0、前言

群论中的同态和同构来描述两个群之间的相似关系。

从中文上粗略看，同构好像指相同结构，同态好像不好说。

先上结论，从相似关系的程度来看：相同＞同构＞同态，即同态要求比同构更宽松，同构是一种特殊的同态。

1、单射、满射、双射

在了解同构和同态前，必须知道这双射这个概念。

单射、满射、双射是三种映射的特殊情况。

所谓映射就是非空集合X的元素x到非空集合Y的元素y的映射关系。

单射（injection）：每一个x都有唯一的y与之对应；

满射（surjection）：每一个y都必有至少一个x与之对应；

双射（又叫一一对应，bijection）：每一个x都有y与之对应，每一个y都有x与之对应

一张图解释：

2. 同构（isomorphism）

同构的定义：

设有群和群，同构指G和H存在函数：，使得对于中所有和和中所有和，有，其中 ， 。记作。

解释：同构指G的元素和H的元素存在一个双射，而且G和H上的二元运算也可以完全对应。

同构的两个群有点像：你在4S店中买车，面对两辆几乎完全一样的车。

仅仅满足双射是不够的，元素还必须整合在一起以相同的方式工作。若只满足双射，有可能出现以下场景：两辆车的零部件相同，一辆车已装配完毕，随时可以开走，而另一辆车则还处于一堆零件状态。

举例：

群和群是同构的。

H相当于复数旋转，复数旋转本质上就是旋转度数的模2pi加法。

clayey表如下：

根据clayey表颜色对应做映射，可知两群是同构的。 

3. 同态 homomorphism

在前言中可知，同态相较于同构是更宽松的概念。

同构指‘相同的形式"，要求两集合间存在双射，而同态并无双射的要求。

给出同态的定义：

设有群和群，同态指G和H存在函数：，使得对于中所有和，有，其中，。

解释：可见，同态并没有要求f是一个双射，是一个单射或者满射，单射时称为单同态，满射时称为满同态。

举例

群和群是同态的。

 映射方法为：

所以，所以它们是同态的。