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变限积分、定积分、原函数性质大总结~背完秒杀真题！_哔哩哔哩_bilibili

一、变上限积分与原函数的关系？

要弄清楚它们之间的关系，首先我们来看定积分和不定积分是什么。

1.什么是不定积分？

说白了，不定积分就是求被积函数的一系列原函数（考虑到后面加了个任意常数c）。

所以一个函数有不定积分就可以说它有原函数。

不定积分是一个带有∫号的没有上下限的一个式子或者说是这个式子的运算，比如说

说明1：上下限，是定积分中的概念，后面定积分中有写，不定积分这里用不到。

说明2：上式的 C 为任一常数。所以不定积分的运算，是把一个函数映射到另外一个函数（族）。

说明3：上式等号“左边”的式子是一个不定积分，这个运算经常被称为：y=2x的不定积分（对y=2x做不定积分）。没有疑义的情况下，在不严格的口头交流中，“y=”、“不定”可以省略，直接叫“2X的积分”。

2.什么是定积分？

定积分最初被发明出来是为了求不规则图形的面积，它是与面积有关的。

所以如果能求出一个函数在某个区间与 x 轴围成的面积，那么它在这个区间的定积分就是存在的，也可以说这个函数在这个区间是可积的。

3.定积分和原函数的关系：

那么他们之间有什么关系呢？其实一开始他们之间一点关系都没有。直到后来一个“牛掰”的理论将它们建立了联系，它就是牛顿-莱布尼兹。它是这样说的：

 这样就将原函数与定积分联系在了一起。

a. f(x) 连续时，变上限积分和原函数的联系：

 

 b. f(x) 不连续时，两者的情况

首先看原函数：

(1)如果 f(x) 在区间 [a,b] 上有第一类间断点或无穷间断点，则其在该区间上没有原函数

 

 (2)如果 f(x) 在区间[a,b] 上有振荡间断点，则其在该区间上可能有原函数

 p.s.接下来会有小伙伴问：

 

详细证明可见

高数 | 含有第一类间断点和无穷间断点的函数f(z)在包含该间断点的区间内必没有原函数F(z)._西皮呦的博客-CSDN博客

4. 再看变限积分：

由于考研主要考含第一类间断点的变限积分，所以这里仅以第一类间断点为例。同时，因为变限积分是定积分变形而来的，故其也可以表示面积。所以接下来以面积来描述变限积分的情况。

可去间断点的情况：

首先大家知道：有限个有限长的线，它们的面积总和为0，因此对于一个二维图形而言，增加或者减少若干根有限长的线，其面积不变。如下图：

 跳跃间断点的情况：

对于跳跃间断点的情况，我们可以将其拆成若干个面积和，如下图：

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二、 分段函数的变上限积分如何求？

考研常常研究的是有界分段函数的变上限积分，且函数在每个分段区间内是连续的。因此我们主要研究分段点处的情况，一般来说分为以下三种情况：

1.分段点处连续

此时分段函数在定义域内是连续的，所以可以用牛顿-莱布尼茨进行计算：

 那么此时原函数怎么算呢？具体如下：

2.分段点为可去间断点

根据之前所讲，有若干个可去间断的函数所围成的面积等于对应连续函数所围成的面积。所以我们直接算连续函数围成的面积就可以，而连续函数所围成的面积可以通过牛顿-莱布尼茨算，这样就搞定了。

3.分段点为跳跃间断点

根据之前讲的拆分面积，将函数拆分成若干个子区间的连续函数，进行计算就可以了。注意此时需要根据分段点来对变上限函数分段。以下图为例，c 是函数  g(x)  的一个跳跃间断点。

 

 这里只举了一个跳跃间断点的情况，多个跳跃间断点做法类似，可自行思考。

重点技巧：观察三种情况，对于求分段函数的变上限积分函数，有一个通用做法：

通用做法

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三、变上限积分在被积函数第一类间断点处如何（连续or可导）？

还是分别以可去间断点和跳跃间断点来说明：

1.可去间断点

 

 

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四、定积分、原函数的存在性【背】

感觉东西有点杂，故在此总结一哈~ 直接来背，整理一下思路 嘻嘻嘻

以下内容不讨论反常积分。

（一）、什么样的函数一定可积（即存在定积分）？

1. 闭区间上的连续函数一定可积
2. 闭区间上的单调函数一定可积
3. 闭区间上有界且只有有限间断点的函数一定可积

（二）、什么样的函数一定不可积？——闭区间上的无界函数。

上述结论说明——有界是可积的必要条件，可积一定有界，有界未必可积。

上述结论直接背就可以，无需掌握证明。

（一）、什么样的函数一定存在原函数？——闭区间上的连续函数

（二）、什么样的函数一定不存在原函数？

——有第一类间断点（即导函数无第一类间断点）或无穷间断点（在该点有定义）

——有振荡间断点不一定有原函数

上述结论可证。

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五、f(x)、可积、原函数的关系总结

1、f(x)与可积的关系

1、可积指的是定积分存在

2、有界是可积的必要条件，可积一定有界，有界未必可积

3、f(x)连续,则在[a,b]一定可积

4、f(x)在[a,b]有有限个第一类间断点一定可积

5、f(x)在[a,b]有有限个有界震荡间断点一定可积

6、f(x)在[a,b]无界，则一定不可积

7、f(x)在[a,b]连续,则必存在原函数

8、f(x)在[a,b]有第一类间断点,则在包含了间断点的区间内必没有原函数

9、f(x)在[a,b]有无穷间断点，则包含了间断点的区间内必没有原函数

10、f(x)在[a,b]有震荡间断点,可能有原函数

11、f(x)在[a,b]上有原函数,如果有间断点,一定是震荡间断点

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2、f(x)与F(x)=∫f(t)dt的关系

1、前提是f(x)可积

2、F（x）连续

例题：

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3、原函数存在与可积的关系

 

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六、变限积分相关结论大总结【背】

1、若可积，则便存在。

2、若可积，则便连续。

即变限积分天生连续（存在即连续）。

3、

若连续，则便可导，

且。

4、

若有一个可去间断点（其余点均连续），

则仍然可导，

但此时求导后不是，而是将可去间断点补为连续点后的函数，

而且，此时没有原函数。

5、

若有一个跳跃间断点（其余点均连续），

则在不可导， 此时没有原函数。

6、若是奇函数，则为偶函数。若为偶函数，则为奇函数。

7、若以为周期，则以为周期的充要条件为“”.

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f(x)在一个周期内积分为0的其他描述：【660例题】

 

参考于 zhihu新威考研

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