量子计算入门：量子比特、基底与布洛赫球

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361人浏览 · 2026-06-13 17:02:32

try_username · 2026-06-13 17:02:32 发布

一、经典比特 vs 量子比特

经典比特是计算机中最小的数据单元：只有0或1两种确定取值，一个占一个比特位。

量子比特完全不同。它用 |0⟩ 和 |1⟩ 的量子态来描述状态——不是一个确切的值，而是一个不确定的叠加态。通过狄拉克符号，量子态可以像向量一样做线性组合，组合出新的态。

经典比特	量子比特
只能是0或1	可以是0和1的叠加
像硬币躺平了	像硬币在空中转
一个确定状态	布洛赫球面上的任意一点

|0⟩ 和 |1⟩ 是最常用的基底——相当于向量空间里的坐标轴。之前学过的光偏振和S-G实验中，银原子通过加热后出现上下两个点（正态和负态），这就是两个量子态。按常理来说射出的范围应该是一个小圆圈，但实际是两个点——这正是量子现象的标志。

二、用Python表示量子态

在量子计算中，一个量子态用二维复数向量表示：

import numpy as np

# 计算基底
zero_qubit = np.matrix('1;0')   # |0⟩ = [1, 0]ᵀ
one_qubit = np.matrix('0;1')    # |1⟩ = [0, 1]ᵀ

np.matrix('1;0') 用字符串创建矩阵，; 分割行，1;0 表示两行一列的矩阵，等价于 np.matrix([[1], [0]])。

这两个向量是计算基态，也是基底——量子门和量子变换的常用输入。

制备叠加态的函数：

def mix(zero, one):
    if zero + one != 1:
        raise Exception("总概率不等于100%")
    return np.sqrt(zero) * zero_qubit + np.sqrt(one) * one_qubit

zero 和 one 是概率比例（比如0.3和0.7），函数返回 √0.3 |0⟩ + √0.7 |1⟩。开根号是因为概率 = 概率幅的平方（玻恩定则）。

qubit_50_50 = mix(0.5, 0.5)   # 各50%的叠加态 = |+⟩
qubit_30_70 = mix(0.3, 0.7)   # 偏0.3-0.7的叠加态

三、X基底和Y基底——换个角度看同一个量子态

|0⟩ 和 |1⟩ 是Z基底（对应S-G实验中Z方向的上自旋和下自旋）。

但量子态还可以从其他方向来测量，这就引入了X基底和Y基底：

X基底

|+⟩ = (1/√2) |0⟩ + (1/√2) |1⟩
|-⟩ = (1/√2) |0⟩ − (1/√2) |1⟩

用Python表示：

plus_qubit = 1 / np.sqrt(2) * np.matrix("1;1")
minus_qubit = 1 / np.sqrt(2) * np.matrix("1;-1")

X基底的本质是换一个方向来看同一个量子态。就像二维空间里把一个东西斜着45°放置——从正面看，你只能看到50%的面和50%的另一个面；从斜45°方向看，就能100%看清。

物理含义：

|+⟩ 对应S-G实验中X方向的一束
|-⟩ 对应S-G实验中X方向的另一束

|+⟩ 不仅包含 |0⟩ 还包含 |1⟩。这意味着：

用Z基底测量 |+⟩ → 50%得到 |0⟩，50%得到 |1⟩
用X基底测量 |+⟩ → 100%得到 |+⟩，确定的结果

就像换了一个观测角度，同一个量子态在不同基底下完全有不同的表现。

Y基底

Y基底引入了虚数 i：

|↻⟩ = (1/√2) |0⟩ + (i/√2) |1⟩     顺时针方向
|↺⟩ = (1/√2) |0⟩ − (i/√2) |1⟩     逆时针方向

clockwise_qubit = 1/np.sqrt(2) * np.matrix([[1], [1j]])
counterclockwise_qubit = 1/np.sqrt(2) * np.matrix([[1], [-1j]])

Y基底与其他基底的关键区别：引入了虚数单位 i（1j在Python中表示虚数；单独的j不表示虚数，前面必须加数字）。这在物理上描绘的是Y轴方向的自旋，涉及量子的相位信息。

三组基底的关系

X、Y、Z三组基底都是正交归一的——类似于空间中的XYZ三轴互相垂直。1/√2 是归一化系数，保证量子态满足概率总和=1的规则。

在布洛赫球上，每组方向的一对态足以描述自己平面中的全部内容。Z基底只能表示 |0⟩ 和 |1⟩ 的线性组合，不能直接从Y轴的角度来描述。换基底就是换视角——这就是布洛赫球的用处。

四、布洛赫球——所有量子态构成一个球

为什么是球？

量子态通式：|ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩，且 |α|² + |β|² = 1

α和β是两个复数，看起来有4个实数。但有两个约束条件：

约束	效果
\|α\|² + \|β\|² = 1（归一化）	减1个自由度
全局相位不可观测（\|ψ⟩ 和 e^(iγ)\|ψ⟩ 是同一个态）	减1个自由度
剩下	2个实数

2个实数参数 → 可以画在一个球面上。 这就得到了布洛赫球。

球面上的两个角度 θ 和 φ

像地球上用经纬度定位：

        |0⟩（北极，θ=0°）
        ↑
        |
        |   · ← 某个量子态 (θ, φ)
        |  /
        | /
        |/
  ──────┼────────
       /|
      / |
     /  |
        ↓
    |1⟩（南极，θ=180°）

θ：从北极往南偏了多少（0°~180°）
φ：绕赤道转了多少（0°~360°）

完整公式：

|ψ⟩ = cos(θ/2) |0⟩ + e^(iφ) sin(θ/2) |1⟩

为什么是 θ/2 而不是 θ？

这是布洛赫球最反直觉的地方。

在希尔伯特空间里，互相正交的态（内积=0）在布洛赫球上方向相反（夹角180°）。

如果你直接用 θ 作为参数：|ψ⟩ = cos(θ)|0⟩ + sin(θ)|1⟩

θ=0° → |0⟩ ✅
θ=180° → |1⟩ ✅（和|0⟩正交，没毛病）

但出问题在赤道上。θ=90°和θ=270°在球面上是对映点（方向相反），按理说应该正交：

θ=90°:  |ψ₁⟩ = cos90°|0⟩ + sin90°|1⟩ = |1⟩
θ=270°: |ψ₂⟩ = cos270°|0⟩ + sin270°|1⟩ = -|1⟩
⟨ψ₁|ψ₂⟩ = -1 ≠ 0  ❌ 不正交！

用 θ/2 就对了：

θ=90°:  cos(45°)|0⟩ + sin(45°)|1⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2 = |+⟩
θ=270°: cos(135°)|0⟩ + sin(135°)|1⟩ = (-|0⟩+|1⟩)/√2 = |-⟩
⟨+|−⟩ = 0  ✅ 正交！

θ/2 的本质：把希尔伯特空间里的「直角」翻译成布洛赫球面上的「对映点」。除以2就是这个翻译的代价。

φ 和 e^(iφ) 的作用

θ 决定：测到 |0⟩ 的概率（= cos²(θ/2)）
φ 决定：|0⟩ 分量和 |1⟩ 分量之间的相对相位（经典世界不存在的属性）

θ	φ	态	在哪
0°	任意	\|0⟩	北极
90°	0°	\|+⟩ = (\|0⟩+\|1⟩)/√2	赤道X正方向
90°	90°	(\|0⟩+i\|1⟩)/√2	赤道Y正方向
90°	180°	\|-⟩ = (\|0⟩−\|1⟩)/√2	赤道X负方向
180°	任意	\|1⟩	南极

赤道上φ=0°和φ=180°：|+⟩ 和 |-⟩ 的概率分布一样（各50%-50%），但因为相对相位不同，它们是两个完全不同的量子态。

为什么布洛赫球重要？

任意单量子比特态 → 球面上一个点
任意单量子比特门 → 球的某种旋转
量子态的演化   → 点在球面上移动的轨迹

量子门操作就是在旋转这个球：Hadamard门把北极点 |0⟩ 旋转到赤道上的 |+⟩，相当于绕Y轴转90°。

你只需要记住：Z轴两极是 |0⟩ 和 |1⟩，赤道一圈是50-50叠加态，X正方向是 |+⟩，Y正方向带虚数 i。

五、用Python计算布洛赫坐标

把量子态想象成从球心指向球面的箭头，用三维坐标 (x, y, z) 表示，取值范围 [-1, 1]。(0, 0, 1) 是正态，(0, 0, -1) 是负态，其他位置的箭头都是叠加态。

在真实的量子力学中，一旦测量，箭头就坍缩，只能得到0或1，没法直接测到 x, y, z 的数值。但可以通过多次测量来反推坐标值。

思路：从三个不同角度进行重复测量。

def get_bloch_coordinates(qubit):
    # X轴坐标
    def get_x_bloch(qubit):
        qubit_x_basis = 1./np.sqrt(2) * np.matrix('1 1; 1 -1') * qubit
        prob_zero_qubit = (qubit_x_basis.item(0) * qubit_x_basis.item(0).conjugate()).real
        prob_one_qubit = (qubit_x_basis.item(1) * qubit_x_basis.item(1).conjugate()).real
        return prob_zero_qubit - prob_one_qubit

    # Y轴坐标
    def get_y_bloch(qubit):
        qubit_y_basis = 1./np.sqrt(2) * np.matrix('1 1; 1 -1') * np.matrix([[1,0], [0, 1j]]) * qubit
        prob_zero_qubit = (qubit_y_basis.item(0) * qubit_y_basis.item(0).conjugate()).real
        prob_one_qubit = (qubit_y_basis.item(1) * qubit_y_basis.item(1).conjugate()).real
        return prob_zero_qubit - prob_one_qubit

    # Z轴坐标
    def get_z_bloch(qubit):
        qubit_z_basis = qubit
        prob_zero_qubit = (qubit_z_basis.item(0) * qubit_z_basis.item(0).conjugate()).real
        prob_one_qubit = (qubit_z_basis.item(1) * qubit_z_basis.item(1).conjugate()).real
        return prob_zero_qubit - prob_one_qubit

    return (get_x_bloch(qubit), get_y_bloch(qubit), get_z_bloch(qubit))

三个方向的计算逻辑：

Z轴（get_z_bloch）：最直接，就是原始量子态。测上下的概率，Z坐标 = 测到0的概率 − 测到1的概率（0态在上面，1态在下面）。
X轴（get_x_bloch）：需要把球体「翻面」，让原来的左右变成上下。用阿达马矩阵（Hadamard Gate）来旋转量子比特，旋转后重算上下概率差，得到的就是X坐标。
Y轴（get_y_bloch）：需要旋转两次。先相位门旋转，再用阿达马矩阵旋转，得到Y坐标。

重要说明：这段代码是理论模拟器——直接用数学公式算概率，等于假设对同一个量子比特制造了无限个复制版同时测量。在真实的量子计算机上，不能只用一个量子比特运行这段代码，而是需要把量子态准备1000次，分别测量X/Y/Z各1000次才能得到三个坐标。代码中的 .conjugate() 是数学上的概率计算，只用于演示学习。

六、画出布洛赫球

def plot_bloch(qubit):
    import matplotlib.pyplot as plt

    fig = plt.figure()                          # 创建画布
    ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')   # 3D子图

    # 绘制球体线框
    u, v = np.mgrid[0:2*np.pi:20j, 0:np.pi:10j]   # 经纬线（球坐标）
    x = np.cos(u) * np.sin(v)                       # 球坐标 → 直角坐标
    y = np.sin(u) * np.sin(v)
    z = np.cos(v)
    ax.plot_wireframe(x, y, z, color="k", alpha=.1)  # 透明线框球体
    ax.grid(0)

    # 画箭头：从球心指向球面
    (x, y, z) = get_bloch_coordinates(qubit)
    ax.quiver([0], [0], [0], [x], [y], [z], length=1, arrow_length_ratio=0.3)

    # 坐标范围和视角
    ax.set_xlim([-1, 1])
    ax.set_ylim([-1, 1])
    ax.set_zlim([-1, 1])
    ax.view_init(azim=20)

    return ax