随机波浪理论中各周期命名意义

我在学习波浪理论时，发现不同书目中对随机波浪理论的周期有不同的记录方式。并且在描述波谱的函数中，采用的参数名称不相同，造成理解混乱。在此，对本内容进行梳理，以便以后学习。

不同波浪周期及其意义

1. 上跨平均周期 T_Z(T₂)
   一个波浪定义为相邻两次上跨零（上穿零）间的信号部分，波高定义为最小值与最大值之间的垂直距离。在记录时间内，得到波高为H_i(i=1,N_v)，周期（上跨）为T_i的N_v个波浪。可以从中得出平均值H和T（通常即为T_Z或T_uc)。
   
   T_Z与零阶和二阶矩有关，即：
   $$T_Z=2\pi \sqrt{\frac{m_0}{m_2}}=T_2$$
2. 平均周期T_m（T₁）
   $$T_m=2\pi \frac{m_0}{m_2}=T_1$$
3. 谱峰周期T_p（T₀）
   谱峰周期是指在 ${\omega }_p=2\pi /T_p$处$S(\omega )$为最大值所对应的周期。

在不同波普中T_p、T_m、T_Z之间的关系

1. P~M谱(Pierson-Moskowitz谱，皮尔逊-莫斯科维茨谱)

P-M谱是根据北大西洋“完全发展” 海况的观察建立的，该谱用有义波高和上跨平均周期作为参数来表示，即

上述P-M谱的形式可保证以下二式的成立：
$$\begin{gathered} m_0=\frac{H_S^2}{16} \\ {T}_Z=2\pi \sqrt{\frac{m_0}{m_2}} \end{gathered}$$
通过利用下式
$$\begin{gathered} T_P=1.408T_Z \\ {T}_m=1.086T_Z \end{gathered}$$
可将其他平均周期与上跨平均周期相联系。

2. Jonswap谱

Jonswap谱是根据在北海进行的一系列广泛测量得出的，而P-M谱为其特殊情况，即JONSWAP谱是一种更普遍的波浪谱形式。其显著特点是普峰值更高，表达式为
$$S(\omega )=\alpha H_S^2{\omega }_p^4{\omega }^{-5}{e}^{-\frac{5}{4}(\frac{\omega }{{\omega }_p}{)}^{-4}}{\gamma }^a$$
其中
$$a=e^{-\frac{(\omega -{\omega }_p{)}^2}{2{\sigma }^2{\omega }_p^2}}$$
当$\omega <{\omega }_p$时，$\sigma =0.07$；当$\omega >{\omega }_p$时，$\sigma =0.09$，其中${\omega }_p$是谱峰值对应的频率。
参数$\gamma$越大，JONSWAP谱的峰值越细长。一般$\gamma$的值在1（此时对应P-M谱）与10之间（标准值为3.3）。系数$\alpha$的取值要保证下面的等式成立：
$$H_s^2=16{\int }_0^{\infty }S(\omega )d\omega$$
JONSWAP谱是用峰值的周期（或谱峰对应的频率），而不用上跨平均周期来作为参数。
谱峰周期与上跨平均周期可以用下式进行关联：
$$\frac{T_Z}{T_p}=0.6063+0.1164{\gamma }^{\frac{1}{2}}-0.01224\gamma$$
当$\gamma$为3.3的标准值时，则有$T_m=0.834T_p=1.073T_Z$

3. P-M谱与JONSWAP谱的比较

一般在比较P-M谱与JONSWAP谱时，会令上跨平均周期T_Z相等，这样就会看出P-M谱的谱峰频率比JONSWAP谱的谱峰频率小。如下图：

以上内容参考资料：
《海洋工程水动力学》
《船舶与海洋工程环境载荷》
《随机波浪及其工程应用》
以上内容中主要借鉴《海洋工程水动力学》这本书，其中部分内容与《船舶与海洋工程环境载荷相同》