条件概率,乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式的解释(概率论)
条件概率公式:设A, B为任意两个事件,若P(A)>0,我们称在已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率为条件概率,记为 P(B∣A)P(B|A)P(B∣A),并定义:P(B∣A)=P(AB)P(A) (P(A)>0)P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)
条件概率
公式:
设A, B为任意两个事件,若P(A)>0,我们称在已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率为条件概率,记为
P
(
B
∣
A
)
P(B|A)
P(B∣A),并定义:
P
(
B
∣
A
)
=
P
(
A
B
)
P
(
A
)
(
P
(
A
)
>
0
)
P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} ~~~~~~~~~~(P(A)>0)
P(B∣A)=P(A)P(AB) (P(A)>0)
解释:
以投骰子游戏为例,设事件 A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } A=\{1,2,3,4,5\} A={1,2,3,4,5},事件 B = { 1 , 2 , 3 , 6 } B=\{1,2,3,6\} B={1,2,3,6}
则“当事件 A A A 发生的前提下,事件B发生的概率”意思为:现在知道投出的点数为A中的其中一个,那么有多少概率该点数也是B中的一个呢?
所以,要先求出AB的交集, A B = { 1 , 2 , 3 } AB=\{ 1,2,3 \} AB={1,2,3} 。如果投掷的点数在 A B AB AB 中,那么 B B B事件就也发生了
所以 P ( B ∣ A ) = P ( A B ) P ( A ) = 3 5 P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} = \frac{3}{5} P(B∣A)=P(A)P(AB)=53
乘法公式
公式:
如果
P
(
A
)
>
0
P(A)>0
P(A)>0 ,则
P
(
A
B
)
=
P
(
A
)
P
(
B
∣
A
)
P(AB) = P(A)P(B|A)
P(AB)=P(A)P(B∣A)
一般地,如果
P
(
A
1
⋯
A
n
−
1
)
>
0
P(A_1\cdots A_{n-1})>0
P(A1⋯An−1)>0 ,则
P
(
A
1
A
2
⋯
A
n
)
=
P
(
A
1
)
P
(
A
2
∣
A
1
)
P
(
A
3
∣
A
1
A
2
)
⋯
P
(
A
n
∣
A
1
⋯
A
n
−
1
)
P(A_1A_2\cdots A_n) = P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)\cdots P(A_n|A_1\cdots A_{n-1})
P(A1A2⋯An)=P(A1)P(A2∣A1)P(A3∣A1A2)⋯P(An∣A1⋯An−1)
注: A i A_i Ai 先于 A i + 1 A_{i+1} Ai+1 发生时用此公式
解释:
将条件概率公式的分母 P ( A ) P(A) P(A) 挪过去,就得到了该公式
全概率公式
公式:
如果
⋃
i
=
1
n
A
i
=
Ω
\bigcup_{i=1}^n A_i = \Omega
⋃i=1nAi=Ω ,
A
i
A
j
=
∅
(
i
≠
j
)
A_i A_j = \varnothing~(i\neq j)
AiAj=∅ (i=j) ,
P
(
A
i
)
>
0
P(A_i)>0
P(Ai)>0 , 则对任一事件
B
B
B ,有
B
=
⋃
i
=
1
n
A
i
B
P
(
B
)
=
∑
i
=
1
n
P
(
A
i
)
P
(
B
∣
A
i
)
B = \bigcup_{i=1}^{n} A_i B \\\\ P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) P(B|A_i)
B=i=1⋃nAiBP(B)=i=1∑nP(Ai)P(B∣Ai)
解释:
已知有很多事件 A i A_i Ai,每个事件的发生都会影响B事件的发生(影响可能是0),那么 B 事件的发生概率就是 P ( B ) P(B) P(B)。
假设,现在我们想派 张三、李四、王五
三个中的其中一个去偷东西,他们被委派的概率分别是:
1
10
、
3
10
、
6
10
\frac{1}{10}、\frac{3}{10}、\frac{6}{10}
101、103、106。而他们偷窃成功的概率分别是
0
、
1
3
,
1
2
0、\frac{1}{3}, \frac{1}{2}
0、31,21 。 那么,现在问,东西被偷成功的概率是多少?
在该样例中,事件 B B B 为“东西被偷成功”,事件 A 1 A_1 A1为“派张三去偷”,依次类推;则 P ( B ∣ A 1 ) P(B|A_1) P(B∣A1) 为“派张三去偷的前提下,偷成功的概率”,依次类推。我们将其总结成以下表格
人物 | 张三 | 李四 | 王五 |
---|---|---|---|
被委派事件 | A 1 A_1 A1 | A 2 A_2 A2 | A 3 A_3 A3 |
被委派的概率 | P ( A 1 ) = 1 10 P(A_1)=\frac{1}{10} P(A1)=101 | P ( A 2 ) = 3 10 P(A_2)=\frac{3}{10} P(A2)=103 | P ( A 3 ) = 6 10 P(A_3)=\frac{6}{10} P(A3)=106 |
被指派且偷窃成功的事件 | A 1 B A_1B A1B | A 2 B A_2B A2B | A 3 B A_3B A3B |
偷窃成功的概率 | P ( B ∣ A 1 ) = 0 P(B∣A_1)=0 P(B∣A1)=0 | P ( B ∣ A 2 ) = 1 3 P(B∣A_2)=\frac{1}{3} P(B∣A2)=31 | P ( B ∣ A 3 ) = 1 2 P(B∣A_3)=\frac{1}{2} P(B∣A3)=21 |
那么,偷成功的概率则为:
P
(
B
)
=
∑
i
=
1
3
P
(
A
i
)
P
(
B
∣
A
i
)
=
1
10
×
0
+
3
10
×
1
3
+
6
10
×
1
2
=
2
5
P(B) = \sum_{i=1}^{3} P(A_i) P(B|A_i) = \frac{1}{10} \times 0+ \frac{3}{10} \times \frac{1}{3} + \frac{6}{10} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{5}
P(B)=i=1∑3P(Ai)P(B∣Ai)=101×0+103×31+106×21=52
贝叶斯公式(逆概公式)
公式:
如果
⋃
i
=
1
n
A
i
=
Ω
\bigcup_{i=1}^n A_i = \Omega
⋃i=1nAi=Ω ,
A
i
A
j
=
∅
(
i
≠
j
)
A_i A_j = \varnothing~(i\neq j)
AiAj=∅ (i=j) ,
P
(
A
i
)
>
0
P(A_i)>0
P(Ai)>0 , 则对任一事件
B
B
B , 只要
P
(
B
)
>
0
P(B)>0
P(B)>0 ,就有:
P
(
A
j
∣
B
)
=
P
(
A
j
)
P
(
B
∣
A
j
)
∑
i
=
1
n
P
(
A
i
)
P
(
B
∣
A
i
)
(
j
=
1
,
2
,
⋯
,
n
)
P(A_j | B) = \frac{P(A_j)P(B|A_j)}{\sum_{i=1}^{n}P(A_i) P(B|A_i)} ~~~~~~~~(j=1,2,\cdots,n)
P(Aj∣B)=∑i=1nP(Ai)P(B∣Ai)P(Aj)P(B∣Aj) (j=1,2,⋯,n)
解释:
贝叶斯公式是全概率公式的逆公式,意思为:现在已知B事件已经发生了,找出是由哪个 A j A_j Aj 引起的。
还是用上面的例子。现在东西已经被偷了,我想知道“是张三干、是李四干的、是王五干的”这三个事件的概率。
人物 | 张三 | 李四 | 王五 |
---|---|---|---|
被委派事件 | A 1 A_1 A1 | A 2 A_2 A2 | A 3 A_3 A3 |
被委派的概率 | P ( A 1 ) = 1 10 P(A_1)=\frac{1}{10} P(A1)=101 | P ( A 2 ) = 3 10 P(A_2)=\frac{3}{10} P(A2)=103 | P ( A 3 ) = 6 10 P(A_3)=\frac{6}{10} P(A3)=106 |
被指派且偷窃成功的事件 | A 1 B A_1B A1B | A 2 B A_2B A2B | A 3 B A_3B A3B |
偷窃成功的概率 | P ( B ∣ A 1 ) = 0 P(B∣A_1)=0 P(B∣A1)=0 | P ( B ∣ A 2 ) = 1 3 P(B∣A_2)=\frac{1}{3} P(B∣A2)=31 | P ( B ∣ A 3 ) = 1 2 P(B∣A_3)=\frac{1}{2} P(B∣A3)=21 |
东西已经被偷,是谁干的事件的概率 | P ( A 1 ∣ B ) P(A_1∣B) P(A1∣B) | P ( A 2 ∣ B ) P(A_2∣B) P(A2∣B) | P ( A 3 ∣ B ) P(A_3∣B) P(A3∣B) |
将
P
(
A
j
B
)
P(A_jB)
P(AjB) 求得,分别是:
P
(
A
1
∣
B
)
=
P
(
A
1
)
P
(
B
∣
A
1
)
∑
i
=
1
n
P
(
A
i
)
P
(
B
∣
A
i
)
=
1
10
×
0
2
/
5
=
0
P
(
A
2
∣
B
)
=
P
(
A
2
)
P
(
B
∣
A
2
)
∑
i
=
1
n
P
(
A
i
)
P
(
B
∣
A
i
)
=
3
10
×
1
3
2
/
5
=
1
4
P
(
A
2
∣
B
)
=
P
(
A
3
)
P
(
B
∣
A
3
)
∑
i
=
1
n
P
(
A
i
)
P
(
B
∣
A
i
)
=
6
10
×
1
2
2
/
5
=
3
4
\begin{aligned} P(A_1 | B) &= \frac{P(A_1)P(B|A_1)}{\sum_{i=1}^{n}P(A_i) P(B|A_i)} = \frac{\frac{1}{10}\times 0}{2/5} = 0 \\\\ P(A_2 | B) &= \frac{P(A_2)P(B|A_2)}{\sum_{i=1}^{n}P(A_i) P(B|A_i)} = \frac{\frac{3}{10}\times \frac{1}{3}}{2/5} = \frac{1}{4} \\\\ P(A_2 | B) &= \frac{P(A_3)P(B|A_3)}{\sum_{i=1}^{n}P(A_i) P(B|A_i)} = \frac{\frac{6}{10}\times \frac{1}{2}}{2/5} = \frac{3}{4} \\\\ \end{aligned}
P(A1∣B)P(A2∣B)P(A2∣B)=∑i=1nP(Ai)P(B∣Ai)P(A1)P(B∣A1)=2/5101×0=0=∑i=1nP(Ai)P(B∣Ai)P(A2)P(B∣A2)=2/5103×31=41=∑i=1nP(Ai)P(B∣Ai)P(A3)P(B∣A3)=2/5106×21=43
从上面的计算不难看出,贝叶斯公式的分母就是全概率公式的结果,即东西被偷成功的概率;而分子则是此人所占的比重,即此人被派去偷且偷成功的概率
参考资料
- 张宇概率论9讲
- 张宇概率论基础班
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