问题

朋友在海克斯大乱斗里遇到一个选择难题，让我帮忙计算下。

这个问题是选择吸血习性还是闪电打击？
这个问题相当复杂，因为闪电打击对DPS的提升是个分段函数。
我们先定义变量

• h：英雄生命值
• s：额外攻击速度
• a: 攻击力
• r: 攻速转化率
• x: 敌方护甲
• d: dps
• t: 生存时间
• y: 每秒承伤
  首先计算dps:
  $$d=ar(1+s)$$
  生存时间为
  $$t=h/y$$

场景一 攻击频率低于1.75

我们计算选择吸血习性后的生存时间，因为吸血习性本身不提高任何输出，仅仅提升生存时间，设总输出为大写D，那么有：
生存时间延长
$$t_v=\frac{h}{y-0.25d}=\frac{h}{y-0.25ar(1+s)}$$
$$D_v=d{t}_v=\frac{arh(1+s)}{y-0.25ar(1+s)}$$
再计算闪电打击
闪电打击不延长生存时间，仅仅是增加输出，使额外攻速增幅20%，那么有：
$$d_l=ar(1+1.2s)$$
$$D_l=d_{l}t=\frac{arh(1+1.2s)}{y}$$
使用除法比较：
$$\frac{D_v}{D_l}=\frac{arh(1+s)}{y-0.25ar(1+s)}\frac{y}{arh(1+1.2s)}=\frac{y(1+s)}{[y-0.25ar(1+s)](1+1.2s)}$$
因为无论是吸血吸血还是闪电打击，都不会增加攻击力

加入输出承伤比

所以为了简化运算，
引入原始输出承伤比为 $k=\frac{d}{y}=\frac{ar(1+s)}{y}$，则 $y=\frac{ar(1+s)}{k}$

代入原式：
$$\frac{D_v}{D_l}=\frac{y(1+s)}{[y-0.25ar(1+s)](1+1.2s)}$$

将 $y=\frac{ar(1+s)}{k}$ 代入：
$$\frac{D_v}{D_l}=\frac{\frac{ar(1+s)}{k}(1+s)}{[\frac{ar(1+s)}{k}-0.25ar(1+s)](1+1.2s)}$$

提取公因子 $ar(1+s)$：
$$\frac{D_v}{D_l}=\frac{\frac{ar(1+s{)}^2}{k}}{ar(1+s)[\frac{1}{k}-0.25](1+1.2s)}$$

约去 $ar(1+s)$：
$$\frac{D_v}{D_l}=\frac{\frac{1+s}{k}}{[\frac{1}{k}-0.25](1+1.2s)}=\frac{1+s}{k(\frac{1}{k}-0.25)(1+1.2s)}=\frac{1+s}{(1-0.25k)(1+1.2s)}$$

最终得到：
$$\frac{D_v}{D_l}=\frac{1+s}{(1-0.25k)(1+1.2s)}$$

其中 $k=\frac{d}{y}$ 为输出承伤比（DPS/每秒承伤），这样更符合人类的直觉理解。

取r为一般情况0.625，s的范围则限制在[0.2,1.5]，因为超过1.5后，闪电打击会增加攻击特效。k取[0.5,5]，
以k和s为变量，使用python plot出比例$\frac{D_v}{D_l}$的函数图像。

import matplotlib


from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np


plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei', 'Microsoft YaHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

s = np.linspace(0.2, 1.5, 200)
k = np.linspace(0.5, 2.5, 200)

S, K = np.meshgrid(s, k)

r = 0.625

numerator = K * (1 + S)
denominator = (1 - 0.25 * K) * (1 + 1.2 * S)

ratio = numerator / denominator

fig = plt.figure(figsize=(14, 10))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

surf = ax.plot_surface(S, K, ratio, cmap='RdYlGn_r', alpha=0.9, edgecolor='none')

cbar = fig.colorbar(surf, ax=ax, shrink=0.5, aspect=10, pad=0.1)
cbar.set_label('吸血习性收益 / 闪电打击收益 (Dv/Dl)', fontsize=11)

ax.set_xlabel('额外攻速 s', fontsize=12, labelpad=10)
ax.set_ylabel('输出承伤比 k = DPS/每秒承伤', fontsize=12, labelpad=10)
ax.set_zlabel('比值 Dv/Dl', fontsize=12, labelpad=10)
ax.set_title('海克斯抉择：吸血习性 vs 闪电打击\n(攻击频率 < 1.75)', fontsize=16, fontweight='bold', pad=20)

ax.view_init(elev=30, azim=45)
ax.invert_xaxis()
threshold_plane = np.ones_like(ratio)
ax.plot_surface(S, K, threshold_plane, alpha=0.3, color='cyan', edgecolor='none')

max_ratio = np.min([np.max(ratio), 3])
ax.set_zlim([0, max_ratio])

ax.text(0.2, 4, 1.5, '吸血习性更优\n(Dv/Dl > 1)',
        color='darkgreen', fontsize=11, weight='bold',
        bbox=dict(boxstyle='round,pad=0.6', facecolor='yellow', alpha=0.8))
ax.text(1.2, 0.5, 0.5, '闪电打击更优\n(Dv/Dl < 1)',
        color='darkred', fontsize=11, weight='bold',
        bbox=dict(boxstyle='round,pad=0.6', facecolor='lightblue', alpha=0.8))

plt.tight_layout()
plt.savefig('img.png', dpi=300, bbox_inches='tight')
print("3D图表已保存为 img.png")

plt.show()

结果为

可以看到大部分情况下吸血吸血占优。
而且从图中可以看到，几乎与攻速没什么关系，只和之前的输出承伤比有关。

场景二：攻击频率大于1.75

当攻击频率超过1.75时，情况变得更加复杂。此时普攻附带40点固定伤害的攻击特效。

重新定义DPS

攻击频率 $f=r(1+s)$，当 $f>1.75$ 时：

原始DPS：
$$d=ar(1+s)$$

选择吸血习性后：
生存时间延长：
$$t_v=\frac{h}{y-0.25d}=\frac{h}{y-0.25ar(1+s)}$$

总输出：
$$D_v=d\cdot t_v=\frac{ar(1+s)h}{y-0.25ar(1+s)}$$

选择闪电打击后：
闪电打击使额外攻速提升20%，新的攻击频率为 $r(1+1.2s)$。

如果 $r(1+1.2s)>1.75$（触发攻击特效）：
$$d_l=(a+40)r(1+1.2s)$$
$$D_l=d_l\cdot t=\frac{(a+40)r(1+1.2s)h}{y}$$

比值计算

$$\frac{D_v}{D_l}=\frac{ar(1+s)h}{y-0.25ar(1+s)}\cdot \frac{y}{(a+40)r(1+1.2s)h}$$

约去 $rh$：
$$\frac{D_v}{D_l}=\frac{a(1+s)}{y-0.25ar(1+s)}\cdot \frac{y}{(a+40)(1+1.2s)}$$

引入输出承伤比

定义前输出承伤比 $k=\frac{d}{y}=\frac{ar(1+s)}{y}$，则 $y=\frac{ar(1+s)}{k}$

化简分子：
$$\text{分子}=\frac{a^{2}r(1+s{)}^2}{k}$$

化简分母：
$$\text{分母}=(a+40)(1+1.2s)\cdot ar(1+s)\cdot (\frac{1}{k}-0.25)$$

$$\frac{D_v}{D_l}=\frac{\frac{a^{2}r(1+s{)}^2}{k}}{(a+40)(1+1.2s)\cdot ar(1+s)\cdot (\frac{1}{k}-0.25)}$$

约去 $ar(1+s)$：
$$\frac{D_v}{D_l}=\frac{\frac{a(1+s)}{k}}{(a+40)(1+1.2s)(\frac{1}{k}-0.25)}$$

$$\frac{D_v}{D_l}=\frac{a(1+s)}{k(a+40)(1+1.2s)(\frac{1-0.25k}{k})}$$

$$\frac{D_v}{D_l}=\frac{a(1+s)}{(a+40)(1+1.2s)(1-0.25k)}$$

最终得到：
$$\boxed{\frac{D_v}{D_l}=\frac{a}{a+40}\cdot \frac{1+s}{(1+1.2s)(1-0.25k)}}$$
在后期攻击力普遍大于300的情况下，$\frac{a}{a+40}$几乎等于1，也就是说多出来的40点攻击特效可以忽略。总体吸血习性还是占优。况且输出承伤占比如果大于4，那么选择吸血习性后就可以凭25%的吸血做到打不死！