面向低维Galerkin模型的因果分析通用框架：以湍流剪切流为例

Causal analysis of a turbulent shear flow model

王永懿1,2,3 寇家庆1,2,3,*  Bernd R. Noack 4,5  张伟伟1,2,3

1.西北工业大学航空学院，西安 710072

2.西北工业大学流体力学智能化国际联合研究所，西安 710072

3.飞行器基础布局全国重点实验室，西安 710072

4. 深圳大学机电与控制工程学院，深圳518060

5. 广东省垂直起降飞行器制造创新中心，深圳518060

 

引用格式：WANG Y, KOU J, NOACK B R, ZHANG W. Causal analysis of a turbulent shear flow model[J]. Journal of Fluid Mechanics, 2026, 1035: A18.

摘要：

　　本研究基于低维Galerkin模型，结合数据驱动的格兰杰因果分析(GGC)方法，对Moehlis等人（New J. Phys., vol. 6, 2004, 56）建立的湍流剪切流低维Galerkin模型开展了因果分析研究，揭示了模态间非线性耦合作用的内在机制。从非线性对流引起的二次非线性项出发，研究识别出了两类核心作用机制：三模态相互作用，以及受控的双模态耦合。通过上述两种机制，单一模态的因果影响逐步传递至其他模态，最终形成整个流动系统的有向因果网络。GGC方法实现了模态间因果耦合强度的精确量化，为识别主导系统演化的关键动力学模态提供了定量依据。为了进一步验证GGC方法在高维复杂流动中的适用性，本研究以顶盖驱动方腔流为算例开展了扩展验证。本文提出的因果分析框架可作为Galerkin建模的有效工具，为模态因果分析、不确定性量化、模型降阶及流动控制策略设计提供了理论支撑与方法基础。相关研究代码已开源，地址为htps://github.com/JiagingKou/Galerkinbased-Granger-Causality.

一、研究背景

　　湍流等复杂流动系统兼具高维、强非线性与多尺度耦合特性。近年来，研究者广泛借助POD、DMD、Galerkin投影及机器学习等方法构建流动降阶模型（ROM），以提取复杂流动内禀结构并刻画低维系统演化规律。然而，如何从这些低维模型中精准剥离并定量刻画模态间的“因-果”作用机制，是进一步理解复杂流体系统的关键，也是流体力学与非线性动力学交叉领域的核心难题。

　　传统的因果分析算法多源于计量经济学或信息论（如格兰杰因果检验、传递熵），缺乏流体物理先验约束，直接应用于流动系统时往往遭遇“水土不服”，易产生计算上显著但物理上失真的虚假因果关系。

二、方法提出

　　针对这一问题，本研究创新性提出基于Galerkin模型的格兰杰因果检验（Galerkin-based Granger Causality, GGC），为流动降阶模型提供了专用的因果推断工具。如图1所示，该方法保留了经典格兰杰因果（Granger Causality, GC）的核心框架，同时深度贴合流动降阶模型的动力学特性，引入了二次非线性项与常数项，并采用滑动窗口分析策略来捕捉因果强度随时间的动态变化。

三、剪切流模型因果机理揭示

　　为了验证这一方法，研究团队分析了经典的9模态湍流剪切流Galerkin模型（雷诺数分别为400、600和800）。通过“方程机理分析+数据驱动GGC分析”相互印证，以Galerkin模型的非线性耦合项为切入点，研究人员揭示了流场中两种至关重要的模态相互作用机制，如图3所示：

　　1. 受控的双模态耦合：两模态的能量交换受第三个“催化模态/调制模态”精准调控，对应了剪切流模型中流向涡（模态3）重塑平均剪切流（模态1）以生成条带结构（模态2）的自维持物理机制。

　　2. 三模态相互作用：三个模态两两耦合、相互调制，在能量相互传递的同时严格保持系统总能量守恒，是模态能量交换的一般形式。

图2 湍流剪切流模型。左：9个傅里叶基速度模态；右：特定初始条件下的模态系数时间演化规律

　　两类机制相互耦合，构成了模态间的直接因果作用网络；这些直接作用通过传播产生间接效应，层层叠加后涌现出系统整体的复杂非线性动力学。在鲁棒性验证中，GGC 方法在不同初始条件、雷诺数与窗口长度下，均能输出高度一致的因果拓扑结构，准确性与鲁棒性显著优于经典格兰杰因果、皮尔逊相关性、传递熵等传统方法，如图4所示。

四、因果驱动的流动控制

　　找到因果关系，不仅是为了研究机理，更是为了指导建模与流动控制。低雷诺数下，该剪切流模型中会出现剧烈的“极端事件”，表现为模态1振幅的急剧增大，湍流呈现出向层流转变的趋势。既然因果分析已经告诉我们，模态3/8是控制模态1向模态2/6转移能量的“催化模态”，那我们能不能直接对模态3施加控制呢？研究结果给出了肯定答案：在检测到极端事件发生的端倪时，仅需对模态3（或模态8）施加极其微小的目标控制力，就能诱导能量从模态1转移到其他模态，从而稳健、高效地抑制极端事件的发生，如图5所示。

五、在高维流动中的拓展应用

　　除了基准剪切流模型，该方法能否推广至更复杂的实际流动？论文附录B给出了肯定答案：面对更一般的高维复杂流动，GGC可直接用于分析数据驱动的降阶模型。论文以顶盖驱动方腔湍流为研究对象，通过POD方法提取主导模态及系数演化，并通过对模态系数开展GGC分析，以识别模态耦合作用。GGC分析结果表明：①该方法能够有效识别主导POD模态间的因果网络，强因果关联主要存在于相邻模态之间；②通过敏感性分析发现，当考虑10、20和30阶模态时，前10阶主导模态间的因果结构保持高度一致，如图7所示。这表明合理截断高阶模态不会显著影响主导动力学的因果推断结果。

总结

　　本研究提出了一种面向流动降阶模型的因果分析通用框架。所提出的GGC方法融合降阶模型的先验知识，能够定量、鲁棒地构建流动模态因果网络，为模态因果挖掘、模态重要性评估、低维模型构建等提供了核心工具。同时，本研究实现了从“模态因果发现”到“流动控制设计”的闭环落地，展示了因果机制对流动控制的精准指导价值。

　　目前，GGC算法核心代码、测试数据集及复现案例已在GitHub开源，为非线性动力学、降阶建模与流动控制交叉研究提供了可复用的工具。

原文下载：

https://doi.org/10.1017/jfm.2026.11553

公众号原文链接：

https://mp.weixin.qq.com/s/-JpRqgQd6u90d7d7SbKo0w

开源代码：

https://github.com/JiaqingKou/Galerkin-based-Granger-Causality

注：文章由原作者投稿分享，向本公众号授权发布。