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六、线性规划

线性规划题型判断：有资源约束、求最大值或最小值

各种约束条件下的线性函数。设X、Y，列函数。

【第1题】

某工厂计划生产甲、乙两种产品，生产每套产品所需的设备台时、A、B 两种原材料和可获取利润以及可利用资源数量如下表所示。则应按（  ）方案来安排计划以使该工厂获利最多。

	甲	乙	可利用资源
设备（台时）	2	3	14
原材料 A（千克）	8	0	16
原材料 B（千克）	0	3	12
利润（万元）	2	3

A. 生产甲 2 套，乙 3 套

B. 生产甲 1 套，乙 4 套

C. 生产甲 3 套，乙 4 套

D. 生产甲 4 套，乙 2 套

【答案】B

【解析】本题考查的是线性规划。

1. 建立数学模型：设生产甲产品 x 套，乙产品 y 套，利润为 Z 万元。

2. 求解约束条件的可行域顶点

3. 结论：利润最大的方案是 生产甲产品 1 套，乙产品 4 套，此时总利润为 14 万元。

本题选择代入法是最快的，分别每个选项的数值代入计算，哪个最大并满足约束条件即可。

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【第2题】

某企业生产甲、乙两种产品，其单位利润分别是 300 元、200元，该公司有两个机械加工中心Ⅰ和Ⅱ , 它们每天工作的有效工时分别为 20 小时、18 小时。 甲、乙产品都需经过这两个中心加工，生产每单位产品甲在加工中心Ⅰ需要 1 小时，在加工中心Ⅱ需要 3 小时。生产每单位产品乙在加工中心 Ⅰ和Ⅱ各需要 2 小时和 1 小时。根据市场调查，产品甲的日需求量不会超过 5 单位，产品乙则无论生产多少都能售完。利润最大的生产方案是（  ）。

A. 每天生产产品甲 4.2 单位，乙 8.6 单位

B. 每天生产产品甲 4.6 单位，乙 6.8 单位

C. 每天生产产品甲 3.6 单位，乙 7.5 单位

D. 每天生产产品甲 3.2 单位，乙 8.4 单位

【答案】D

【解析】首先根据题干中的信息，列出方程式，假设生产甲X 单位，生产乙 Y 单位。

X＋2Y≤20，3X＋Y≤18，求出来的甲和乙需要同时符合 2 个不等式，我们将选项中给出的结果代入不等式中：

A 选项代入甲乙在中心 Ⅰ 的时间总和为 21.4 超过了 20，不符合；

B 选项代入甲乙在中心Ⅱ的时间总和为 20.6，超过了 18，不符合；

C 选项代入甲乙在中心Ⅱ的时间总和为 18.3，超过了 18，不符合；

D 选项代入甲乙在中心 Ⅰ 的时间总和为 20，在中心Ⅱ的时间总和为 18，符合要求。

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【第3题】

产量（X，台）与单位产品成本（Y，元/台）之间的回归方程为 Y＝362－2X，这说明（  ）。

A. 产品产量每增加 1 台，单位产品成本减少 2 元

B. 产品产量每增加 1 台，单位产品成本增加 2 元

C. 产品产量每增加 1 台，单位产品成本减少 365 元

D. 产品产量每增加 1 台，单位产品成本增加 365 元

【答案】A

【解析】本题考查的是线性规划。

产量 X，单位产品成本 Y，回归方程为 Y＝362－2X，X 增加 1，Y 减少 2，X 越大 Y 越小，所以就是产品产量每增加 1 台，单位产品成本减少 2 元。

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【第4题】

某化工企业接到一份 10 吨新材料研发的订单 100 万元，该材料由甲、乙、丙三种原材料构成，其中所含金属 A 不少于4400 克，金属 B 不少于 4800 克，金属 A 和金属 B 在原材料中的含量及单价如下表所示。经过不断测算和实验，为了获得满足客户要求的这种新材料，该企业最多可获得的利润为(  )万元。

	甲	乙	丙
金属 A（克/吨）	400	600	400
金属 B（克/吨）	800	200	400
单位（万元/吨）	7	6	5

A．58

B．64

C．42

D．56

【答案】C

【解析】假设甲生产 X 吨，乙生产 Y 吨，丙生产 Z 吨，列出不等式：

①  400X＋600Y＋400Z ≥ 4400

②  800X＋200Y＋400Z ≥ 4800  

X＋Y＋Z＝10

求 min（7X＋6Y＋5Z）

解不等式首先要把不等式变成等式：

③  400X＋600Y＋400Z＝4400

④  800X＋200Y＋400Z＝4800

⑤ Z＝10－X－Y

将⑤代入③ 、④得：

4000－400Y－400Z＋600Y＋400Z＝4400 

8000－800Y－800Z＋200Y＋400Z＝4800

得出：200Y＝400，400X－200Y＝800

解之，Y＝2，X＝3，Z＝5

将求出的 X、Y、Z 代入 min（7X＋6Y＋5Z）＝58 万元。

得出的最小成本为 58 万元。

！！！题中需要求的是最大利润，利润＝预算－最小成本＝100－58＝42 万元。

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【第5题】

某炼油厂根据计划每季度供应合同单位汽油和煤油各 16 吨，该厂从甲乙两处场地运回原油提炼。已知两处原油成分如下表所示，且甲乙两地采购成本分别为 200 元每吨和 300 元每吨。对于该炼油厂，需要从乙采购（1）吨方能使此次采购的成本最低，最低的采购成本是（2）元。

原油成分	甲	乙
汽油	20%	40%
煤油	50%	20%
其他	30%	40%

（1）A. 10        B. 20        C. 30        D. 40

（2）A. 12000        B. 13000        C. 14000        D. 15000

【答案】（1）C    （2）B

【解析】本题考查的是线性规划。

假设从甲处采购 X 吨，从乙处采购 Y 吨，则：

①  20%X＋40%Y≥16

②  50%X＋20%Y≥16

求 Min（200X＋300Y）

解不等式首先要把不等式变成等式：

③  20%X＋40%Y＝16 

④  50%X＋20%Y＝16

然后令④*2-③得：

解之，X＝20，Y＝30。

将 X、Y 代入 Min（200*20＋300*30）＝13000 元。

需要从乙处采购 30 吨方能使此次采购的成本最低，最低的采购成本是 13000 元。

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【第6题】

某电池厂生产甲，乙两种型号，产品（单位：万个），这两种产品都需要设备和 A、B  两种原材料。利润与资源限制条件如表所示，为了获得最大的利润，该电池厂每天生产的甲产品的数量应为（1）万个，此时该企业每天的利润为（2）万元。

	甲	乙	资源限制条件
设备（台式）	2	3	20
原材料 A（千克）	3	1	15
原材料 B（千克）	0	2	12
利润（万元）	2	4

（1）A. 1        B. 2        C. 3        D. 4

（2）A. 20      B. 22      C. 24      D. 26

【答案】（1）A（2）D

【解析】假设该电池厂每天生产甲产品X 万个，生产乙产品Y 万个，每天的利润为 Z 万元。 

① 2X＋3Y≤20

② 3X＋Y≤15 

③ 2Y≤12

解得：Y＝6，代入①中求得 X＝1，代入②中求得 X＝3。

当 X＝1 时满足①② , 当 X＝3 时满足②不满足① , 超过设备限制条件，所以X 取 1。

利润 Z＝2X＋4Y＝2*1＋4*6＝26 万元。

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【第7题】

某乳制品加工厂用纯牛奶和酸牛奶两种生产原料，加工生产甲、乙两种乳制品。该厂加工每单位乳制品消耗原料数、现有原料数、每单位乳制品的利润如下表所示。则该公司的最大利润为（1）万元。公司获得最大利润时，生产甲的数量是（2）吨。

		甲	乙	现有原料（吨）
原料（吨）	纯牛奶	1	2	86
	酸牛奶	5	3	150
利润（万元）		3	4

（1）A. 140        B. 144        C. 175        D. 178

（2）A. 5            B. 6            C. 40          D. 50

【答案】（1）D  （2）B

【解析】假设生产甲产品 X 吨，乙产品 Y 吨。可得到以下数学式：

① X＋2Y≤86

② 5X＋3Y≤150

解之，Y＝40，X＝6。

求 MAX（3X＋4Y）

根据上述不等式可以得出，当 Y＝40，X＝6 时利润最大，最大利润＝3×6＋4×40＝178 万元。

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【第8题】

已知某公司生产 AB 两种产品，其中生产 1 件 A 产品需要 1 个单位的甲资源，3 个单位的丙资源；生产 1 件 B 产品需要 2 个单位的乙资源和 2 个单位的丙资源。已知现有甲乙丙三种资源 4 个单位、12个单位和 18 个单位。通过市场预测，可知 A 产品的单位市场利润为 2 元，B 产品的单位市场利润为 5元。该公司获得最大的市场利润应生产 A 产品（1）件，此时（2）资源仍有剩余。

（1）A. 0          B. 2          C. 4          D. 6

（2）A. 甲        B. 乙         C. 丙        D. 甲及丙

【答案】（1）B （2）A

【解析】本题考查的是线性规划。

	A 产品	B 产品	总数
甲资源	1		4
乙资源		2	12
丙资源	3	2	18
利润	2	5

假设产品A 为 X 件、产品B 为 Y 件，则：

①  3X＋2X≤18 

②  X≤4 

③  2Y≤12 

利润 Z＝2X＋5Y

解不等式首先要把不等式变成等式：

④ 3X＋2Y＝18 

⑤ X＝4

⑥ 2Y＝12

当 X＝2，Y＝6 时，Z 最大，Z＝2×2＋5×6＝34， 甲资源用了 2 单元，还剩 2 单元。

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【第9题】

某炼油厂每季度需供应合同单位汽油 15 吨，煤油 12 吨，重油 12 吨，该厂从甲、乙两处运回原油提炼，已知两处炼油成分如表所示。从甲处采购原油价格（含运费）为 2000 元/吨，乙处为 2900 元/吨，为了使成本最低，炼油厂每季度应从甲处采购（1）吨，乙处采购（2）吨。

原油成分	甲	乙
汽油	0.15	0.50
煤油	0.20	0.30
重油	0.50	0.15
其他	0.15	0.5

（1）A. 15         B. 20         C. 25         D. 30

（2）A. 20         B. 25         C. 30         D. 35

【答案】（1）A（2）C

【解析】设每季度从 A 处采购 X 万吨原油，从 B 处采购 Y 万吨原油，列出方程式：

0.15X＋0.5Y≥15  ①

0.2X＋0.3Y≥12   ②

0.5X＋0.15Y≥12  ③

最低运费 Min（2000X＋2900Y），②*5-③*2，得出 Y＝30，X＝15，代入①满足条件，故每季度从 A处采购 15 万吨原油，从 B 出采购 30 万吨原油。

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【第10题】

某公司承接了一项业务，需研发 2 个新产品 A，4 个新产品 B，需要市场上两种平台资源甲和乙。  甲售价 300 万元/台，可支持研发 1 个新产品A 和 2 个新产品 B。乙售价 200 万元/台，可支持研发 2 个新产品A 和 1 个新产品 B，该公司应购买甲乙各（1）台，可完成业务且花费的成本最低，最低成本为（2）万元。                                                                               

（1）A. 2，1             B. 1，2             C. 0，2             D. 2，0

（2）A. 800               B. 700              C. 600               D. 400

【答案】（1）D（2）C

【解析】本题考查的是线性规划。

假设甲 X 件、乙 Y 件，则： 

X＋2Y＝2

2X＋Y＝4

解方程式 X＝2，Y＝0，最低成本为 600 万元。

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【第11题】

一个项目需要 A 和 B 两种资源，每种资源包含材料 1、材料 2。对于项目来说，这两种材料每日需要量如表所示。请问项目每日使用资源 A 的量为（1），使用资源 B 的量为（2），可使得在满足要求的情况下总费用最少。

	资源 A	资源 B	每日最少需要量（个）
材料 1	10	4	20
材料 2	5	5	15
价格（万元）	6	3

（1）A. 4/3          B. 5/3          C. 2          D. 7/3

（2）A. 4/3          B. 5/3          C. 2          D. 7/3

【答案】（1）A（2）B

【解析】线性规划问题，设 A 的量为 X，B 的量为 Y，

10X＋4Y≥20；

5X＋5Y≥15，

解得 X＝4/3，Y＝5/3。

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【第12题】

某工厂生产甲乙两种产品，每生产一件甲产品需要 2 吨钢材，1 立方米木材，4 吨水泥；每生产一件乙产品需要 3 吨钢材，4 立方米木材，1 吨水泥。现有 10 吨钢材，10 立方米木材，20 吨水泥。产品销售后，每件甲产品可获利 1 万元，每件乙产品可获利 2 万元，为获得最高的经济利益，该工厂应生产（1）件甲产品，获得总利润是（2）万元。

（1）A. 2          B. 4          C. 3          D. 1

（2）A. 6          B. 2          C. 8          D. 4

【答案】（1）A（2）A

【解析】设生产甲产品的数量为 x 件，生产乙产品的数量为 y 件。

目标函数是最大化利润：Z＝x＋2y 

2x＋3y ≤10

x＋4y≤10 

4x＋y ≤20

解得，x＝2，y＝2。

因此，为了获得最高的经济利益，该工厂应生产 2 件甲产品和 2 件乙产品，获得总利润是6 万元。

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【第13题】

某工厂生产甲、乙两种产品，生产 1 件甲产品需要消耗 A 原料 3 千克、B 原料 2 千克，可获得利润 50 元。生产 1 件乙产品需要消耗 A 原料 1 千克、B 原料 4 千克，可获得利润 30 元。 目前工厂有 A原料 130 千克、B 原料 120 千克。 甲产品生产（  ）件、乙产品生产（  ）件、能让工厂获得最大利润。

A. 25 25

B. 40 10

C. 35 10

D. 30 15 

【答案】B

【解析】设生产甲产品X 件，乙产品Y 件。根据题意，有如下不等式：

X≥0，Y≥0 

3X＋Y≤130 

2X＋4Y≤120

目标函数为 Z＝50X＋30Y

当 X＝40，Y＝10 的时候，利润最大。

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【第14题】

某企业生产甲、乙两种产品，这两种产品都需要 A、B 两种原材料。生产每一个甲产品需要 3 万个A 和6 万个 B，销售收入为 2 万元；生产每一个乙产品需要 5 万个A和 2 万个 B，销售收入为 1 万元，该企业每天可用的 A 数量为 15 万个，可用的 B 数量为 24 万个，为了获得最大的销售收入，该企业每天生产的甲产品的数量应为（1）万个，此时该企业每天的销售收入为（2）万元。

（1）A. 2.75        B. 3.75        C. 4.25        D. 5

（2）A. 5.8          B. 6.25        C. 8.25        D. 10

【答案】（1）B （2）C

【解析】设生产甲产品 X 件，乙产品 Y 件，则有：3X＋5Y≤15，6 X＋2Y≤24，求得 X＝3.75，Y＝0.75。销售收入：2×3.75＋1×0.75＝8.25 万元。

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