OFTS Delay-Doppler modulation(1)

4.1 System model

\quad 本节主要介绍OTFS的调制与解调如图4.1，其中涉及几个关键概念:离散时域、时频域、delay-Doppler域
我们假设一个通信系统存在$P$条多径、信道带宽为$B$,最大时延扩展为${\tau }_{max}$、最大多普勒频移为$v_{max}$。我们考虑一个离散域等效基带模型，连续信号的采样率为$f_s=\mathcal{B}=\frac{1}{{\mathcal{T}}_s}=\mathcal{M}\Delta f$,离散时域存在$\mathcal{N}\ast \mathcal{M}$个采样点($N$为符号数)，每个符号M个数据数据样点，因此OTFS帧长为${\mathcal{T}}_f=\mathcal{N}\mathcal{M}{\mathcal{T}}_s,\mathcal{T}=\mathcal{M}{\mathcal{T}}_s$。每$T$秒的离散频谱可以通过$M$点傅里叶变化得到，频谱间隔为$\Delta f=\frac{1}{T}$,OTFS帧结构沿着时间轴可以定义为具有N个带宽为$\mathcal{B}=\mathcal{M}\Delta f$时频域离散资源
$$\Lambda =\{(l\Delta f,kT),l=0,\cdots ,M-1,k=0,\cdots N-1\}$$
对于整数$\mathcal{M},\mathcal{N}>0$,离散时频域样点可以使用矩阵$\mathcal{X}[l,k],l=0,\cdots ,M-1,k=0,\cdots ,N-1$,离散的时频域样点可以通过一个2D辛傅里叶变化转换到delay-Doppler。

4.1.1 Parameter choice for OTFS systen

OTFS 关键参数主要包括$\mathcal{N},\mathcal{M},\mathcal{T}$,其中$\mathcal{T},\Delta f$取决于最大可支持的多普勒时延${\tau }_{max}<\mathcal{T}$,多普勒频移$v_{max}<\Delta f/2$,如果一帧的样点固定$\mathcal{M}\ast \mathcal{N}$,我们可以选择一个比较大的$\mathcal{T}$(smaller $\Delta f$),这样可以选择一个比较大的$\mathcal{M}$和小的$\mathcal{N}$,反之也是同理。这样我们可以设计一个系统使得${\tau }_{max}{v}_{max}<1/2$,这样就拓展了我们系统使得其能够摆脱欠扩展信道的限制$({\tau }_{max}{v}_{max}\ll 1)$

4.1.2 OTFS modulation

如图4.1所示发送端发送的调制信号A={a1,⋯ ,aQ}\mathbb{A}=\{a_1,\cdots,a_Q\}A={a1​,⋯,aQ​}大小为Q，放置在delay-Doppler 矩阵$X\in {\mathbb{C}}^{M\times N}$的位置$X[m,n],m=0,\cdots ,M-1,n=0,\cdots ,N-1$。发送端首先映射发送$X[m,n]$到delay-Doppler域资源格上，通过逆辛傅里叶变化转化的时频域${\mathcal{X}}_{tf}[l,k]$上

ISFFT
$${\mathcal{X}}_{tf}[l,k]=\frac{1}{\sqrt{\mathcal{N}\ast \mathcal{M}}}\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}X[m,n]e^{j2\pi (\frac{nk}{N}-\frac{ml}{M})}\text{\hspace{1em}(4.2)}$$
其中$l=0,\cdots ,M-1,k=0,\cdots ,N-1,{\mathcal{X}}_{tf}\in {\mathbb{C}}^{M\times N}$。ISFFT相当于是一个2D傅里叶变化，对${\mathcal{X}}_{tf}[l,k]$沿着列方向的一个M点的DFT，验证行方向的一个IDFT。接下来需要将时频域转换的连续的时域波形$s(t)$发送出去,其中$g_{tx}(t)$为脉冲成形波形。
$$s(t)=\sum _{k=0}^{N-1}\sum _{l=0}^{M-1}{\mathcal{X}}_{tf}[l,k]g_{tx}(t-kT)e^{j2\pi l\Delta f(t-kT)}\text{\hspace{1em}(4.3)}$$
这定义为Hesisenberg 变换实际上相当于是对${\mathcal{X}}_{tf}[l,k]$沿着列方向进行一个IDFT变化。

4.1.3 High-mobility channel distortion

信号$s(t)$通过delay-Doppler信道 $h(\tau ,v)$发送出去，其time-delay 响应为$g_{(}\tau ,t)$,其中$\tau ,v$分别为信道时延和Doppler shift。忽略噪声影响接收信号$r(t)$表示如下：
$$\begin{array}{rl}r(t)& =\int \int h(\tau ,v)s(t-\tau )e^{j2\pi v(t-\tau )}d\tau dv\\ & =\int g(\tau ,v)s(t-\tau )d\tau ,\end{array}\text{\hspace{1em}(4.4)}$$
$g(\tau ,t)={\int }_{v}h(\tau ,v)e^{j2\pi v(t-\tau )}dv$,接收端接收信号$r(t)$经过采样$t=q{\mathcal{T}}_s=q\mathcal{T}/\mathcal{M},q=0,\cdots ,\mathcal{N}\mathcal{M}-1,\tau =l{\mathcal{T}}_s=l\mathcal{T}/\mathcal{M},l=0,\cdots ,\mathcal{M}-1$
$$r[q]=\sum _l{g}^s[l,q]s[q-l],q=0,\cdots ,\mathcal{N}\mathcal{M}-1\text{\hspace{1em}(4.5)}$$
离散时域信道响应$g^s[l,q]$表示如下：
$$g^s[l,q]=\sum _{\ell \in \mathcal{L}}\left(\sum _{\kappa \in {\mathcal{K}}_{\ell }}{v}_{\ell }(\kappa )z^{\kappa (q-l)}\right)sinc(l-\ell )\text{\hspace{1em}(4.6)}$$
其中$sinc(x)=\sin (\pi x)/\pi x,z=e^{\frac{j2\pi }{\mathcal{N}\mathcal{M}}}$,$v_{\ell }(\kappa )$是delay为$\ell \mathcal{T}/\mathcal{M}$信道响应。$\ell$为归一化的delay,${\mathcal{K}}_{\ell }$为归一化多普勒频移$\kappa$集合。现在考虑一个有P条多径的时变多径信道，每条条径的gain值为$g_i$,时延为$\tau$,多普勒频移为$v_i$,则时延为$\ell ={\ell }_i={\tau }_i/\mathcal{M}\Delta f$的多普了响应为
$$v_l(\kappa )=\{\begin{array}{l}{g}_i,\text{if }\ell ={\ell }_i={\tau }_i/\mathcal{M}\Delta f\text{ and }\kappa ={\kappa }_i=v_i/\mathcal{N}\mathcal{T},\\ 0,\text{ otherwise}\end{array}\text{\hspace{1em}(4.7)}$$
更进一步如果时延delay ${\ell }_i$和多普勒扩展${\kappa }_i$都是整数我们分别已$l_i$和$k_i$表示，则第$l_i$个时延的时域信道响应可以表示如下(sinc 使用单位脉冲替换)：
$$g^s[l,q]=\sum _{i=1}^P{v}_{l_i}({\kappa }_i)z^{{\kappa }_i(q-l)}\delta [l-l_i]=\sum _{i=1}^P{g}_i{z}^{{\kappa }_i(q-l)}\delta [l-l_i]\text{\hspace{1em}(4.8)}$$

4.1.4 OTFS demodulation

如图4.1 假如接收信号$r(t)$通过一个匹配滤波且进行时频域变化：
$$\mathsf{Y}(f,t)=A_{g_{rx,r}}(f,t)=\int r(t^{\prime })g_{rx}^{\ast }(t^{\prime }-t)e^{-j2\pi f(t^{\prime }-t)}d{t}^{\prime }\text{\hspace{1em}(4.9)}$$
对$\mathsf{Y}(f,t)$离散化,${\mathsf{Y}}_{\mathsf{tf}}\in {\mathbb{C}}^{\mathcal{M}\times N}$
$${\mathsf{Y}}_{\mathsf{tf}}[l,k]=\mathsf{Y}(f,t){|}_{f=l\Delta f,t=kT}\text{\hspace{1em}(4.10)}$$
$l=0,\cdots ,\mathcal{M}-1,k=0,\cdots ,\mathcal{N}-1$,式4.9和4.10被称为Winger transform
最后对${\mathsf{Y}}_{\mathsf{tf}}[m,n]$进行辛傅里叶变化(SFFT)即可获得Delay-Doppler 域的样点
$$\mathsf{Y}[m,n]=\frac{1}{\mathcal{N}\mathcal{M}}\sum _{k=0}^{\mathcal{N}-1}\sum _{l=0}^{\mathcal{M}-1}{\mathsf{Y}}_{\mathsf{tf}}[l,k]e^{-j2\pi (\frac{nk}{\mathcal{N}}-\frac{ml}{\mathcal{M}})}\text{\hspace{1em}(4.11)}$$
Delay-Doppler 域的样点$\mathsf{Y}\in {\mathbb{C}}^{\mathcal{M}\times \mathcal{N}}$,SFFT 相当于对$\mathsf{Y}[m,n]$沿着列进行一个$\mathcal{M}点$IDFT，沿着行进行一个$\mathcal{N}点$DFT
\quad 总的来说，OTFS调制的过程为，将调制符号映射到Delay-Doppler域的$\mathsf{X}[m,n]$，通过ISFFT变换到时频域${\mathsf{X}}_{\mathsf{tf}}[l,k]$ 再通过Heisenberg变化转化到时域。在接收端将接收信号$r(t)$通过Wigner变换转化到时频域，再通过SFFT变化到Delay-Doppler域