作为业内首个多学科、系统化的AI4S工程实战宝典，“AI4S实战派”栏目立足开放生态、持续演进，致力于“手把手”带你率先跑通科学大模型，将复杂、多学科的AI模型转化为能跑、能用、能创新的生产力工具，帮助科研人员和开发者零门槛上手，加速科学新发现。

如果说表征学习是AI理解世界的“数字身份证”、生成式模型是AI重构世界的“造物主之手”，那么物理信息神经网络（PINN, Physics-Informed Neural Network）就是将自然法则刻进AI灵魂的“立法者”。

3月19日晚，由上海科学智能研究院（下称上智院）、复旦大学、魔搭社区、Datawhale联合策划的《AI4S实战派》第三期线上开讲。

耶鲁大学助理教授、DeepXDE核心作者陆路，带我们深度拆解了如何用神经网络求解物理方程，将能量守恒、对称性等物理定律融入AI的训练过程，使其理解物理世界。

今天，我们来一起温故知新，视频回放可以点击以下地址

https://aistudio.ai4s.com.cn/partner/research-plaza/research-plaza-web/sais-community/course/2046488983070769152

PINN是什么？从数据驱动到物理约束

以往的深度学习依赖海量数据，但在科研场景中，数据往往昂贵、稀缺、甚至无法获取。陆路用一个核心问题开启了分享：“当数据不够时，我们还能用什么来训练神经网络？”

答案是：物理信息。

PINN的核心思想是：不仅要用数据训练，更要将已知的物理方程（如偏微分方程PDE、对称性、守恒律等）作为约束条件，加入神经网络的损失函数中。这样，即使数据稀疏，物理定律本身就能提供足够的先验知识。

陆路用一个比喻来解释：传统方法是在边界和内部取大量网格点，用有限元或有限差分求解；而PINN方法则是在区域内随机取点，让神经网络学习满足方程和边界条件。

PINN的核心原理：把方程变成Loss

PINN究竟是如何在没有大量数据的情况下解方程的？其秘诀在于对损失函数（Loss Function）的巧妙设计。

陆路用一个简单的传热方程为例，拆解了PINN的操作流程：

第一步：定义神经网络

输入是坐标(x, y, z, t)，输出是物理量u（温度、速度、压力等）

第二步：构建Loss函数

Total Loss = PDE Loss + Boundary Loss

• PDE Loss：在内部随机取点，计算方程左边减右边的残差

• Boundary Loss：在边界取点，确保边界条件被满足

第三步：自动微分求导

神经网络的导数计算，不是对权重求导，而是对输入求导。通过自动微分（Autograd），可以轻松计算一阶导、二阶导，而核心代码只需一行：

u_xx = dde.grad.hessian(y, x)  # 二阶导数

第四步：优化求解

用标准的Adam优化器训练，最终得到的神经网络就是方程的解。

进阶技巧：让神经网络“天生”懂物理

在PINN训练中，多Loss项不平衡是常见问题。除了把物理方程作为Loss（软约束），陆路还分享了更高级的 “硬约束”（Hard Constraints）玩法——无需训练，让网络架构自带物理属性，五种核心技巧如下：

1. 硬约束边界条件

核心思路：设计包装函数（Wrapper function），让边界条件天生满足：

u(x) = g(x) + l(x) × NN(x)

• g(x)：满足边界条件

• l(x)：边界为零、区域内为正

例子：U(0)=0, U(1)=1时，设u(x)=x+x(1-x)×NN(x)，边界条件自动成立！

扩展应用：周期性边界用傅里叶基函数，不可压缩流体用旋度恒等式。

2. 自适应权重平衡

面对“多Loss权重如何选”的问题，可以使用Dynamic Weighting方法，动态计算各Loss梯度范数比值，自动调整权重系数，从而无需手动调参。

3. 梯度增强PINN

PDE的各阶导数也等于零，将这些导数加入Loss，提供免费的监督信息。实测误差可降低一个数量级。

4. 自适应采样（RAR）

在PDE残差大的区域自动加密采样点，类似错题本策略，以最少的算力实现全局高精度逼近。

5. 区域分解

复杂几何可切分子区域并行求解，加速收敛。

PINN的杀手级应用：反问题与高维挑战

相比正问题求解，PINN在某些场景下展现出传统方法无法比拟的优势。

1.反问题求解：从结果反推原因

传统困境：当物理方程中存在未知参数（如热导率k）时，传统方法需要复杂的伴随方法，编程实现困难。

PINN解法：将未知参数也作为可学习变量，结合极少测量数据，神经网络在拟合解的同时，精准反推未知参数。

例子：已知方程在6个测量点的解，反推方程中的未知系数k。

2.高维问题：破解“维度诅咒”

传统困境：网格方法在高维问题中计算量呈指数爆炸，10维以上几乎无解。

PINN优势：脱离网格限制，在100~200维的复杂偏微分方程上依然高效，成为填补高维物理求解空白的利器。

代码实操：10行代码跑通PINN

陆路演示了用DeepXDE库求解一维Poisson方程：

# 1. 定义几何geom = dde.geometry.Interval(-1, 1)
# 2. 定义PDEdef pde(x, y):    u_xx = dde.grad.hessian(y, x)    return -u_xx - np.pi**2 * tf.sin(np.pi * x)
# 3. 定义边界条件bc = dde.icbc.DirichletBC(geom, lambda x: 0, boundary)
# 4. 构建模型并训练data = dde.data.PDE(geom, pde, bc, num_domain=16, num_boundary=2)net = dde.nn.FNN([1] + [50]*3 + [1], "tanh", "Glorot uniform")model = dde.Model(data, net)model.compile("adam", lr=0.001)model.train(iterations=10000)

结果是，在一个5年前的普通CPU上，仅需10秒、不到20行核心代码，就跑通了高精度的偏微分方程求解。

DeepXDE：PINN的开源利器

陆路团队开发的DeepXDE库是目前的主流PINN实现工具。

它不仅支持TensorFlow、PyTorch、JAX和PaddlePaddle等多种后端，还具备丰富的几何处理能力，可支持对任意复杂几何形状进行布尔运算（如并集、交集、差集）。

该库提供了完善的文档，其官网包含了详细的API说明和大量示例代码。项目托管于GitHub，便于开发者访问和使用： https://github.com/lululxvi/deepxde

结语：当物理定律成为AI的常识

PINN正在推动AI超越单纯的数据拟合，使其能够深度融合并理解物理规律，从而构建起兼具数据驱动与机理透明的新范式。

在流体力学、量子物理、材料设计、生物医学等诸多领域，PINN都在开启一种新的研究路径：让AI在物理定律的约束下，以更少的实验数据，实现更可靠的科学预测。

🚀 下期预告：从理解到预测

PINN让AI开始学会理解物理定律，那么理解之后呢？

台风路径的演化、蛋白质构象的跃迁等自然现象，都遵循着复杂的时空动力学规律。自回归时空模型正是为此而生，它通过学习时间序列中隐含的依赖结构，使AI能够依据历史观测数据，一步步推演出系统未来的状态。

因此，第四课我们将聚焦于“层级表征与自回归模型——如何预判系统的‘下一秒’”。

复旦大学助理教授、上智院AI科学家姜若曦将在课程上探讨：残差连接如何影响模型的生成能力，以及如何在信息尺度与模型表达能力之间取得平衡。

理解世界，再预测世界。 敬请期待！