一、泊松分布

1.1 泊松分布的定义

日常生活中，大量事件是有固定频率的。

• 某医院平均每小时出生3个婴儿
• 某公司平均每10分钟接到1个电话
• 某超市平均每天销售4包xx牌奶粉
• 某网站平均每分钟有2次访问

它们的特点就是，我们可以预估这些事件的总数，但是没法知道具体的发生时间。已知平均每小时出生3个婴儿，请问下一个小时，会出生几个？

有可能一下子出生6个，也有可能一个都不出生。这是我们没法知道的。

泊松分布就是描述某段时间内，事件具体的发生概率。

上面就是泊松分布的公式。等号的左边，P 表示概率，N表示某种函数关系，t 表示时间，n 表示数量，1小时内出生3个婴儿的概率，就表示为 P(N(1) = 3) 。等号的右边，λ 表示事件的频率。

接下来两个小时，一个婴儿都不出生的概率是0.25%，基本不可能发生。

接下来一个小时，至少出生两个婴儿的概率是80%。

泊松分布的图形大概是下面的样子。

可以看到，在频率附近，事件的发生概率最高，然后向两边对称下降，即变得越大和越小都不太可能。每小时出生3个婴儿，这是最可能的结果，出生得越多或越少，就越不可能。

1.2 如何理解泊松分布？

1.2.1 甜在心馒头店

公司楼下有家馒头店：

每天早上六点到十点营业，生意挺好，就是发愁一个事情，应该准备多少个馒头才能既不浪费又能充分供应？

你“甜在心馒头店”又不是小米，搞什么饥饿营销啊？老板当然也知道这一点，就拿起纸笔来开始思考。

1.2.2 老板的思考

老板尝试把营业时间抽象为一根线段，把这段时间用T来表示：

把T均分为四个时间段：

此时，在每一个时间段上，要不卖出了（一个）馒头，要不没有卖出：

在每个时间段，就有点像抛硬币，要不是正面（卖出），要不是反面（没有卖出）
T内那么卖出3个馒头的概率，就和抛了4次硬币（4个时间段），其中3次正面（卖出3个）的概率一样了。

1.2.3 p的计算

“那么”，老板用笔敲了敲桌子，“只剩下一个问题，概率p怎么求？”

1.2.4 泊松分布

1.2.5 馒头店的问题的解决

老板依然蹙眉，不知道$\mu$啊？

没关系，刚才不是计算了样本均值：

$\overline{X}=5$

可以用它来近似：

$\overline{X}\approx \mu$

于是：

$P(X=k)=\frac{5^k}{k!}{e}^{-5}$

画出概率质量函数的曲线就是：

可以看到，如果每天准备8个馒头的话，那么足够卖的概率就是把前8个的概率加起来：

这样93%的情况够用，偶尔卖缺货也有助于品牌形象。

老板算出一脑门的汗，“那就这么定了！”

1.2.6 总结

这个故事告诉我们，要努力学习啊，要不以后馒头都没得卖。

生活中还有很多泊松分布。比如物理中的半衰期，我们只知道物质衰变一半的时间期望是多少，但是因为不确定性原理，我们没有办法知道具体哪个原子会在什么时候衰变？所以可以用泊松分布来计算。

1.3 泊松分布使用范围

Poisson分布主要用于描述在单位时间(空间)中稀有事件的发生数. 即需满足以下四个条件：

1、给定区域内的特定事件产生的次数，可以是根据时间，长度，面积来定义；

2、各段相等区域内的特定事件产生的概率是一样的；

3、各区域内，事件发生的概率是相互独立的；

4、当给定区域变得非常小时，两次以上事件发生的概率趋向于0。

例如：

1、放射性物质在单位时间内的放射次数；
2、在单位容积充分摇匀的水中的细菌数；
3、野外单位空间中的某种昆虫数等。

1.4 泊松分布的期望和方差

由泊松分布知 $E[N(t)-N(t_0)]=D[N(t)-N(t_0)]=\lambda (t-t_0)$

特别的，令$t_0=0$.由于假设$N(0)=0$,故可推知泊松过程的均值函数和方差函数分别为$E[N(t)]=\lambda t,D[N(t)]=\lambda t$,

泊松过程的强度$\lambda$（常数）等于单位长时间间隔内出现的质点数目的期望值。即对泊松分布有：$E(X)=D(X)=\lambda$

15. 泊松分布的特征

1、泊松分布是一种描述和分析稀有事件的概率分布。要观察到这类事件，样本含量$n$必须很大。

2、$\lambda$是泊松分布所依赖的唯一参数。$\lambda$值愈小，分布愈偏倚，随着$\lambda$的增大，分布趋于对称。

3、当$\lambda =20$时，分布泊松接近于正态分布；当$\lambda =50$时，可以认为泊松分布呈正态分布。在实际工作中，当时就可以用正态分布来近似地处理泊松分布的问题。

二、指数分布

2.1 指数分布的定义

指数分布是事件的时间间隔的概率。

下面这些都属于指数分布。

• 婴儿出生的时间间隔
• 来电的时间间隔
• 奶粉销售的时间间隔
• 网站访问的时间间隔

指数分布的公式可以从泊松分布推断出来。如果下一个婴儿要间隔时间 t ，就等同于 t 之内没有任何婴儿出生。

反过来，事件在时间 t 之内发生的概率，就是1减去上面的值。

接下来15分钟，会有婴儿出生的概率是52.76%。

接下来的15分钟到30分钟，会有婴儿出生的概率是24.92%。

指数分布的图形大概是下面的样子。

可以看到，随着间隔时间变长，事件的发生概率急剧下降，呈指数式衰减。想一想，如果每小时平均出生3个婴儿，上面已经算过了，下一个婴儿间隔2小时才出生的概率是0.25%，那么间隔3小时、间隔4小时的概率，是不是更接近于0？

指指数分布的概率密度为：

式中：$x$是给定的时间；$\lambda$为单位时间事件发生的次数；$e＝2.71828$。

指数分布概率密度曲线如下图：

2.2 指数分布的特征

指数分布具有以下特征：

（1）随机变量$X$的取值范围是从0到无穷；

（2）极大值在$x＝0$处，即$f(x)＝\lambda$；

（3）函数为右偏，且随着$x$的增大，曲线稳步递减；

（4）随机变量的期望值和方差为$\mu ＝1/\lambda ，{\sigma }^2＝1/{\lambda }^2$。

通过对概率密度函数的积分，就可以得到相应的概率，其表达式有两种

$P(X\ge x)＝e^{-\lambda x}$

$P(X\le x)＝1－e^{-\lambda x}$

例：某电视机生产厂生产的电视机平均10年出现大的故障，且故障发生的次数服从泊松分布。

问（1）该电视机使用15年后还没有出现大故障的比例；（2）如果厂家想提供大故障免费维修的质量担保，但不能超过全部产量的20%，试确定提供担保的年数。

解：

（1）设X为电视机出现大故障的时间。已知$\mu ＝10$年，则$\lambda ＝1/\mu ＝0.1$，于是，$P(X\ge x)＝e^{-\lambda x}＝e^{-0.1\ast 15}\approx 0.223$。则15年后，没有出现大故障的电视机约占22.3%。

（2）问题要求比例不超过20%，这是求X的右侧概率面积，现在根据公式确定适当的X值。

从表中可以看到：担保2年时，出现大故障的比例是18.1%，不超过20%。担保3年时，出现大故障的比例为25.9%，已经超过20%。所以，厂家应以2年为担保期。

三、总结

一句话总结：泊松分布是单位时间内独立事件发生次数的概率分布，指数分布是独立事件的时间间隔的概率分布。

请注意是”独立事件”，泊松分布和指数分布的前提是，事件之间不能有关联，否则就不能运用上面的公式。

泊松分布是二项式分布的细分，当n→∞，p非常小的时候。

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