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🔥 内容介绍

一、引言

在数据分析领域，变量选择和模型稀疏性问题至关重要。LASSO（Least Absolute Shrinkage and Selection Operator，最小绝对收缩和选择算子）作为一种强大的回归分析方法，通过在目标函数中添加 L1 正则化项，能够实现变量选择和参数估计的同时进行，使得估计的模型具有稀疏性。然而，直接求解 LASSO 优化问题可能面临计算复杂度较高的挑战。交替方向乘子法（ADMM）作为一种高效的分布式优化算法，为求解 LASSO 优化问题提供了一种有效的途径。本文将详细阐述如何运用 ADMM 求解 LASSO 优化问题。

二、LASSO 优化问题概述

（一）LASSO 模型定义

（二）LASSO 的意义与挑战

LASSO 的意义在于它能够在高维数据中筛选出对响应变量有显著影响的变量，避免过拟合，同时简化模型结构，提高模型的可解释性。然而，由于 L1 范数的非光滑性，直接求解上述优化问题通常较为困难，需要采用特殊的优化算法。

三、交替方向乘子法（ADMM）原理

（一）ADMM 基本思想

ADMM 是一种用于求解凸优化问题的算法，它将复杂的优化问题分解为多个简单的子问题，通过交替求解这些子问题，并引入乘子来协调子问题之间的关系，逐步逼近原问题的最优解。其核心思想基于增广拉格朗日函数，通过迭代更新变量和乘子，使得目标函数和约束条件在满足一定条件下达到最优。

⛳️ 运行结果

📣 部分代码

%% -----------------------------

% Load and Add Noise to Image

img = imread('cameraman_.jpg');         % Load sample grayscale image

img = rgb2gray(img)

img = im2double(img);

[N1, N2] = size(img);                  % Get image size

x_true = img(:);                       % Vectorized clean image

noise_std = .3;

noisy_img = img + noise_std * randn(size(img));

noisy_img = min(max(noisy_img, 0), 1); % Clip to [0, 1]

b = noisy_img(:);                     % Noisy image vector (observation)

Nx = numel(x_true);

%% ADMM LASSO Solver Function (Denoising with Identity A)

function [x, z, y, primal_res, dual_res] = admm_lasso_identity(b, x, z, y, rho, lambda, max_iters, epsilon)

    Nx = numel(b);

    primal_res = zeros(max_iters, 1);

    dual_res = zeros(max_iters, 1);

    for k = 1:max_iters

        % x-update: (I + rho*I)^(-1) * (b + rho*(z - y))

        q = b + rho * (z - y);

        x = q / (1 + rho);

        % z-update: soft thresholding

        x_hat = x + y;

        z_old = z;

        z = sign(x_hat) .* max(abs(x_hat) - lambda / rho, 0);

        % y-update

        y = y + x - z;

        % residuals

        primal_res(k) = norm(x - z);

        dual_res(k) = rho * norm(z - z_old);

        if primal_res(k) < epsilon && dual_res(k) < epsilon

            break;

        end

    end

end

%% Initialization

x = zeros(Nx, 1);

z = zeros(Nx, 1);

y = zeros(Nx, 1);

%% Reconstruction for Varying Lambda

rho = 1;

lambdas = [.001,.01,.1];

figure;

for i = 1:length(lambdas)

    lambda = lambdas(i);

    [x_hat, ~, ~, primal_res, dual_res] = admm_lasso_identity(b, x, z, y, rho, lambda, 1000, 1e-4);

    recon_img = reshape(x_hat, N1, N2);

    % Plot reconstruction

    subplot(3, length(lambdas), i);

    imagesc(reshape(x_hat, N1, N2)); colormap gray; axis image off;

    title(sprintf('\\lambda = %.3f', lambda));

    % Plot residuals

    subplot(3, length(lambdas), i + length(lambdas));

    semilogy(primal_res, 'b'); hold on; semilogy(dual_res, 'r--');

    title('Residuals'); legend('Primal','Dual'); grid on;

    % Compute PSNR, SSIM, and L2 norm of absolute error

    psnr_val = psnr(recon_img, img);

    ssim_val = ssim(recon_img, img);

    abs_error_norm = norm(recon_img - img, 'fro');

    fprintf('lambda = %.4f → PSNR = %.4f dB, SSIM = %.4f, ||Error||_2 = %.4f\n', lambda, psnr_val, ssim_val, abs_error_norm);

    % Plot absolute error map

🔗 参考文献

[1]侯榆青,金明阳,贺小伟,等.基于随机变量交替方向乘子法的荧光分子断层成像[J].光学学报, 2017, 37(7):8.DOI:10.3788/AOS201737.0717001.

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