矩母函数

如果能求出一个随机变量的矩母函数，那么我们就可以通过求导来轻松地找到任意一个矩，而矩可以让我们了解分布的函数图像形状（类似于泰勒级数近似函数图像）

所有的矩并不总是可以唯一确定概率分布
复分析中拉普拉斯公式和傅里叶反演公式，用来确定什么时候可以用矩唯一地确定概率密度函数

回顾矩

矩母函数

各个常见分布的矩母函数和特征函数
截图来源：Moment Generating Function

矩母函数的性质

性质一：

通过泰勒级数展开证明性质一

直接对 $t^k$ 求导证明性质一

性质二：

证明性质二

性质三：

证明性质三

例子：
我们推导泊松分布的矩母函数，由矩母函数计算出泊松分布的一阶矩（均值）和二阶矩，结合二阶矩和一阶矩计算出方差

直接将矩母函数级数展开，来找到一阶矩和二阶矩

例子：
我们推导二项分布的矩母函数，由矩母函数计算出二项分布的一阶矩（均值）和二阶矩，结合二阶矩和一阶矩计算出方差

直接将矩母函数级数展开，来找到一阶矩和二阶矩