目录

1、切线

1.1 定义

1.2 分析

2、切向量与切平面

2.1 切向量

2.2 切平面

3、法线

4、法向量与法平面（转载）

5、向量知识（转载）

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切线、切向量、切平面、法线、法向量、法平面傻傻分不清楚，今天就要把她分清楚

总结：

• 切线：设A是曲线上面的一点，在所有过A的直线中，在A的附近最接近曲线的叫做在A点处的切线。
• 法线：垂直于曲面S的切平面，且过切点M的直线为曲面S的法线。
• 切平面：曲面S上通过点M的一切曲线C在点M的切线都在同一个平面上，该平面为切平面，点M为切点
• 法平面：曲线的法平面是指过空间曲线的切点，且与切线垂直的平面。
• 切向量：曲线在一点处的切向量可以理解为沿曲线该点处切线方向的向量；曲面的切向量可视为切平面中的向量。
• 法向量：垂直于切线过切点的直线。

1、切线

1.1 定义

设A是曲线上面的一点，在所有过A的直线中，在A的附近最接近曲线的叫做在A点处的切线。

1.2 分析

切线是数学中以直代曲的思想的重要体现，我们在求解曲线f(x）的方程、与坐标轴围成的面积等等的计算中，往往很多时候难以求出来，并且直接将曲线f(x)与直线g(x)相等是不对的，也不符合实际的。

但是可以在某一点上面有f(x0)=g(x0)；稍微进一步。以x0 为中心，取一小段；在这一段上, f(x)与g(x)相差很小，随着两者差值的减小，直线不断逼近曲线。进一步地，将此推广到整条曲线。首先将，曲线分成若干份，每份都用一条线段代替：

并且随着划分的越来越细，这些直线越来越接近之前的曲线，这种，用直线代替曲线的方法，称为以直代曲。

由于在一小段区间上，直线与曲线数值相差较小，那也就有：

 在加上在x0这一点上面有f(x0)=g(x0)；如果，此时如果我们再知道直线的斜率k,那么就能得到直线的表达式：

 那么，问题就转变为了求解直线斜率的问题：

进一步地，可以得到：

 最后，这样如果极限存在，则斜率存在，斜率存在就能求出直线，知道了直线的斜率就知道了直线方程，也就是直线的切线方程：

2、切向量与切平面

2.1 切向量

曲线在一点处的切向量可以理解为沿曲线该点处切线方向的向量；曲面的切向量可视为切平面中的向量。

2.2 切平面

曲面S上通过点M的一切曲线C在点M的切线都在同一个平面上，该平面为切平面，点M为切点。

3、法线

垂直于曲面S的切平面，且过切点M的直线为曲面S的法线。

在数学几何中法线指平面上垂直于曲线在某点的切线的一条线。曲线的法线是垂直于曲线上一点的切线的直线，曲面上某一点的法线指的是经过这一点并且与该点切平面垂直的那条直线。

对于立体表面而言，法线是有方向的：一般来说，由立体的内部指向外部的是法线正方向，反过来的是法线负方向。

4、法向量与法平面（转载）

曲线的法平面是指过空间曲线的切点，且与切线垂直的平面。

这样考虑：垂直于曲面S的切平面，且过切点M的直线成为曲面S的法线。那么，也就是说法线和切线一定是过切点的，切向量和法向量都是向量，而向量均是表示的方向，那么就可以说法向量与切向量只要是与法向方向和切线方向相同即可，但是可以可以变，而切平面和法平面则不同：曲面S上通过点M的一切曲线C在点M的切线都在同一个平面上，该平面为切平面，点M为切点。法平面则是曲线的法平面是指过空间曲线的切点，且与切线垂直的平面。

转载链接：4.4.4.2空间曲面的法线与切平面 - 知乎

 

 

 

 

5、向量知识（转载）

转载于：切向量，法向量 - 知乎