，其中 z_max = λ₀²/(4n Δλ) 为最大成像深度。
信噪比：SNR(z) = (ρ P_0 τ / (hν))² · S(z) / (1 + (z/z_max)²)，其中 ρ 为探测器响应度，P_0 为功率，τ 为积分时间。

1. 参数：λ₀=1300 nm，Δλ=100 nm，介质折射率 n=1.33，则 z_max = (1300e-9)²/(4 * 1.33 * 100e-9) ≈ 3.17e-12 / 5.32e-7 ≈ 5.96e-6 m = 5.96 mm。在深度 z=3 mm 处，S(z) = sinc(π3/5.96) ≈ sinc(1.58) ≈ 0.017，灵敏度下降 23 dB。
2. 信噪比：设 ρ=0.8 A/W，P₀=1 mW，τ=10 μs，hν=1.53e-19 J，则 SNR(0) ≈ (0.8 * 1e-3 * 1e-5/1.53e-19)² ≈ (5.23e10)² ≈ 2.74e21，非常大。实际受散粒噪声限制，SNR 约 100 dB。
3. 均衡*：可通过数字处理补偿灵敏度滚降，但会放大噪声。

- 中心波长：λ₀ (m)
- 带宽：Δλ (m)
- 折射率：n
- 最大成像深度：z_max (m)
- 灵敏度：S(z) (dB)
- 信噪比：SNR(z) (dB)
- 积分时间：τ (s)

深度扫描：光谱仪采集干涉光谱，FFT 得到深度剖面。灵敏度滚降导致深层信号减弱。
实时成像：A-scan 速率由光谱仪行频决定，可达 100 kHz。B-scan 由扫描镜速度决定。

- 频域 OCT：光谱域 OCT（SD-OCT）和扫频源 OCT（SS-OCT）。
- 灵敏度优势：比时域 OCT 高 20-30 dB。
- 应用：视网膜成像、皮肤癌检测、工业检测。

宽带光源（SLD）或扫频激光器。光谱仪（线阵相机）。扫描振镜。灵敏度校准样品。

418

光通信

光网络

软件定义光网络（SDON）路由与频谱分配​

整数线性规划模型：
min ∑{l} c_l y_l，约束：∑{p∈P_sd} x_p = 1，∑{s} ∑{p∋l} x_p ≤ F y_l，其中 y_l 为链路 l 是否激活，x_p 为路径 p 是否分配，F 为频谱隙数。

1. 网络拓扑：14 节点 NSFNET，每条链路频谱隙数 F=320（对应 4 THz 带宽，12.5 GHz/隙）。业务请求为 100 Gb/s，需要 2 个频谱隙（假设 16-QAM，波特率 32 Gbaud）。
2. 求解：使用启发式算法（如首次拟合）或 ILP 求解器（如 CPLEX）分配路由和频谱，目标最小化使用链路数或频谱碎片。
3. 阻塞率：在业务负载 500 Erlang 下，阻塞率约 1%。

- 链路集合：L
- 路径集合：P_sd (源宿 s-d 间路径)
- 决策变量：y_l ∈ {0,1}, x_p ∈ {0,1}
- 频谱隙数：F
- 业务请求：R_sd (Gb/s)
- 阻塞率：P_b

动态业务：业务请求随机到达，保持一段时间后释放。控制器实时计算路由和频谱分配，配置光交叉连接。
重优化：定期（如每小时）全局重优化，整理频谱碎片，降低阻塞率。

- 弹性光网络：频谱分配灵活，提高资源利用率。
- SDN 控制器：集中控制，全局视图。
- 应用：骨干网、数据中心互连。

SDN 控制器（ONOS, OpenDaylight）。光交叉连接（ROADM）。网络模拟器（OMNeT++, ns-3）。

419

光学设计

光学系统公差分析

基于蒙特卡洛的公差分析​

性能指标：MTF at 50 lp/mm，公差参数：曲率半径 ΔR，厚度 Δd，折射率 Δn，偏心 Δx, Δy，倾斜 Δθ。
统计分析：RMS WFE = √(∑ (∂W/∂p_i)² σ_i²)，其中 p_i 为公差参数。

1. 公差分配：对 5 片透镜系统，分配曲率公差 ±0.1%，厚度公差 ±0.05 mm，折射率公差 ±0.001，偏心 ±0.01 mm，倾斜 ±0.01°。共 30 个公差参数。
2. 蒙特卡洛模拟：随机生成 1000 个样本，每个样本按公差分布扰动参数，计算 MTF。得到 MTF 的分布，90% 样本 MTF > 0.3。
3. 敏感度分析：通过回归分析，发现对 MTF 最敏感的公差是第 3 透镜的厚度和第 5 透镜的偏心。收紧这些公差可提高良率。

- 公差参数：p_i (曲率、厚度、折射率等)
- 公差范围：σ_i (标准差)
- 波像差导数：∂W/∂p_i (μm/单位)
- RMS 波像差：W_rms (μm)
- MTF 分布：P(MTF)
- 良率：Y (满足 MTF>0.3 的比例)

加工装配时序：先加工镜片（控制曲率、厚度），再装调（控制偏心、倾斜）。公差分析指导各步允许误差。
补偿器：留一个后截距作为补偿，通过调焦补偿部分像差，放宽其他公差。

- 公差分析：评估制造和装调误差对系统性能的影响。
- 方法：蒙特卡洛、敏感度分析、最坏情况分析。
- 应用：光学系统量产可行性评估、成本控制。

光学设计软件（Zemax Tolerance, Code V）。蒙特卡洛模拟脚本。装调检测设备（中心偏测量仪）。

420

非线性光学

光学参量振荡

OPO 阈值与线宽​

阈值条件：R_p R_s exp(2gL) = 1，其中 g 为参量增益系数。
线宽：Δν_OPO = Δν_p / √(P_p/P_th - 1)，其中 Δν_p 为泵浦线宽。

1. 阈值计算：连续波 OPO，晶体长度 L=5 cm，非线性系数 d_eff=10 pm/V，泵浦波长 λ_p=1064 nm，信号波长 λ_s=1550 nm，腔镜反射率 R_p=0.99, R_s=0.98。计算增益系数 g = (2ω_s ω_i d_eff² I_p / (ε₀ c³ n_p n_s n_i))^{1/2}。设 I_p=10 MW/cm²，求得 g≈0.1 cm⁻¹。则阈值条件 exp(2gL)=1/(R_p R_s)=1/0.9702≈1.0307，得 g_th L ≈ 0.015，即 g_th≈0.3 cm⁻¹，对应 I_p,th≈30 MW/cm²。
2. 线宽：泵浦线宽 Δν_p=1 MHz，P_p=2P_th，则 Δν_OPO = 1e6 / √(2-1) = 1 MHz。实际由于纵模竞争，线宽可窄至 kHz。

- 泵浦强度：I_p (W/m²)
- 增益系数：g (1/m)
- 腔镜反射率：R_p, R_s
- 阈值强度：I_th (W/m²)
- 泵浦线宽：Δν_p (Hz)
- OPO 线宽：Δν_OPO (Hz)
- 泵浦过阈值比：P_p/P_th

起振过程：泵浦功率超过阈值，参量放大增益大于损耗，信号和闲频光从噪声中建立。建立时间约微秒量级。
稳态运转：信号和闲频光输出功率与泵浦过阈值量成正比。温度或角度调谐可改变输出波长。

- OPO：利用二阶非线性产生可调谐相干光源。
- 类型：单共振、双共振、同步泵浦。
- 应用：中红外光谱、量子光学、激光雷达。

非线性晶体（PPLN, KTP）。高反射腔镜。温度控制器（调谐波长）。线宽测量仪（外差法）。

421

光学基础

几何光学

光阑与渐晕​

渐晕系数：V(θ) = (D_ent(θ) / D_ent(0))²，其中 D_ent(θ) 为入瞳在视场角 θ 方向的有效孔径。
通光面积：A(θ) = π/4 * [D_ent(θ) - 2 *

y(θ)

]²，其中 y(θ) 为轴外主光线在光阑面的偏移。

1. 计算：系统入瞳直径 D=20 mm，在 30° 视场角下，主光线在光阑面偏移 y = f * tanθ = 50 mm * tan30° ≈ 28.87 mm。若光阑直径 D_stop=15 mm，则有效通光孔径 D_ent(θ) = D_stop - 2*

y

= 15 - 57.74 = -42.74 mm，为负值，表示完全渐晕，V(θ)=0。若 D_stop=60 mm，则 D_ent(θ)=60-57.74=2.26 mm，V(θ) = (2.26/20)² ≈ 0.0128，即通光量仅为轴上视场的 1.28%。
2. 设计优化：增大镜片直径或移动光阑位置可减少渐晕。通常要求边缘视场渐晕系数 > 0.5。

422

光通信

光量子传感

量子增强干涉相位估计​

海森堡极限：Δφ_HL = 1/N，其中 N 为总光子数。
量子费雪信息：F_Q = 4[⟨ψ'

ψ'⟩ -

⟨ψ'

ψ⟩

²]，其中

ψ'⟩ = d

423

非线性光学

非线性频率转换

和频产生效率​

耦合波方程：
dA₃/dz = (i ω₃ d_eff / (n₃ c)) A₁ A₂ e^{i Δk z}
小信号解：A₃(L) = (i ω₃ d_eff / (n₃ c)) A₁ A₂ L sinc(Δk L/2) e^{i Δk L/2}
转换效率：η = (ω₃² d_eff² L² I₁ I₂ / (ε₀ c³ n₁ n₂ n₃)) sinc²(Δk L/2)

1. 参数：λ₁=1064 nm，λ₂=1550 nm，和频 λ₃=1/(1/1064+1/1550)⁻¹ ≈ 633 nm。晶体为 BBO，d_eff≈2 pm/V，L=5 mm，I₁=I₂=1 GW/cm²，n₁≈n₂≈n₃≈1.6。计算 η = ( (2πc/633e-9)² * (2e-12)² * 0.005² * 1e13 * 1e13 ) / (8.85e-12 * (3e8)³ * 1.6³ ) * sinc²(0) ≈ (8.8e30 * 4e-24 * 2.5e-5 * 1e26) / (8.85e-12 * 2.7e25 * 4.1) ≈ 8.8e8 / 9.8e-1 ≈ 9e8，显然单位有误，需仔细换算。实际效率通常 < 10%。
2. 相位匹配：Δk = k₃ - k₁ - k₂。非临界相位匹配 Δk=0，sinc²(0)=1。

- 光场振幅：A_j (√W/m)
- 频率：ω_j (rad/s)
- 有效非线性系数：d_eff (m/V)
- 晶体长度：L (m)
- 光强：I_j (W/m²)
- 相位失配：Δk (1/m)
- 转换效率：η

功率演化：泵浦光强较高时，泵浦耗尽，效率饱和。需数值求解耦合方程。
走离效应：空间走离限制有效作用长度，需用允许长度 L_a 替代 L。

- 和频产生：将两个低频光子转换为一个高频光子。
- 与倍频关系：倍频是和频在 ω₁=ω₂ 时的特例。
- 应用：紫外光产生、量子纠缠源。

非线性晶体（BBO, LBO）。高功率脉冲激光器。相位匹配角调整机构。光谱仪测量和频光。

424

成像光学

计算成像

光场显微镜点扩散函数工程​

光场 PSF：PSF_LF(x,y,u,v) =

ℱ^{-1}{P(ξ,η) exp(i 2π (u ξ + v η) / (λ f))}

²，其中 P 为微透镜孔径函数。
重聚焦 PSF：PSF_refocused(x,y) = ∑_{u,v} PSF_LF(x + s u, y + s v, u, v)

1. 微透镜阵列：微透镜焦距 f_MLA=1 mm，直径 d=0.1 mm，数值孔径 NA_MLA = d/(2f_MLA)=0.05。每个微透镜后对应 10×10 像素。
2. 光场 PSF 计算：P(ξ,η) 为圆形孔径。计算得到每个角度 (u,v) 对应的 PSF 是一个衍射斑。由于微透镜尺寸小，PSF 较大，导致空间分辨率下降。
3. 重聚焦实现：通过数字积分不同角度的 PSF，得到重聚焦后的 PSF，其宽度小于单个角度 PSF，从而提高分辨率。

- 微透镜孔径函数：P(ξ,η) (0 或 1)
- 微透镜焦距：f_MLA (m)
- 角度坐标：(u,v) (像素)
- 重聚焦参数：s (像素)
- 光场 PSF：PSF_LF (强度)
- 重聚焦 PSF：PSF_refocused (强度)

PSF 标定：使用荧光微球样品测量系统的实际 PSF_LF。标定需在多个深度进行。
反卷积：利用标定的 PSF_refocused 对重聚焦图像进行反卷积，进一步去模糊。

425