Euler方法有各种格式，但其精度最高不超过2阶，一般难以满足实际计算的精度要求。因此，有必要构造精度更高的数值计算公式求解微分方程。Runge-Kutta方法就是一种高精度的经典的解常微分方程的单步方法。

1. Runge-Kutta 方法的基本思想

对于函数$y=y(x)$，设$y_n=y(x_n)$，将$y(x_{n+1})$在点$x_n$处展开为Taylor级数：
$$y(x_{n+1})=y(x_n)+h{y}^{\prime }(ϵ)x_n<ϵ<x_{n+1}$$
利用$y^{\prime }(x_n)=f(x_n,y_n)$可得：
$$y(x_{n+1})=y(x_n)+hf(ϵ,y(ϵ))$$
其中，$f(ϵ,y(ϵ))$为区间$(x_n,x_{n+1})$上的平均斜率，记为$k^{\ast }$。因此，只要能设法提供一种算法求得$k^{\ast }$，就可相应地导出一种计算格式。

回顾一下前面所讲的Euler方法可知：

若取$x_n$点处的斜率$k_1=f(x_n,y_n)$作为$k^{\ast }$，则可得到显示Euler格式，但只有一阶精度；

若取$x_n$和$x_{n+1}$两点处的斜率$k_1=f(x_n,y_n)$和$k_2=f(x_{n+1},y_n+h{k}_1)$的算术平均值作为平均斜率$k^o$，即$k^o=(k_1+k_2)/2$，则得到改进的Euler格式，则有二阶精度。

由此推而广之，如果设法在区间$(x_n,x_{n+1})$内取若干个点的斜率，然后将它们加权平均作为平均斜率$k^o$，则可以构造一种具有更高精度的计算格式。这就是Runge-Kutta方法的基本思想。

2. 二阶Runge-Kutta格式

在改进的Euler格式的基础上加以修改，即在区间$[x_n,x_{n+1}]$内，除$x_n$外再取区间中任一点p，则有：
$$x_{n+p}=x_n+ph0<p\le 1$$
取$x_n$和$x_{n+p}$两点处的斜率$k_1$和$k_2$加权平均作为平均斜率$k^o$，即：
$$k^o=(1-\lambda )k_1+\lambda k_2\lambda 为待定系数$$
这样构造出的计算格式为：
$$y_{n+1}=y_n+h[(1-\lambda )k_1+\lambda k_2]\text{\hspace{1em}(1a)}$$
其中：
$$\begin{gathered} k_1=f(x_n,y_n)(1b) \\ {k}_2=f(x_{n+p},y_n+ph{k}_1)(1c) \end{gathered}$$
（1）式称为二阶的Runge-Kutta格式，其中$p,\lambda$为待定参数。在确定$p,\lambda$的同时，使二阶Runge-Kutta格式具有较高的精度，具体推导如下：

根据假设$y_n=y(x_n)$，有：
$$\begin{gathered} k_1=f(x_n,y_n)=y^{\prime }(x_n) \\ {k}_2=f(x_{n+p},y_n+ph{k}_1)=f(x_n+ph,y_n+ph{k}_1) \end{gathered}$$
将$k_2$右端在点$(x_n,y_n)$处展开为Taylor级数：
$$k_2=f(x_n,y_n)+ph\cdot f_x(x_n,y_n)+ph{y}^{\prime }(x_n)\cdot f_y(x_n,y_n)+O(h^2)$$
而
$$ph\cdot f_x(x_n,y_n)+ph\cdot y^{\prime }(x_n)\cdot f_y(x_n,y_n)=ph\cdot f^{\prime }(x_n,y_n)=ph\cdot y^{\prime \prime }(x_n)$$
故
$$k_2=f(x_n,y_n)+ph{y}^{\prime \prime }(x_n)+O(h^2)=y^{\prime }(x_n)+ph{y}^{\prime \prime }(x_n)+O(h^2)$$
将$k_1$和$k_2$代入$y_{n+1}=y_n+h[(1-\lambda )k_1+\lambda k_2]$中，有：
$$\begin{gathered} y_{n+1}=y_n+h[(1-\lambda )k_1+\lambda k_2] \\ =y(x_n)+h{y}^{\prime }(x_n)+\lambda p{h}^2{y}^{\prime \prime }(x_n)+\lambda O(h^3) \end{gathered}$$
再将$y(x_{n+1})$在点$(x_n,y_n)$处展开为Taylor级数：
$$y(x_{n+1})=y(x_n+h)=y(x_n)+h{y}^{\prime }(x_n)+\frac{1}{2}{h}^2{y}^{\prime \prime }(x_n)+O(h^3)$$
比较两式，得：
$$y(x_{n+1})-y_{n+1}=(\frac{1}{2}{h}^2-\lambda p{h}^2)y^{\prime \prime }(x_n)-\lambda O(h^3)$$
因此，当
$$\lambda p=\frac{1}{2}$$
时，二阶Runge-Kutta格式具有为2阶精度。可见二阶Runge-Kutta格式有很多具体形式：

若取$\lambda =\frac{1}{2},p=1$，则可得改进的Euler格式；

若取$\lambda =\frac{3}{4},p=\frac{2}{3}$，则可得Heun（休恩）格式；

若取$\lambda =1,p=\frac{1}{2}$，则可得变形的Euler格式，即中点格式：
$$\{\begin{array}{l}{y}_{n+1}=y_n+h{k}_2\\ k_1=f(x_n,y_n)\\ k_2=f(x_{n+\frac{1}{2}},y_n+\frac{h}{2}{k}_1)\end{array}$$

3. 四阶Runge-Kutta格式

在区间$[x_n,x_{n+1}]$内，使用两个不同的点可以构造出二阶Runge-Kutta格式。依此规律，在区间$[x_n,x_{n+1}]$内，取3个不同的点可以构造出三阶Runge-Kutta格式；取4个不同的点可以构造出四阶Runge-Kutta格式。对此可以加以证明。在实际中，应用最广泛的是四阶经典的Runge-Kutta格式：
$$\{\begin{array}{l}{y}_{n+1}=y_n+\frac{h}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)\\ k_1=f(x_n,y_n)\\ k_2=f(x_{n+\frac{1}{2}},y_n+\frac{h}{2}{k}_1)\\ k_3=f(x_{n+\frac{1}{2}},y_n+\frac{h}{2}{k}_2)\\ k_4=f(x_{n+1},y_n+h{k}_3)\end{array}$$
四阶Runge-Kutta方法的优点如下：

（1）它是一种高精度的单步法，可达四阶精度$O(h^5)$；

（2）数值稳定性较好；

（3）只需知道一阶导数，无需明确定义或计算其他高阶导数；

（4）只需给出$y_n$就能计算出$y_{n+1}$，所以能够自启动；

（5）编程容易。

四阶Runge-Kutta法除经典的格式外，还有其他的格式。例如：

（1）Kutta格式
$$\{\begin{array}{l}{y}_{n+1}=y_n+\frac{h}{8}(k_1+3k_2+3k_3+k_4)\\ k_1=f(x_n,y_n)\\ k_2=f(x_{n+\frac{1}{3}},y_n+\frac{h}{3}{k}_1)\\ k_3=f(x_n+\frac{2}{3},y_n-\frac{h}{3}{k}_2+h{k}_2)\\ k_4=f(x_{n+1},y_n+h{k}_1-h{k}_2+h{k}_3)\end{array}$$
（2）Gill格式：
$$\{\begin{array}{l}{y}_{n+1}=y_n+\frac{h}{6}(k_1+(2-\sqrt{2})k_2+(2+\sqrt{2})k_3+k_4)\\ k_1=f(x_n,y_n)\\ k_2=f(x_{n+\frac{1}{2}},y_n+\frac{1}{2}h{k}_1)\\ k_3=f(x_{n+\frac{1}{2}},y_n+\frac{\sqrt{2}-1}{2}h{k}_1+\frac{2-\sqrt{2}}{2}h{k}_2)\\ k_4=f(x_{n+1},y_n-\frac{\sqrt{2}}{2}h{k}_2+\frac{2+\sqrt{2}}{2}h{k}_3)\end{array}$$