类别不均衡问题描述：

在很多统计学习任务中，标签为不同类别的样本严重不均衡。即对于数据集
D={(xi,yi)}i=1n,yi∈{0,1}D=\{(x_i,y_i)\}_{i=1}^{n},\quad y_i\in\{0,1\}D={(xi​,yi​)}i=1n​,yi​∈{0,1}，
其中少数样本为$n_1={\sum }_{i=1}^{n}1(y_i=1)$，多数样本为n_0=n-n_1，并且$n_0=n-n_1$.
Bootstrap方法：
普通的Bootstrap方法是从某个经验分布${\hat{F}}_n$中有放回地抽取样本$n$次，形成全体数据集的子集D∗={(xik,yik)}k=1n,ik∼Uniform{1,…,n}D^* = \{(x_{i_k},y_{i_k})\}_{k=1}^{n}, \quad i_k \sim \text{Uniform}\{1,\ldots,n\}D∗={(xik​​,yik​​)}k=1n​,ik​∼Uniform{1,…,n}.

分类别Bootstrap方法：

分类别Bootstrap是将数据集按照标签进行切分，对每个类别的数据分别进行bootstrap抽样。对于$D_0=\{(x_i,y_i):y_i=0\}$, $D_1=\{(x_i,y_i):y_i=1\}$，有$D_0^{\ast }$和$D_1^{\ast }$.

Balanced Bootstrap方法：

不妨设少数类数据集$D_1$有$n_1$个样本，那么经过Balanced Bootstrap得到的样本子集为$D_b^{\ast }=D_0^{\ast (n_1)}\cup D_1^{\ast (n_1)}$，$D_0^{\ast (n_1)}$为从多数类数据集抽样$n_1$个样本构成的样本子集，$D_1^{\ast (n_1)}$为从少数类数据集抽样$n_1$个样本构成的样本子集。
简单来说，Balanced Bootstrap方法就是在按照类别抽样的Bootstrap方法的基础上对多数类数据集的有放回抽样个数进行修改，从$n_0$个减少到$n_1$个，这样就可以保证每次bootstrap抽样得到的数据集都是均衡的。

Bootstrap方法的意义：

一般的，Bootstrap方法是选择数据集的子集。如果我们只进行一轮抽样，似乎显得这样做没什么意义。实际上，我们需要进行多轮抽样，设总轮数为$B$，第$b$轮得到的bootstrap样本子集为$D_b^{\ast }$，对$D_b^{\ast }$的数据进行统计建模，例如估计某个分布参数。这里我们着重关注用$D_b^{\ast }$进行统计学习预测建模，设$f_b(x)$为使用$D_b^{\ast }$建立的统计学习预测模型，对每个模型进行平均，得到最终模型$f(x)=\frac{1}{B}{\sum }_{b=1}^B{f}_b(x)$.
Bootstrap方法其实就是机器学习中的bagging方法。这种方法的优势在于模型的方差较小、稳健性较好。在不平衡数据的分类问题中，少数类样本过少可能会导致模型不稳健，bootstrap方法可以一定程度上弥补这一点。
特别的，Balanced Bootstrap又在每次抽样改变了数据的类别分布，损失函数又随类别分布的改变而改变。对于某些机器学习模型，这样做可以减少模型将少数类样本误分类为多数类样本的机会。
总的来说，Balanced Bootstrap是一种一石二鸟的方法，既提升模型稳健性，又增强模型对少数类样本的分类性能。

算法：

输入：
    训练数据 D = {(x_i, y_i)}_{i=1}^n
    基学习器训练算法 Train()
    bootstrap 次数 B
    少数类标签 minority

步骤：
1. 将训练集按类别拆分：
       D_min = {(x_i, y_i) : y_i = minority}
       D_maj = {(x_i, y_i) : y_i ≠ minority}

2. 记少数类样本数为：
       n_min = |D_min|

3. 对 b = 1, 2, ..., B 重复：
       3.1 从 D_min 中有放回抽取 n_min 个样本，得到 D_min^(b)
       3.2 从 D_maj 中抽取 n_min 个样本，得到 D_maj^(b)
           （可有放回，也可无放回）
       3.3 构造平衡 bootstrap 样本：
               D_b^* = D_min^(b) ∪ D_maj^(b)
       3.4 在 D_b^* 上训练基学习器：
               f_b = Train(D_b^*)
输出：
    集成分类器 {f_1, ..., f_B}