车辆模型-动力学模型(Dynamics Model)
概述
当车辆速度很高时，单车模型中前后轮的速度矢量不再与轮子方向一致。此时运动学模型就不能准确地描述车辆的运动状态，这就需要使用动力学模型对车辆进行建模。
车辆单车模型中需要考虑两个维度的信息，这两个维度分别指代表车辆横向位置信息的
y
y
y和表示车辆偏航角信息的
ψ
\psi
ψ。下面分析过程中，先不考虑路堤角度的影响。
受力分析
平动
首先假设车辆为一个质点，对该质点进行受力分析，并根据牛顿第二定律得
m
a
y
=
F
y
f
+
F
y
r
(1)
ma_y = F_{yf}+F_{yr} \tag{1}
may=Fyf+Fyr(1)
其中，
a
y
a_y
ay为车辆重心处
y
y
y轴方向的惯性加速度，
F
y
f
F_{yf}
Fyf和
F
y
r
F_{yr}
Fyr为前后轮横向受到的力。平动过程中，有两种力共同作用于加速度
a
y
a_y
ay：车辆延
y
y
y轴产生的惯性加速度
y
¨
\ddot{y}
y¨和车辆绕旋转中心
O
O
O旋转产生的向心加速度
a
c
=
V
x
ψ
˙
a_c=V_x\dot{\psi}
ac=Vxψ˙。
a
y
=
y
¨
+
V
x
ψ
˙
(2)
a_y = \ddot{y} + V_x\dot{\psi} \tag{2}
ay=y¨+Vxψ˙(2)
将公式(2)带入公式(1)得
m
(
y
¨
+
V
x
ψ
˙
)
=
F
y
f
+
F
y
r
(3)
m(\ddot{y} + V_x\dot{\psi}) = F_{yf}+F_{yr} \tag{3}
m(y¨+Vxψ˙)=Fyf+Fyr(3)
转动
假设车辆为刚体，刚体绕重心转动，该运动过程使用力矩和转动惯量进行描述。
车辆绕z轴旋转产生的力矩平衡，对应的偏航动力学方程为
I
z
ψ
¨
=
l
f
F
y
f
−
l
r
F
y
r
(4)
I_z\ddot{\psi} = l_fF_{yf} - l_rF_{yr} \tag{4}
Izψ¨=lfFyf−lrFyr(4)
其中， l f l_f lf和 l r l_r lr代表前后轮胎到重心的距离。
受力计算
上述等式(3)和(4)中都用到了轮胎横向受力情况
F
y
f
F_{yf}
Fyf和
F
y
r
F_{yr}
Fyr，根据实验结果知，轮胎的横向力与小的滑移角存在正比例的关系,滑移角是轮胎方向与车轮速度矢量之间的夹角。
根据上图可知
α
f
=
δ
−
θ
V
f
(5)
\alpha_f = \delta - \theta_{Vf} \tag{5}
αf=δ−θVf(5)
其中，
θ
V
f
\theta_{Vf}
θVf代表速度矢量与车辆纵轴的夹角，
δ
\delta
δ代表前轮转向角。
同理，由于后轮转向角
δ
\delta
δ为0，故后轮滑移角为
α r = − θ V r (6) \alpha_r = -\theta_{Vr} \tag{6} αr=−θVr(6)
车辆前轮的横向力可以表示为
F y f = 2 C α f ( δ − θ V f ) (7) F_{yf} = 2C_{\alpha f}(\delta - \theta_{Vf} ) \tag{7} Fyf=2Cαf(δ−θVf)(7)
其中，比例常数
C
α
f
C_{\alpha f}
Cαf代表每个前轮的侧偏刚度。
同理后轮的横向力可以写为
F
y
r
=
2
C
α
r
(
−
θ
V
r
)
(8)
F_{yr} = 2C_{\alpha r}(-\theta_{Vr}) \tag{8}
Fyr=2Cαr(−θVr)(8)
其中，比例常数 C α r C_{\alpha r} Cαr代表每个后轮的侧偏刚度。
速度方向
车辆平动产生的速度分量
V
x
V_x
Vx和
V
y
V_y
Vy，以及绕点
C
C
C转动产生的线速度
l
f
ψ
˙
l_f\dot{\psi}
lfψ˙和
l
r
ψ
˙
l_r\dot{\psi}
lrψ˙组成。根据上图得
tan
(
θ
V
f
)
=
V
y
+
l
f
ψ
˙
V
x
(9)
\tan(\theta_{Vf})=\frac{V_y + l_f\dot{\psi}}{V_x} \tag{9}
tan(θVf)=VxVy+lfψ˙(9)
tan
(
θ
V
r
)
=
V
y
−
l
r
ψ
˙
V
x
(10)
\tan(\theta_{Vr})=\frac{V_y - l_r\dot{\psi}}{V_x} \tag{10}
tan(θVr)=VxVy−lrψ˙(10)
由于通常情况下速度矢量的夹角很小，可以使用小角度近似原理得
θ
V
f
=
y
˙
+
l
f
ψ
˙
V
x
(11)
\theta_{Vf}=\frac{\dot{y} + l_f\dot{\psi}}{V_x} \tag{11}
θVf=Vxy˙+lfψ˙(11)
θ V r = y ˙ − l r ψ ˙ V x (12) \theta_{Vr}=\frac{\dot{y} - l_r\dot{\psi}}{V_x} \tag{12} θVr=Vxy˙−lrψ˙(12)
微分方程
将等式(7)、(8)、(9)和(10)代入等式(3)中得
m
(
y
¨
+
V
x
ψ
˙
)
=
2
C
α
f
(
δ
−
y
˙
+
l
f
ψ
˙
V
x
)
+
2
C
α
r
(
−
y
˙
−
l
r
ψ
˙
V
x
)
(13)
m(\ddot{y} + V_x\dot{\psi}) = 2C_{\alpha f}(\delta - \frac{\dot{y} + l_f\dot{\psi}}{V_x} ) +2C_{\alpha r}(-\frac{\dot{y} - l_r\dot{\psi}}{V_x}) \tag{13}
m(y¨+Vxψ˙)=2Cαf(δ−Vxy˙+lfψ˙)+2Cαr(−Vxy˙−lrψ˙)(13)
等式(13)左右两边同时除以
m
m
m，分别提取
y
¨
\ddot{y}
y¨、
y
˙
\dot{y}
y˙、
ψ
˙
\dot{\psi}
ψ˙和
δ
\delta
δ项得
y
¨
=
−
2
C
α
f
+
2
C
α
r
m
V
x
y
˙
−
(
V
x
+
2
C
α
f
l
f
−
2
C
α
r
l
r
m
V
x
)
ψ
˙
+
2
C
α
f
m
δ
(14)
\ddot{y} = -\frac{2C_{\alpha f } + 2C_{\alpha r}}{mV_x}\dot{y} - ( V_x + \frac{2C_{\alpha f}l_f- 2C_{\alpha r}l_r}{mV_x})\dot{\psi} + \frac{2C_{\alpha f}}{m} \delta \tag{14}
y¨=−mVx2Cαf+2Cαry˙−(Vx+mVx2Cαflf−2Cαrlr)ψ˙+m2Cαfδ(14)
转化为矩阵形式如下
d
d
t
y
˙
=
[
0
−
2
C
α
f
+
2
C
α
r
m
V
x
0
−
(
V
x
+
2
C
α
f
l
f
−
2
C
α
r
l
r
m
V
x
)
]
[
y
y
˙
ψ
ψ
˙
]
+
2
C
α
f
m
δ
(15)
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \dot{y} = \begin{bmatrix} 0 & -\dfrac{2C_{\alpha f } + 2C_{\alpha r}}{mV_x} & 0 & - ( V_x + \dfrac{2C_{\alpha f}l_f- 2C_{\alpha r}l_r}{mV_x}) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y\\ \dot{y}\\ \psi\\ \dot{\psi} \end{bmatrix} + \frac{2C_{\alpha f}}{m}\delta \tag{15}
dtdy˙=[0−mVx2Cαf+2Cαr0−(Vx+mVx2Cαflf−2Cαrlr)]⎣⎢⎢⎡yy˙ψψ˙⎦⎥⎥⎤+m2Cαfδ(15)
同理，将等式(7)、(8)、(9)和(10)代入等式(4)中得
I
z
ψ
¨
=
2
l
f
C
α
f
(
δ
−
y
˙
+
l
f
ψ
˙
V
x
)
−
2
l
r
C
α
r
(
−
y
˙
−
l
r
ψ
˙
V
x
)
(16)
I_z\ddot{\psi} = 2l_fC_{\alpha f}(\delta - \frac{\dot{y} + l_f\dot{\psi}}{V_x} ) - 2l_rC_{\alpha r}(-\frac{\dot{y} - l_r\dot{\psi}}{V_x}) \tag{16}
Izψ¨=2lfCαf(δ−Vxy˙+lfψ˙)−2lrCαr(−Vxy˙−lrψ˙)(16)
等式(13)左右两边同时除以
I
z
I_z
Iz，分别提取
y
˙
\dot{y}
y˙、
ψ
¨
\ddot{\psi}
ψ¨、
ψ
˙
\dot{\psi}
ψ˙和
δ
\delta
δ项得
ψ
¨
=
−
2
l
f
C
α
f
−
2
l
r
C
α
r
I
z
V
x
y
˙
−
2
l
f
2
C
α
f
+
2
l
r
2
C
α
r
I
z
V
x
ψ
˙
+
2
l
f
C
α
f
I
z
δ
(17)
\ddot{\psi} = - \frac{2l_fC_{\alpha f} - 2l_rC_{\alpha r}}{I_zV_x}\dot{y} - \frac{2{l_f}^2C_{\alpha f} + 2{l_r}^2C_{\alpha r}}{I_zV_x}\dot{\psi} + \frac{2l_fC_{\alpha f}}{I_z}\delta\tag{17}
ψ¨=−IzVx2lfCαf−2lrCαry˙−IzVx2lf2Cαf+2lr2Cαrψ˙+Iz2lfCαfδ(17)
等效的矩阵形式为
d
d
t
ψ
˙
=
[
0
−
2
l
f
C
α
f
−
2
l
r
C
α
r
I
z
V
x
0
−
2
l
f
2
C
α
f
+
2
l
r
2
C
α
r
I
z
V
x
]
[
y
y
˙
ψ
ψ
˙
]
+
2
l
f
C
α
f
I
z
δ
(18)
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \dot{\psi} = \begin{bmatrix} 0 & - \dfrac{2l_fC_{\alpha f} - 2l_rC_{\alpha r}}{I_zV_x} & 0 & -\dfrac{2{l_f}^2C_{\alpha f} + 2{l_r}^2C_{\alpha r}}{I_zV_x} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y\\ \dot{y}\\ \psi\\ \dot{\psi} \end{bmatrix} + \frac{2l_fC_{\alpha f}}{I_z}\delta \tag{18}
dtdψ˙=[0−IzVx2lfCαf−2lrCαr0−IzVx2lf2Cαf+2lr2Cαr]⎣⎢⎢⎡yy˙ψψ˙⎦⎥⎥⎤+Iz2lfCαfδ(18)
根据等式(15)和(18)得
d
d
t
[
y
y
˙
ψ
ψ
˙
]
=
[
0
1
0
0
0
−
2
C
α
f
+
2
C
α
r
m
V
x
0
−
(
V
x
+
2
C
α
f
l
f
−
2
C
α
r
l
r
m
V
x
)
0
0
0
1
0
−
2
l
f
C
α
f
−
2
l
r
C
α
r
I
z
V
x
0
−
2
l
f
2
C
α
f
+
2
l
r
2
C
α
r
I
z
V
x
]
[
y
y
˙
ψ
ψ
˙
]
+
[
0
2
C
α
f
m
0
2
l
f
C
α
f
I
z
]
δ
(19)
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left [ \begin{array}{cl} y\\ \dot{y}\\ \psi\\ \dot{\psi} \end{array} \right] = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -\dfrac{2C_{\alpha f } + 2C_{\alpha r}}{mV_x} & 0 & - ( V_x + \dfrac{2C_{\alpha f}l_f- 2C_{\alpha r}l_r}{mV_x})\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & - \dfrac{2l_fC_{\alpha f} - 2l_rC_{\alpha r}}{I_zV_x} & 0 & -\dfrac{2{l_f}^2C_{\alpha f} + 2{l_r}^2C_{\alpha r}}{I_zV_x} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y\\ \dot{y}\\ \psi\\ \dot{\psi} \end{bmatrix}\\+ \begin{bmatrix} 0\\ \dfrac{2C_{\alpha f}}{m}\\ 0\\ \dfrac{2l_fC_{\alpha f}}{I_z} \end{bmatrix}\delta \tag{19}
dtd⎣⎢⎢⎡yy˙ψψ˙⎦⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡00001−mVx2Cαf+2Cαr0−IzVx2lfCαf−2lrCαr00000−(Vx+mVx2Cαflf−2Cαrlr)1−IzVx2lf2Cαf+2lr2Cαr⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎡yy˙ψψ˙⎦⎥⎥⎤+⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡0m2Cαf0Iz2lfCαf⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤δ(19)
- 注意：上述动力学方程的推导建立在车辆滑移角很小的情况下，这时的轮胎作用力与滑移角可以近似为线性关系。当滑移角很大时，轮胎作用力与滑移角就不再是线性关系。
参考
- “vehicle dynamics and control”
- 车辆模型-动力学模型
旨在为数千万中国开发者提供一个无缝且高效的云端环境，以支持学习、使用和贡献开源项目。
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