改进的D-H参数法

改进的D-H参数法

特点：坐标系{ $i$ }的轴 $z_i$ 指向关节 $i$ 的旋转轴。

坐标系建立规则：

（1）关节 $i$ 和 $i+1$ 的交点或公垂线与关节轴 $i$ 的交点作为坐标系{ $i$ }的原点；
（2） $z_i$ 轴为关节 轴 $i$ 的指向；
（3） $x_i$ 轴沿公垂线的指向或垂直于关节轴 $z_i$ 和 $z_{i+1}$ 所在的平面（关节轴 $i$ 和 $i+1$ 相交）；
（3） $y_i$ 轴根据右手定则确定；

D-H参数定义

见下图：则
（1） ${\alpha }_i$ ：绕 $x_i$ 轴由 $z_i$ 转向 $z_{i+1}$ 轴的角度；//这里的 ${\alpha }_i$在建立D-H参数时写为${\alpha }_{i-1}$，即${\alpha }_{i-1}$ ：绕 $x_{i-1}$ 轴由 $z_{i-1}$ 转向 $z_i$ 轴的角度
（2） $a_i$ ：沿 $x_i$ 轴由 $z_i$ 移向 $z_{i+1}$ 轴的距离；//这里的 $a_i$在建立D-H参数表时写为 $a_{i-1}$，即 $a_{i-1}$ ：沿 $x_{i-1}$ 轴由 $z_{i-1}$ 移向 $z_i$ 轴的距离
（3） ${\theta }_i$ ：绕 $z_i$ 轴由 $x_{i-1}$ 转向 $x_i$ 轴的角度；
（4） $d_i$ ：沿 $z_i$ 轴由 $x_{i-1}$ 移向 $x_i$ 轴的距离；

如图为机器人的两个相邻连杆，即第 $i-1$ 关节，然后是 $i-1$ 连杆、第 $i$ 关节、第 $i$ 连杆、……，按照图中的坐标系设定，坐标系{ $A_{i-1}$ }固连在连杆 $i-1$ 上，坐标系{ $A_i$ }固连在连杆 $i$ 上，现在我们要求出从坐标系{ $A_{i-1}$ }向坐标系{ $A_i$ }的转换矩阵，从图中看，可以分解为以下四个步骤完成：
步骤1：坐标系初始位于坐标系{ $A_{i-1}$ }，绕 $X_{i-1}$ 轴旋转 ${\alpha }_{i-1}$ ，使 $Z$ 轴与 $Z_i$ 轴平行；
步骤2：坐标系沿 $X_{i-1}$ 轴平移 $a_{i-1}$ ，使 $Z$ 轴与 $Z_i$ 轴共线；
步骤3：坐标系绕 $Z_{i-1}$ （同时也是 $Z_i$ )旋转 ${\theta }_i$ ，使 $X$ 轴与 $X_i$ 轴平行；
步骤4：坐标系沿 $Z_{i-1}$ (同时也是 $Z_i$ )平移 $d_i$ ，此时已变换到{ $A_i$ }。

用齐次矩阵形式描述，由于四个步骤均是在变换后的坐标系下进行下一个变换，所以矩阵右乘，我们就得到坐标系{ $A_{i-1}$ }向坐标系{ $A_i$ }的变换矩阵：
$${}_i^{i-1}T=Rot(X,{\alpha }_{i-1})Trans(a_{i-1},0,0)Rot(Z,{\theta }_i)Trans(0,0,d_i)$$

式中： $Rot$ 为旋转矩阵， $Trans$ 为平移矩阵。 $R(X,\theta )=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& cos\theta & -sin\theta & 0\\ 0& sin\theta & cos\theta & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ ， $R(Z,\theta )=\left[\begin{array}{cccc}cos\theta & -sin\theta & 0& 0\\ sin\theta & cos\theta & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ ， $Trans(x,y,z)=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x\\ 0& 1& 0& y\\ 0& 0& 1& z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$
可计算出：
$${}_i^{i-1}T=Rot(X,{\alpha }_{i-1})Trans(a_{i-1},0,0)Rot(Z,{\theta }_i)Trans(0,0,d_i)$$

$$=\left[\begin{array}{cccc}cos({\theta }_i)& -sin({\theta }_i)& 0& a_{i-1}\\ sin({\theta }_i)cos({\alpha }_{i-1})& cos({\theta }_i)cos({\alpha }_{i-1})& -sin({\alpha }_{i-1})& -sin({\alpha }_{i-1})d_i\\ sin({\theta }_i)sin({\alpha }_{i-1})& cos({\theta }_i)sin({\alpha }_{i-1})& cos({\alpha }_{i-1})& cos({\alpha }_{i-1})d_i\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

从而，最终我们就可以得到一个 $n$ 自由度机器人从基坐标系{ $A_0$ }到末端坐标系{ $A_n$ }的转换齐次矩阵：

$${}_n^{0}T{=}_1^0{T}_2^{1}T..{.}_n^{n-1}T$$

得到 ${}_n^{0}T$ 后，其矩阵 ${}_n^{0}T=\left[\begin{array}{ccccc}& & {}_n^{0}R& & {}_n^{0}p\\ & 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ 的左上角3×3矩阵 ${}_n^{0}R$ 即为末端在基坐标系中的旋转矩阵，向量 ${}_n^{0}p$ 即为末端在基坐标系中的空间位置坐标。

坐标系建立原则

以下以改进D-H法为准

1 基座连杆坐标系：定义为0号坐标系{ $A_0$ }，它也是机器人的基坐标系，0号坐标系在基座上的位置和方向可任选，但一般 $z_0$ 轴线与关节1的轴线 $z_1$ 重合或相交。

Z轴确定

Z轴一定过连杆首端关节的旋转轴（或滑动轴）；

X轴确定

X轴位置根据本坐标系的Z轴与下一个连杆固连坐标系的Z轴的关系确定，X轴方向任选，但一般指向下一个关节。
情况1：两关节Z轴既不平行也不相交，取两Z轴公垂线为X轴，方向一般指向下一个关节；
情况2：两关节Z轴平行，此时，两Z轴之间有无数条公垂线，可选与前一关节Z轴公垂线相交的一条公垂线，方向也是一般指向下一个关节
情况3：两关节Z轴相交，取两条Z轴的叉积（向量积）方向作为X轴，即取同时垂直于两条Z轴的直线作为X轴，此时X轴方向任选

Y轴确定

X轴和Z轴确定后，按右手定则确定Y轴。

还有一点要注意：D-H表是在确定了各连杆坐标系后对应建立的， 同一个机器人，坐标系建立不同，D-H表就不同
标准D-H方法

两者的区别是固连到连杆上的坐标系不同，以及变换顺序不同。
与前面介绍的改进D-H法比较，改进D-H法的坐标系是固连在每个连杆的首端，而标准D-H的坐标系固连在每个连杆的末端。
此时，同样也是分解为四个步骤，但变换顺序与改进D-H不同了：
1：坐标系初始位于坐标系{ $A_n$ }，绕 $z_n$ 轴旋转 ${\theta }_{n+1}$ ，使 $x_n$ 轴与 $x_{n+1}$ 轴平行；
2：坐标系沿 $z_n$ 轴平移 $d_{n+1}$ ，使 $x_n$ 轴与 $x_{n+1}$ 轴共线；
3：坐标系绕 $x_n$ （同时也是 $x_{n+1}$ )旋转 ${\alpha }_{n+1}$ ，使 $z_n$ 轴与 $z_{n+1}$ 轴平行；
4：坐标系沿 $x_n$ (同时也是 $x_{n+1}$ )平移 $a_{n+1}$ ，此时已变换到{ $A_{n+1}$ }。
对应的，其变换矩阵形式也不同，这里列出

$${}_{n+1}^{n}T=Rot(X,{\theta }_{n+1})Trans(0,0,d_{n+1})Rot(X,{\alpha }_{n+1})Trans(a_{n+1},0,0)$$

$$=\left[\begin{array}{cccc}cos({\theta }_{n+1})& -sin({\theta }_{n+1})cos({\alpha }_{n+1})& sin({\theta }_{n+1})sin({\alpha }_{n+1})& cos({\theta }_{n+1})a_{n+1}\\ sin({\theta }_{n+1})& cos({\theta }_{n+1})cos({\alpha }_{n+1})& -cos({\theta }_{n+1})sin({\alpha }_{n+1})& sin({\theta }_{n+1})a_{n+1}\\ 0& sin({\alpha }_{n+1})& cos({\alpha }_{n+1})& d_{n+1}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$
不管哪种方法，原理是一致的，实际上只要弄懂了其中一种，另一种只是变个形式而已。我们一般采用改进D-H法。
改进型 D-H 参数法（Modified Denavit-Hartenberg，常称 MDH 或 Craig 约定）相比经典 D-H 参数法主要有以下优点：

1. 消除奇异性问题
   在经典 D-H 中，当相邻关节轴线平行（${\alpha }_{i-1}=0$ 且 $a_{i-1}=0$）时，参数 $d_i$ 与 $r_i$（或 ${\theta }_i$ 与 ${\alpha }_i$）的定义可能不唯一，导致同一机构有多组 D-H 参数。
   改进型 D-H 通过不同的坐标系建立规则，避免了这种奇异性，使参数定义在大多数情况下唯一。

2. 更直观的连杆坐标系建立
   改进型 D-H 将坐标系 $i$ 固定在连杆 $i$ 的远端（靠近关节 $i+1$），而不是近端（经典 D-H 是固定在 proximal end）。
   这样，连杆参数 $a_i,{\alpha }_i$ 直接对应于连杆 $i$ 本身的长度和扭角，便于物理理解。

3. 与许多教材和软件一致
   像 Craig、Corke（Robotics, Vision & Control 默认 MDH）、一些 MATLAB 机器人工具箱等，采用改进型 D-H，方便直接应用标准公式与代码。

4. 便于处理树形或闭链机构
   由于参数定义唯一性强，在复杂机构（如人形机器人、并联机器人）建模时，不易因零参数重合而产生歧义。

5. 变换矩阵顺序更统一
   改进型 D-H 的变换顺序通常为：
   $${}^{i-1}{T}_i=R_x({\alpha }_{i-1})\cdot D_x(a_{i-1})\cdot R_z({\theta }_i)\cdot D_z(d_i)$$
   而经典 D-H 是：
   $${}^{i-1}{T}_i=R_z({\theta }_i)\cdot D_z(d_i)\cdot R_x({\alpha }_{i-1})\cdot D_x(a_{i-1})$$
   两种在数学上等价，但改进型的顺序在某些推导中更符合“先绕 x 轴旋转/平移，再绕 z 轴旋转/平移”的物理装配思路。