6.1.3 一阶线性方程的线性、齐次与通解公式
6.1.3一阶线性常微分方程的线性、齐次与通解公式
6.1.3节的内容理解与补充1
以下一律讨论常微分方程，一般形式1
y
′
+
g
(
x
)
y
=
h
(
x
)
(1)
y'+g(x)y=h(x) \tag{1}
y′+g(x)y=h(x)(1)
《数值分析》1中为了解这个方程，搞了个积分因子，但过于省略。于是自己网上查了查通解公式怎么来的，顺便弄清楚了常微分方程的线性和齐次是啥。
一、一阶
就是最高只有y的一阶导数
二、线性2
2.1 线性系统
线性系统 y=H(x) 的性质可以从经典的正比例函数y=kx的角度去感觉。
a. 输入x乘以某个数，则输出y也乘以某个数。这个性质被称为：
齐次性：
H
(
x
+
x
)
=
H
(
x
)
+
H
(
x
)
H(x+x)=H(x)+H(x)
H(x+x)=H(x)+H(x)
b. 两个x1和x2的和的输入，等于输入的和，这个性质被称为：
可加性：
H
(
x
1
+
x
2
)
=
H
(
x
1
)
+
H
(
x
2
)
H(x1+x2)=H(x1)+H(x2)
H(x1+x2)=H(x1)+H(x2)
可加性和齐次性合在一起就成了，最常见的，描述线性系统的公式：
H
(
a
x
1
+
b
x
2
)
=
a
H
(
x
1
)
+
b
(
x
2
)
H(ax1+bx2)=aH(x1)+b(x2)
H(ax1+bx2)=aH(x1)+b(x2)
2.2 常微分方程的线性
上面说的系统，对于常微分方程来说，是对y的所有操作。
在(1)式中就是等式的左边部分，具体的操作输出了导数和原函数的一个加权和。
H
(
y
)
=
y
′
+
g
(
x
)
y
(2.2.1)
H(y)=y'+g(x)y\tag{2.2.1}
H(y)=y′+g(x)y(2.2.1)
我们看下线性系统的两个性质的体现：
齐次性：
H
(
2
y
)
=
(
2
y
)
′
+
g
(
x
)
(
2
y
)
=
2
H
(
y
)
H(2y)=(2y)'+g(x)(2y)=2H(y)
H(2y)=(2y)′+g(x)(2y)=2H(y)
可加性：
H
(
y
1
+
y
2
)
=
(
y
1
+
y
2
)
′
+
g
(
x
)
(
y
1
+
y
2
)
=
y
1
′
+
g
(
x
)
y
1
+
y
2
+
g
(
x
)
y
1
=
H
(
y
1
)
+
H
(
y
2
)
H(y_{1}+y_{2})=(y_{1}+y_{2})'+g(x)(y_{1}+y_{2})=y_{1}'+g(x)y_{1}+y_{2}+g(x)y_{1}=H(y_{1})+H(y_{2})
H(y1+y2)=(y1+y2)′+g(x)(y1+y2)=y1′+g(x)y1+y2+g(x)y1=H(y1)+H(y2)
举一个非线性的例子，很容易想到y^2
H
(
y
)
=
y
′
+
y
2
H(y)=y'+y^{2}
H(y)=y′+y2
则
H
(
2
y
)
=
2
y
′
+
4
y
2
≠
2
y
′
+
2
y
2
=
2
H
(
y
)
H(2y)=2y'+4y^{2}\neq2y'+2y^{2}=2H(y)
H(2y)=2y′+4y2=2y′+2y2=2H(y)
三、齐次3
上面一小节已经提到了一次齐次性了，齐次就是数乘不变。
上面提到的是微分操作的数乘不变性。而齐次微分方程的齐次，是指解的齐次不变性。也就是指方程的解，数乘之后还是该方程的解。
比如方程对(1)式取g(x)=-1, h(x)=0，则方程为:
y
′
−
y
=
0
y'-y=0
y′−y=0
则y=exp(x)是方程的解，同样a·y也是方程的解（a为任意常数）
(
a
e
x
)
′
−
a
e
x
=
0
(ae^{x})'-ae^{x}=0
(aex)′−aex=0
但如果h(x)取非0，方程就不是齐次的了。这和2.1节开头提到的正比例函数是y=kx的解是齐次的，但一次函数y=kx+c（c≠0）的解不再齐次十分类似
四、一阶线性方程的解法4
4.1 一阶线性齐次方程：
以第三节的例子为例，一阶线性齐次方程可以用分离变量法，获得解析解。
y
′
+
g
(
x
)
y
=
0
(4.1.1)
y'+g(x)y=0 \tag{4.1.1}
y′+g(x)y=0(4.1.1)
解为
y
=
C
e
−
∫
g
(
x
)
d
x
(4.1.2)
y=Ce^{-\int_{}^{}g(x)dx}\tag{4.1.2}
y=Ce−∫g(x)dx(4.1.2)
4.2 一阶线性非齐次方程：
就像化学式配平一样，对于一阶线性非齐次的方程
y
′
+
g
(
x
)
y
=
h
(
x
)
(4.2.1)
y'+g(x)y=h(x) \tag{4.2.1}
y′+g(x)y=h(x)(4.2.1)
齐次方程的解已经足够y守恒了，现在要配出一个h(x)，并且配的时候不影响y的守恒。
那么会看第三章对齐次的定义，也就是数乘不变，我们可以对式(4.1.2)乘一个x或者含有x的函数u(x)，来尝试作为非齐次方程(4.2.1)的解。这样是不影响y的守恒的，因为如果仅仅把y看做未知数（这也是应该的，毕竟是关于y的常微分方程），x以及u(x)都可以看做常数。而对(4.1.2)乘以一个常数，不改变它是方程(4.1.1)的解，因为方程是齐次的。
于是我们将
y
=
u
(
x
)
e
−
∫
g
(
x
)
d
x
y=u(x)e^{-\int_{}^{}g(x)dx}
y=u(x)e−∫g(x)dx
代入式(4.2.1)，得到：
[
u
(
x
)
e
−
∫
g
(
x
)
d
x
]
′
+
g
(
x
)
u
(
x
)
e
−
∫
g
(
x
)
d
x
=
h
(
x
)
u
′
(
x
)
e
−
∫
g
(
x
)
d
x
+
u
(
x
)
e
−
∫
g
(
x
)
d
x
×
[
−
g
(
x
)
]
+
g
(
x
)
u
(
x
)
e
−
∫
g
(
x
)
d
x
=
h
(
x
)
u
′
(
x
)
=
h
(
x
)
e
∫
g
(
x
)
d
x
u
(
x
)
=
C
+
∫
h
(
x
)
e
∫
g
(
x
)
d
x
[u(x)e^{-\int_{}^{}g(x)dx}]'+g(x)u(x)e^{-\int_{}^{}g(x)dx}=h(x)\\ u'(x)e^{-\int_{}^{}g(x)dx}+u(x)e^{-\int_{}^{}g(x)dx}\times[-g(x)]+g(x)u(x)e^{-\int_{}^{}g(x)dx}=h(x)\\ u'(x)=h(x)e^{\int_{}^{}g(x)dx}\\ u(x)=C+\int_{}^{}h(x)e^{\int_{}^{}g(x)dx}
[u(x)e−∫g(x)dx]′+g(x)u(x)e−∫g(x)dx=h(x)u′(x)e−∫g(x)dx+u(x)e−∫g(x)dx×[−g(x)]+g(x)u(x)e−∫g(x)dx=h(x)u′(x)=h(x)e∫g(x)dxu(x)=C+∫h(x)e∫g(x)dx
从而获得了(4.2.1)的通解公式：
y
=
e
−
∫
g
(
x
)
d
x
[
C
+
∫
h
(
x
)
e
∫
g
(
x
)
d
x
d
x
]
y=e^{-\int_{}^{}g(x)dx}[C+\int_{}^{}h(x)e^{\int_{}^{}g(x)dx}dx]
y=e−∫g(x)dx[C+∫h(x)e∫g(x)dxdx]
五 例题5
y
′
−
y
=
x
,
则
g
(
x
)
=
−
1
,
h
(
x
)
=
x
∫
g
(
x
)
d
x
=
−
x
y
=
e
x
[
C
+
∫
x
e
−
x
d
x
]
其中，
∫
x
e
−
x
d
x
=
−
∫
x
d
e
−
x
=
−
[
x
e
−
x
−
∫
e
−
x
d
x
]
=
−
x
e
−
x
−
e
−
x
则：
y
=
C
e
x
−
x
−
1
y'-y=x, 则g(x)=-1,h(x)=x\\ \int_{}^{}g(x)dx=-x\\ y=e^{x}[C+\int_{}^{}xe^{-x}dx]\\ 其中，\int_{}^{}xe^{-x}dx=-\int_{}^{}xde^{-x}=-[xe^{-x}-\int_{}^{}e^{-x}dx]=-xe^{-x}-e^{-x}\\ 则：y=Ce^{x}-x-1
y′−y=x,则g(x)=−1,h(x)=x∫g(x)dx=−xy=ex[C+∫xe−xdx]其中，∫xe−xdx=−∫xde−x=−[xe−x−∫e−xdx]=−xe−x−e−x则：y=Cex−x−1
可代入原方程验证
六 实例
RC电路
Sauer T. 数值分析[M]. 第一版. 中国:人民邮电出版社, 2020.1 p271:p271. ↩︎ ↩︎ ↩︎
https://www.zhihu.com/question/40919950 ↩︎
https://www.zhihu.com/question/365491220/answer/968575032 ↩︎
https://baike.baidu.com/item/%E4%B8%80%E9%98%B6%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B/8440011?fr=aladdin ↩︎
Sauer T. 数值分析[M]. 第一版. 中国:人民邮电出版社, 2020.1 272:272.习题6.1.4(a) ↩︎
旨在为数千万中国开发者提供一个无缝且高效的云端环境，以支持学习、使用和贡献开源项目。
更多推荐
11
0- 0
已为社区贡献1条内容
所有评论(0)