误差状态卡尔曼滤波（ESKF）推导

加油JIAX

156人浏览 · 2026-04-05 17:52:36

加油JIAX · 2026-04-05 17:52:36 发布

注：本篇笔记的主体内容来源于对深蓝学院《多传感器融合定位》课程的学习，推荐有一定基础的SLAM 初学者学习该课程。课程中提供了一个完整的滤波器代码框架，可供体会从理论到代码实现的过程。

符号约定：

$\check{x}$ 、 $\tilde{x}$ ：预测值（先验）

$\hat{x}$ ：更新值（后验）

$\delta x$ ：误差状态

1. 概率基础知识

1.1 独立

“ 独立 ” 描述两个随机变量互不影响。若 x 和 y 独立，说明 “ x 发生的概率，不会因 y 是否发生而改变 ” ，反之亦然。

联合概率p(x, y)：独立时， “ x 且 y 发生 ” 的概率，等价于 “ x 发生概率 ” 乘以 “ y 发生概率” （比如抛两枚独立硬币，同时正面的概率 = 第一枚正面概率 × 第二枚正面概率）。
条件概率p(x|y)：“ 已知 y 发生时 x 发生的概率 ” ，因独立无影响，所以等于 p(x) 本身；同理p(y|x) = p(y)。

1.2 全概率公式

全概率公式用于“ 由局部推整体 ”：若 y 是一组 “ 互斥且穷尽所有可能的事件 ” （比如 y 代表 “ 天气：晴、雨、雪等 ” ，覆盖所有可能），那么 x 发生的总概率，等于 “ y 取每个可能值时， x 发生的条件概率 ” 乘以 “ y 本身的概率 ” ，再累加或积分（比如 “ 求出门概率 p(x) ” ，可拆成 “ 晴天时出门概率 × 晴天概率 + 雨天时出门概率 × 雨天概率 + …” ）。

1.3 条件概率公式

该公式描述了x与y不独立时的联合概率，表达了联合概率与条件概率的转换： “ x 和 y 同时发生的概率 ” ，既可以理解为 “ 已知 y 发生时 x 发生的概率，乘以 y 发生的概率 ” （比如 “ 已知下雨（ y ）时打伞（ x ）的概率，乘以下雨的概率 ” ）；也可以对称地理解为“ 已知 x 发生时 y 发生的概率，乘以 x 发生的概率 ” 。

1.4 贝叶斯公式

该公式的核心是“ 由结果推原因 ” （逆概率）：已知 “ 结果 y 发生 ” ，求 “ 原因 x 导致 y ” 的概率。

分子p(y|x)p(x)：先验部分，p(x)是 “ 原因 x 本身的概率（先验概率） ” ，p(y|x)是 “ x 导致 y 的可能性（似然） ” 。
分母p(y)：通过全概率公式计算的 “ 结果 y 发生的总概率（证据） ” ，用于归一化，保证p(x|y)是合法概率（和为 1 ）。

比如 “ 已知检测阳性（y），求真正患病（x）的概率 ” ，就需要用贝叶斯公式，结合 “ 患病概率 p(x)、患病时检测阳性概率 p(y|x) 、全体检测阳性概率 p(y) ” 推导。

1.5 高斯概率密度函数

1）一维情况下，高斯概率密度函数表示为：

其中， $\mu$ 为均值， $\sigma^{2}$ 为方差。

2）多维情况下，高斯概率密度函数表示为：

其中， $\mu$ 为均值， $\Sigma$ 为方差。一般把高斯分布写成 $x\sim N\left ( \mu ,\Sigma \right )$ 。

1.6 联合高斯概率密度函数

在SLAM过程中，我们是根据内感传感器（如IMU、轮速计）的运动感知和外感传感器对当前环境的观测来进行自身定位的。使用概率来描述的话，假设当前机器人位姿为x，当前对环境的观测为y，有高斯分布：

我们需要求解，在已知当前观测y的条件下，机器人位姿x是怎样的，从概率的角度来看即p(x|y)。求解的过程可以从二者的联合概率密度出手，因为x与y并不独立，所以：

而二者的联合概率密度函数可以表示为：

由于高斯分布中指数项 $\left ( x-\mu \right )^{T}\Sigma ^{-1}\left ( x-\mu \right )$ 中包含方差的求逆，而此处联合概率的方差是一个高维矩阵，对它求逆的简洁办法是运用舒尔补。

舒尔补的主要目的是把矩阵分解成上三角矩阵、对角阵、下三角矩阵乘积的形式，方便运算，即：

其中 $\Delta D=A-BD^{-1}C$ 称为矩阵D关于原矩阵的舒尔补。此时有:

利用舒尔补，联合分布的方差矩阵可以写为：

其逆矩阵为：

则 $p\left ( x,y \right )$ 高斯分布指数部分 $\left ( x-\mu \right )^{T}\Sigma ^{-1}\left ( x-\mu \right )$ 可以表示为：

又因为：

所以 $p\left ( x,y \right )$ 高斯分布指数部分可以表示为：

经过化简，原本复杂的联合分布二次项被拆分成了两个独立的部分。第二项对应的是边缘分布 $p(y)$ 的指数项：

第一项对应的是条件分布 $p\left ( x|y \right )$ 的指数项：

从中可以直接读出后验均值和方差，所以：

$p\left ( x|y \right )=N\left ( u_{x}+\Sigma _{xy}\Sigma _{yy}^{-1}\left ( y-\mu _{y} \right ),\Sigma _{xx}-\Sigma _{xy}\Sigma _{yy}^{-1}\Sigma _{yx} \right )$

这一步推导在数学上证明了：两个变量的联合高斯分布，其关于其中一个变量的条件分布仍然是高斯分布 。

1.7 高斯随机变量的线性分布

在上面的例子中，若已知𝒙和𝒚之间有如下关系：

$y=Gx+Cn$

其中，G和C可以看作是两个系数矩阵， $n=N\left ( 0,R \right )$ 为零均值白噪音，在实际中指的是观测噪音。下面推导y与x的均值和方差之间的关系：

2.滤波器基本原理

2.1 状态估计模型

状态估计任务中，待估计的状态的后验概率密度可以表示为：

其中， $\breve{x}_{0}$ 代表状态初始值， $v_{1:k}$ 代表从1到k时刻的内感传感器输入（如imu、轮速计）， $y_{0:k}$ 代表从0到k时刻的外感传感器对环境的观测（如激光雷达）。

因此，滤波问题可以直观表示为，根据所有历史数据(初始状态、输入、观测）得出最终的融合结果。历史数据之间的关系，可以用下面的图模型表示：

其中，w代表imu积分的过程噪音（imu测量的随机游走和bias随机游走），f代表状态转移函数，通常对应imu的积分过程，x代表惯性解算递推出的状态估计值；n代表观测噪音，y代表该时刻的观测（如激光雷达的扫描点云，或者更直接的是scan to map得到的机器人位姿T），g代表观测函数，表示根据当前状态x推导出理论的观测值。

图模型中体现了马尔可夫性，即当前状态只跟前一时刻状态相关，和其他历史时刻状态无关。该性质的数学表达：

（这个图中没有表示如何根据已知观测y去更新估计值x）

2.2 贝叶斯滤波

根据贝叶斯公式，𝑘时刻后验概率密度可以表示为：

其中：

$p\left ( x_{k} |\breve{x}_{0},v_{1:k},y_{0:k-1}\right )$ 代表先验概率。表示在获取当前观测数据 y 之前，根据机器人上
一时刻的位姿以及运动信息（imu测量的角速度和加速度等），通过运动模型预测当前时刻机器人可能的位姿。这是对机器人状态的一个初步估计。

$p\left ( y_{k} |x_{k},\breve{x}_{0},v_{1:k},y_{0:k-1}\right )$ 代表似然函数。表示在已知机器人状态 $x_{k}$ 和先验条件的情况下，得到观测数据 y 的概率。例如，当机器人处于某个确定的位姿 x ，且已知部分地图信息时，激光雷达获取到特定距离数据 y 的概率。如果机器人的实际位姿与当前估计的位姿 x 越匹配，那么得到观测数据 y 的可能性就越大。

$p\left ( x_{k} |\breve{x}_{0},v_{1:k},y_{0:k}\right )$ ：后验概率。这是我们最终想要得到的结果，即在已知观测数据 y 和条件信息 v,y 的情况下，机器人状态 x 的概率分布。它结合了先验信息和观测信息，对机器人的状态进行了更准确的估计。

其中， $p\left ( y_{k} |\breve{x}_{0},v_{1:k},y_{0:k-1}\right )$ 可被看作归一化因子并省略，得到：

$p\left ( y_{k} |\breve{x}_{0},v_{1:k},y_{0:k-1}\right )$ 可被忽略的原因之一可能为：

$\breve{x}_{0},v_{1:k},y_{0:k-1}$ 是k时刻的已知条件z（系统已经运行到了k时刻，那么k时刻之前的机器人状态x、内传感器输入、外传感器的观测都已知）。

在 SLAM 等实际应用场景中，我们通常更关心的是在给定观测 y 和已知条件 z 下，机器人状态 x 的概率分布情况。

在条件贝叶斯公式中， p(y∣z) 表示在已知条件 z 下观测数据 y 出现的概率。从数学角度看，对于特定的观测 y 和已知条件 z ， p(y∣z) 是一个固定的值，它不依赖于机器人状态 x 。也就是说，无论 x 取何值，只要 y 和 z 确定， p(y∣z) 都是恒定的。p(y∣z) 作为分母，只影响后验概率的相对大小。

再回到后验概率公式。根据观测方程， $y_{k}$ 只与 $x_{k}$ 相关，则上式可以简写为：

再利用全概率公式与马尔可夫性可得：

全概率公式的应用：我们要推断现在的状态 $x_{k}$ ，需要考虑上一时刻所有可能的状态 $x_{k-1}$ ，并根据运动模型 $p\left ( x_{k}|x_{k-1},v \right )$ 把它们“推演”到现在k时刻。

经过以上化简，最终后验概率可以写为：

上式完美地体现出滤波的过程：

预测更新：根据当前的先验（即上一时刻的后验）与内传感器的输入，通过运动学解算，递推出当前时刻的状态预测值。

观测更新：根据当前的观测，修正状态量的预测值（纠正imu积分产生的漂移）。

2.3 卡尔曼滤波(KF)推导

再回头看运动方程和观测方程。常规的运动方程和观测方程如下所示：

运动方程： $\check{x}_{k}=F\left ( \hat{x}_{k-1},v_{k} \right )+B_{k-1}w_{k}$

观测方程： $y_{k}=G\left ( \check{x}_{k} \right )+C_{k}n_{k}$

其中：

$\breve{x}_{k}$ ：k时刻状态的先验预测值。

$\hat{x}_{k-1}$ ：k-1时刻状态的后验值（经过k-1时刻观测修正后的）。

$v_{k}$ ：k时刻imu的测量值，角速度、加速度。

$F\left ( \cdot \right )$ ：状态转移函数，描述系统状态如何随时间演变，对应imu积分的过程。

$w_{k}$ ：过程噪音，由imu的测量白噪音（随机游走）和bias随机游走组成，服从高斯分布 $N\left ( 0,Q \right )$ 。

$B_{k-1}$ ：过程噪音系数矩阵，描述了过程噪音如何影响当前状态。

$y_{k}$ ：k时刻的观测，如激光雷达的scan to map得到的位姿T。

$G\left ( \cdot \right )$ ：观测函数，描述观测的过程。

$n_{k}$ ：观测噪音，描述观测的误差，服从高斯分布 $N\left ( 0,R \right )$ 。

$C_{k}$ ：观测噪音系数矩阵，描述了观测噪音如何影响当前观测。

在线性高斯假设下，对于线性系统，运动方程和观测方程可以改写为：

运动方程： $\check{x}_{k}=F_{k-1}\hat{x}_{k-1}+B_{k-1}w_{k}$

观测方程： $y_{k}=G_{k} \check{x}_{k}+C_{k}n_{k}$

把上一时刻的后验状态写为：

（1）当前时刻状态的预测值（先验均值 $\mu _{x,k}$ ）为：

$\check{x}_{k}=F_{k-1}\hat{x}_{k-1}$

（这个预测值在数学本质上是运动方程的期望均值。由于我们假设过程噪声为零均值白噪声，对其求期望后该项为零。因此，在推算先验状态时噪声项自然消退，而非被忽略；噪声的真实影响将在随后的协方差预测方程中予以体现。）

（2）根据高斯分布的线性变化，此时的先验方差为（仿照1.7节中的推导）：

$\Sigma _{xx,k}= \check{P}_{k}$

（3）观测y的期望均值为：

$\mu _{y,k}=G_{k}\check{x}_{k}$

（4）观测y的方差为：

$\Sigma _{yy,k}=G_{k} \check{P}_{k}G_{k}^{T}+C_{k}R_{k}C_{k}^{T}$

再根据1.6中推导的后验概率分布：

以及1.7中的推导：

$\Sigma _{xy,k}=\Sigma _{xx}G^{T}= \check{P}_{k}G^{T}$

$\Sigma _{yx,k}=\Sigma _{xy,k}^{T}=G\Sigma _{xx}=G \check{P}_{k}$

令：

这个K即为卡尔曼增益，则后验均值 $\hat{x}_{k}$ 为：

$\hat{x}_{k}=\check{x}_{k}+K_{k}\left ( y_{k}-G_{k} \check{x}_{k} \right )$

后验方差 $\hat{P}_{k}$ 为：

如此，便得到了卡尔曼经典的五个方程：

从贝叶斯滤波到卡尔曼滤波：如何让概率落地？

        在上一节中，我们看到了贝叶斯滤波的终极公式。它在理论上非常完美（融合了全概率公式与贝叶斯推断），但它是一个包含了无穷积分的连续函数表达。在实际工程和计算机中，我们不可能遍历连续空间去硬算积分（维度灾难）。

        为了让这个完美的理论框架能够真正在工程中落地，卡尔曼（Kalman）引入了两个极其伟大的假设：系统是线性的，且噪声服从高斯分布。

        高斯分布有一个极其迷人的数学特权：它的线性组合依然是高斯分布。 这直接为贝叶斯滤波的两个步骤带来了“降维打击”般的捷径：

        1.化解“积分”噩梦（预测阶段）：贝叶斯滤波中预测阶段那庞大复杂的积分，因为高斯分布的线性映射性质，现在根本不需要积分了！只需要利用我们在 1.7 节 提到的高斯随机变量的线性变换，做简单的矩阵乘法和加法（均值和方差的递推）就能搞定。

        2.化解“相乘配方”噩梦（更新阶段）：贝叶斯滤波的更新阶段本质是“似然乘以先验”（即两个高斯分布的概率密度函数相乘）。如果硬算这两个包含指数项的式子并强行凑成一个新的高斯分布，代数过程极其痛苦。此时，我们在 1.6 节 中辛苦推导的联合高斯概率密度函数和舒尔补终于派上了用场！因为状态和观测必定构成联合高斯分布，我们只需利用舒尔补对联合协方差矩阵进行降维分解，就能直接得出相乘后的条件分布 $p\left ( x|y \right )$ 。

核心总结：

        卡尔曼滤波推导中使用“联合分布求条件概率”，在数学本质上与贝叶斯公式的“似然乘以先验”是完全等价的。它只是借用了联合高斯的数学特权，巧妙地避开了微积分和繁琐的指数配方。

2.4 扩展卡尔曼滤波(EKF)推导

在标准 KF 中，假设系统是严格线性的（矩阵乘法）。但在真实的 SLAM 或机器人世界里，运动和观测（比如scan to map）几乎全是非线性的。如果把高斯分布强行塞进非线性函数，输出的就不再是高斯分布了，KF 的理论基础就会崩塌。

EKF 的核心思想就是：“既然世界是非线性的，那我就在当前工作点附近把它切成一小段一小段的直线（局部线性化），然后强行套用 KF 的公式。”

（1）定义非线性的真实世界。用非线性函数 $f\left ( \cdot \right )$ 和 $g\left ( \cdot \right )$ 来替换掉 KF 中的常数矩阵F和G：

非线性运动方程：

非线性观测方程：

（2）由于 f 和 g 没法直接算方差，需要使用一阶泰勒展开将它们线性化:

1）对运动方程展开。选择在上一时刻的最佳后验估计值 $\hat{x}_{k-1}$ 处进行展开，并假设噪声 $w_{k}$ 服从高斯分布 $N\left ( 0,Q \right )$ ：

为了书写方便，我们定义：
- 无噪声下的名义预测值：
- 状态雅可比矩阵 (Jacobian)：
- 噪声雅可比矩阵 (Jacobian)：

代入后，非线性运动方程被成功“拍扁”成了线性方程：

2）对观测方程展开。同理，我们在当前时刻的先验预测值 $\check{x}_{k}$ 处对观测方程进行展开，并假设观测噪声 $n_{k}$ 服从高斯分布 $N\left ( 0,R \right )$ ：

定义：
- 无噪声下的理论观测值：
- 观测雅可比矩阵：
- 观测噪声雅可比矩阵：

展开后的线性化观测方程为：

（3）推导均值与方差。

1）预测阶段（先验）：

因为 $E\left [ w_{k} \right ]=0$ ，且 $x_{k-1}$ 的最佳估计就是 $\hat{x}_{k-1}$ ，此时 $E\left [ x_{k-1}-\hat{x}_{k-1}\right ]=0$ ，所以先验均值就是非线性函数的结果：

方差：

2）观测阶段（后验）：

期望：

方差：此时的偏差项为：

观测的不确定性由两部分组成：

1. （条件方差）：由于传感器本身不准带来的误差。

2. （状态预测误差）

此时，得到了EKF经典的五个方程：

注：状态预测和状态更新时的计算，直接代入非线性方程计算更准。

KF中的矩阵F和G是常数矩阵；而EKF中的F和G是雅可比矩阵。

3.误差状态卡尔曼滤波（ESKF）

3.1 ESKF的引出

EKF 的精度极大地依赖于线性化点的准确性。EKF中会进行两次线性化展开，一是对运动方程展开在上一时刻的最佳后验估计值 $\hat{x}_{k-1}$ 处进行展开，二是对观测方程在当前时刻的先验预测值 $\check{x}_{k}$ 处对观测方程进行展开。如果初始误差太大，或者运动太过剧烈导致非线性极强，被一阶展开无情抛弃的高阶项就会引入巨大的截断误差，导致滤波器发散。

并且当系统引入3D姿态（如四元数q或旋转矩阵R）时，直接使用基于名义状态的滤波模型会遇到致命问题：

卡尔曼滤波的假设是状态变量可以进行线性叠加，即状态变量可以加上高斯噪声。

但是，四元数必须满足模长为 1（ $\left | q \right |=1$ ），旋转矩阵必须是正交的。

如果给四元数直接加上一个高斯噪声（ $q_{new}=q_{old}+w$ ），相加后的结果不再是一个合法的四元数！这就好比你让一个只能在球面上移动的点，加上了一个直线向量，它直接飞出了球面。

为了解决这两大痛点，误差状态卡尔曼滤波（ESKF）应运而生。它放弃了直接估计高度非线性的系统“名义状态”，转而采用“分而治之”的思想：把非线性的大范围运动交给名义状态去积分，而滤波器只负责估计帧间微小的、线性的不确定性噪声（误差状态）。

对于非线性系统，虽然系统的大范围运动（名义状态）是非线性的，但只要传感器的更新频率足够高，帧间累积的误差往往非常微小。只要及时进行状态清零与补偿，误差状态就会始终被限制在极小的范围内。这使得我们可以在工作点附近进行局部线性化，认为误差状态的传播是一个高精度的线性马尔可夫过程。

此时，对于旋转，不直接估计四元数，而是估计一个三维的误差角 $\delta \theta$ 。这个三维向量是在切空间（李代数空间）中的，它没有任何长度或正交性约束，完美符合高斯分布的假设。在更新时，利用指数映射或一阶近似 $\check{R}_{t}=R_{t}\left ( I+\left [ \delta \theta \right ]_{\times } \right )$ 将误差“乘”回名义姿态中，天然保证了旋转的合法性。

每次观测更新后，ESKF都会把误差注入名义状态，并将误差状态清零。这意味着我们的误差状态 $\delta x$ 永远是一个围绕着 0 的无穷小量。在 0 附近对误差模型进行线性化，截断误差微乎其微，使得滤波器的表现更接近理论最优。

3.2 ESKF的具体形式

ESKF属于KF，所以运动方程和观测方程沿用线性表示：

运动方程： $\delta \check{x}_{k}=F_{k-1}\delta \hat{x}_{k-1}+B_{k-1}w_{k}$

观测方程： $y_{k}=G_{k}\delta \check{x}_{k}+C_{k}n_{k}$

此时，来看两个方程中每个量的具体形式：

3.2.1 运动方程

运动方程： $\delta \check{x}_{k}=F_{k-1}\delta \hat{x}_{k-1}+B_{k-1}w_{k}$

设当前待估计的状态为 $\delta x=\left [ \delta p,\delta \theta ,\delta v,\delta b_{a},\delta b_{w} \right ]^{T}$ ，分别为位置误差、姿态误差（用旋转向量表示）、速度误差、加速度计零偏的误差、陀螺仪零偏的误差。

过程噪音为 $w=\left [ n_{a}, n_{w},n_{b_{a}},n_{b_{w}}\right ]$ ，分别加速度计的测量白噪音（随机游走）、陀螺仪的测量白噪音、加速度计bias随机游走、陀螺仪bias随机游走。

根据上一篇笔记《惯性导航解算及误差分析》中推导得到连续时间下的误差微分方程：

得：

$\delta \dot{x}=F_{t}\delta x+B_{t}w$

其中：

将连续微分方程变成离散化的状态递推公式：

对于齐次部分（系统本身）的矩阵指数进行一阶泰勒展开，得：

对于非齐次部分（噪音）简化得到：

其中，𝑇为滤波周期，即两帧imu数据间的时间差。注：关于 $B_{k-1}$ 的离散化形式，不同资料有差异，但对实际调试影响不大。

3.2.2 观测方程

观测方程： $y_{k}=G_{k}\delta \check{x}_{k}+C_{k}n_{k}$

假设此时以lidar的scan to map得到的位姿T作为观测量，则观测量包含位置、失准角，即：

观测噪音。此时有：

G为观测雅可比矩阵，C为观测噪音雅可比矩阵。

需要注意的是，观测量y的值并不由观测方程计算得到，观测方程主要用于问题建模，进行观测均值和方差的推导。

观测量中 $\delta \bar{p}$ 的计算过程为：

其中， $\check{p}$ 为imu积分得到的预测值， $p$ 为lidar位姿T中的位置。

$\delta \bar{\theta }$ 的计算需要先计算旋转误差矩阵：

再进行对数映射得到失准角:

$\delta \bar{\theta }=ln\left ( \delta \bar{R}_{t} \right )^{\vee }$

或者可以取巧，由于预测值与观测值之间的关系为：

所以：

将以上各变量，带入kalman滤波的五个方程，即可构建完整的滤波器更新流程。

3.3 ESKF的使用

（1）位姿初始化

在点云地图中实现初始定位，并给以下变量赋值：

（2）Kalman 初始化

初始方差理论上可设置为各变量噪声的平方，实际中一般故意设置大一些，这样可加快收敛速度。

过程噪声与观测噪声一般在 kalman 迭代过程中保持不变。

（3）惯性解算

1）姿态解算：

该位姿属于先验预测位姿。

2）速度解算：

3）位置解算：

（4）Kalman 预测更新

执行kalman五个步骤中的前两步，即：

（由于我们假设过程噪声为零均值白噪声，对其求期望后噪声项为零。因此，在推算先验状态时噪声项自然消退，而非被忽略；噪声的真实影响将在随后的协方差预测方程中予以体现。）

这里需要实时根据公式计算和。

（5）无观测时后验更新

无观测时，不需要执行kalman剩下的三个步骤，后验等于先验，即：

（6）有观测时的量测更新

执行kalman滤波后面的三个步骤，得到后验状态量：

（7）有观测时计算后验位姿

真值 = 名义状态 - 误差状态

根据后验状态量，更新后验位姿：

（将误差从名义状态中剔除）

（8）有观测时状态量清零

状态量已经用来补偿，因此需要清零：

后验方差保持不变。（状态的不确定性保持不变）

（9）输出位姿

把后验位姿输出给其他模块使用。

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