Fixed-Time Resilient Distributed NE Seeking Control for Nonlinear MASs Against DoS Attacks

leleleleya

622人浏览 · 2026-03-25 16:19:45

leleleleya · 2026-03-25 16:19:45 发布

论文知识点小记

微分方程解的存在意义

微分方程的解描述了系统状态随时间或空间的演化规律。解的存在性保证了数学模型能够对应实际物理、生物或工程系统的可预测行为。若方程无解，意味着模型无法刻画系统动态，失去应用价值。解的唯一性则确保系统在给定初始条件下具有确定性演化路径，避免多解导致的预测混乱。

多阶动力学方程的必要性

高阶微分方程能更精确地描述系统的复杂动态特性。例如牛顿第二定律 $F = m \frac{d^2x}{dt^2}$ 是二阶方程，因其需同时考虑位移和速度的关联性。多阶特性源于以下需求：

惯性效应：加速度（二阶导）反映力的累积效应，如弹簧振子需二阶方程刻画动能与势能转换。
能量存储机制：电路中电容和电感的能量存储需用二阶方程描述电压/电流的振荡行为。
非局部依赖性：某些系统当前状态依赖于历史状态的高阶变化率（如粘弹性材料）。

解决的核心问题

复杂系统建模：多阶方程能够整合多个物理量（如位移、速度、加速度）的耦合关系，适用于机械振动、电磁场传播等场景。
稳定性分析：通过特征方程判断系统稳定性，如二阶系统的阻尼比 $\zeta$ 决定振荡衰减特性。
控制理论应用：高阶方程提供状态空间描述的基础，便于设计控制器（如PID控制需系统阶数信息）。

数学上， $n$ 阶常微分方程的通解含 $n$ 个任意常数，对应物理系统中 $n$ 个初始条件的自由度，确保解的唯一性和完备性。

论文大纲

本文研究了拒绝服务（DoS）攻击下非线性多智能体系统（MASs）的固定时间弹性分布式纳什均衡（NE）控制问题。

两大研究动机

动机一：针对高阶非线性MAS，实现固定时间收敛的NE寻求
动机二：在DoS攻击下，实现弹性分布式NE追踪控制

三点主要贡献

提出三层递进式控制框架
设计固定时间弹性NE寻求算法，给出攻击切换下的整体收敛时间上界
设计改进高阶固定时间滤波器，解决DoS攻击导致的信号不光滑问题

四个引理

引理	作用
Lemma 1	固定时间稳定性判据（李雅普诺夫）
Lemma 2	模糊逻辑逼近未知非线性函数（首见）
Lemma 3	保证自适应参数非负性（首见）
Lemma 4	带扰动项的固定时间收敛判据（首见）

引理1[31]：考虑一个正定且径向无界的李雅普诺夫函数 $V(x)$ ，满足 $\dot{V}(x) \leq -\mu_1V^m(x)--\mu_2V^n(x)$ ，其中 $\mu_1,\mu_2 > 0$ ， $m \in (0,1)$ , $n> 1$ 。
则该系统是固定时间稳定的，其收敛时间为 $T^* = \frac{1}{\mu_1(1-m)} + \frac{1}{\mu_2(n-1)}$ 。

引理2[32]：设 $f(\zeta)$ 是紧集 $\Omega _\zeta$ 上的连续函数，给定精度 $\eta$ 满足 $|\eta| \leq \bar{\eta}$ 。则模糊逻辑函数 $\psi^T\theta(\zeta)$ 满足如下等式：
$f(\zeta)=\psi^T\theta(\zeta)+\eta$ 。
其中 $\psi=[\psi_1,...,\psi_N]^T$ 为模糊基函数， $N$ 为模糊规则数:
$\theta(\zeta) = \left[\theta_1(\zeta), \dots, \theta_N(\zeta)\right]^T \bigg/ \sum_{r=1}^{N} \theta_r(\zeta)$ 为理想权重向量，且
$\theta_r(\zeta) = e^{-\frac{(\zeta - \lambda_r)^T (\zeta - \lambda_r)}{\rho_r^2}}, \quad r \in \mathcal{N}$ ，
式中 $\lambda_r = \left[\lambda_{r1}, \lambda_{r2}, \dots, \lambda_{rN}\right]^T$ 和 $\rho_r$ 分别为中心向量和宽度

引理3[33]：考虑如下微分方程：
$\dot{\xi}(t) = -a\xi^{2q-1}(t) - b\xi^{2p-1}(t) + h(\xi)$ ，
其中 $\xi(t) \in \mathbb{R},\ a > 0,\ b > 0,\ q = p_1/q_1 > 1,\ 0.5 < p = q_2/p_2 < 1\ (i \in \mathcal{N})$ ，且 $p_i$ 、 $q_i$ 均为正奇数，满足 $p_1 > q_1,\ p_2 > q_2;\ {h}(\xi)$ 为正函数。
则若 $\xi (t_o) \geq0$ ，对任意 $t \geq t_0$ ，均有 $\xi(t) \geq 0$ 。

引理4[34]：考虑如下线性系统：
$\dot{\varpi} = f(\varpi, t),\quad \varpi(t_0) = \varpi_0$ ，
其中 $f: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^n$ 为光滑向量函数， $\varpi \in \mathbb{R}^n$ 为状态变量。假设存在连续正定标量函数 $V(\varpi)$ ，满足： $\dot{V}(\varpi) \leq -\left(\alpha V^m(\varpi) + \beta V^n(\varpi)\right)^\kappa + \rho$
式中 $\alpha,\beta,m,m,\rho$ 均为正常数，且 $m\kappa\geq1$ , $n\kappa \in (0,1)$ 。
若 $\Omega_{\alpha_0}$ 和 $\Omega_{\beta_0}$ 均包含于集合 $\Omega_1$ ，则状态 $\varpi(t)$ 将进入区域 $\Omega_{\alpha_0}$ ，且所需的固定时间为：
$T_s = \frac{1}{(m\kappa - 1)\alpha_0} + \frac{1}{(1 - n\kappa)\beta_0}$

五个假设

Assumption 1：通信图无向连通
Assumption 2：代价函数二阶连续可微
Assumption 3：梯度严格单调
Assumption 4：强凸性条件（保证NE唯一）
Assumption 5：DoS攻击持续时间有界（ $|D(t_0,t)| \leq \delta(t-t_0)$ ）

DoS攻击模型

攻击集合与正常通信集合的定义
攻击持续时间约束条件

系统模型

具有未知非线性扰动（模糊逻辑处理）的高阶非线性系统（反步法处理）

$\dot{x}_{i,\iota} = x_{i,\iota+1} + Q_{i,\iota},\quad \dot{x}_{i,n} = u_i + Q_{i,n},\quad y_i = x_{i,1}$

控制目标

$\lim_{t \to \infty} y_i - \varepsilon_i^* = 0$

现实问题

├─ 系统非线性（不知道Q长什么样）→ 用模糊逻辑逼近

├─ DoS攻击干扰通信 → 设计弹性NE算法

├─ 攻击导致信号不光滑 → 设计高阶滤波器

└─ 要求固定时间收敛 → 用sig函数+李雅普诺夫方法

主要结果

固定时间弹性NE寻求算法

算法设计（15）：

Theorem 1 -> 算法固定时间收敛

Proof：

Part-I：正常通信下 → V̇ ≤ -α₁V^((p+1)/2) - β₁V^((q+1)/2) → 固定时间收敛

↓

Part-II：DoS攻击下 → M₁=M₂=0，梯度项仍工作 → 仍能固定时间收敛

↓

Part-III：攻击切换时刻分四种情形 → 推导整体收敛时间上界 T*_max

2. 改进高阶固定时间滤波器

滤波器设计（49）：

Theorem 2 -> 滤波器固定时间收敛+光滑

保证： $\epsilon_{i,1}-h_i$ 在固定时间内收敛到零； $\epsilon_{i,1}$ 具有直到i阶的高阶导数（光滑）

3.模糊自适应控制器

反步法逐步设计

proof：
Step 1：定义误差 $e_{i,1} = x_{i,1} - \epsilon_{i,1}$

用Lemma 2逼近未知非线性 Q̄_{i,1}

设计虚拟控制律 B_{i,1} 和自适应律 θ̂_{i,1}

↓

Step τ（中间步）：定义误差 e_{i,τ}

处理上一步虚拟控制律的导数项

设计虚拟控制律 B_{i,τ} 和自适应律 θ̂_{i,τ}

↓

Step n（最后步）：设计真实控制律 u_i（公式82）

设计自适应律 θ̂_{i,n}（公式83）

Theorem 3 -> 控制器层固定时间追踪NE，总体稳定性

五组仿真结果

图号	验证内容	结论
Fig.3	玩家策略轨迹	固定时间内收敛到NE ✓
Fig.4	滤波器估计误差 $\Xi_{i,1,i} - \varepsilon_i$	误差趋近零 ✓
Fig.5	系统输出轨迹	$y_i \to \varepsilon_i^*$ ✓
Fig.6	自适应参数 $\hat{\theta}_{i,2}$	有界 ✓
Fig.7 vs Fig.8	$\dot{h}_{3,3}$ （旧）vs $\dot{\Xi}_{3,1,3}$ （新）	滤波器使信号从不连续变光滑 ✓