微积分不仅是数学工具，更是理解物理世界的钥匙

一、变力做功问题

基本概念与步骤

当物体在变力作用下移动时，由于力随位置变化，功的计算需要用到定积分。以下是解决变力做功问题的一般步骤：

1. 建立坐标系：确定积分变量（如 $x$ 或 $r$）和积分区间 $[a,b]$。
2. 求功的微元：在区间内取微小位移 $dx$，写出力 $F(x)$ 在此位移上做功的近似值 $dW=F(x)\cdot dx$。
3. 积分求总功：将微元功从 $a$ 到 $b$ 积分，即 $W={\int }_a^{b}F(x)dx$。

案例1：举高物体克服重力做功

问题：将质量 $m$ 的物体从地面（地球半径 $R$）举高 $H$ 米，求克服重力所做的功。

解答步骤：

1. 确立变量：以地球中心为原点，物体到地心距离 $r$ 为变量，积分区间为 $[R,R+H]$。
2. 写出力函数：万有引力 $F(r)=\frac{GMm}{r^2}$，其中 $G$ 为引力常数，$M$ 为地球质量。
3. 写出功的微元：$dW=\frac{GMm}{r^2}dr$。
4. 计算定积分： $$W={\int }_R^{R+H}\frac{GMm}{r^2}dr=GMm{\left[-\frac{1}{r}\right]}_R^{R+H}=GMm\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{R+H}\right)$$

Python代码验证：

见calculus/chapter06/note37_test01.py

import sympy as sp

# 定义符号变量
r = sp.symbols('r')
G, M, m, R, H = sp.symbols('G, M, m, R, H', real=True, positive=True) 

# 定义被积函数：万有引力定律
force = G * M * m / (r**2)

# 使用 quad 进行数值积分
W = sp.integrate(force, (r, R, R+H))

print(f"克服重力所做的功 = {W} 焦耳")

结果：

克服重力所做的功 = -G*M*m/(H + R) + G*M*m/R 焦耳

案例2：抽出蓄水池中的水所需功

问题：深5米、底面半径10米的圆柱形蓄水池盛满水，将水全部抽出需做多少功？

解答步骤：

1. 确立变量：以水面为原点，垂直向下为 $x$ 轴正方向，积分区间 $[0,5]$。
2. 分析微元：深度 $x$ 处的一薄层水（厚度 $dx$）的质量为 $dm=\rho \cdot \pi R^{2}dx$（$\rho$ 为水密度）。
3. 抽出微元水需做功：此层水需提升 $x$ 米，$dW=dm\cdot g\cdot x=\rho g\pi R^{2}xdx$。
4. 计算定积分： $$W={\int }_0^5\rho g\pi R^{2}xdx=\rho g\pi R^2\cdot \frac{1}{2}{x}^2{|}_0^5=1250\rho g\pi$$

Python代码验证：

见calculus/chapter06/note37_test02.py

import sympy as sp

# 定义符号变量（全部使用符号）
x = sp.symbols('x')
rho, g, R, H = sp.symbols('rho g R H', real=True, positive=True)

# 定义被积函数：dW = ρ * g * π * R^2 * x dx
integrand = rho * g * sp.pi * R**2 * x

# 计算定积分
W = sp.integrate(integrand, (x, 0, H))
W_simplified = sp.simplify(W)

print(f"通用表达式: W = {W_simplified}")

# 代入具体数值验证
values = {R: 10, H: 5, rho: sp.Symbol('rho'), g: sp.Symbol('g')}
W_specific = W_simplified.subs({R: 10, H: 5})

print(f"代入R=10, H=5后: W = {W_specific}")
print(f"即: W = 1250πρg")  # 手动验证系数

结果：

通用表达式: W = pi*H**2*R**2*g*rho/2
代入R=10, H=5后: W = 1250*pi*g*rho
即: W = 1250πρg

二、水压力问题

基本概念与步骤

液体中深度为 $h$ 处的压强为 $p=\rho gh$。计算平板一侧所受水压力的步骤：

1. 建立坐标系：通常以液面为原点，垂直向下为 $x$ 轴正方向。
2. 求压力微元：在平板深度 $x$ 处取一微小带状区域，其面积 $dA$ 可求。此带状区域所受压力近似为 $dP=p\cdot dA=\rho gx\cdot dA$。
3. 积分求总压力：$P={\int }_a^b\rho gxdA$，其中 $[a,b]$ 是平板在 $x$ 方向上的深度区间。

案例3：矩形闸门所受水压力

问题：一个高15米、宽10米的矩形闸门垂直放置，水面恰好淹没闸门顶端，求闸门一侧所受水压力。

解答步骤：

1. 确立变量：以水面为原点，向下为 $x$ 轴，积分区间 $[0,15]$。
2. 写出面积微元：在深度 $x$ 处取高为 $dx$ 的水平条带，其面积 $dA=10dx$。
3. 写出压力微元：$dP=\rho gx\cdot dA=10\rho gxdx$。
4. 计算定积分： $$P={\int }_0^{15}10\rho gxdx=10\rho g\cdot \frac{1}{2}{x}^2{|}_0^{15}=1125\rho g$$

Python代码验证：

见calculus/chapter06/note37_test03.py

import sympy as sp

# 定义符号变量
x, rho, g, H, w = sp.symbols('x rho g H w', real=True, positive=True)

# 定义被积函数：压力微元 dP = (ρ g x) * (w dx)
integrand = rho * g * x * w

# 计算定积分
P_expr = sp.integrate(integrand, (x, 0, H))
P_simplified = sp.simplify(P_expr)

print(f"通用表达式: P = {P_simplified}")

# 解析解验证
P_analytic = sp.Rational(1, 2) * rho * g * w * H**2
print(f"解析解: P = {P_analytic}")
print(f"一致性验证: {P_simplified.equals(P_analytic)}")

# 代入具体数值
values = {H: 15, w: 10, rho: sp.Symbol('rho'), g: sp.Symbol('g')}
P_specific = P_simplified.subs({H: 15, w: 10})

print(f"代入H=15, w=10后: P = {P_specific}")
print(f"即: P = 1125ρg")  # 手动验证系数

结果：

通用表达式: P = H**2*g*rho*w/2
解析解: P = H**2*g*rho*w/2
一致性验证: True
代入H=15, w=10后: P = 1125*g*rho
即: P = 1125ρg

三、质心问题

基本概念与步骤

质心是物体质量分布的平均位置。对于质量均匀的物体，质心也称为形心。计算平面曲线或平面图形质心的一般步骤：

1. 确定积分变量与区间：根据图形特点选择积分变量 $x$ 或 $y$，并确定积分限 $[a,b]$。
2. 写出质量微元 $dm$：对于曲线，$dm=\rho (x)\cdot ds$，其中 $ds$ 为弧长微元；对于平面图形，$dm$ 常表示为面积微元乘以面密度。
3. 写出力矩微元：关于 $y$ 轴的力矩微元 $d{I}_y=x\cdot dm$，关于 $x$ 轴的力矩微元 $d{I}_x=y\cdot dm$。
4. 计算总质量与总力矩：$M=\int dm$，$I_y=\int xdm$，$I_x=\int ydm$。
5. 求质心坐标：$X=\frac{I_y}{M}$，$Y=\frac{I_x}{M}$。

案例4：求线段的质心

问题：线段 $L:y=x(0\le x\le 1)$ 上每点的密度等于该点到原点的距离，求其质心 $(X,Y)$。

解答步骤：

1. 参数化曲线：由于 $y=x$，弧长微元 $ds=\sqrt{1+(dy/dx{)}^2}dx=\sqrt{2}dx$。
2. 写出密度函数：点 $(x,y)$ 到原点距离为 $\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{2}x$，故线密度 $\rho (x)=\sqrt{2}x$。
3. 写出质量微元：$dm=\rho (x)\cdot ds=(\sqrt{2}x)\cdot (\sqrt{2}dx)=2xdx$。
4. 写出力矩微元：$d{I}_y=x\cdot dm=2x^{2}dx$，由对称性，$X=Y$。
5. 计算积分：
   • 总质量 $M={\int }_0^{1}2xdx=x^2{|}_0^1=1$
   • 关于 $y$ 轴的总力矩 $I_y={\int }_0^{1}2x^{2}dx=\frac{2}{3}{x}^3{|}_0^1=\frac{2}{3}$
   • 质心坐标 $X=\frac{I_y}{M}=\frac{2/3}{1}=\frac{2}{3}$，故质心为 $(\frac{2}{3},\frac{2}{3})$

Python代码验证：

见calculus/chapter06/note37_test04.py

import sympy as sp

# 定义符号变量
x = sp.symbols('x')

# 定义质量微元 dm = 2x dx (因为 ρ(x) = √2 x, ds = √2 dx, dm = ρds = 2x dx)
mass_density = 2 * x

# 定义关于y轴的力矩微元 dI_y = x * dm = 2x² dx
moment_y_density = 2 * x**2

# 使用符号积分计算总质量
M = sp.integrate(mass_density, (x, 0, 1))

# 使用符号积分计算关于y轴的总力矩
I_y = sp.integrate(moment_y_density, (x, 0, 1))

# 计算质心坐标
X = I_y / M
Y = X  # 由对称性

print(f"总质量 M = {M}")
print(f"关于y轴的总力矩 I_y = {I_y}")
print(f"质心坐标 (X, Y) = ({X}, {Y})")

结果：

总质量 M = 1
关于y轴的总力矩 I_y = 2/3
质心坐标 (X, Y) = (2/3, 2/3)

案例5：求平面图形的形心

问题：求由抛物线 $y=x^2/4$ 与直线 $y=x/2+2$ 所围成平面图形 $D$ 的形心（设密度均匀为1）。

解答步骤：

1. 求交点确定积分区间：联立方程解得交点横坐标 $x=-2$ 和 $x=4$。
2. 写出面积微元：在 $x$ 处取竖直小条，高为 $[(x/2+2)-(x^2/4)]$，宽为 $dx$，面积微元 $dA=\left(\frac{x}{2}+2-\frac{x^2}{4}\right)dx$。
3. 写出形心坐标：小条的形心近似在其中心，即 $x$ 坐标就是 $x$，$y$ 坐标为上下边中点的平均值 $\frac{1}{2}\left[(x/2+2)+(x^2/4)\right]=\frac{x}{4}+1+\frac{x^2}{8}$。但更准确的做法是使用公式 $Y=\frac{1}{2A}{\int }_a^b[f_1(x{)}^2-f_2(x{)}^2]dx$，其中 $f_1(x)$ 是上曲线，$f_2(x)$ 是下曲线。本例中上曲线为 $y=x/2+2$，下曲线为 $y=x^2/4$。
4. 计算积分：
   • 总面积 $A={\int }_{-2}^4\left(\frac{x}{2}+2-\frac{x^2}{4}\right)dx=9$
   • 关于 $y$ 轴的静矩 $M_y={\int }_{-2}^{4}x\cdot \left(\frac{x}{2}+2-\frac{x^2}{4}\right)dx=9$
   • 关于 $x$ 轴的静矩 $M_x=\frac{1}{2}{\int }_{-2}^4\left[{\left(\frac{x}{2}+2\right)}^2-{\left(\frac{x^2}{4}\right)}^2\right]dx=\frac{72}{5}$
   • 形心坐标 $X=\frac{M_y}{A}=\frac{9}{9}=1$，$Y=\frac{M_x}{A}=\frac{72/5}{9}=\frac{8}{5}$

Python代码验证：

见calculus/chapter06/note37_test05.py

import sympy as sp

# 定义符号变量
x = sp.symbols('x')

# 定义抛物线 y = x^2/4 和直线 y = x/2 + 2
parabola = x**2 / 4
line = x/2 + 2

# 计算交点（确定积分区间）
solutions = sp.solve(line - parabola, x)
print(f"两条曲线的交点横坐标: {solutions}")

# 面积微元 dA = [上曲线 - 下曲线] dx = [(x/2 + 2) - (x^2/4)] dx
area_element = line - parabola

# 关于y轴的静矩微元 dM_y = x * dA = x * [(x/2 + 2) - (x^2/4)] dx
moment_y_element = x * (line - parabola)

# 关于x轴的静矩微元 dM_x = 1/2 * [(上曲线)^2 - (下曲线)^2] dx
moment_x_element = sp.Rational(1, 2) * (line**2 - parabola**2)

# 使用SymPy进行符号积分
A = sp.integrate(area_element, (x, -2, 4))                    # 总面积
M_y = sp.integrate(moment_y_element, (x, -2, 4))              # 关于y轴的静矩
M_x = sp.integrate(moment_x_element, (x, -2, 4))              # 关于x轴的静矩

# 计算形心坐标
X = M_y / A
Y = M_x / A

print(f"图形面积 A = {A}")
print(f"关于y轴的静矩 M_y = {M_y}")
print(f"关于x轴的静矩 M_x = {M_x}")
print(f"形心坐标 (X, Y) = ({X}, {Y})")

结果：

两条曲线的交点横坐标: [-2, 4]
图形面积 A = 9
关于y轴的静矩 M_y = 9
关于x轴的静矩 M_x = 72/5
形心坐标 (X, Y) = (1, 8/5)

关键要点总结

1. 微元法核心思想：将整体问题分解为无穷多个微小部分，在微小区间内用常量近似变量，积分求和。
2. 几何意义辅助理解：定积分表示曲边梯形的面积，在物理应用中可理解为累积效应。
3. 解题通用步骤：画图 → 选择积分变量 → 确定积分区间 → 求微元 → 积分计算。
4. 物理量对应关系：
   • 位移的积分：速度对时间积分得路程。
   • 压力的积分：压强对面积积分得总压力。
   • 力矩的积分：用于求质心。

希望这份分步详解能帮助您更好地掌握定积分在物理中的应用。

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往期精彩回顾：

• 定积分的几何应用（一）：平面图形面积计算详解
• 定积分的几何应用（二）：旋转体体积与曲线弧长计算详解

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参考资料：

1. 扈志明《微积分》教材

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