质量—弹簧—阻尼系统的建模分析

本文介绍如何使用数轴建模法对质量—弹簧—阻尼系统进行建模分析。

这里涉及的质量块、弹簧、阻尼均为理想器件。

注：实际弹簧还拥有阻尼器的效果，即实际弹簧应该是一个弹簧—阻尼系统。

在分析质量—弹簧—阻尼系统时，应该注意以下两点：

1. 弹簧力方向与位移变化量的方向相反，阻尼力方向与速度变化量的方向相反；

2. 分析哪个点时，就应该从哪边开始减，如下图所示。

   • 若分析A点时，则阻尼器2对于A点的受力情况应为
     $$b_2({\dot{x}}_o-\dot{x})$$

   • 若分析B点时，则阻尼器2对于B点的受力情况应为
     $$b_2(\dot{x}-{\dot{x}}_o)$$

   可以发现，两种情况的阻尼力大小相同，但是方向应该不同。由于假设数轴正方向为竖直向下，故位移变化量的正方向也应该向下。 但是由于假设$x>x_o$，因此第一种情况的实际变化量方向应该向上，而第二种情况则向下。

   从更直观的角度考虑以上情况，以分析A点为例，假设$x>x_o$。对于A点来说，相当于在阻尼器上端把阻尼器向上拉，那么受到的阻尼力方向应该向下。对于B点同理。

1.单自由度系统

1.1.例一

上图左图为一个弹簧—阻尼系统，右图为正方向定义为向下的数轴，用于辅助分析。对于弹簧—阻尼系统，通常会假设A点处存在一个质量块$m_A$，这样就可以进行受力分析。

• 弹簧：弹簧上端向下移动$x_i$，下端向下移动$x_o$，属于两端都有位移的情况。质量块$m_A$受到的弹簧力大小为
  $$k(x_o-x_i)$$
  方向为竖直向上。 弹簧力方向与位移方向相反。

  注：由于假设$x_o>x_i$，故位移变化量的方向为竖直向下。

• 阻尼器：阻尼器下端固定，上端向下移动$x_o$。质量块$m_A$受到的阻尼力大小为
  $$b({\dot{x}}_o-0)=b{\dot{x}}_o$$
  方向为竖直向上。 阻尼力方向与速度方向相反。

  注：应该从A点所在端减去另一端，即应为${\dot{x}}_o-0$。

由此可以得到，该弹簧—阻尼系统的微分方程为
$$-k(x_o-x_i)-b{\dot{x}}_o=m_A{\ddot{x}}_o$$
由于A点处的质量可以忽略不计，故上式应为
$$-k(x_o-x_i)-b{\dot{x}}_o=0$$

1.2.例二

上图左图为一个质量—弹簧—阻尼系统，右图为正方向定义为向右的数轴。

• 弹簧：弹簧左端向右移动$x_i$，右端向右移动$x_o$，属于两端都有位移的情况。质量块$m$受到的弹簧力大小为
  $$k(x_o-x_i)$$
  方向为水平相左。 弹簧力方向与位移方向相反。

• 阻尼器：阻尼器左端固定，右端向右移动$x_o$。质量块$m$受到的阻尼力大小为
  $$b({\dot{x}}_o-0)=b{\dot{x}}_o$$
  方向为水平向左。 阻尼力方向与速度方向相反。

由此可以得到，该弹簧—阻尼系统的微分方程为
$$-k(x_o-x_i)-b{\dot{x}}_o=m{\ddot{x}}_o$$

2.两自由度系统

以上是一个弹簧—阻尼系统，分析方法与单自由度系统相同。假设A点、B点分别有质量块$m_A,m_B$，并假设B处向下移动x。

从下往上分析。

1.对于B点

• 弹簧2：下端固定，上端向下移动$x$，故弹簧力应为
  $$k_{2}x$$
  方向竖直向上。

• 阻尼器2：下端移动$x$，上端移动$x_o$，故阻尼力应为
  $$b_2(\dot{x}-{\dot{x}}_o)$$
  方向竖直向上。

由此可以得到，该弹簧—阻尼系统的微分方程为
$$-k_{2}x-b_2(\dot{x}-{\dot{x}}_o)=m_B\ddot{x}=0$$
2.对于A点

• 弹簧1：上端向下移动$x_i$，下端向下移动$x_o$，故弹簧力应为
  $$k_1(x_o-x_i)$$
  方向竖直向上。

• 阻尼器1：上端向下移动$x_i$，下端向下移动$x_o$，故阻尼力应为
  $$b_1({\dot{x}}_o-{\dot{x}}_i)$$
  方向竖直向上。

• 阻尼器2：下端移动$x$，上端移动$x_o$，故阻尼力应为
  $$b_2({\dot{x}}_o-\dot{x})$$
  方向竖直向上。由于$x>x_o$，速度变化量方向为竖直向上，故实际受力方向应为竖直向下。

由此可以得到，该弹簧—阻尼系统的微分方程为
$$-k_1(x_o-x_i)-b_1({\dot{x}}_o-{\dot{x}}_i)-b_2({\dot{x}}_o-\dot{x})=m_A\ddot{x}=0$$

或者为
$$-k_1(x_o-x_i)-b_1({\dot{x}}_o-{\dot{x}}_i)+b_2(\dot{x}-{\dot{x}}_o)=m_A\ddot{x}=0$$

参考资料：白艳艳,张晓俊.建立弹簧-质量-阻尼系统数学模型的数轴法[J].噪声与振动控制,2012,32(03):59-62.