动力系统入门：第三部分 经典模型入门

本文是“动力系统入门”系列的第三部分。
前两部分我们已经学习了相空间、相图、平衡点、稳定性和线性化。
从这一部分开始，我们通过几个经典模型把前面的概念真正用起来。

本部分包含四个核心模型：

1. 指数增长与 Logistic 模型
2. Lotka-Volterra 捕食者—猎物模型
3. 单摆与非线性振动
4. Van der Pol 振子

这四个模型非常适合作为动力系统入门的第一组例子。它们分别对应几种重要现象：

模型	主要现象	关键词
Logistic 方程	受限增长、稳定平衡点	环境容量、相线
捕食者—猎物模型	周期振荡、二维相图	闭合轨道、种群相互作用
单摆模型	非线性振动、分界轨道	相空间、能量、稳定性
Van der Pol 振子	自激振荡、极限环	非线性阻尼、吸引子

---

第 8 章 指数增长与 Logistic 模型

8.1 从指数增长开始

最简单的增长模型是指数增长模型：

$$\frac{dx}{dt}=rx$$

其中：

• $x(t)$ 表示某个数量，例如种群数量；
• $r$ 表示增长率；
• $t$ 表示时间。

这个方程的意思是：

数量越多，增长得越快。

它的解为：

$$x(t)=x_0{e}^{rt}$$

如果 $r>0$，那么 $x(t)$ 会随时间指数增长。这个模型适合描述短时间内资源充足的增长过程，比如细菌在理想培养环境中的早期繁殖。

但是，现实世界中的资源通常不是无限的。食物、空间、能量都会限制增长。因此指数增长模型不能一直适用。

---

8.2 Logistic 方程

为了描述资源限制，我们引入 Logistic 方程：

$$\frac{dx}{dt}=rx\left(1-\frac{x}{K}\right)$$

其中：

• $r$ 是内禀增长率；
• $K$ 是环境容量；
• $x(t)$ 是系统状态变量。

这里多出来的因子：

$$1-\frac{x}{K}$$

表示资源限制效应。

当 $x$ 很小时：

$$1-\frac{x}{K}\approx 1$$

系统近似满足指数增长：

$$\frac{dx}{dt}\approx rx$$

当 $x$ 接近 $K$ 时：

$$1-\frac{x}{K}\approx 0$$

增长速度变慢，最终趋近稳定值 $K$。

---

8.3 指数增长与 Logistic 增长的对比

从图中可以看到：

• 指数增长模型会不断上升；
• Logistic 模型前期增长较快，后期逐渐趋于环境容量 $K$；
• 现实系统中，Logistic 模型往往比指数模型更合理。

---

8.4 Logistic 方程的平衡点

平衡点满足：

$$\frac{dx}{dt}=0$$

因此：

$$rx\left(1-\frac{x}{K}\right)=0$$

得到两个平衡点：

$$x_1^{\ast }=0$$

$$x_2^{\ast }=K$$

其中：

• $x=0$ 表示种群灭绝；
• $x=K$ 表示种群达到环境容量。

---

8.5 Logistic 方程的稳定性

考虑变化率函数：

$$f(x)=rx\left(1-\frac{x}{K}\right)$$

如果 $0<x<K$，则：

$$f(x)>0$$

说明 $x$ 会增大。

如果 $x>K$，则：

$$f(x)<0$$

说明 $x$ 会减小。

因此，只要初始值 $x_0>0$，系统最终都会趋向：

$$x=K$$

所以：

• $x=0$ 是不稳定平衡点；
• $x=K$ 是稳定平衡点。

---

8.6 Python 示例：绘制 Logistic 增长曲线

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

r = 0.5
K = 10
x0 = 0.5

t = np.linspace(0, 20, 500)
x = K / (1 + (K / x0 - 1) * np.exp(-r * t))

plt.plot(t, x, linewidth=2)
plt.axhline(K, linestyle="--", label="环境容量 K")
plt.xlabel("时间 t")
plt.ylabel("种群数量 x(t)")
plt.title("Logistic 增长模型")
plt.legend()
plt.grid(alpha=0.3)
plt.show()

---

8.7 本章小结

Logistic 方程是动力系统中最经典的一维非线性模型之一。它虽然形式简单，却已经包含了许多重要思想：

• 非线性增长；
• 平衡点；
• 稳定性；
• 相线分析；
• 长时间行为。

它告诉我们：

动力系统的重点不只是求解方程，而是理解系统最终会走向哪里。

---

第 9 章 捕食者—猎物模型

9.1 模型背景

在生态系统中，捕食者和猎物之间存在相互作用。

例如：

• 兔子数量增加，会给狐狸提供更多食物；
• 狐狸数量增加，会导致兔子数量减少；
• 兔子减少后，狐狸因食物不足也会减少；
• 狐狸减少后，兔子又可能重新增长。

这种相互制约会产生周期振荡。

Lotka-Volterra 模型是描述这种现象的经典二维动力系统。

---

9.2 Lotka-Volterra 方程

设：

• $x(t)$ 表示猎物数量；
• $y(t)$ 表示捕食者数量。

模型为：

$$\frac{dx}{dt}=\alpha x-\beta xy$$

$$\frac{dy}{dt}=\delta xy-\gamma y$$

其中：

• $\alpha x$：猎物自然增长；
• $-\beta xy$：捕食导致猎物减少；
• $\delta xy$：捕食使捕食者增加；
• $-\gamma y$：捕食者自然死亡。

这个系统的状态变量是二维的：

$$(x,y)$$

因此我们需要在相平面中研究它。

---

9.3 平衡点分析

平衡点满足：

$$\frac{dx}{dt}=0,\frac{dy}{dt}=0$$

也就是：

$$\alpha x-\beta xy=0$$

$$\delta xy-\gamma y=0$$

整理可得：

$$x(\alpha -\beta y)=0$$

$$y(\delta x-\gamma )=0$$

因此平衡点有两个：

$$(0,0)$$

和

$$\left(\frac{\gamma }{\delta },\frac{\alpha }{\beta }\right)$$

第一个平衡点表示两类种群都不存在。第二个平衡点表示捕食者和猎物共存。

---

9.4 相平面中的轨道

Lotka-Volterra 模型的典型特征是：在共存平衡点附近会出现周期性轨道。

从相图中可以看到：

1. 轨道围绕共存平衡点旋转；
2. 猎物和捕食者数量交替上升和下降；
3. 系统并不一定收敛到某个点，而可能长期振荡。

---

9.5 振荡的直观解释

捕食者—猎物模型的周期振荡可以这样理解：

猎物数量增加
    ↓
捕食者食物变多，捕食者数量增加
    ↓
捕食压力变大，猎物数量下降
    ↓
猎物减少，捕食者缺少食物
    ↓
捕食者数量下降
    ↓
猎物压力减小，数量重新增加

这个循环不断重复，就形成了种群振荡。

---

9.6 Python 示例：绘制捕食者—猎物轨道

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import solve_ivp

def lotka_volterra(t, z, alpha, beta, delta, gamma):
    x, y = z
    dxdt = alpha * x - beta * x * y
    dydt = delta * x * y - gamma * y
    return [dxdt, dydt]

alpha = 1.0
beta = 0.1
delta = 0.075
gamma = 1.5

sol = solve_ivp(
    lotka_volterra,
    t_span=(0, 30),
    y0=[10, 5],
    args=(alpha, beta, delta, gamma),
    dense_output=True
)

t = np.linspace(0, 30, 1000)
z = sol.sol(t)

plt.plot(z[0], z[1], linewidth=2)
plt.xlabel("猎物数量 x")
plt.ylabel("捕食者数量 y")
plt.title("捕食者—猎物模型相轨道")
plt.grid(alpha=0.3)
plt.show()

---

9.7 本章小结

Lotka-Volterra 模型是一个典型的二维非线性动力系统。它展示了一个重要事实：

二维系统不仅可能趋于平衡点，也可能出现周期振荡。

通过这个模型，我们第一次看到了相平面分析的威力。

---

第 10 章 单摆与非线性振动

10.1 单摆模型

单摆是动力系统中最经典的物理模型之一。

设：

• $\theta (t)$ 表示摆角；
• $\omega (t)=d\theta /dt$ 表示角速度。

如果忽略阻尼，单摆方程为：

$$\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+\frac{g}{l}\sin \theta =0$$

为了简化记号，我们可以进行无量纲化，写成：

$$\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+\sin \theta =0$$

将二阶方程改写成一阶系统：

$$\frac{d\theta }{dt}=\omega$$

$$\frac{d\omega }{dt}=-\sin \theta$$

于是，单摆就变成了一个二维动力系统。

---

10.2 小角度近似

当摆角很小时：

$$\sin \theta \approx \theta$$

单摆方程近似为：

$$\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+\theta =0$$

这就是简谐振动方程。

它的解是周期函数，表示摆会来回振动。

但是当摆角较大时，$\sin \theta \approx \theta$ 不再成立，系统就必须按照非线性方程来分析。

---

10.3 非线性单摆的相图

非线性单摆的相变量是：

$$(\theta ,\omega )$$

其中：

• $\theta$ 表示角位置；
• $\omega$ 表示角速度。

从相图中可以看到几类运动：

1. 在稳定平衡点附近，小轨道对应普通摆动；
2. 较大的闭合轨道对应大角度振动；
3. 穿过不稳定平衡点附近的轨道称为分界轨道；
4. 分界轨道外侧对应连续旋转。

这说明同一个方程可以产生不同类型的运动。

---

10.4 平衡点与稳定性

平衡点满足：

$$\omega =0$$

和

$$-\sin \theta =0$$

因此：

$$\theta =n\pi ,\omega =0$$

当 $\theta =0,\pm 2\pi ,\pm 4\pi ,\cdots$ 时，摆在最低点，是稳定平衡点。

当 $\theta =\pm \pi ,\pm 3\pi ,\cdots$ 时，摆在最高点，是不稳定平衡点。

这与我们的物理直觉一致：

• 摆自然垂下时稳定；
• 摆倒立在最高处时不稳定。

---

10.5 能量观点

无阻尼单摆的能量可以写为：

$$E=\frac{1}{2}{\omega }^2+1-\cos \theta$$

其中：

• $\frac{1}{2}{\omega }^2$ 是动能项；
• $1-\cos \theta$ 是势能项。

由于没有阻尼，能量守恒。因此轨道会沿着等能量曲线运动。

这也是为什么无阻尼单摆的相图中会出现闭合轨道。

---

10.6 阻尼单摆

现实中的摆会受到摩擦和空气阻力，因此需要加入阻尼项：

$$\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+b\frac{d\theta }{dt}+\sin \theta =0$$

写成一阶系统为：

$$\frac{d\theta }{dt}=\omega$$

$$\frac{d\omega }{dt}=-b\omega -\sin \theta$$

其中 $b>0$ 表示阻尼强度。

加入阻尼后，系统能量逐渐减少，轨道不再闭合，而是逐渐螺旋式收敛到稳定平衡点。

---

10.7 Python 示例：绘制单摆相轨道

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import solve_ivp

def pendulum(t, z):
    theta, omega = z
    return [omega, -np.sin(theta)]

sol = solve_ivp(
    pendulum,
    t_span=(0, 30),
    y0=[2.0, 0.0],
    dense_output=True
)

t = np.linspace(0, 30, 1000)
z = sol.sol(t)

plt.plot(z[0], z[1], linewidth=2)
plt.xlabel("角位移 theta")
plt.ylabel("角速度 omega")
plt.title("非线性单摆相轨道")
plt.grid(alpha=0.3)
plt.show()

---

10.8 本章小结

单摆模型说明：

• 二阶微分方程可以转化为一阶系统；
• 相空间可以展示不同类型的运动；
• 稳定平衡点和不稳定平衡点有明确物理意义；
• 能量守恒系统的轨道往往具有特殊结构；
• 加入阻尼后，系统会从保守系统变成耗散系统。

单摆是连接经典力学和动力系统理论的桥梁。

---

第 11 章 Van der Pol 振子

11.1 为什么需要 Van der Pol 振子？

普通阻尼振子会逐渐停止振动。可是现实中有些系统可以持续振荡，例如：

• 电子振荡器；
• 心脏节律；
• 神经元放电；
• 某些机械自激振动。

这些系统并不是简单地耗散能量，而是会在某些状态下吸收能量，在另一些状态下释放能量。

Van der Pol 振子就是描述这种自激振荡的经典模型。

---

11.2 Van der Pol 方程

Van der Pol 方程为：

$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}-\mu (1-x^2)\frac{dx}{dt}+x=0$$

其中 $\mu >0$ 控制非线性阻尼强度。

令：

$$v=\frac{dx}{dt}$$

则可写成一阶系统：

$$\frac{dx}{dt}=v$$

$$\frac{dv}{dt}=\mu (1-x^2)v-x$$

---

11.3 非线性阻尼的含义

Van der Pol 方程中最重要的一项是：

$$-\mu (1-x^2)\frac{dx}{dt}$$

这个阻尼不是常数，而是依赖于 $x$。

当 $|x|<1$ 时：

$$1-x^2>0$$

系统表现出“负阻尼”，振幅会被放大。

当 $|x|>1$ 时：

$$1-x^2<0$$

系统表现出“正阻尼”，振幅会被抑制。

因此系统会自动调节振幅，最终形成稳定的周期振荡。

---

11.4 极限环

Van der Pol 振子的一个核心现象是极限环。

极限环是相平面中的一条闭合轨道，并且附近轨道会逐渐靠近它。

图中可以看到：

• 初始条件不同的轨道，最终都会靠近同一条闭合曲线；
• 这条闭合曲线就是稳定极限环；
• 极限环对应系统长期稳定的周期振荡。

这与无阻尼单摆的闭合轨道不同。

无阻尼单摆中，不同能量对应不同闭合轨道；而 Van der Pol 振子中，许多初始条件都会被吸引到同一个闭合轨道。

---

11.5 极限环与吸引子

稳定极限环可以看作一种吸引子。

在前面我们见过点吸引子，例如 Logistic 方程中的稳定平衡点 $x=K$。

而 Van der Pol 振子的长期行为不是收敛到一个点，而是收敛到一个周期运动。

因此我们可以说：

稳定极限环是周期运动形式的吸引子。

这也是非线性动力系统中非常重要的思想。

---

11.6 Python 示例：绘制 Van der Pol 极限环

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import solve_ivp

def vanderpol(t, z, mu):
    x, v = z
    dxdt = v
    dvdt = mu * (1 - x**2) * v - x
    return [dxdt, dvdt]

mu = 2.0

sol = solve_ivp(
    vanderpol,
    t_span=(0, 50),
    y0=[0.2, 0.1],
    args=(mu,),
    dense_output=True
)

t = np.linspace(0, 50, 2000)
z = sol.sol(t)

plt.plot(z[0], z[1], linewidth=2)
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("dx/dt")
plt.title("Van der Pol 振子的相轨道")
plt.grid(alpha=0.3)
plt.show()

---

11.7 本章小结

Van der Pol 振子展示了动力系统中一个非常重要的现象：

系统可以不收敛到静止状态，而是收敛到稳定周期振荡。

本章重点概念包括：

• 非线性阻尼；
• 自激振荡；
• 极限环；
• 周期吸引子；
• 初始条件不同但长期行为相同。

---

第三部分总结

第三部分通过四个经典模型，把前面学过的动力系统概念具体化了。

1. Logistic 模型

它是最简单的一维非线性模型之一，展示了：

• 资源限制；
• 稳定平衡点；
• 相线分析；
• 长时间趋向环境容量。

2. 捕食者—猎物模型

它是二维非线性系统的经典例子，展示了：

• 种群相互作用；
• 相平面轨道；
• 周期振荡；
• 共存平衡点。

3. 单摆模型

它连接了经典力学和动力系统，展示了：

• 二阶方程转化为一阶系统；
• 稳定与不稳定平衡点；
• 能量守恒；
• 分界轨道；
• 阻尼导致耗散和收敛。

4. Van der Pol 振子

它展示了非线性系统中的自激振荡，核心概念是：

• 非线性阻尼；
• 稳定极限环；
• 周期吸引子。

---

本部分知识结构图

经典动力系统模型
│
├── 一维模型
│   └── Logistic 方程
│       ├── 平衡点
│       ├── 稳定性
│       └── 环境容量
│
├── 二维生态模型
│   └── 捕食者—猎物模型
│       ├── 相平面
│       ├── 共存平衡点
│       └── 周期振荡
│
├── 物理振动模型
│   └── 单摆模型
│       ├── 非线性振动
│       ├── 能量守恒
│       ├── 分界轨道
│       └── 阻尼收敛
│
└── 自激振荡模型
    └── Van der Pol 振子
        ├── 非线性阻尼
        ├── 极限环
        └── 周期吸引子

---

下一部分预告：分岔理论初步

前面我们主要讨论了系统在固定参数下的行为。

但是在真实问题中，参数往往会变化。

例如：

• 增长率 $r$ 变化；
• 阻尼强度变化；
• 捕食率变化；
• 外界驱动力变化。

当参数变化时，系统的平衡点、稳定性和长期行为可能发生突然改变。

这种现象称为：

分岔。

下一部分我们将进入动力系统中非常重要的主题：

分岔理论初步

我们会学习：

1. 什么是分岔；
2. 鞍结分岔；
3. 叉式分岔；
4. Hopf 分岔；
5. 如何用 Python 绘制分岔图。