0 符号解释

1 前言

通过磁链免疫型DPCC能够避开磁链参数对控制性能的干扰，但是电感以及电阻的影响当前阶段仍然无法解决。

当Ld\Lq准确时仿真结果如下图所示：

当Ld\Lq参数更变为原本1.5倍后，仿真结果如下图所示：

从上述仿真结果对比可以发现，电感参数的影响非常严重。因此有必要对电感参数进行在线辨识。最小二乘法做参数辨识应该是早已有被研究多年，且技术较为成熟，这里先尝试这个最成熟的算法。后续再探究更加牛逼的方法。

2 基于最小二乘法的电感辨识

2.1 最小二乘法的原理

最小二乘法(Least Squares, LS)是一种数学优化技术，通过最小化误差平方和寻找数据的最佳函数匹配。其核心思想是：对于给定数据点，找到能最好拟合这些数据的曲线，使所有观测值与模型预测值之差的平方和最小。假设我们有n个数据点，线性模型表示为：

矩阵形式如下所示：

其中

这里需要非常关注一个词，就是线性模型，线性模型是最小二乘法的一个基础逻辑。

矩阵形式最小化残差平方和如下所示，这是一个关于 theta量的目标函数；

对目标函数进行求导，求导过程如下所示：

第一部分：

第二部分：

第三部分：

将所有项导数组合：

并且令导数为0，可得：

因此可得

2.2 最小二乘法简单示例

假设有一组数据点。

我们希望找到一条直线来 “最佳拟合” 这些数据。

“最佳拟合” 的标准是：每个数据点到直线的垂直距离（误差）的平方和最小。

以线性回归为例进行分析

1、定义误差：预测值和实际点之间的差值；

2、构建目标函数：

所有误差的平方和为

3、求最小值：

通过求偏导数并令其为 0，解得参数 a 和 b 的最优值：

4、一个简单的例子：我们具有四个数据；

x1 = 150,y1 = 45;   x2 = 160, y2 =52;  x3 = 170,y3 = 60;  x4 = 180, y=70;

我们想要用一条直线来拟合这条曲线。

手动计算步骤：

• 计算平均值 x- = 165, y- =56.75;
• 计算参数a
• 计算参数b 
• 得到最终曲线 ： y = 0.7x - 58.75;
• 计算总误差平方和： 

2.3 从物理上形象的理解

从物理视角理解最小二乘法，可以借助 “能量最小化”等直观概念，将数学优化转化为我们熟悉的物理现象类比。

想象一个由多个弹簧连接的系统：每个数据点对应一个弹簧，拟合曲线（或模型）是弹簧的 “平衡位置”。若数据点与模型预测值的误差越大，弹簧拉伸 / 压缩的形变越大，对应弹性势能越大。所有弹簧的势能之和（误差平方和）最小化时，系统达到稳定平衡态，此时的模型就是 “最优拟合”。

假设用线性模型 y = kx + b 拟合数据，可将参数 k 和 b 视为弹簧系统的 “坐标”，每个数据点 (x_i, y_i) 对应一个弹簧。弹簧一端固定在（xi,yi），另一端连接在模型曲线  (y = kx + b) 上，弹簧的伸长量为：

由于能量与形变量的平方成正比：

总能量就是误差平方和：

当系统能量最小时，弹簧的拉力平衡，对应参数 k 和 b 的最优解。

最小二乘法的本质是 “寻找误差能量最小的稳定态”，这与物理中 “系统自发趋向能量最低状态” 的规律一致。

2.4 递推最小二乘法

上述最小二乘方法是一次性处理所有数据的方法。由于电机控制的算法是在芯片中通过离散化步长执行的，因此在学习完成最小二乘法的基础原理后，将其拓展到适合离散应用场景的递推最小二乘法。递推最小二乘法是传统最小二乘法的迭代版本，特别适合在线参数辨识和实时系统。与批量处理所有数据不同，RLS 逐次处理新数据点，并更新参数估计，具有计算效率高、内存需求低的优点。

假设我们有一个线性系统，这个线性系统的表达式如下所示：

设置代价函数为：

令代价函数的偏导数为0，可得如下矩阵形式的迭代解：

其中系数阵被表示为：

系数矩阵中的协方差矩阵被表示为：

上述过程即为递推最小二乘法求得 theta的步骤；在得到以上模型后，下一步是在电机中进行部署。

2.5 最小二乘法在PMSM中的部署

永磁同步电机电压模型：

参数辨识的思路是通过 ud, uq, id, iq 以及转速 we 辨识电机电感 Ld 和 Lq;

由于我们此时是表贴电机，存在以下电感关系： Ls = Ld = Lq；因此电压方程可以被简化为：

若假设电阻已知且恒定不变，上述公式中只需要用Ud的公式即可对Ls进行辨识；

将其整理为递推公式，结合上节的基础框架：

取其输出量、参数矩阵、回归矩阵分别如下所示：

注意这里仅仅是考虑将 Ls作为辨识目标，Rs被设定为已知量；

以此为基础进行在线参数辨识策略。

第一步：采样输出值，并计算回归向量

第二步：计算增益向量：这里稍微在分母上加一个偏置1，防止分母等于0；

这一步在算法里面注意设定 P(k-1)的初值；

第三步：更新参数估计：

第四步：更新协方差矩阵；

3 仿真验证

仿真结果如下图所示，在0.1s期间切入参数辨识后电感参数，可以看到控制性能回归正常。

4 总结与展望

虽然最小二乘法实现了参数的在线辨识；但是也存在一个非常关键的问题；

问题：模型是否存在缺陷？

其线性模型如下所示：

可以看到 Ls 相关项存在两个分量，一个是跟 id变化率相关的项，一个是跟 iq*we相关的项；

其中跟 id 变化率相关的项依赖于电流id的变化率，假如是 id=0控制，在控制过程中 id的变化率相对非常小，可以说就在0附近跳动。在电感准确时，通常d轴电流的波动范围是0.3A，此时变化率导致的项数值并不大。然后是第二项与电机带负载情况以及转速大小相关，假如电机处于空载工况，该项也较小。也就是必须要电机具备一定转速、具备一定负载且电流变化率满足一定值的时候，参数辨识才可以实现较好的收敛。

下图中蓝色为最小二乘算法的辨识结果，中间无数据的部分就是空载且id=0的工况，此时辨识结果非常的差。基本跑飞了。

疑问：直接计算和最小二乘法估计有什么区别？

在观察最小二乘法实现的方程过程中，这个方程如果进行合并同类项，得到一个直接的线性关系式，那么是否能够直接计算呢？

直接计算的结果和最小二乘法辨识的区别如下仿真所示，直接计算的结果经过低通滤波得到的值如下所示，第一行是最小二乘法的值，能够收敛；第二行是直接计算的值，无法收敛；直接计算中包含了大量的噪声值，并且Ts较小会放大噪声影响，从而过度在意离群点的值，使得系统无法直接计算出直接。