控制系统数学模型的建立

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将控制系统转换为数学模型，核心目的是把物理系统的动态特性抽象成可计算、可分析的数学表达式，从而摆脱 “靠经验调试” 的局限，实现对系统稳定性、准确性、快速性的定量分析与精准设计。系统的数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。

系统数学模型有多种形式，这取决于变量和坐标系的选择。在时间域，对于连续控制系统通常采用微分方程，对于离散控制系统则采用差分方程，由于常见的控制系统多为连续控制系统，所以我们只介绍连续控制系统；在复数域采用传递函数形式；在频率域采用频率特性形式。这三种域会在后续逐一介绍。

建立数学模型一般采用解析法或实验法，解析法即根据系统及元件各变量之间所遵循的物理学定律，理论推导出变量之间的数学关系式，从而建立数学模型；实验法不需要知道系统的物理规律，只通过 “给输入、测输出” 的实验数据，拟合出数学模型，适用于系统物理规律复杂 / 未知（比如生物系统、复杂化工系统）。我们在此只介绍解析法。

一.建立数学模型的过程

用解析法列写系统或元件微分方程的一般步骤是：

明确被控对象与系统目的
定义系统的输入、输出及内部变量
分析系统遵循的物理定律
根据物理规律列写原始方程
消去内部变量，简化为 “输入 - 输出” 方程

下面我们分别以机械系统(分为机械平移系统和机械旋转系统)、电气系统、热工系统、流体系统为例具体介绍建立数学模型的过程(重点学习机械系统与电气系统)：

机械平移系统

任何机械系统的数学模型都可应用牛顿定律来建立，且机械系统中以各种形式出现的物理现象都可以使用质量、弹性和阻尼三个要素来描述。

以常见的质量-弹簧-阻尼系统为例：如下左图所示，图中的m、K、B分别表示质量、弹簧刚度和黏性阻尼系数。以系统在静止平衡时的那一点为零点，给质量为m的物块施加外作用力 $f_{i}(t)$ ，研究外力与物块位移之间的关系。

第一步：明确被控对象与系统目的
被控对象为物块m，系统目的是研究施加力与物块位移 $x(t)$ 之间的关系

第二步：定义系统的输入、输出及内部变量
输入变量为外作用力 $f_{i}(t)$ ，输出变量为物块位移 $x_{o}(t )$ ，内部变量为弹簧的弹力—— $f_{K}(t)$ 及阻尼器的阻尼力 $f_{B}(t)$

第三步：分析系统的遵循的物理规律
系统遵循牛顿第二运动定律，即物体的合力等于质量乘以加速度 $\sum F=m\cdot a$ ，其中加速度 $a=\frac{\mathrm{d^{2}}x(t) }{\mathrm{d} t^{2}}$

第四步：根据物理规律列写原始方程

质量块受3力的作用：外力 $f_{i}(t)$ 、弹簧弹力 $f_{K}(t)=kx_{o}(t)$ 、阻尼力 $f_{B}(t)=Bv=B\frac{\mathrm{d} x_{o}(t)}{\mathrm{d} t}$
根据牛顿第二定律，合力为： $f_{i}(t)-f_{B}(t)-f_{K}(t)=m\frac{\mathrm{d^{2}} x_{o}(t)}{\mathrm{d} t^{2}}$
带入弹力和阻尼力的表达式得到原始方程： $f_{i}(t)-kx_{o}(t)-B\frac{\mathrm{d} x_{o}(t)}{\mathrm{d} t}=m\frac{\mathrm{d^{2}} x_{o}(t)}{\mathrm{d} t^{2}}$

第五步：消去内部变量，简化为 “输入 - 输出” 方程

原始方程中已无多余内部变量，整理后得到输入与输出的微分方程(输出在左输入在右)： $m\frac{\mathrm{d^{2}} x_{o}(t)}{\mathrm{d} t^{2}}+B\frac{\mathrm{d} x_{o}(t)}{\mathrm{d} t}+kx_{o}(t)=f_{i}(t)$

当质量m很小可以忽略不计时，系统由并联的弹簧和阻尼器组成，如下图。此时系统的运动微分方程为一阶常系数微分方程： $B\frac{\mathrm{d} x_{o}(t)}{\mathrm{d} t}+kx_{o}(t)=f_{i}(t)$

机械旋转系统

机械旋转系统的建模方法与机械平移系统非常类似，只是这里将质量、弹簧、阻尼分别变成转动惯量、扭转弹簧、旋转阻尼。

力矩：力矩是力对物体产生转动作用的物理量，其大小等于力的大小F与力臂长度L的乘积，即 $M=F\cdot L$ ，力矩是一个矢量，方向由右手螺旋定则判断。力矩既可以描述物体绕固定点的转动趋势（如杠杆的支点），也可以描述绕轴的转动。

转矩(扭矩)：转矩是力矩的一种特殊形式，特指力使物体绕某一固定轴发生扭转的力矩。转矩的作用对象是绕轴转动的刚体，且力的作用方向通常与轴线垂直，力臂就是转动半径。

旋转运动与直线运动的物理规律一一对应，事实上转动牛顿第二定律可由直线运动的牛顿第二定律推到而来，其核心是用转动量替换直线运动的平动量。下面列出直线运动与旋转运动的对应公式：

物理量类别 直线运动（平动） 旋转运动（绕定轴转动） 物理意义

运动状态量位移 $s$ 角位移 $\theta$ (单位：rad) 描述物体位置变化

速度 $v=\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}$ 角速度 $\omega =\frac{\mathrm{d} \theta }{\mathrm{d} t}$ 描述运动快慢

加速度 $a=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}$ 角加速度 $\alpha =\frac{\mathrm{d} \omega }{\mathrm{d} t}$ 描述速度变化快慢

惯性量质量 $m$ 转动惯量 $J$ 描述速度变化快慢

作用量力 $F$ 力矩 $T$ 改变物体运动状态的原因

运动学公式 $F=ma$ $T=J\alpha$ 作用量与运动变化的关系

动量 $p=mv$ $L=J\omega$ 描述物体的 “运动总量”

动量定理 $Ft=\Delta p$ $Mt=\Delta L$ 作用量的时间累积效应

动能定理 $E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}$ $E_{k}=\frac{1}{2}J\omega ^{2}$ 物体因运动具有的能量

对于对绕定轴转动的刚体，边缘质点的线量和角量满足：
$v=r\omega$ $a_{t}=r\alpha$ $a_{n}=r\omega ^{2}$ ，其中 $a_{n}$ 是向心加速度，对应向心力 $F_{n}=mr\omega ^{2}$ 。

平动的质量 m 是物体的固有属性，与运动状态无关；转动惯量 $J$ 不仅和质量有关，还和质量分布、转轴位置有关，质量分布离转轴越远， $J$ 越大，刚体越难被加速或减速

旋转运动的规律是直线运动规律的“旋转版本”，之所以要有旋转运动的牛顿定律公式，是因为旋转运动的核心研究对象是 “刚体绕轴的整体转动效果”，而非单个质点的直线运动，而直线牛顿定律(F=ma)只能描述质点的平动，对于刚体而言由无数个质点组成，这些质点绕同一根轴做圆周运动，每个质点的线速度、线加速度都不同，如果强行用 F=ma 计算，需要对每个质点列方程再求和，过程极其繁琐，且无法直接得到 “刚体整体的转动规律”。

拉伸/压缩弹簧：普通的拉伸/压缩弹簧弹簧丝是沿轴向均匀缠绕的，每一圈之间有间隙（拉伸弹簧）或紧密贴合（压缩弹簧），受力时是沿轴线方向 “拉 / 压”，变形是 “轴向长度变化”。

扭转弹簧：简称扭簧，弹簧丝同样是圆柱形缠绕，但每一圈之间是紧密贴合的，且两端有 “力臂”（比如突出的挂钩），受力时是绕轴线的 “扭转扭矩”，变形是 “弹簧的整体转角变化”（而非长度变化）。

扭簧和拉伸/压缩弹簧结构与受力上均不相同，拉伸/压缩弹簧不能作扭簧使用，若强行让它 “旋转”，弹簧会发生非弹性的扭曲、变形甚至断裂；扭簧也不能作拉伸/压缩弹簧使用。但两者都遵循“广义胡克定律”，拉伸/压缩弹簧的K是线刚度，描述 “力 - 线变形” 的线性关系，胡克定律是 $F=k\cdot \Delta x$ ；扭簧的K是角刚度，描述 “扭矩 - 角变形” 的线性关系，胡克定律是 $T=k\cdot \Delta \theta$ 。

定轴旋转机械系统用途极为广泛，这里以定轴旋转的机械系统为例：旋转体通过柔性轴(用扭转弹簧表示，其扭转刚度为K)与齿轮连接，并且旋转体在黏性介质中旋转，因而承受与旋转速度成正比得阻尼力矩。研究齿轮旋转与旋转体旋转之间的关系。

第一步：明确被控对象与系统目的
被控对象为右侧旋转体，系统目的是描述旋转体转角 $\theta _{o}(t)$ 随齿轮输入转角 $\theta _{i}(t)$ 的动态变化关系

第二步：定义系统的输入、输出及内部变量
输入变量为齿轮的转角 $\theta _{i}(t)$ ，输出变量为旋转体的转角 $\theta _{o}(t)$ ，内部变量为扭转弹簧的扭矩 $T_{K}(t)$ 和旋转阻尼的阻尼扭矩 $T_{B}(t)$

第三步：分析系统的遵循的物理规律
系统遵循刚体定轴转动的牛顿第二定律（转矩平衡定律），即旋转体所受的合扭矩等于转动惯量乘以角加速度， $\sum T=J\cdot \alpha$ ，其中角加速度 $\alpha =\frac{\mathrm{d^{2}}\theta _{o}(t) }{\mathrm{d} t^{2}}$

第四步：根据物理规律列写原始方程

旋转体受到 2 个扭矩的作用：
1.旋转弹簧的扭矩 $T_{K}(t)$ ，弹簧左右端转角差为 $\theta_{i}(t)-\theta _{o}(t)$ ，因此 $T_{K}(t)=K[\theta _{i}(t)-\theta _{o}(t)]$
2.旋转阻尼的阻尼扭矩 $T_{B}(t)$ ，与旋转体的角速度成正比，因此 $T_{B}(t)=B\frac{\mathrm{d}\theta _{o}(t) }{\mathrm{d} x}$
根据转矩平衡定律，合扭矩为： $T_{K}(t)-T_{B}(t)=J\frac{\mathrm{d^{2}}\theta _{o}(t) }{\mathrm{d} t^{2}}$
带入 $T_{K}(t)$ 和 $T_{B}(t)$ 的表达式得到原始方程： $K[\theta _{i}(t)-\theta _{o}(t)]-B\frac{\mathrm{d} \theta _{o}(t)}{\mathrm{d} x}=J\frac{\mathrm{d^{2}}\theta _{o}(t) }{\mathrm{d} t^{2}}$

第五步：消去内部变量，简化为 “输入 - 输出” 方程

原始方程中已无多余内部变变量，整理后得到输入与输出的微分方程(输出在左输入在右)： $J\frac{\mathrm{d^{2}}\theta _{o}(t) }{\mathrm{d} t^{2}}+B\frac{\mathrm{d} \theta _{o}(t)}{\mathrm{d} x}+K\theta _{o}(t)=K\theta _{i}(t)$

电气系统

电阻R、电感L和电容器C是电路中的三个基本元件。通常利用基尔霍夫定律来建立电气系统的数学模型。

电容和电感均为储能元件，其两端电压与电流的关系是微分 / 积分关系，和电阻的欧姆定律（代数关系）有本质区别，核心原因是它们的储能特性—— 电容储存电场能，电感储存磁场能，能量的积累与释放需要时间，导致电压和电流不同步。

电容电压与电流的关系： $i_{C}=C\frac{\mathrm{d} u_{C}}{\mathrm{d} t}$ 或 $u_{C}=\frac{1}{C}\int i_{C}dt$ 。推导过程(物理本质)，电容的核心是极板上的电荷积累，即 $Q=C\cdot u_{c}$ ；而电流的本质是电荷的定向移动速率，即 $i=\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d} t}$ ，将 $Q=C\cdot u_{c}$ 带入电流公式，即可得到 $i_{c}=\frac{\mathrm{d} (C\cdot u_{c})}{\mathrm{d} t}=C\cdot \frac{\mathrm{d} u_{c}}{\mathrm{d} t}$ 。电容的电压 $u_{c}$ 与电流 $i_{c}$ 为积分关系也是因为电荷的积累需要时间，即电容的电压从0开始积分增加。

电感电压与电流的关系： $u_{L}=L\cdot \frac{\mathrm{d} i_{L}}{\mathrm{d} t}$ 或 $i_{L}=\frac{1}{L}\int u_{L}dt$ 。推导过程(物理本质)，电感的核心是电流产生的磁场储能，根据电磁感应定律，电感线圈中电流变化时，会产生自感电动势，自感电动势的大小与电流变化率成正比，方向阻碍电流变化，自感电动势的公式为 $e_{L}=-L\cdot\frac{\mathrm{d} i_{L}}{\mathrm{d} t}$ (负号表示阻碍作用)，而电感两端的电压 $u_{L}$ 与自感电动势大小相等、方向相反，因此得到： $u_{L}=L\cdot \frac{\mathrm{d} i_{L}}{\mathrm{d} t}$ 。电感的磁场能积累需要时间，即电感的电流要从0开始积累。
电感器原理：根据高中物理知识，我们知道当电流通过导线时会在导体周围产生一个环绕导线的磁场，电流越大产生的磁场也就越大。如果将这跟导线绕成线圈，磁场就会变得更加集中，形成一个更强的磁场。当将这个线圈放在一个闭合回路中给它通电，电流发生变化时，电流自身产生的磁场也会随之变化，根据法拉第电磁感应定律，变化的磁场会在线圈自身产生自感电动势，这个电动势会阻碍电流的增大，所以电感的电流不能突变，只能一点点的增加，随着时间的推移，电流逐渐增大，其磁场也在不断增加，直到达到最大值然后保持恒定，此时电感储存的能量为磁场能，即 $W_{L}=\frac{1}{2}LI^{2}$ 。如果你对电与磁之间的关系并不清楚，可以阅读下方拓展来回顾电与磁的关系。

拓展：
电与磁的关系可以用场的相互激发、电流的磁效应、电磁感应三个核心规律来完整描述，而麦克斯韦方程组则是这一关系的数学总结。
核心关系1 电流（运动电荷）产生磁场，这是电生磁的基础，分为两种情况：

恒定电流产生恒定磁场：依据安培环路定理。导体中通过恒定电流时，周围会产生大小和方向都不随时间变化的恒定磁场（静磁场），本质上是运动的电荷是磁场的源，恒定电流是电荷的定向匀速移动，因此激发恒定磁场。例如，通直流的直导线周围，磁场是以导线为中心的同心圆，磁感应强度公式为 $B=\frac{\mu _{_0}I}{2\pi r}$ 。

变化的电流产生变化的磁场：依据全电流安培环路定理。电流随时间变化时，周围的磁场也会同步变化；变化的电流本质是电荷的变速移动，激发的磁场大小和方向会随时间改变。

核心关系2 变化的磁场产生电场，这是磁生电的核心，由法拉第电磁感应定律描述：

定律内容：当穿过闭合回路的磁通量 $\Phi _{B}$ 随时间变化时，回路中会产生感应电动势 ε，进而产生感应电流，公式为： $\varepsilon =-\frac{\mathrm{d} \Phi _{B}}{\mathrm{d} t}$ ，负号表示感应电流的磁场会阻碍原磁通量的变化（楞次定律）

主要有两种方式：第一种，磁场本身随时间变化，会在周围空间激发涡旋电场，即使没有闭合回路，电场依然存在。第二种，回路在恒定磁场中运动（切割磁感线），回路中的电荷受洛伦兹力作用，也会产生感应电动势。

注意，恒定磁场不能产生磁场。变化的磁场产生的电场是涡旋场（电场线是闭合曲线），和静电场（电场线始于正电荷、止于负电荷）本质不同。

核心关系3 变化的电场产生磁场，麦克斯韦引入位移电流(位移电流不是电荷的定向移动，而是变化的电场)的概念，补充了电与磁的关系：

恒定电场，即 $\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{E}}{\mathrm{d} t}=0$ ，位移电流为 0，不产生磁场。

均匀变化的电场： $\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{E}}{\mathrm{d} t}$ 为常数，位移电流恒定，产生恒定磁场。

周期性变化的电场： $\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{E}}{\mathrm{d} t}$ 周期性变化，位移电流交变，产生周期性变化的磁场。

当电场和磁场都做周期性变化时，会形成相互激发、交替产生的电磁场，这种电磁场会脱离场源，以光速 c 在空间中传播，这就是电磁波。

如果你想进一步了解电与磁的关系，想知道为什么通电导线会对运动的电荷产生力，可以参考视频：

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RLC无源电网络如下图所示，设输入端电压 $u_{i}(t)$ 为系统输入量，电容器两端电压 $u_{o}(t)$ 为系统输出量，现研究输入电压 $u_{i}(t)$ 和输出电压 $u_{o}(t)$ 之间的关系。

第一步：明确被控对象与系统目的
被控对象为RLC 无源网络，系统目的是建立输入电压 $u_{i}(t)$ 与输出电压 $u_{o}(t)$ 之间的动态关系

第二步：定义系统的输入、输出及内部变量
输入变量为网络的输入电压 $u_{i}(t)$ ，输出变量为电容C两端的输出电压 $u_{o}(t)$ ，内部变量为电路中的电流 $i(t)$

第三步：分析系统的遵循的物理规律
系统遵循基尔霍夫电压定律（KVL），沿闭合回路的所有电压的代数和等于零；同时结合电阻、电感、电容的伏安特性。

第四步：根据物理规律列写原始方程

基尔霍夫电压定律方程： $u_{i}(t)=Ri(t)+u_{L}(t)+u_{o}(t)$
电感两端电压： $u_{L}(t)=L\frac{\mathrm{d} i(t)}{\mathrm{d} t}$
电容两端电压： $u_{o}(t)=\frac{1}{C}\int i(t)dt$
带入 $u_{L}(t)$ 和 $u_{o}(t)$ 的表达式得到原始方程： $u_{i}(t)=Ri(t)+L\frac{\mathrm{d} i(t)}{\mathrm{d} t}+\frac{1}{C}\int i(t)dt$

第五步：消去内部变量，简化为 “输入 - 输出” 方程

消去中间变量 $i(t)$ ，对 $u_{o}(t)$ 的方程两边求导，得到电流与输出电压的关系： $\frac{\mathrm{d} u_{o}(t)}{\mathrm{d} t}=\frac{1}{C}i(t) -->i(t)=C\frac{\mathrm{d} u_{o}(t)}{\mathrm{d} t}$
整理后得到输入与输出的微分方程(输出在左输入在右)： $LC\frac{\mathrm{d^{2}}u_{o}(t) }{\mathrm{d} t^{2}}+RC\frac{\mathrm{d} u_{o}(t)}{\mathrm{d} t}+u_{o}(t)=u_{i}(t)$

若 $L=0$ ，系统也可简化为一阶常系数微分方程： $RC\frac{\mathrm{d} u_{o}(t)}{\mathrm{d} t}+u_{o}(t)=u_{i}(t)$

热工系统

以房间温度控制系统（典型热工系统）为例：

第一步：明确被控对象与系统目的
被控对象为房间内的空气，系统目的是建立房间温度 $T(t)$ 与空调制冷功率 $P(t)$ 之间的动态关系

第二步：定义系统的输入、输出及内部变量
输入变量为空调的制冷功率 $P(t)$ ，输出变量为房间的实际温度 $T(t)$ ，内部变量为外界传入房间的热流量 $Q_{in}(t)$ 、房间流出的热流量 $Q_{out}(t)$ 以及房间的热容量 $C$

第三步：分析系统的遵循的物理规律
系统遵循热平衡定律：房间内的热量变化率 = 流入热流量 - 流出热流量，
即热量变化率= $Q_{in}(t)-Q_{out}(t)$

第四步：根据物理规律列写原始方程

热量变化率等于热容量乘以温度变化率： $C\frac{\mathrm{d} T(t)}{\mathrm{d} t}=Q_{in}(t)-Q_{out}(t)$
流出热流量包括空调制冷功率P(t)，以及通过墙壁向外散发的热流量（与房间温度成正比，热阻为R，单位：℃/W）： $Q_{out}(t)=P(t)+\frac{T(t)}{R}$

第五步：消去内部变量，简化为 “输入 - 输出” 方程

消去中间变量 $Q_{out}(t)$ 后整理得： $RC\frac{\mathrm{d} T(t)}{\mathrm{d} t}+T(t)=R[Q_{in}-P(t)]$
若外界传入热流量入稳定（设为常数 $Q_{0}$ ），则方程可进一步简化为：
$T_{0}\frac{\mathrm{d} T(t)}{\mathrm{d} t}+T(t)=RQ_{0}-RP(t)$ ，其中 $T_{0}=RC$ 为热工系统的时间常数（反映温度变化的快慢）。

流体系统

如下图所示为一简单的液位控制系统。在此系统中，箱体通过输出端的节流阀对外供液。流入箱体的流量 $q_{i}(t)$ 为系统的输入量，液体高度 $H(t)$ 为输出量。

第一步：明确被控对象与系统目的
被控对象为箱中的液体，系统目的是建立输入流量 $q_{i}(t)$ 与输出液面高度 $H(t)$ 之间的动态关系

第二步：定义系统的输入、输出及内部变量
输入变量为流入箱体的液体流量 $q_{i}(t)$ ，输出变量为箱体的液面高度 $H(t)$ ，内部变量为流出箱体的流量 $q_{o}(t)$ 。

第三步：分析系统的遵循的物理规律
系统遵循流体连续性定律：箱体中液体的体积变化率 = 流入流量 - 流出流量。

第四步：根据物理规律列写原始方程

流体连续性方程：液体体积变化率等于箱体横截面积A乘以液面高度变化率，即 $A\frac{\mathrm{d} H(t)}{\mathrm{d} t}=q_{i}(t)-q_{o}(t)$
液体通过节流阀的流量（泄漏流）与液面高度的平方根成正比（节流阀的流量特性）：
$q_{o}(t)=a\sqrt{H(t)}$ ，其中a是由节流阀通流面积决定的常数。

第五步：消去内部变量，简化为 “输入 - 输出” 方程

消去中间变量 $q_{o}(t)$ 后整理得： $A\frac{\mathrm{d} H(t)}{\mathrm{d} t}+a\sqrt{H(t)}=q_{i}(t)$ 。这个方程是非线性微分方程（因为包含 $\sqrt{H(t)}$ 项），描述了液位随输入流量的动态变化关系；若液面高度变化较小（可对 $\sqrt{H(t)}$ 线性化），也可简化为线性微分方程。

下面表格总结了各系统应使用何种物理定律来建立数学模型：

系统类型	核心物理定律	定律表达式
机械系统	平移：牛顿第二运动定律旋转：刚体定轴转动定律（转矩平衡定律）	平移： $F=m\frac{\mathrm{d^{2}}x }{\mathrm{d} t^{2}}$ 旋转： $T=J\frac{\mathrm{d^{2}}\theta }{\mathrm{d} t^{2}}$
电气系统	基尔霍夫电压定律（KVL）+ 基尔霍夫电流定律（KCL）+ 元件伏安特性	KVL： $\sum u=0$ KCL： $\sum i=0$ 电阻： $u=Ri$ 电容： $i=C\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} t}$ 电感： $u=L\frac{\mathrm{d} i}{\mathrm{d} t}$
热工系统	热平衡定律（能量守恒的热学形式）	$C\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} t}=Q_{in}-Q_{out}$
流体系统	流体连续性定律（质量守恒的流体形式）	$A\frac{\mathrm{d} H}{\mathrm{d} t}=q_{in}-q_{out}$

二.数学模型的本质

下面将会介绍数学模型的普适性，再针对其微分方程的形式解释其具体物理含义。在此之前先介绍非线性模型和线性模型以引出线性定常系统的一般形式。

线性与非线性

区分线性微分方程和非线性微分方程的核心，是看方程中未知函数（及其各阶导数）的形式。若未知函数和它的各阶导数都是一次项（一次幂），且不与自身 / 其他导数相乘、也不出现非线性函数形式（如平方、开方、三角函数等），则为线性；否则为非线性。
比如未知函数为 $y(t)$ ，其各阶导数为 ${y}'(t)$ 、 ${y}''(t)$ 、 $\cdots$ 、 $y^{(n)}(t)$ ，它们组成的微分方程满足以下要求即为线性微分方程：

未知函数及其导数的幂次：必须是1 次（一次项），不能出现 $y^{2}(t)$ 、 $[{y}'(t)]^{3}$ 、 $\sqrt{y(t)})$ 等形式
未知函数与导数的乘积：不能出现 $y(t)\cdot {y}'(t)$ 、 $y(t)\cdot {y}''(t)$ 等交叉相乘项
系数的形式：未知函数及其导数的系数，只能是常数或自变量t的函数（如 $t\cdot {y}'(t)$ 、 $sin(t)\cdot y(t)$ 都是允许的）
非线性函数形式：未知函数及其导数，不能作为非线性函数的自变量(如 $sin(y(t))$ 、 $e^{{y}'(t)}$ 、 $lny(t)$ 等)。

线性定常系统在满足线性要求的同时系数也为常数(即不存在 $t\cdot {y}'(t)$ 、 $sin(t)\cdot y(t)$ 等项)。线性定常系统的基本性质如下：

齐次性(比例性)：若系统对输入 $u(t)$ 的输出为 $y(t)$ ，则对输入 $k\cdot u(t)$ （k 为任意常数）的输出为 $k\cdot y(t)$ 。
叠加性：若系统对输入 $u_{1}(t)$ 的输出为 $y_{1}(t)$ ，对输入 $u_{2}(t)$ 的输出为 $y_{2}(t)$ ，则对输入 $u_{1}(t)+u_{2}(t)$ 的输出为 $y_{1}(t)+y_{2}(t)$ ，即多个输入共同作用时，总输出等于每个输入单独作用时输出的和，输入之间互不干扰。
线性特性(齐次性+叠加性)：这是线性系统的核心定义性质，数学表达式为：
若 $u_{1}(t)\rightarrow y_{1}(t)$ ， $u_{2}(t)\rightarrow y_{2}(t)$ ，则对任意常数 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，有： $k_{1}u_{1}(t)+k_{2}u_{2}(t)=k_{1}y_{1}(t)+k_{2}y_{2}(t)$ 。利用此性质可将复杂输入分解为简单输入（如阶跃、正弦信号）的线性组合，分别求解输出后再叠加，大幅简化系统分析。

在工程实践中，可实现的线性定常系统，均能用n阶常系数线性微分方程来描述其运动特性。设系统的输入量为 $x_{i}(t)$ ，系统的输出量为 $x_{o}(t)$ ，则单输入、单输出n阶系统常系数线性微分方程有如下一般形式：

$a_{0}\frac{\mathrm{d^{n}} x_{o}}{\mathrm{d} t^{n}}+a_{1}\frac{\mathrm{d^{n-1}} x_{o}}{\mathrm{d} t^{n-1}}+\cdots +a_{n-1}\frac{\mathrm{d} x_{o}}{\mathrm{d} t}+a_{n}x_{o} =b_{0}\frac{\mathrm{d^{m}} x_{i}}{\mathrm{d} t^{m}}+b_{1}\frac{\mathrm{d^{m-1}} x_{i}}{\mathrm{d} t^{m-1}}+\cdots +b_{m-1}\frac{\mathrm{d} x_{i}}{\mathrm{d} t}+b_{m}x_{i}$

式中 $a_{0},a_{1}\cdots ,a_{n}$ 和 $b_{0},b_{1}\cdots ,b_{n}$ 为系统结构参数决定的实常数。由于实际系统中总含有惯性元件以及受到能源能量的限制，所以总是 $m\leqslant n$ 。

数学模型的普适性

从上述数学模型的建立过程中可以看出，物理本质不同的系统(比如质量-弹簧-阻尼系统和RLC无源电网络系统)，可以有相同的数学模型，也就是说同一数学模型可以描述物理性质完全不同的系统。从动态特性上来看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应类似，若方程系数等值则响应完全一样，基于此现象就有可能利用电系统来模拟其它系统。

数学模型的系数项

在对某一个系统建立的数学模型，其微分方程的系数均为系统的结构参数及其组合，也就是说系统的动态特性是系统的固有特性，是固定不变的。

数学模型的阶次

系统微分方程的阶次等于系统中所包含的的独立储能元的个数。惯性质量、电感、电容、液感、液容等都是储能元。比如前述的质量-弹簧-阻尼系统（ $m\frac{\mathrm{d^{2}} x_{o}(t)}{\mathrm{d} t^{2}}+B\frac{\mathrm{d} x_{o}(t)}{\mathrm{d} t}+kx_{o}(t)=f_{i}(t)$ ）、RLC无源电网络( $LC\frac{\mathrm{d^{2}}u_{o}(t) }{\mathrm{d} t^{2}}+RC\frac{\mathrm{d} u_{o}(t)}{\mathrm{d} t}+u_{o}(t)=u_{i}(t)$ )均为二阶系统，因为它们分别有质量弹簧和电感电容两个储能元。每当系统中增加一个独立的储能元，其内部就多一层能量交换，描述系统的微分方程就增高一阶。要深入理解物理上储能与数学上微分阶次的对应关系，要先从储能元件说起：

储能元件的单一能量域：储能元件都是被设计/定义为仅在一个 “能量域” 中存储能量的元件，不同能量域之间相互独立，不会交叉存储能量，简单来说就是储能元件只能存储一种形式的能量（单一能量域）。常见的能量域有，电场能域、磁场能域、动能域、弹性势能域。电容属于电场能域，它只能存储电场能；电感属于磁场能域，它只能存储磁场能。
单一能量域使用单一状态变量即可描述：储能元件只能存储一种形式的能量，也意味着其只能由某个特定的物理量唯一确定，这个 “唯一确定储能的物理量”，就是系统的状态变量，储能元件存了多少能量，只需要看这个变量的取值，而无需关注其他物理量。比如电容存储电场能，而电场由两极板中电荷数量决定，电容的电压可以反映电荷累计多少，所以电容的状态变量就是电压 $u_{c}$ ，这从电场能计算公式 $E_{C}=\frac{1}{2}Cu_{C}^{2}$ 也可以得知电场能的状态变量为电压；磁场能计算公式 $E_{L}=\frac{1}{2}Li_{L}^{2}$ ，所以磁场能的状态变量为电流；动能 $E_{m}=\frac{1}{2}mv^{2}$ ，所以某一质量块所存储的能量，即动能的状态变量为速度。
所以，每个独立储能元件，恰好对应一个状态变量（因为每个独立储能元件的能量都由唯一的物理量决定）。
从导数的定义理解每个独立储能元件对应一个一阶微分关系：导数，也就是微分，其本质是“变化率”，只要一个物理量的瞬时变化率能被另一个物理量唯一确定，这两个物理量之间就必然存在一阶导数关系。储能元件存储能量，而能量的瞬时变化率就是瞬时功率，即 $P=\frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{d} t}$ ，这就从物理规律中引入了导数，而储能元件的储能状态由状态变量决定，由此我们可以建立状态变量的导数关系，以电容为例，对 $E_{C}=\frac{1}{2}Cu_{C}^{2}$ 两边同时求时间 t 的一阶导数得 $\frac{\mathrm{d} E_{C}}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}(\frac{1}{2}Cu_{C^{2}})=Cu_{C}\cdot \frac{\mathrm{d} u_{C}}{\mathrm{d} t}$ ，结果表明 “能量的变化率” 与 “电压的变化率” 成正比，又因为电容的瞬时功率 $P_{C}=u_{C}\cdot i_{C}$ ，即 $u_{C}\cdot i_{C}=Cu_{C}\cdot \frac{\mathrm{d} u_{C}}{\mathrm{d} t}$ ，化简得 $i_{C}=C\cdot \frac{\mathrm{d} u_{C}}{\mathrm{d} t}$ ，即电容的瞬时电流，等于电容值乘以电容电压的瞬时变化率。
$E_{C}=\frac{1}{2}Cu_{C}^{2}$ 描述电容存储了多少能量， $i_{C}=C\cdot \frac{\mathrm{d} u_{C}}{\mathrm{d} t}$ 不能描述存储能量的多少，而是描述电容存储能量的速度。电流 $i_{C}$ 是电容吸收能量的 “速率载体”，电流越大，意味着单位时间到达电容极板的电荷量越多，即单位时间内吸收的能量越多。所以外部激励（电流）的大小，决定了状态变量（电压）的变化快慢，进而决定了储能的变化快慢。
多个独立储能元件的微分方程阶次：如果两个独立储能元件彼此完全孤立（没有任何电路 / 机械连接），比如 “一个单独的 RC 电路” 和 “一个单独的 RL 电路” 放在桌子上，它们的一阶微分方程确实没有任何联系。一旦把这些独立储能元件用电路导线、机械连杆等连接起来，形成一个整体系统，就必须遵守全局的物理约束定律(如电路中的基尔霍夫电压定律、基尔霍夫电流定律及机械系统中的牛顿第三定律、力的平衡条件等)，这些定律会成为 “桥梁”，把单个储能元件的局部一阶微分方程绑定在一起。系统微分方程的阶次，等于系统中独立储能元件的数量，是因为每个独立储能元件的局部一阶微分方程，都会引入一个状态变量的一阶导数（如电容引入 $\frac{\mathrm{d} u_{C}}{\mathrm{d} t}$ ，电感引入 $\frac{\mathrm{d} i_{L}}{\mathrm{d} t}$ ），全局物理定律（KVL/KCL、牛顿定律）会把这些一阶导数通过公共变量（如总电流i、总电压u、总力F）绑定，消去公共变量的过程中，会从一阶导数推导出更高阶的导数（如在求电容电压 $u_{C}$ 时，为了保证方程中只含有 $u_{C}$ 一个未知量，必须将其他变量 $i_{}$ 消除，而 $i=C\cdot \frac{\mathrm{d} u_{C}}{\mathrm{d} t}$ ，同时 $u_{L}=L\cdot \frac{\mathrm{d} i}{\mathrm{d} t}$ ，将 $i_{}$ 带入即可求出 $u_{L}$ ，但同时会引入 $\frac{\mathrm{d^{2}}u_{C} }{\mathrm{d} t^{2}}$ ，于是微分方程变为了二阶）。

总结来说，储能元件的核心功能是存储能量，而能量不能突变，能量从一个值变到另一个值一定会有一个逐渐变化的过程。要描述能量无非就是能量的多少和能量变化快慢这两个量，前者由状态变量决定，后者则为能量的导数(状态变量表示能量，所以也是状态变量的导数)。如果我们想要知道储能元件状态变量的大小，自然不需要它的导数，但是求解过程是需要等式的，在列等式时需要用到电路的基尔霍夫定律、机械系统的牛顿定律等，通过定理列等式本质是通过变量之间的约束关系来保证等式中只存在一个待求解的未知量，其他中间变量则通过变量之间的关系而消去，而这些变量之间的关系就是通过储能元件来引入的，每个独立的储能元件都可以引入一个变化率变量与状态变量的微分关系(如电容能量变化率 $i_{C}$ 与其状态变量 $u_{C}$ 之间的微分关系)，在消去中间变量的过程中就会不断引入微分式，最终变成一个只含待求未知量的低阶或高阶微分方程。

单输入、单输出n阶系统常系数线性微分方程一般式 $m\leqslant n$ 的原因

物理系统的因果性：

因果性是物理世界的基本规律，也是控制系统中 “物理可实现系统” 的核心属性，其定义为系统在某一时刻 $t$ 的输出 $y(t)$ ，只能由当前时刻 $t$ 及过去时刻( $\tau \leqslant t$ )的输入 $x(\tau )$ 决定，不可能由未来时刻的输入决定。
物理量对时间的导数，本质是物理量的瞬时变化率，反映的是物理量 “下一时刻的变化趋势”，比如一阶导数 $\frac{\mathrm{d} x(t)}{\mathrm{d} t}$ ，表示输入 $x(t)$ 在 $t$ 时刻的变化速率，其值由 $t$ 时刻附近的 $x(\tau )$ （ $\tau$ 略大于和略小于 $t$ ）决定，且阶数越高，对输入 $x(t)$ 的 “未来变化趋势” 的依赖越强。
若 $m\geqslant n$ ，输出会 “超前” 于输入，从微分方程的角度，输出 $y(t)$ 的 n 阶导数 $\frac{\mathrm{d^{n}}y(t) }{\mathrm{d} t^{n}}$ ，需要由输入的 m 阶导数 $\frac{\mathrm{d^{m}}x(t) }{\mathrm{d} t^{m}}$ （m>n）来决定，假设 $m=n+1$ ，则 $\frac{\mathrm{d^{n}}y(t) }{\mathrm{d} t^{n}}\propto\frac{\mathrm{d^{m}}x(t) }{\mathrm{d} t^{m}}$ 对等式两边从0到t积分n次，最终得到 $y(t)\propto \frac{\mathrm{d}x(t) }{\mathrm{d} t}$ ，这意味着输出 $y(t)$ 的取值，依赖于输入 $x(t)$ 的变化率（未来趋势），而非输入的当前值或过去值 —— 相当于系统 “预判” 了输入的未来变化，并提前做出了输出响应，这在物理世界中完全不可能实现。

能量不能突变：

物理系统中能量不能瞬时改变，即能量是有惯性的。若 $y(t)\propto \frac{\mathrm{d}x(t) }{\mathrm{d} t}$ ，意味着输出能够瞬时地、无延迟地反映输入信号地变化率，假设在0时刻输入信号从0V跳变到1V，由于输出是输入的导数，而输入的导数为无穷大，这意味着输出需要在极短时间内产生无穷大地功率，同时也意味着能量在瞬间发生无穷大的变化，这明显违背了能量定律。

三.解微分方程

建立控制系统的数学模型（常系数线性微分方程）后，需要通过数学求解，得到系统输出随时间的变化规律（即输出响应 $y(t)$ ），并基于这一规律分析系统的动态特性、稳态性能，最终为控制系统的设计、优化和验证提供定量依据。数学求解就是对上述建立的微分方程进行求解。

直接求解微分方程更适用于二阶及以下的常系数线性微分方程，因为其能通过初等函数写出解析解的通式，求解过程直接；但对于三阶及以上的常系数线性微分方程，虽然数学上仍可求解，但解析解的形式会极其复杂，甚至无法用初等函数简洁表示，工程上则借助拉普拉斯变换将微分方程转化为代数方程，大幅降低求解难度。这里我们只介绍二阶及一阶常系数线性微分方程的求解，对于更高阶微分方程求解用到的拉普拉斯变换将会在下一章介绍。

在高数中求解线性微分方程时其系数通常不为常数，在本章求解时我们也以变系数线性微分方程为例得到其通解，对于常系数只需要做简单替换即可。

齐次与非齐次

在求解一阶及二阶微分方程前，先介绍齐次与非齐次的概念，这是因为齐次与非齐次方程解的结构有明确且固定的规律，对求其通解极为重要。

对于n阶线性微分方程，它的标准形式是：

$a_{n}(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}(x){y}'+a_{0}(x)y=f(x)$

$y$ 是关于 $x$ 的函数
$a_{n}(x),a_{n-1}(x),\cdots ,a_{0}(x)$ 为已知函数(系数)，仅与自变量 $x$ 有关。如果它们为常数则为常系数线性微分方程
$f(x)$ 是仅与自变量 $x$ 有关的函数

若 $f(x)=0$ ，则方程称为齐次，"齐次"就是方程中所有项均含未知函数 $y$ 及其导数
若 $f(x)\neq 0$ ，则方程称为非齐次，"非齐次"就是方程中存在不含未知函数 $y$ 或其导数的项

通解：满足微分方程的所有解的通用表达式，是包含方程所有解的解，且解中独立的任意常数的个数等于方程的阶数（n 阶方程含 n 个）。例如某二阶微分方程的通解可能为 $y_{h}(x)=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{-2x}$ ，其中的 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 就是两个独立任意常数，无确定的函数值，随常数取值变化。

特解：满足微分方程的某一个具体解，它不含任意常数，是确定的、唯一的。例如某二阶微分方程的特解可能是 $y_{p}(x)=3$

之所以会有通解，本质上是因为常数 $C$ 不参与导数运算。比如二阶的 ${y}''+a_{1}(x){y}'+a_{2}(x)y=0$ ，假设 $y_{1}(x)$ 是它的一个非零特解，即 ${y_{1}}''+a_{1}(x){y_{1}}'+a_{2}(x)y_{1}=0$ ，现在给 $y_{1}(x)$ 乘一个任意常数 $C$ ，得到新的解 $Cy_{1}(x)$ ，将其代入 ${y}''+a_{1}(x){y}'+a_{2}(x)y=0$ ，得 $C\cdot {y_{1}}''+a_{1}(x)\cdot C\cdot {y_{1}}'+a_{2}(x)\cdot C\cdot y_{1}=C\cdot ({y}''+a_{1}(x){y}'+a_{2}(x)y)=0$ ，常数 $C$ 不参与导数运算，因此给特解乘任意 $C$ 后，代入方程会提取出公因子 $C$ ，最终结果仍为 0。

解中独立的任意常数 $C$ 的个数等于方程的阶数。之所以会有这个结论，从本质上看是因为求解微分方程的本质是通过积分消去导数，对于 $a_{n}(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}(x){y}'+a_{0}(x)y=f(x)$ ，可以写成 $a_{n}(x)y^{(n)}=f(x)-a_{n-1}(x)y^{(n-1)}-\cdots -a_{1}(x){y}'-a_{0}(x)y$ ，要得到 $y$ 需要对左边积分n次来消去导数，而每消去一阶导数，就需要做一次不定积分，而一次不定积分必然引入一个独立的任意常数，注意这是从本质上理解，而不是说实际求解时积分n次求 $y$ ；从特解的角度来看，在使用特征方程法(后续会讲解)求解时，n阶微分方程会得到的n个特解，并且这几个特解是线性无关的，假设 $y_{1}(x),y_{2}(x),\cdots y_{n}(x)$ 为n阶微分方程的特解，则根据导数规 $(y_{1}+y_{2}+\cdots y_{n})'={y_{1}}'+{y_{2}}'+\cdots {y_{n}}'$ ，于是 $(y_{1}^{(n)}+a_{1}y_{1}^{n-1}+\cdots +a_{n}y_{1})+(y_{2}^{(n)}+a_{1}y_{2}^{n-1}+\cdots +a_{n}y_{2})+\cdots +((y_{n}^{(n)}+a_{1}y_{n}^{n-1}+\cdots +a_{n}y_{n}))=0+0+\cdots +0=0$ ，
所以 $y_{1}(x)+y_{2}(x)+\cdots +y_{n}(x)$ 也是方程的特解，结合上述对常数 $C$ 不参与导数运算的解释，任意n个特解的线性组合 $C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x)+\cdots +C_{n}y_{n}(x)$ 也是方程的解。

齐次方程的解就是它的通解。而“非齐次方程的通解=对应齐次方程的解+非齐次方程的特解”，可以简写为 $y=y_{h}+y_{p}$ 。这个结论的证明比较简单，依赖于线性方程的一个基本性质——叠加性，具体过程如下：

以 $a{y}''+b{y}'+cy$ 为例，令 $L$ 为一个线性微分算子，即 $L[y]=a{y}''+b{y}'+cy$ ，这个算子是线性的，所以它满足叠加性和齐次性，即 $L[y_{1}+y_{2}]=L[y_{1}]+L[y_{2}]$ ， $L[cy]=cL[y]$
对于齐次方程： $L[y]=0$ ，若 $y_{h}$ 是 $L[y]=0$ 的解，则 $L[y_{h}]=0$
对于非齐次方程： $L[y]=f(x)$ ，若 $y_{p}$ 是 $L[y]=f(x)$ 的特解，则 $L[y_{p}]=f(x)$
所以 $L[y_{p}+y_{h}]=L[y_{h}]+L[y_{p}]=f(x)$
上述的证明过程也可以这么看： $a{y}''+b{y}'+cy=0+f(x)$ ，齐次方程通解负责等于0的部分，而找的特解则是负责 $f(x)$ 部分。 $f(x)$ 的出现使 $y$ 要多一项，此项经过 $a{y}''+b{y}'+cy$ 等于 $f(x)$

一阶线性微分方程

一阶线性微分方程的标准形式为： ${y}'+P(x)y=Q(x)$

$y$ 是关于 $x$ 的函数
$P(x)$ ， $Q(x)$ 为已知连续函数，仅与自变量 $x$ 有关
若 $Q(x)=0$ ，则方程为一阶线性齐次微分方程；若 $Q(x)\neq 0$ ，则方程为一阶线性非齐次微分方程

求解一阶微分方程有两种主流方法：积分因子法(适用于变系数和常系数)与特征方程法(只适用于常系数)

积分因子法：

对于积分因子法，它的思路是通过积分的方法来将 ${y}'$ 降阶为 $y$ ，但是等式左边既有 ${y}'$ 又有 $y$ ，直接积分会出现 $\int y$ 项。可以考虑使用导数的乘法法则，即 ${(u\cdot y)}'=u{y}'+{u}'y$ ，这样可以同时出现 ${y}'$ 和 $y$ 。所以接下来的目标变成了将等式左边凑成 $u{y}'+{u}'y$ 形式，即找到一个积分因子(辅助函数 $u(x)$ )，这样就能对等式两边直接积分，解出 $y$ 。积分因子的求解过程如下：

方程两边同乘 $u(x)$ ，左边变为 $u(x){y}'+u(x)P(x)y$ ，我们希望这个式子等于乘积的导数，即 $u{y}'+uPy={(uy)}'=u{y}'+{u}'y$
化简得 $uP={u}'$ ，这是一个关于 $u(x)$ 的可分离变量微分方程，直接求解即可得到积分因子的形式
将 $uP={u}'$ 整理为 $\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{} u}=P(x)dx$
对两边同时积分（左边积分得 $ln\left | u \right |$ ，右边积分得 $\int P(x)dx$ ）： $ln\left | u \right |=\int P(x)dx+C$
为了简化，取积分常数 $C=0$ ，并去掉绝对值（因为积分因子只需取一个最简形式）,最终得到积分因子的标准形式： $u(x)=e^{\int P(x)dx}$

得到积分因子 $u(x)=e^{\int P(x)dx}$ 后，将其带回原方程，即给原方程 ${y}'+Py=Q$ 两边同乘 $u(x)$ 得 $u{y}'+uPy=uQ$ ，左边根据构造等于 ${(uy)}'$ ，因此方程变为 ${(uy)}'=uQ$ ，对两边同时积分得 $uy=\int uQdx+C$ ，带入 $u(x)=e^{\int P(x)dx}$ 解得：

$y=e^{-\int P(x)dx}(\int Qe^{\int Pdx}dx+C)$

当 $Q(x)=0$ 时，即一阶线性齐次微分方程，此时通解 $y=Ce^{-\int P(x)dx}$ ， $C$ 为任意非零常数，若允许 $y=0$ ，则 $C=0$ 也为解。(对于一阶线性齐次微分方程 ${y}'+P(x)y=0$ 也可以像求解积分因子那样使用分离变量法求解)

当 $Q(x)\neq 0$ 时，即一阶线性非齐次微分方程，此时通解为 $y=e^{-\int P(x)dx}(\int Qe^{\int Pdx}dx+C)$ ，其中 $Ce^{-\int P(x)dx}$ 为齐次项的通解， $y=e^{-\int P(x)dx}\int Qe^{\int Pdx}dx$ 为特解，满足“非齐次方程的通解=对应齐次方程的解+非齐次方程的特解”。

特征方程法：

特征方程法只适用于线性常系数微分方程，这是由它的原理决定的。一阶线性常系数微分方程的标准形式是：

${y}'+ay=f(x)$

特征方程法只用于求解齐次方程的通解，要求解非齐次方程的通解需要依据“非齐次方程的通解=对应齐次方程的解+非齐次方程的特解”。

求齐次方程 ${y}'+ay=0$ 通解：特征方程法的核心思路是试解， ${y}'+ay=0$ 相当于 $y$ 的导数和 $y$ 的 $a$ 倍相加为0，而指数函数导数的性质是 ${(e^{rx})}'=r\cdot e^{rx}$ ，即 ${y}'=ry$ ，指数函数 $e^{rx}$ 是 “导数与自身成正比” 的函数，恰好匹配 “导数与函数线性组合为 0” 的齐次方程结构，因此假设解为 $e^{rx}$ 是合理的。
所以假设 ${y}'+ay=0$ 的解为 $y=e^{rx}$ ，带入方程得 $re^{rx}+ae^{rx}=0$ ， $e^{rx}\neq 0$ ，所以两边约去后得到 $r+a=0$ ，这就是特征方程，可以解出 $r=-a$ ，于是就得到了解 $y=e^{-ax}$ ，再乘以任意常数 $C$ 即得通解 $y=Ce^{-ax}$ 。

求非齐次方程特解：特解的求解与非齐次项 $f(x)$ 的形式密切相关，常用待定系数法或常数变易法

待定系数法：待定系数法的核心是假设特解。对于 ${y}'+ay=f(x)$ ，其线性微分算子 $L[y]={y}'+ay$ ，若 $f(x)$ 是某类简单函数（如多项式、指数、正弦 / 余弦），则满足 $L[y_{p}]=f(x)$ 的特解 $y_{p}$ 形式与 $f(x)$ 一致。
这主要是利用了常系数线性微分算子对 “多项式、指数、正弦 / 余弦” 这类函数的运算，不会改变函数的基本形式，多项式求导后仍为多项式、指数求导后仍为指数、正弦/余弦求导后仍为三角函数，所以才会假设 $y_{p}$ 的形式与 $f(x)$ 一致，也就是 $y_{p}$ 求导后形式不变。但这同时意味着待定系数法只适用于 $f(x)$ 为“多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，或它们的线性组合”，而不适用于 $f(x)$ 为“对数、分式、幂函数（非多项式）” 或更复杂的形式。

若 $f(x)=A$ (常数型)，则特解 $y_{p}$ 也为常数。假设 $y_{p}=B$ ，代回 ${y}'+ay=f(x)$ 得 $0+aB=A$ ，即可解得 $B=\frac{A}{a}$

若 $f(x)=P_{n}(x)$ (多项式型)，则特解 $y_{p}$ 也为多项式。假设 $y_{p}=Q_{n}(x)$ ，代回 ${y}'+ay=f(x)$ 即可求解 $y_{p}$ 。以 ${y}'+y=x^{2}$ 为例，假设 $y_{p}=ax^{2}+bx+c$ ，代入得 $2ax+b+ax^{2}+bx+c=x^{2}$ ，比较等式两侧系数( $2a+b=0,a=1,b+c=0$ )得 $a=1,b=-2,c=2$ ，所以 $y_{p}=x^{2}-2x+2$

若 $f(x)=Ae^{\lambda x}$ (指数型)，则特解也为指数型。但这里有一个问题，如果 $\lambda =-a$ ，我们假设 $y_{p}=Be^{\lambda x}=Be^{-ax}$ ，这时 $y_{p}$ 是其齐次方程通解( $Ce^{-ax}$ )的一种，如果直接带入 ${y}'+ay=f(x)$ ，式子左边等于0，无法与 $f(x)$ 匹配，为了构造线性无关的解通常乘 $x$ ，即构造 $y_{p}=Bxe^{\lambda x}$ 。若 $\lambda \neq -a$ ，直接构造 $y_{p}=Be^{\lambda x}$ 即可。
对于 $\lambda =-a$ ，将 $y_{p}=Bxe^{\lambda x}$ 带入 ${y}'+ay=f(x)$ 得 ${y}'+ay=Be^{-ax}+Bx(-a)e^{-ax}+aBxe^{-ax}=Be^{-ax}$ ，则 $Be^{-ax}=Ae^{-ax}$ ，解得 $A=B$ ，即 $y_{p}=Axe^{\lambda x}$
对于 $\lambda \neq -a$ ，将 $y_{p}=Be^{\lambda x}$ 带入 ${y}'+ay=f(x)$ 得 ${y}'+ay=B\lambda e^{\lambda x}+aBe^{\lambda x}=B(\lambda +a)e^{\lambda x}$ ，则 $B(\lambda +a)e^{\lambda x}=Ae^{\lambda x}$ ，解得 $B=\frac{A}{\lambda +a}$ ，即 $y_{p}=\frac{A}{\lambda +a}e^{\lambda x}$

若 $f(x)=Asin(\omega t)+Bcos(\omega t)$ (正弦/余弦型)，则特解也为正弦/余弦型。假设 $y_{p}=Csin(\omega t)+Dcos(\omega t)$ ，代入 ${y}'+ay=f(x)$ 即可求解 $C,D$ ，进而解出 $y_{p}$

若 $f(x)=x+cosx$ (简单函数的线性组合)。我们可以利用其线性拆分 $f(x)$ ，即令 $f_{1}(x)=x,f_{2}(x)=cos x$ 。对于 $f_{1}(x)=x$ ，特解 $y_{p1}=Ax+B$ ；对于 $f_{2}(x)=cos x$ ，特解 $y_{p2}=Ccosx+Dsinx$ 。所以总特解为 $y_{p}=y_{p1}+y_{p2}=Ax+B+Ccosx+Dsinx$ 。然后代入 ${y}'+ay=f(x)$ 求解即可。

若 $f(x)=xcosx$ ，则假设特解 $y_{p}=(Ax+B)cosx+(Cx+D)sinx$ 。只要 $f(x)$ 含 $cosx$ 或 $sinx$ ，特解就必须同时包含 $sinx$ 和 $cosx$ 两项。 $f(x)$ 中的多项式是n次，特解中的多项式也必须是n次。
常数变易法：若 $f(x)$ 形式复杂可使用常数变易法。常数变易法是将齐次通解中的常数 $C$ 替换为关于 $x$ 的函数 $C(x)$ ，即假设非齐次方程的特解为 $y_{p}=C(x)e^{-ax}$ 。
将 $y_{p}=C(x)e^{-ax}$ 代入 ${y}'+ay=f(x)$ 得 ${C}'(x)e^{-ax}-aC(x)e^{-ax}+aC(x)e^{-ax}=f(x)$ ，即 ${C}'(x)e^{-ax}=f(x)$ ，移项得 ${C}'(x)=f(x)e^{ax}$ ，对 ${C}'(x)$ 积分得 $C(x)=\int f(x)e^{ax}dx+K$ ，取 $K=0$ 即可得到一个特解 $y_{p}=e^{-ax}\int f(x)e^{ax}dx$

二阶线性微分方程

对于二阶变系数线性微分方程，并没有像常系数方程那样的统一初等解法，求解过程远比常系数方程复杂，只有少数具有特殊结构的方程能通过初等方法（降阶、变量代换、刘维尔公式等）求解，而绝大多数一般形式的变系数方程，根本无法写出初等函数形式的通解，只能依靠幂级数、数值方法等非初等手段处理。在工程应用中，我们一般研究的系统都是特性固定不变的(数学模型为常系数微分方程)，所以这里只介绍二阶线性常系数微分方程的求解就足够了。二阶线性常系数微分方程的一般形式为：

$a{y}''+b{y}'+cy=f(x)$

二阶线性常系数微分方程的通解仍然满足规律“非齐次方程的通解=对应齐次方程的通解+非齐次方程的一个特解”。对于齐次方程通解的求解采用特征方程法，特解的求解可以采用待定系数法或常数变易法。

特征方程法求齐次方程通解：

$a{y}''+b{y}'+cy=0$

其特征方程为 $ar^{2}+br+c=0$ ，根据特征方程的根，有以下三种情况：

两个不相等的实根： $r_{1}\neq r_{2}$
此时通解 $y_{h}=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}$
两个相等的实根： $r_{1}= r_{2}=r$
此时通解 $y_{h}=(C_{1}+C_{2}x)e^{rx}$
一对共轭复根： $r=\alpha \pm \beta i$
此时通解 $y_{h}=e^{\alpha x}(C_{1}cos(\beta x)+C_{2}sin(\beta x))$

待定系数法和常数变易法求非齐次方程特解与一阶线性微分方程的求法一致。

从控制的角度理解线性微分方程

从控制的角度理解线性微分方程（齐次与非齐次），就是把微分方程的解对应成物理系统的响应，把方程的形式对应成系统的受力或激励规律。

齐次方程 $L[y]=0$ ：齐次微分方程的 $f(t)=0$ 意味着系统无外部激励，系统靠初始状态自由运动，其自由运动状态完全由自身特性（惯性、阻尼、恢复力）决定，这对应其解的函数项，比如 $y_{h}=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}$ 中的 $e^{r_{1}x},e^{r_{2}x}$ 决定了系统的运动模式。而具体怎么动、动的幅度多大、从哪个位置开始动，则由常数项( $C_{1},C_{2}$ )决定，其物理本质就是初始能量和初始相位。

非齐次方程 $L[y]=f(x)$ ： $f(x)$ 为外界激励，此时系统响应由初始状态与外界激励共同决定。其特解 $y_{p}$ 描述了系统在外界激励下产生的确定的响应。其通解 $y_{h}$ 描述了系统在初始条件下的自由运动，由于系统存在阻尼，所以齐次解这一项最终会衰减为0，因此它只在激励施加的初期存在。通过后面对控制系统的学习，你就会逐渐明白 $y_{p}$ 其实就是“稳态响应”， $y_{h}$ 则是“瞬态响应”。

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Yf18005429102

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物理量类别	直线运动（平动）	旋转运动（绕定轴转动）	物理意义
运动状态量	位移 $s$	角位移 $\theta$ (单位：rad)	描述物体位置变化
	速度 $v=\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}$	角速度 $\omega =\frac{\mathrm{d} \theta }{\mathrm{d} t}$	描述运动快慢
	加速度 $a=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}$	角加速度 $\alpha =\frac{\mathrm{d} \omega }{\mathrm{d} t}$	描述速度变化快慢
惯性量	质量 $m$	转动惯量 $J$	描述速度变化快慢
作用量	力 $F$	力矩 $T$	改变物体运动状态的原因
运动学公式	$F=ma$	$T=J\alpha$	作用量与运动变化的关系
动量	$p=mv$	$L=J\omega$	描述物体的 “运动总量”
动量定理	$Ft=\Delta p$	$Mt=\Delta L$	作用量的时间累积效应
动能定理	$E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}$	$E_{k}=\frac{1}{2}J\omega ^{2}$	物体因运动具有的能量

控制系统数学模型的建立

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一.建立数学模型的过程

二.数学模型的本质

三.解微分方程

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