本节为高等数学复习笔记的第三部分，中值定理，计算以及几何应用，主要包括： 有界与最值定理、介值定理、平均值定理、零点定理、费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒公式（带有拉格朗日余项的泰勒公式和带佩亚诺余项的泰勒公式、带拉格朗日余项的麦克劳林公式）以及积分中值定理（第一积分中值定理和第二积分中值定理）。

1.定理1~4

  该节四个定理，要求$f(x)$在[a,b]上连续。

定理1.有界与最值定理

  $m\le f(x)\le M，则m，M分别为f(x)在区间[a,b]上的最小值和最大值。$

定理2.介值定理

  $当m\le \mu \le M时，必存在\xi \in [a,b]，使得f(\xi )=\mu 。$

定理3.平均值定理

  $当a<x_1<x_2<...<x_n<b时，在区间[x_1,x_n]内至少有一点\xi$，$使得f(\xi )=\frac{f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)}{n}$

定理4. 零点定理

  $当f(a)\cdot f(b)<0时，存在\xi \in [a,b]使得f(\xi )=0。$

2.定理5.费马定理

  $设f(x)在x_0出满足：1）可导；2）取极值，则f^{\prime }(x_0)=0。$

  $证明：不妨设f(x)在x_0处取得极大值，则对任意的x\in U(x_0)$，$都有\Delta f=f(x)-f(x_0)\le 0$，$根据导数的定义和极限保号性，可以得到$：$1）f_{-}^{\prime }(x_0)=li{m}_{x\to x_0^{-}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge 0$；$2）f_{+}^{\prime }(x_0)=li{m}_{x\to x_0^{+}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\le 0$，$又f(x)在x_0处可导，于是f_{-}^{\prime }(x_0)=f_{+}^{\prime }(x_0)，故f^{\prime }(x_0)=0。$

3.定理6.罗尔定理

  $设f(x)满足：1）[a,b]上连续$；$2）(a,b)内可导$，$3）f(a)=f(b)$，$则存在\xi \in (a,b)$，$使得f^{\prime }(\xi )=0。$

  $看一道例题$：$设f(x)在[0,\frac{\pi }{2}]上一阶导函数连续$，$在(0,\frac{\pi }{2})上二阶可导$，$且f(0)=0$，$f(1)=3$，$f(\frac{\pi }{2})=1$，$证明$：$存在\xi \in (0,\frac{\pi }{2})$，$使得$：$f^{\prime }(\xi )+f^{\prime \prime }(\xi )tan\xi =0$。

  $证明$：$将\xi 替换为x$，$f^{\prime }(x)+f^{\prime \prime }(x)tanx=0⟹f^{\prime \prime }(x)+f^{\prime }(x)\frac{1}{tanx}=0$，$令F(x)=f^{\prime }(x)e^{\int \frac{1}{tanx}}dx=f^{\prime }(x)sinx$，$因为F^{\prime }(x)=f^{\prime \prime }(x)sinx+f^{\prime }(x)cosx=f^{\prime \prime }(x)+f^{\prime }(x)\frac{1}{tanx}$，$因此我们需要在区间上找到两个相等的点即可证明题中结论$$（罗尔定理）$，$但是端点处F(0)=0，但F(\frac{\pi }{2})不存在$，$实际上sinx在[0,\frac{\pi }{2}]上单调$，$应考虑f^{\prime }(x)另一个零点$，$由于f(x)在[0,1]上连续$，$f(0)=0$，$f(1)=3$，$根据介值定理$，$存在\eta \in (0,1)$，$使得f(\eta )=1$，$故存在\tau \in (\eta ,\frac{\pi }{2})$，$使得f^{\prime }(\tau )=0（罗尔定理）$。$于是有F(0)=0，F(\tau )=f^{\prime }(\tau )sinx=0$，$推出$：$存在\xi \in (0,\tau )\subset (0,\frac{\pi }{2})$，$使得F^{\prime }(\xi )=0$，$即f^{\prime \prime }(\xi )sin\xi +f^{\prime }(\xi )cos\xi =0$，$故存在\xi \in (0,\tau )\subset (0,\frac{\pi }{2})使得f^{\prime }(\xi )+f^{\prime \prime }(\xi )tan\xi =0$。

4.定理7. 拉格朗日中值定理

  $设f(x)满足$：$1）[a,b]上连续$，$2）(a,b)内可导$，$则存在\xi \in (a,b)$，$使得f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)$，$一般写为$：$f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。

  $看一道例题$：$设f(x)在[0,1]上连续$，$(0,1)内可导$，$且f(0)=0$，$f(1)=1$。$证明$：$存在不同的{\xi }_1，{\xi }_2\in (0,1)$，$使得$：$\frac{1}{f^{\prime }({\xi }_1)}$+$\frac{1}{f^{\prime }({\xi }_2)}=2$。

  $证明$：$用\xi 将区间分为[0,\xi ]$，$[\xi ,1]$，$分别应用拉格朗日中值定理$，$有$：$f(\xi )-f(0)=f^{\prime }({\xi }_1)(\xi -0)⟹\frac{1}{f^{\prime }({\xi }_1)}=\frac{\xi }{f(\xi )}$，$f(1)-f(\xi )=f^{\prime }({\xi }_2)(1-\xi )⟹\frac{1}{f^{\prime }({\xi }_2)}=\frac{1-\xi }{1-f(\xi )}$，$则只需证明$：$\frac{\xi }{f(\xi )}+\frac{1-\xi }{1-f(\xi )}=2即可$，$取f(\xi )=\frac{1}{2}$，$则问题得证$。

5.定理8.柯西中值定理

  $设f(x)，g(x)满足$：$1）[a,b]上连续$，$2）(a,b)内可导$，$3）g^{\prime }(x)\ne 0$，$则存在\xi \in (a,b)$，$使得\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}$。

6.定理9.泰勒公式

6.1 带有拉格朗日余项的泰勒公式

  $f(x)$=$P_n(x)$+$r_n(x)$=$f(x_0)$+$\frac{f^{\prime }(x_0)}{1!}(x-x_0)$+$\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2$+…+$\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n$+$r_n(x)$，$其中$：$r_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$，$\xi 介于x和x_0之间。$

6.2 带有拉格朗日余项的麦克劳林公式

  $f(x)$=$f(0)$+$\frac{f^{\prime }(0)}{1!}x$+$\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2$+…+$\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n$+$\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}{x}^{n+1}$，$\xi 介于0和x之间。$

6.3 带有佩亚诺余项的泰勒公式

  $f(x)$=$f(x_0)$+$\frac{f^{\prime }(x_0)}{1!}(x-x_0)$+$\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2$+…+$\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n$+$o((x-x_0{)}^n)$。

7.定理10.积分中值定理

积分第一中值定理

  $若f(x)在闭区间[a,b]上连续$，$则在积分区间[a,b]内至少存在一点ϵ$，$使得$：${\int }_a^{b}f(x)dx=f(ϵ)(b-a)$。
  $对于二重积分$，$设f(x,y)在有界闭区域D上连续$，${\sigma }_0表示D的面积$，$则在D内至少存在一点(ϵ,\mu )$，$使得$：$\int {\int }_{D}f(x,y)d\sigma =f(ϵ,\mu )\cdot {\sigma }_0$。

积分第二中值定理

  $设f(x)在[a,b]上可积$：
  $（1）g(x)在[a,b]上单调递减且在x\in [a,b]时$，$g(x)\ge 0$,$则存在\xi \in [a,b]使得$：${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=g(a){\int }_a^{\xi }f(x)dx$。
  $（2）g(x)在[a,b]上单调递增且在x\in [a,b]时$，$g(x)\ge 0$，$则存在\xi \in [a,b]使得$：${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=g(b){\int }_{\xi }^{b}f(x)dx$。

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