XIII. 移动量子比特

  我们已经展示了如何在表面码阵列中创建和初始化逻辑量子比特。稍后我们将讨论如何在逻辑量子比特上执行单量子比特门 ${\hat{S}}_L$、${\hat{T}}_L$ 以及 Hadamard 门 ${\hat{H}}_L$，这些都是执行量子算法所必需的。现在我们转向用于纠缠逻辑量子比特的非常有趣的方法。这可以通过在二维阵列上移动逻辑量子比特的"孔洞"（holes）来非常优雅地完成，这是表面码的核心功能。通过将一个逻辑量子比特的孔洞移动到第二个逻辑量子比特的两个孔洞之间，从而将这两个逻辑量子比特"编织"（braiding）在一起，我们可以执行一个逻辑 CNOT 门。然而，我们首先需要学习如何移动一个逻辑量子比特的孔洞。

  移动逻辑量子比特最好分两个阶段描述，首先概述我们对表面码阵列进行的物理操作，其次描述我们如何变换逻辑算符 ${\hat{X}}_L$ 和 ${\hat{Z}}_L$，以在保持其本性的同时匹配阵列中数据量子比特正在发生的情况。逻辑算符的变换是在海森堡绘景（Heisenberg representation）的背景下描述的，因此我们先简要回顾量子力学的海森堡绘景（更完整的介绍见例如 [48]，以及与量子计算相关的 [47]）。

  在量子力学中，许多过程可以用幺正变换 $\hat{U}$ 描述，满足 $\hat{U}{\hat{U}}^{†}={\hat{U}}^{†}\hat{U}=\hat{I}$。这些包括例如基变换、表象变换以及系统的时间演化。在薛定谔绘景中，这些幺正变换被应用于波函数，使得 $|\psi ⟩\to \hat{U}|\psi ⟩$，而算符保持静态。因此例如波函数是时间依赖的，由演化算符 $\hat{U}(t)$ 的应用产生，而算符则不是。内积在幺正变换下不变，因为

$$⟨\varphi |\psi ⟩\to ⟨\varphi |{\hat{U}}^{†}\hat{U}|\psi ⟩=⟨\varphi |\psi ⟩.\text{\hspace{1em}(15)}$$

然而对于算符 $\hat{A}$ 的矩阵元，我们有

$$⟨\varphi |\hat{A}|\psi ⟩\to \left(⟨\varphi |{\hat{U}}^{†}\right)\hat{A}\left(\hat{U}|\psi ⟩\right)=⟨\varphi |\left({\hat{U}}^{†}\hat{A}\hat{U}\right)|\psi ⟩.\text{\hspace{1em}(16)}$$

  由于一般情况下 $\hat{A}\ne {\hat{U}}^{†}\hat{A}\hat{U}$，矩阵元在幺正变换下可以改变。式 (16) 的第二行提供了海森堡绘景的基础：我们可以等价地假设波函数 $|\psi ⟩$ 在幺正变换 $\hat{U}$ 下不改变，而是修改算符 $\hat{A}\to {\hat{A}}^{\prime }={\hat{U}}^{†}\hat{A}\hat{U}$。因此例如在海森堡绘景中，在基变换下修改的是算符而非波函数，并且算符是时间依赖的。任何可观测量的演化在海森堡绘景中与在薛定谔绘景中相同，因此两种绘景之间没有可检测的差异。

  在表面码中，移动和编织量子比特是既影响物理量子比特阵列又影响逻辑算符的变换。物理变换不是幺正的，因为这些涉及对数据量子比特的投影测量，但逻辑算符的变换是幺正的，最好用海森堡绘景来描述。在本讨论中，我们将假设物理量子比特或测量过程中不发生错误；在完成了无错误的描述之后，我们再讨论错误处理。

A. 单格逻辑量子比特移动

  在图 17 中，我们展示了如何在二维阵列中将一个 Z-cut 逻辑量子比特的孔洞向下移动一格。我们提醒读者，Z-cut 逻辑量子比特是通过关闭一对 $\hat{Z}$ 稳定子（stabilizers）来创建的，从而产生两个 Z-cut 孔洞。该逻辑量子比特具有逻辑算符 ${\hat{X}}_L={\hat{X}}_1{\hat{X}}_2{\hat{X}}_3$ 和 ${\hat{Z}}_L={\hat{Z}}_3{\hat{Z}}_4{\hat{Z}}_5{\hat{Z}}_6$，其中我们将 ${\hat{Z}}_L$ 定义为环绕下方 Z-cut 孔洞的 $\hat{Z}$ 算符环。移动过程的详细逐步描述在附录 F 中给出。

图17.

  我们首先描述移动中涉及的物理操作，这些操作需要两个完整的表面码周期。首先，我们等待当前表面码周期在整个阵列上完成。在开始下一个周期之前，我们指示控制软件不要测量我们正在移动的量子比特孔洞正下方的 $\hat{Z}$ 稳定子，也就是说，控制电路将在下一个表面码周期中关闭该 measure-Z 量子比特。这意味着数据量子比特 6 不会被 $\hat{Z}$ 稳定子测量（见图 17）。我们还将与数据量子比特 6 相邻的两个 measure-X 量子比特从四端测量转换为三端测量，也就是说，这些 measure-X 量子比特在下一个表面码周期中将不会在它们的 CNOT 门中包含数据量子比特 6。然后我们执行下一个表面码周期，在此期间我们沿 $\hat{X}$ 测量数据量子比特 6 并获得其本征值 $X_6$；这个测量用于跟踪错误，如下所述，以及用于监控重新定义的 ${\hat{X}}_L$ 算符的符号，这也将在下面讨论。完成这个周期后，我们打开原始下方 Z-cut 孔洞中的 measure-Z 量子比特，使其开始执行正常的 CNOT 周期。我们还将监控数据量子比特 6 的两个 measure-X 量子比特转换回四端测量，使它们再次在 CNOT 周期中包含数据量子比特 6。我们执行下一个表面码周期，这完成了移动的物理操作。为了在时间上建立所有稳定子值，我们再等待额外的 $d-1$ 个表面码周期。总而言之，这个单格移动需要 $1+d$ 个表面码周期。【注：扩散】

  在执行物理操作的同时，我们还需要操纵两个逻辑算符 ${\hat{Z}}_L$ 和 ${\hat{X}}_L$ 的定义以保持其功能。在执行任何物理操作之前，我们重新定义 ${\hat{Z}}_L$，使其包围两个稳定子格，即其原始格加上下方的一格，方法是将 ${\hat{Z}}_L$ 乘以构成量子比特孔洞下方 $\hat{Z}$ 稳定子的四个 $\hat{Z}$ 算符 ${\hat{Z}}_6{\hat{Z}}_7{\hat{Z}}_8{\hat{Z}}_9$。我们将这个新的扩展算符称为 ${\hat{Z}}_L^e$，其表达式为

$${\hat{Z}}_L^e=({\hat{Z}}_3{\hat{Z}}_4{\hat{Z}}_5{\hat{Z}}_6)\times ({\hat{Z}}_6{\hat{Z}}_7{\hat{Z}}_8{\hat{Z}}_9)={\hat{Z}}_3{\hat{Z}}_4{\hat{Z}}_5{\hat{Z}}_7{\hat{Z}}_8{\hat{Z}}_9,\text{\hspace{1em}(17)}$$

  如图 17a 所示。我们完成移动的第一个表面码周期，关闭下方的 $\hat{Z}$ 稳定子并测量数据量子比特 6。我们通过将其乘以 ${\hat{X}}_6$ 来重新定义 ${\hat{X}}_L$ 算符，得到

$${\hat{X}}_L^{\prime }={\hat{X}}_1{\hat{X}}_2{\hat{X}}_3{\hat{X}}_6;\text{\hspace{1em}(18)}$$

见图 17b。

  图17.（彩色在线版）在二维阵列中将 Z-cut 逻辑量子比特孔向下移动一个单元的过程。(a) 具有 ${\hat{X}}_L={\hat{X}}_1{\hat{X}}_2{\hat{X}}_3$ 和 ${\hat{Z}}_L={\hat{Z}}_3{\hat{Z}}_4{\hat{Z}}_5{\hat{Z}}_6$ 的逻辑量子比特。(b) 我们通过将其乘以下方紧邻量子比特孔的 $\hat{Z}$ 稳定子来扩展 ${\hat{Z}}_L$ 算符：${\hat{Z}}_L^e=({\hat{Z}}_6{\hat{Z}}_7{\hat{Z}}_8{\hat{Z}}_9){\hat{Z}}_L={\hat{Z}}_3{\hat{Z}}_4{\hat{Z}}_5{\hat{Z}}_7{\hat{Z}}_8{\hat{Z}}_9$。接下来我们关闭此 $\hat{Z}$ 稳定子，并将周围的四端 $\hat{X}$ 稳定子变为三端稳定子，使数据量子比特6没有任何稳定子测量。我们对数据量子比特6执行 $\hat{X}$ 测量（使用一个空闲的 measure-Z 量子比特，或直接测量数据量子比特，如图所示）。(c ) 我们通过将 ${\hat{X}}_L$ 乘以 ${\hat{X}}_6$ 来定义扩展算符 ${\hat{X}}_L^{\prime }$：${\hat{X}}_L^{\prime }={\hat{X}}_6{\hat{X}}_L={\hat{X}}_1{\hat{X}}_2{\hat{X}}_3{\hat{X}}_6$。我们现在打开量子比特6上方的 $\hat{Z}$ 稳定子；我们等待 $d$ 个表面码周期以正确建立此稳定子的值。我们将 ${\hat{Z}}_L^{\prime }$ 定义为该 $\hat{Z}$ 稳定子与 ${\hat{Z}}_L^e$ 的乘积：${\hat{Z}}_L^{\prime }={\hat{Z}}_6{\hat{Z}}_7{\hat{Z}}_8{\hat{Z}}_9$。

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  接下来我们完成移动的第二个表面码周期，将原始量子比特孔洞稳定子重新打开。我们通过将 ${\hat{Z}}_L^e$ 乘以刚刚打开的稳定子所构成的四个 $\hat{Z}$ 算符 ${\hat{Z}}_3{\hat{Z}}_4{\hat{Z}}_5{\hat{Z}}_6$ 来重新定义 ${\hat{Z}}_L^e$，得到

$${\hat{Z}}_L^{\prime }=({\hat{Z}}_3{\hat{Z}}_4{\hat{Z}}_5{\hat{Z}}_6)\times {\hat{Z}}_L^e=({\hat{Z}}_3{\hat{Z}}_4{\hat{Z}}_5{\hat{Z}}_6)\times ({\hat{Z}}_3{\hat{Z}}_4{\hat{Z}}_5{\hat{Z}}_7{\hat{Z}}_8{\hat{Z}}_9)={\hat{Z}}_6{\hat{Z}}_7{\hat{Z}}_8{\hat{Z}}_9.\text{\hspace{1em}(19)}$$

  现在两个新的逻辑算符 ${\hat{Z}}_L^{\prime }$ 和 ${\hat{X}}_L^{\prime }$ 如图 17c 所示。注意新的逻辑算符仍然共享单个数据量子比特【注：$Z_3\to Z_6$】并且与所有稳定子对易，因此这些继续定义一个逻辑量子比特。移动量子比特孔洞的过程涉及的操作类似于用于"简单"和"困难"初始化的操作，因此错误过程如第 XI 节所讨论。

B. 副产品算符

  移动变换中产生的一个问题是，通过乘以 ${\hat{X}}_6$ 扩展 ${\hat{X}}_L$ 可能产生一个与 ${\hat{X}}_L$ 符号不同的扩展 ${\hat{X}}_L^{\prime }$；如果测量结果 $X_6=-1$ 就会发生这种情况。类似地，最终的 ${\hat{Z}}_L^{\prime }$ 也可能与 ${\hat{Z}}_L$ 符号不同，取决于移动中涉及的两个 $\hat{Z}$ 稳定子测量结果的乘积。给定变换前的初始状态 $|\psi ⟩$，变换与这些符号变化耦合导致

$$|\psi ⟩\to {\hat{X}}_L^{\prime p_Z}{\hat{Z}}_L^{\prime p_X}|{\psi }^{\prime }⟩,\text{\hspace{1em}(20)}$$

  其中 $|{\psi }^{\prime }⟩$ 是期望状态，如果逻辑算符中没有符号变化的话就会得到这个结果。因此我们必须对结果状态作用算符乘积 ${\hat{Z}}_L^{\prime p_X}{\hat{X}}_L^{\prime p_Z}$ 以重新获得期望状态 $|{\psi }^{\prime }⟩$。

  出现在式 (20) 中的额外比特翻转和相位翻转算符称为"副产品算符"（byproduct operators）。式 (20) 中出现的幂次 $p_X$ 由移动过程中 ${\hat{X}}_L$ 是否发生符号变化决定，如果没有（有）符号变化则 $p_X=0(1)$；幂次 $p_Z$ 类似地由 ${\hat{Z}}_L$ 的符号变化决定。副产品算符 ${\hat{Z}}_L^{\prime }$ 通过它们的反对易关系修正变换后的 ${\hat{X}}_L^{\prime }$ 的符号，而副产品算符 ${\hat{X}}_L^{\prime }$ 类似地修正 ${\hat{Z}}_L^{\prime }$。

  我们实际上并不将副产品算符作为显式门来应用；相反，我们只是在控制软件中跟踪这些额外的 ${\hat{X}}_L$ 和 ${\hat{Z}}_L$ 算符，如第 IX 节所讨论。因此这些修正算符仅在逻辑量子比特被测量时才被应用，如果该量子比特具有 ${\hat{X}}_L$ 副产品算符则反转 ${\hat{Z}}_L$ 测量的符号，如果该量子比特具有 ${\hat{Z}}_L$ 副产品算符则反转 ${\hat{X}}_L$ 测量的符号。两个修正的 ${\hat{X}}_L$ 或两个修正的 ${\hat{Z}}_L$ 相互抵消，因为 ${\hat{X}}_L^2={\hat{Z}}_L^2={\hat{I}}_L$。

  我们还可以看看在稳定子和逻辑量子比特子空间的描述中，二维阵列波函数 $|\psi ⟩$ 发生了什么。在移动之前，我们有 $|\psi ⟩=|Q⟩|q_L⟩$；移动之后，我们有 ${\hat{X}}_L^{\prime p_Z}{\hat{Z}}_L^{\prime p_X}|{\psi }^{\prime }⟩={\hat{X}}_L^{\prime p_Z}{\hat{Z}}_L^{\prime p_X}|Q^{\prime }⟩|q_L^{\prime }⟩$，其中 $|Q^{\prime }⟩|q_L^{\prime }⟩$ 是期望状态。副产品算符只影响逻辑状态，因此我们可以写出与式 (20) 等价的表达式：

$$|q_L⟩\to {\hat{X}}_L^{\prime p_Z}{\hat{Z}}_L^{\prime p_X}|q_L^{\prime }⟩,\text{\hspace{1em}(21)}$$

其中 $|q_L^{\prime }⟩$ 是期望的逻辑状态。

C. 多格逻辑量子比特移动

  我们可以很容易地将单格移动推广到多格移动。多格移动可以用与单格移动相同数量的表面码时钟周期完成，我们可以将逻辑量子比特孔洞平移无限数量的格。多格移动通过将单格移动扩展到连续的一条格带来执行。图 18 展示了一个 Z-cut 量子比特孔洞的多格移动，使用了比图 17 更抽象的表示；我们大多省略了单个物理量子比特的标识，但与图 17 的类比应该是清楚的。多格移动的细节在图注和附录 G 中给出。

  图18.（彩色在线版）使用简化表示将 Z-cut 逻辑量子比特孔穿过多个单元移动的过程，其中 ${\hat{X}}_L$ 链是一条蓝色（浅色）线，连接逻辑量子比特孔并穿过数据量子比特（空心圆），而 ${\hat{Z}}_L$ 环为红色（灰色）。上方（灰色）和下方（白色）Z-cut 孔包围空闲的 $\hat{Z}$ 稳定子；这些孔的轮廓在顶点处有 measure-X 量子比特，在边上有数据量子比特。(a) 初始状态，显示逻辑算符 ${\hat{X}}_L$ 和 ${\hat{Z}}_L$，以及初始的（移动前）经软件修正的 $\hat{Z}$ 稳定子测量结果 $Z_{s2}^i,Z_{s3}^i\dots Z_{s,n}^i$。下一步涉及的 $\hat{Z}$ 稳定子以细黑色轮廓显示；第 $j$ 个稳定子 ${\hat{Z}}_{s,j}$ 是标有该稳定子初始测量结果 $Z_{s,j}^i$ 的稳定子单元。(b) ${\hat{Z}}_L$ 扩展为 ${\hat{Z}}_L^e$，孤立数据量子比特的 $\hat{X}$ 测量给出测量本征值 $X_1^e,X_2^e,\dots X_{n-1}^e$（数据量子比特以蓝色（浅色）填充）。© 最终状态，${\hat{Z}}_L^{\prime }$ 为移动后的 ${\hat{Z}}_L$ 逻辑算符，${\hat{X}}_L^{\prime }$ 为 ${\hat{X}}_L$ 的扩展链，$\hat{Z}$ 稳定子（细黑色轮廓）重新打开；等待 $d$ 个表面码周期后，我们建立经软件修正的最终（移动后）测量结果 $Z_{s1}^f,Z_{s2}^f,\dots Z_{s,n-1}^f$。

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  简要地说，${\hat{Z}}_L$ 通过乘以逻辑量子比特要移动经过的所有稳定子来扩展，给出扩展的 ${\hat{Z}}_L^e$：

$${\hat{Z}}_L^e=({\hat{Z}}_{s2}{\hat{Z}}_{s3}\dots {\hat{Z}}_{s,n}){\hat{Z}}_L.\text{\hspace{1em}(22)}$$

  这里每个稳定子算符 ${\hat{Z}}_{sj}$ 代表第 $j$ 个稳定子格上四个相邻数据量子比特 $\hat{Z}$ 算符的乘积。这些稳定子随后被关闭，与条带相邻的四端 $\hat{X}$ 稳定子被切换到三端测量。条带中未被稳定的数据量子比特都沿 $\hat{X}$ 测量，${\hat{X}}_L$ 通过乘以所有这些数据量子比特上的 $\hat{X}$ 算符来扩展：

$${\hat{X}}_L^{\prime }=({\hat{X}}_1\dots {\hat{X}}_{n-1}){\hat{X}}_L.\text{\hspace{1em}(23)}$$

  我们通过随后将 ${\hat{Z}}_L^e$ 乘以所有稳定子（除了位于新移位量子比特孔洞中的那个）来完成 ${\hat{Z}}_L$ 的移动：

$${\hat{Z}}_L^{\prime }=({\hat{Z}}_{s1}{\hat{Z}}_{s2}\dots {\hat{Z}}_{s,n-1}){\hat{Z}}_L^e=({\hat{Z}}_{s1}\dots {\hat{Z}}_{s,n-1})({\hat{Z}}_{s2}\dots {\hat{Z}}_{s,n}){\hat{Z}}_L={\hat{Z}}_{s1}{\hat{Z}}_{s,n}{\hat{Z}}_L={\hat{Z}}_{s,n}\text{\hspace{1em}(24)}$$

  其中我们使用了 ${\hat{Z}}_{sj}^2=\hat{I}$ 以及 ${\hat{Z}}_L={\hat{Z}}_{s1}$，即原始 ${\hat{Z}}_L$ 就是定义 ${\hat{Z}}_{s1}$ 的四个 $\hat{Z}$ 数据量子比特算符的集合。移动之后，我们再等待额外的 $d-1$ 个表面码周期以在时间上建立所有稳定子值。

  副产品算符可能由于此移动过程中逻辑算符 ${\hat{X}}_L^{\prime }$ 和 ${\hat{Z}}_L^{\prime }$ 发生的任何符号变化而出现；详见附录 G。

  移动 X-cut 逻辑量子比特孔洞的过程完全类似，只是交换 $\hat{X}$ 和 $\hat{Z}$ 稳定子及测量的角色。

  我们注意到多格移动可以非常快速地完成，因为非常长的切口可以在表面码周期的单个步骤中完成，而量子比特孔洞在 $1+d$ 个表面码周期内移动，与单格移动相同。因此这实现了逻辑量子比特之间的长距离相互作用和通信，这是一种非常强大的能力。

D. 移动变换期间的错误

  在第 XI 节中，我们讨论了当表面码稳定子被操纵时错误的处理，其中我们重点关注了 X-cut 逻辑量子比特在 ${\hat{Z}}_L$ 本征态中初始化时发生的错误。非常类似的讨论适用于移动变换期间发生的错误，只是细节有所不同。在移动期间被隔离的数据量子比特可能遭受 $\hat{Z}$ 和 $\hat{X}$ 错误；$\hat{X}$ 错误没有影响，因为它们被移动期间单个数据量子比特的 $\hat{X}$ 测量所抹除。$\hat{Z}$ 错误将通过计算每个数据量子比特 $\hat{X}$ 测量与其对应的三端 $\hat{X}$ 稳定子测量的乘积，并将此乘积与该稳定子之前的四端 $\hat{X}$ 测量进行比较来检测（这就是第 XI 节中处理 $\hat{X}$ 错误的方式）。边界上数据量子比特的 $\hat{Z}$ 错误由监控这些数据量子比特的两个 $\hat{X}$ 稳定子检测和定位。这些数据量子比特之一的 $\hat{X}$ 错误会改变监控该数据量子比特的单个 $\hat{Z}$ 稳定子的符号，但这个错误会在时间中持续存在，因此可以通过等待 $d$ 个表面码周期将其与稳定子测量错误区分开来。

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XIV. 编织变换与逻辑 CNOT

  编织变换是一种特别重要的移动类型。编织包括一对多格移动，涉及双切口逻辑量子比特的两个孔洞之一。被移动的孔洞沿着在二维阵列中形成闭合环路的路径移动，起点和终点在同一位置，第一次移动将孔洞沿环路移动一部分，第二次移动完成环路。与移动变换一样，编织是根据它们对逻辑量子比特算符的影响来描述的。

  最重要的是，正如我们将看到的，编织变换可以纠缠两个逻辑量子比特，其方式使得编织变换等价于一个逻辑 CNOT。

A. 单逻辑量子比特的编织变换

  我们首先描述单个逻辑量子比特的编织变换，以 Z-cut 逻辑量子比特为例。在图 19 中我们展示了 ${\hat{X}}_L$ 算符的变换，在图 20 中展示了 ${\hat{Z}}_L$ 算符的变换。编织将量子比特孔洞沿着一条路径移动，在此示例中，该路径包围的区域内只包含完全稳定的格；我们将在下面讨论当编织路径包围另一个逻辑量子比特孔洞时会发生什么。编织的第一次移动将量子比特孔洞沿路径移动八格（对于一般编织变换，这可以是 1 到比编织路径中总格数少 $d$ 的任意数量）。这次移动在第二次移动开始之前完成，意味着在移动期间被关闭的所有稳定子都已重新打开（除了最后一格）。等待 $d$ 个表面码周期以捕获第一次移动期间的测量错误后，然后执行第二次多格移动，将量子比特孔洞沿路径移动剩余的四格，并将孔洞返回其起始位置。编织不能在单次多格移动中完成，因为这会将编织包围的表面码阵列部分隔离。

  图19.（彩色在线版）在完全稳定阵列中对单个 Z-cut 量子比特的编织变换，显示影响 ${\hat{X}}_L$ 算符（以蓝色（深色）勾画）的步骤。(a) 双 Z-cut 量子比特及其逻辑算符 ${\hat{X}}_L$，显示定义逻辑算符的三个数据量子比特（空心圆）。(b) 编织中第一次移动的扩展开口（深灰色）。被扩展隔离的数据量子比特以 $\hat{X}$ 测量，结果分别为 $X_1^e,\dots ,X_8^e$。(c ) ${\hat{X}}_L$ 算符（蓝色，深色）扩展为 ${\hat{X}}_L^{\prime }={\hat{X}}_1\dots {\hat{X}}_8{\hat{X}}_L$。(d) 编织中的第二次移动，再次涉及对孤立数据量子比特的 $\hat{X}$ 测量。(e) ${\hat{X}}_L^{\prime }$ 算符扩展为 ${\hat{X}}_L^{\prime \prime }$，现在包含连接两个量子比特孔的原始链，以及一个额外的闭合算符环。(f) 该闭合环被九个 $\hat{X}$ 稳定子 ${\hat{X}}_{s1}\dots {\hat{X}}_{s9}$（蓝色（深色）方块）完全稳定化。因此我们可以将算符链 ${\hat{X}}_L^{\prime \prime }$ 约化为一条链 ${\hat{X}}_L^{\prime \prime \prime }$，它与原始 ${\hat{X}}_L$ 相同，除了可能的符号变化。符号变化通过定义幂次 $p_X$ 来捕获，其中 $(-1{)}^{p_X}\equiv X_{s1}^f{X}_{s2}^f\dots X_{s9}^f=\pm 1$，由 ${\hat{X}}_L^{\prime \prime }$ 环所包围的所有 $\hat{X}$ 稳定子测量结果的乘积给出。幂次 $p_X=0(1)$ 决定了一个 ${\hat{Z}}_L$ 副产品算符是否不出现（是否出现），乘以最终波函数。

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  如图 19 和图 20 所示，编织以 somewhat 不同的方式变换两个逻辑算符 ${\hat{X}}_L$ 和 ${\hat{Z}}_L$。该量子比特的 ${\hat{X}}_L$ 算符是连接两个孔洞的三个数据量子比特 $\hat{X}$ 算符的链（图 19a）。如图 19b-e 所示，该算符在每次移动中扩展，使得在第二次移动后，图 19e 中的 ${\hat{X}}_L^{\prime \prime }$ 算符除了原始的三个数据量子比特算符链外，还包括一个闭合的 $\hat{X}$ 算符环 ${\hat{X}}_{loop}={\hat{X}}_1\dots {\hat{X}}_{12}$。这个闭合环只包围完全稳定的格，具有稳定子 ${\hat{X}}_{s1},{\hat{X}}_{s2}\dots {\hat{X}}_{s9}$，所以 ${\hat{X}}_{loop}={\hat{X}}_{s1}\dots {\hat{X}}_{s9}$。静态状态 $|\psi ⟩$ 必然是 ${\hat{X}}_{loop}$ 的本征态，其本征值由被包围稳定子的测量结果给出，$X_{loop}=X_{s1}\dots X_{s9}$。理解这一点的另一种方式是，算符的闭合环 ${\hat{X}}_{loop}$ 可以通过所有被包围的 $\hat{X}$ 稳定子变形，只留下测量结果的乘积。

  图20.（彩色在线版）在完全稳定阵列中对单个 Z-cut 量子比特上 ${\hat{Z}}_L$ 算符的编织变换。(a) 双 Z-cut 量子比特，${\hat{Z}}_L$ 为红色（灰色）；数据量子比特为空心圆；连接两个量子比特孔的虚线不代表算符。(b) 编织中第一次移动的扩展开口（实线红色（灰色）环）。移动前的 $\hat{Z}$ 稳定子结果 $Z_{s2}^i,\dots ,Z_{s9}^i$ 都等于 $\pm 1$。${\hat{Z}}_L^e$ 算符（实线红色（灰色）环）从 ${\hat{Z}}_L$ 扩展而来，${\hat{Z}}_L^e\equiv {\hat{Z}}_{s2}\dots {\hat{Z}}_{s9}{\hat{Z}}_L$。(c ) 通过打开稳定子 ${\hat{Z}}_{s1},\dots ,{\hat{Z}}_{s8}$ 来闭合扩展开口，并等待 $d$ 个表面码周期以获得纠错后的结果 $Z_{s1}^e,\dots ,Z_{s8}^e$。新的 ${\hat{Z}}_L^{\prime }$ 算符是由四个数据量子比特 $\hat{Z}$ 算符形成的红色（灰色）环，等于 ${\hat{Z}}_L^{\prime }=({\hat{Z}}_{s1}\dots {\hat{Z}}_{s8})({\hat{Z}}_{s2}\dots {\hat{Z}}_{s9}){\hat{Z}}_L$。(d) 编织中的第二次移动，涉及将 ${\hat{Z}}_L^{\prime }$ 扩展为 ${\hat{Z}}_L^{e^{\prime }}$，使用相关的 $\hat{Z}$ 稳定子结果。(e) 最终的 ${\hat{Z}}_L^{\prime \prime }$ 是一个由四个数据量子比特算符组成的闭合环，与原始 ${\hat{Z}}_L$ 相同。${\hat{Z}}_L^{\prime \prime }$ 相对于 ${\hat{Z}}_L$ 可能有符号差异，通过定义 $(-1{)}^{p_Z}\equiv (Z_{s9}^f\dots Z_{s12}^f)(Z_{s10}^i\dots Z_{s13}^i)(Z_{s1}^f\dots Z_{s8}^f)(Z_{s2}^i\dots Z_{s9}^i)=\pm 1$ 来捕获。幂次 $p_Z$ 决定了一个 ${\hat{X}}_L$ 副产品算符是否出现，乘以最终波函数。

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  ${\hat{Z}}_L$ 算符是包围下方量子比特孔洞的物理量子比特 $\hat{Z}$ 算符环。如图 20 所示，编织变换交替扩展然后收缩包围 Z-cut 孔洞的算符环，在两次移动中各一次；除了来自环经过的 $\hat{Z}$ 稳定子的符号变化外，最终的 ${\hat{Z}}_L$ 环与初始环相同。${\hat{X}}_L$ 和 ${\hat{Z}}_L$ 变换之间的差异是编织如何充当 CNOT 的关键。

  仅涉及一个逻辑量子比特的编织变换细节在图 19 和图 20 的图注中给出，符号变化和副产品算符的讨论在附录 H 中。注意在图 19 和图 20 中，虽然我们将影响 ${\hat{X}}_L$ 算符的动作与影响 ${\hat{Z}}_L$ 的动作分开，但所有孤立数据量子比特的 $\hat{X}$ 测量和 $\hat{Z}$ 稳定子的测量都是作为编织的一部分执行的，独立于变换中涉及什么逻辑算符，正如它们在单格和多格移动中一样。

B. 编织两个量子比特

  现在我们转向编织路径包围另一个逻辑量子比特孔洞的较不简单的情况。理解这一点的最简单方法是检查编织如何变换两个逻辑量子比特上的算符。两量子比特算符将是单量子比特算符 ${\hat{X}}_L$、${\hat{Z}}_L$ 和 ${\hat{I}}_L$ 的外积。${\hat{Y}}_L$ 算符是 ${\hat{Z}}_L$ 和 ${\hat{X}}_L$ 的乘积，其变换可以通过 ${\hat{X}}_L$ 和 ${\hat{Z}}_L$ 的变换来理解。

  我们快速回顾两量子比特算符，以 ${\hat{X}}_L\otimes {\hat{Z}}_L$ 为例。我们将两量子比特逻辑状态写为 $|a_L{b}_L⟩$，其中 $|a_L⟩$ 代表第一个逻辑量子比特的状态，$|b_L⟩$ 代表第二个量子比特的状态。记号 ${\hat{X}}_L\otimes {\hat{Z}}_L$ 意味着 ${\hat{X}}_L$ 作用于第一个量子比特状态 $|a_L⟩$，而 ${\hat{Z}}_L$ 作用于第二个量子比特状态 $|b_L⟩$。使用本征态 $|g_L⟩$ 和 $|e_L⟩$ 作为基态，外积 ${\hat{X}}_L\otimes {\hat{Z}}_L$ 可以用标准两量子比特基 $|g_L{g}_L⟩,|g_L{e}_L⟩,|e_L{g}_L⟩,|e_L{e}_L⟩$ 表示为 $4\times 4$ 矩阵

$${\hat{X}}_L\otimes {\hat{Z}}_L=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\otimes \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& -1\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\end{array}\right).\text{\hspace{1em}(25)}$$

  我们将看到，编织将每个两量子比特算符变换为某个其他两量子比特算符，结果取决于特定的 算符对 以及它们乘积形成的顺序（因此例如 ${\hat{X}}_L\otimes {\hat{Z}}_L$ 的变换方式与 ${\hat{Z}}_L\otimes {\hat{X}}_L$ 不同）。编织的结果还取决于我们正在编织在一起的量子比特类型；这里我们重点关注编织一个 Z-cut 量子比特穿过一个 X-cut 量子比特，如图 21 所示。正如我们将看到的，只有 Z-cut 和 X-cut 量子比特之间的编织才能产生等价于逻辑 CNOT 的算符变换。当编织两个 Z-cut 量子比特或两个 X-cut 量子比特时，不可能获得所需的 CNOT 变换；我们在第 XIV D 节讨论这些情况。

  图21.（彩色在线版）Z-cut 量子比特上的编织，其中量子比特的下方 Z-cut 孔围绕 X-cut 量子比特的上方 X-cut 孔编织。编织对 Z-cut 量子比特1上 ${\hat{X}}_{L1}$ 算符的影响被展示。(a) Z-cut 量子比特（上方）和 X-cut 量子比特（下方）及其对应的逻辑算符；数据量子比特以空心圆显示。(b) 编织中第一次移动的扩展，其中数据量子比特沿 $\hat{X}$ 测量，测量结果为 $X_1^e,X_2^e,\dots X_8^e$。(c ) ${\hat{X}}_{L1}$ 算符在长度上扩展为 ${\hat{X}}_{L1}^{\prime }$。(d) 编织中第二次移动的扩展，其中数据量子比特沿 $\hat{X}$ 测量，测量结果为 $X_9^e,\dots X_{12}^e$。(e) ${\hat{X}}_{L1}^{\prime \prime }$ 算符在长度上扩展，包含原始链以及一个数据量子比特算符的闭合环，该环包围 X-cut 量子比特的上方孔。(f) ${\hat{X}}_{L1}^{\prime \prime }$ 算符的环部分穿过所包围的稳定化单元移动，留下一个等于第二个量子比特上 ${\hat{X}}_{L2}$ 的 $\hat{X}$ 数据量子比特算符环，而 ${\hat{X}}_{L1}$ 与编织前相比保持不变（除了可能的符号变化）。

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  在图 21 中，Z-cut 量子比特位于图的上部，编织将该量子比特的下方 Z-cut 孔洞沿着一条闭合环路移动。X-cut 量子比特位于图的下部，编织使 Z-cut 孔洞穿过两个 X-cut 孔洞之间，在编织环内包围上方的 X-cut 孔洞。正如我们稍后将要证明的，证明编织等价于 CNOT 只需证明十六种可能的两量子比特算符组合中有四种正确变换即可；这些是 ${\hat{X}}_L\otimes {\hat{I}}_L$、${\hat{I}}_L\otimes {\hat{X}}_L$、${\hat{Z}}_L\otimes {\hat{I}}_L$ 和 ${\hat{I}}_L\otimes {\hat{Z}}_L$。所有其他由 ${\hat{X}}_L$、${\hat{Z}}_L$ 和 ${\hat{I}}_L$ 组成的两量子比特组合的变换都可以由这四种构造出来。这里我们简要概述这些变换，细节在附录 I 中给出。

  图21.

  ${\hat{X}}_{L1}\otimes {\hat{I}}_{L2}\to {\hat{X}}_{L1}\otimes {\hat{X}}_{L2}$： 图 21 展示了第一个 Z-cut 量子比特上 ${\hat{X}}_{L1}$ 的变换，第二个量子比特上不执行操作（${\hat{I}}_{L2}$）。与空环编织一样，两次移动中 ${\hat{X}}_{L1}$ 算符链的扩展产生了一个算符 ${\hat{X}}_{L1}^{\prime \prime }$，它除了原始算符链 ${\hat{X}}_{L1}$ 外，还包括一个闭合的 $\hat{X}$ 算符环。该环包围了 X-cut 量子比特的上方孔洞。对于空环编织，我们可以将环穿过所有被包围的格移动，因为这些格都是稳定的，所以环算符分解为简单的测量结果乘积。这里，我们不能这样做，因为 X-cut 孔洞在环内且未被稳定；相反，我们可以将环穿过每个稳定的格变换，直到它紧密地包裹在 X-cut 孔洞周围。这个 $\hat{X}$ 算符环随后等价于 ${\hat{X}}_{L2}$，即对第二个量子比特的逻辑 $\hat{X}$ 操作。${\hat{X}}_{L1}^{\prime \prime \prime }$ 中剩余的算符链与编织前的原始 ${\hat{X}}_{L1}$ 链相同。因此我们看到编织将第一个量子比特上的 ${\hat{X}}_{L1}$ 和第二个量子比特上的 ${\hat{I}}_{L2}$ 变换为第一个量子比特上的 ${\hat{X}}_{L1}$ 和第二个量子比特上的 ${\hat{X}}_{L2}$，即

$${\hat{X}}_{L1}\otimes {\hat{I}}_{L2}\to {\hat{X}}_{L1}\otimes {\hat{X}}_{L2},\text{\hspace{1em}(26)}$$

细节在附录 I 中提供。

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  ${\hat{I}}_{L1}\otimes {\hat{X}}_{L2}\to {\hat{I}}_{L1}\otimes {\hat{X}}_{L2}$： 图 22 展示了第一个 Z-cut 量子比特上 ${\hat{I}}_{L1}$ 和第二个 X-cut 量子比特上 ${\hat{X}}_{L2}$ 的编织变换。将 Z-cut 量子比特孔洞穿过 X-cut 量子比特不会从任一量子比特产生包围或以其他方式与另一量子比特相互作用的算符链，因此这种情况下的编织变换不执行任何操作（除了符号变化）。因此我们发现

$${\hat{I}}_{L1}\otimes {\hat{X}}_{L2}\to {\hat{I}}_{L1}\otimes {\hat{X}}_{L2}\text{\hspace{1em}(27)}$$

（细节和符号变化在附录 I 中）。

  图22.（彩色在线版）(a)-(d) ${\hat{I}}_{L1}\otimes {\hat{X}}_{L2}$ 算符乘积的编织变换示意图。移动后，两个算符都没有净变化。

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  图23.

  ${\hat{I}}_{L1}\otimes {\hat{Z}}_{L2}\to {\hat{Z}}_{L1}\otimes {\hat{Z}}_{L2}$： 图 23 展示了第一个 Z-cut 量子比特上 ${\hat{I}}_{L1}$ 和第二个 X-cut 量子比特上 ${\hat{Z}}_{L2}$ 的变换。在图 23b 中，${\hat{Z}}_{L2}$ 如图所示通过乘以虚线框中勾勒的 $\hat{Z}$ 稳定子来扩展。然后第一个量子比特的孔洞穿过 ${\hat{Z}}_{L2}$ 扩展后留下的路径（图 23c）。然后 ${\hat{Z}}_{L2}$ 乘以图 23d 中虚线框所示的所有稳定子，留下一个包围第一个量子比特孔洞的 $\hat{Z}$ 算符环，这个环正是对第一个 Z-cut 量子比特的 ${\hat{Z}}_{L1}$ 操作，以及第二个量子比特上不变的原始 ${\hat{Z}}_{L2}$（除了可能的符号变化）。因此编织执行变换

$${\hat{I}}_{L1}\otimes {\hat{Z}}_{L2}\to {\hat{Z}}_{L1}\otimes {\hat{Z}}_{L2}.\text{\hspace{1em}(28)}$$

  ${\hat{Z}}_{L1}\otimes {\hat{I}}_{L2}\to {\hat{Z}}_{L1}\otimes {\hat{I}}_{L2}$： 最后我们考虑第一个量子比特上 ${\hat{Z}}_{L1}$ 和第二个量子比特上 ${\hat{I}}_{L2}$ 的编织变换。将第一个量子比特孔洞穿过第二个量子比特拖动 $\hat{Z}$ 算符环，就像空环编织一样，但由于环在两次移动中保持其闭合形式，它不会产生可以作用于第二个量子比特的算符链或环，因此编织变换不执行任何操作（除了符号变化）。因此我们发现

$${\hat{Z}}_{L1}\otimes {\hat{I}}_{L2}\to {\hat{Z}}_{L1}\otimes {\hat{I}}_{L2}.\text{\hspace{1em}(29)}$$

  一般来说，编织变换使由数据量子比特算符的闭合环构建的逻辑算符保持不变，并且与另一量子比特孔洞没有编织诱导的相互作用。相比之下，由连接两个量子比特孔洞的数据量子比特算符开链构建的逻辑算符最终会留下包围另一量子比特孔洞的算符环。不同的编织结果产生是因为第一个逻辑量子比特是 Z-cut 量子比特，其 ${\hat{X}}_L$ 算符是与第二个量子比特相互作用的开链，而第二个逻辑量子比特是 X-cut 量子比特，其 ${\hat{Z}}_L$ 算符是与第一个量子比特相互作用的开链。

  编织由两次移动变换组成，它们在第一个量子比特的逻辑算符中诱导符号变化，作为量子比特 1 的副产品逻辑算符 ${\hat{X}}_{L1}$ 和 ${\hat{Z}}_{L1}$ 作用于表面码波函数，正如在单格和多格移动中讨论的那样。编织变换还在第二个量子比特的逻辑算符中产生符号变化，即使该量子比特在编织期间没有被位移。这些符号变化产生作用于波函数的量子比特 2 副产品逻辑算符 ${\hat{X}}_{L2}$ 和 ${\hat{Z}}_{L2}$。关于副产品算符的细节在附录 I 中给出。

  图23.（彩色在线版）${\hat{I}}_{L1}\otimes {\hat{Z}}_{L2}$ 的编织变换。(a) 移动前，显示量子比特1上的 ${\hat{I}}_{L1}$ 和量子比特2上的 ${\hat{Z}}_{L2}$。相关数据量子比特以空心圆显示。(b) ${\hat{Z}}_{L2}$ 算符通过乘以一组稳定子（虚线框）来扩展，得到粗红色（灰色）线，它与原始 ${\hat{Z}}_{L2}$ 等效，除了可能的符号变化。© 量子比特1的孔穿过由扩展 ${\hat{Z}}_{L2}$ 打开的路径移动。(d) ${\hat{Z}}_{L2}$ 移回其原始形式，留下一个由 $\hat{Z}$ 物理量子比特算符组成的环，该环构成了量子比特1上的一个 ${\hat{Z}}_{L1}$ 算符。

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  我们现在转向 CNOT 门的讨论，并阐明为什么我们详细描述的变换实际上将编织识别为两个逻辑量子比特之间的 CNOT。

C. CNOT 门

  两量子比特 CNOT 门是量子计算的基本门。CNOT 中的两个量子比特之一充当控制，另一个充当目标。在标准两量子比特基 $|gg⟩,|ge⟩,|eg⟩,|ee⟩$ 中，CNOT 由 $4\times 4$ 实矩阵表示

$$\hat{C}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right).\text{\hspace{1em}(30)}$$

  如果控制量子比特处于 $|g⟩$，目标量子比特状态不变，而如果控制量子比特处于 $|e⟩$，目标量子比特经历 $\hat{X}$ 比特翻转，交换 $|g⟩$ 和 $|e⟩$。注意 $\hat{C}$ 是厄米的，${\hat{C}}^{†}=\hat{C}$，且幺正的，$\hat{C}{\hat{C}}^{†}={\hat{C}}^{†}\hat{C}=\hat{C}\hat{C}=\hat{I}$。

  测试实验 CNOT 门的一种方法是将 CNOT 作用于四个两量子比特基态中的每一个，然后将结果投影测量到四个基态中的每一个。这十六个实验可以与式 (30) 中的矩阵进行比较，以验证 CNOT 已正确实现。这本质上是 CNOT 的薛定谔绘景测试。

  一种等价的方法是使用海森堡绘景，通过检查 CNOT 作用引起的各种两量子比特算符的变换。这似乎需要证明 CNOT 对十六个外积对中的每一对都执行正确的变换，即四个单量子比特算符 $\hat{I}$、$\hat{X}$、$\hat{Y}$ 和 $\hat{Z}$ 的两两组合。结果你只需要证明 CNOT 正确变换这四个外积：

$${\hat{C}}^{†}(\hat{I}\otimes \hat{X})\hat{C}=\hat{I}\otimes \hat{X},\text{\hspace{1em}(31)}$$

$${\hat{C}}^{†}(\hat{X}\otimes \hat{I})\hat{C}=\hat{X}\otimes \hat{X},\text{\hspace{1em}(32)}$$

$${\hat{C}}^{†}(\hat{I}\otimes \hat{Z})\hat{C}=\hat{Z}\otimes \hat{Z},\text{\hspace{1em}(33)}$$

$${\hat{C}}^{†}(\hat{Z}\otimes \hat{I})\hat{C}=\hat{Z}\otimes \hat{I}.\text{\hspace{1em}(34)}$$

  其他十二个关系要么是平凡的（$\hat{I}\otimes \hat{I}$ 变换为自身），或者可以用这四个变换来写出。因此 ${\hat{C}}^{†}(\hat{X}\otimes \hat{X})\hat{C}=\hat{X}\otimes \hat{I}$ 与式 (32) 相同，这可以通过在式 (32) 两边左乘 ${\hat{C}}^{†}$ 右乘 $\hat{C}$，并使用 $\hat{C}$ 是幺正的事实来看到。诸如 $\hat{X}\otimes \hat{Z}$ 的组合按照下式变换：

$${\hat{C}}^{†}(\hat{X}\otimes \hat{Z})\hat{C}={\hat{C}}^{†}(\hat{X}\otimes \hat{I})(\hat{I}\otimes \hat{Z})\hat{C}={\hat{C}}^{†}(\hat{X}\otimes \hat{I})\hat{C}{\hat{C}}^{†}(\hat{I}\otimes \hat{Z})\hat{C}=(\hat{X}\otimes \hat{X})(\hat{Z}\otimes \hat{Z})=\hat{X}\hat{Z}\otimes \hat{X}\hat{Z}=\hat{Y}\otimes \hat{Y}.\text{\hspace{1em}(35)}$$

  涉及 $\hat{Y}$ 的其他组合可以使用恒等式 $\hat{Y}=\hat{Z}\hat{X}$ 来计算；因此

$${\hat{C}}^{†}(\hat{Y}\otimes \hat{I})\hat{C}={\hat{C}}^{†}(\hat{Z}\hat{X}\otimes \hat{I})\hat{C}={\hat{C}}^{†}(\hat{Z}\otimes \hat{I})(\hat{X}\otimes \hat{I})\hat{C}={\hat{C}}^{†}(\hat{Z}\otimes \hat{I})\hat{C}{\hat{C}}^{†}(\hat{X}\otimes \hat{I})\hat{C}=(\hat{Z}\otimes \hat{I})(\hat{X}\otimes \hat{X})=\hat{Z}\hat{X}\otimes \hat{I}\hat{X}=\hat{Y}\otimes \hat{X}.\text{\hspace{1em}(36)}$$

  因此我们可以通过验证它满足式 (31)-(34) 给出的四个关系来验证 CNOT 实现。然而，这些正是我们为编织推导出的四种变换，因此确实编织就是 CNOT。

  注意完整的编织变换，包括对物理数据量子比特的所有操作，涉及大量投影测量，因此不是幺正的。然而，如果我们考虑编织对乘积 $|Q⟩|q_L⟩$ 的影响，虽然稳定态 $|Q⟩$ 的变换不是幺正的，但逻辑状态 $|q_L⟩$ 的变换确实是幺正的。

D. 两个 Z-cut 量子比特之间的 CNOT

  我们只展示了如何使用 Z-cut 量子比特作为控制、X-cut 量子比特作为目标的编织来执行 CNOT。我们可以使用图 24a-c 所示的电路将其扩展为两个 Z-cut 量子比特之间的 CNOT。该电路使用逻辑 Z-cut “target-in” 量子比特作为目标，使用逻辑 Z-cut 控制量子比特作为控制，Z-cut “target-out” 量子比特携带结果。一个辅助 X-cut 量子比特是电路中三个逻辑 CNOT 的目标，因此所有 CNOT 都是 Z-cut 和 X-cut 量子比特之间的编织变换。电路包括两个逻辑测量，结果为 $M_Z$ 和 $M_X$。如果 target-in 量子比特被测量为 $|{+}_L⟩$（$|{-}_L⟩$），$M_X=+1(-1)$，则 target-out 量子比特在 CNOT 之前不（会）应用 ${\hat{Z}}_L$。如果 X-cut 量子比特被测量为 $|g_L⟩$（$|e_L⟩$），$M_Z=+1(-1)$，则目标在 CNOT 之后不（会）应用 ${\hat{X}}_L$。

  你可以使用算符变换来验证这个电路是否正常工作，或者通过用控制量子比特和 target-in Z-cut 量子比特的四个输入基态 $|gg⟩$、$|ge⟩$、$|eg⟩$ 和 $|ee⟩$ 来测试它（暂时去掉逻辑下标 $L$）。例如，考虑 $|eg⟩$，其中控制处于 $|e⟩$ 而 target-in 处于 $|g⟩$。我们将四量子比特状态写为 $|abcd⟩$，其中 $a$ 是顶部 Z-cut 控制量子比特，$b$ 是 X-cut 量子比特，$c$ 是 target-out，$d$ 是 target-in 量子比特。初始状态是 $|eg+g⟩$。这个状态在电路的第一个 CNOT 之后不变，而第二个 CNOT 产生 $|ee+g⟩$。第三个 CNOT 产生纠缠态 $|eegg⟩+|egeg⟩$。我们现在测量第二个（X-cut）量子比特的 $\hat{Z}$，这可以产生两个结果：

1. 如果第二个（X-cut）量子比特的 $\hat{Z}$ 测量得到 $M_Z=+1$（意味着第二个量子比特被测量为 $|g⟩$），状态被投影到 $|egeg⟩$，target-out 量子比特处于 $|e⟩$；由于 $M_Z=+1$ 我们不对此量子比特应用 ${\hat{X}}_L$。target-in 量子比特测量结果没有影响（对目标应用 ${\hat{Z}}_L$ 不影响它），因此我们看到 target-out 最终处于 $|e⟩$，并且电路执行了期望的变换 $|e_L{g}_L⟩\to |e_L{e}_L⟩$。

2. 如果第二个量子比特的 $\hat{Z}$ 测量反而得到 $M_Z=-1$（意味着投影第二个量子比特到 $|e⟩$），测量后状态是 $|eegg⟩$，target-out 处于 $|g⟩$。由于我们有 $M_Z=+1$，我们需要对 target-out 量子比特应用 ${\hat{X}}_L$，将其变换为 $|e⟩$。因此电路执行相同的变换，$|eg⟩\to |ee⟩$。

  我们鼓励读者测试其他可能的输入状态，以证明 $|gg⟩\to |gg⟩$、$|ge⟩\to |ge⟩$ 和 $|ee⟩\to |eg⟩$。

  还有一个用于在两个 X-cut 量子比特之间执行 CNOT 的类似电路，使用 Z-cut 量子比特作为中间辅助来执行编织。这在图 24d-f 中展示，在 control-in 和 control-out 量子比特之间进行状态转移。

E. 单控制、多目标 CNOT

  经常需要实现单控制、多目标 CNOT；例如它们出现在用于纯化不完美状态的蒸馏电路中，正如我们在讨论 $\hat{S}$ 和 $\hat{T}$ 门时将看到的。结果表明，这种 CNOT 实际上并不比单控制、单目标 CNOT 更复杂，并且实际上可以用与两个 Z-cut 或两个 X-cut 量子比特之间 CNOT 相同数量的表面码周期来实现。我们在图 25 中展示这样一个电路，实现单控制、三目标逻辑 CNOT，在 X-cut 量子比特之间。该电路使用单个 Z-cut 量子比特作为中介来执行编织变换，以及一个 X-cut control-out 辅助，在电路操作期间将 control-in 状态转移到其上。Z-cut 中介被编织穿过控制和三个目标量子比特孔洞，这个过程可以在仅 $2d$ 个表面码周期内完成，随后进行用于解释结果的测量。这当然可以扩展到任意数量的目标量子比特，不需要额外的表面码周期来完成操作。

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XV. Hadamard 变换

  Hadamard 变换是单量子比特门，在标准量子比特基 $|g⟩$、$|e⟩$ 中由 $2\times 2$ 矩阵表示

$$\hat{H}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right).\text{\hspace{1em}(37)}$$

  在薛定谔绘景中，这个幺正厄米算符将 $\hat{Z}$ 本征态 $|g⟩$ 和 $|e⟩$ 分别变换为 $\hat{X}$ 本征态 $|+⟩$ 和 $|-⟩$。它同样将 $|+⟩$ 和 $|-⟩$ 本征态变换为 $|g⟩$ 和 $|e⟩$。在布洛赫球方面，Hadamard 由绕 $x-z$ 平面中一个轴的 $180^{\circ }$ 旋转表示，该轴与 $z$ 轴成 $45^{\circ }$。在表面码中，不能执行这种任意旋转，因此等价的逻辑旋转是不可能的。

  图24.（彩色在线版）(a) 两个 Z-cut 量子比特之间的逻辑 CNOT。控制量子比特、目标输入量子比特以及第二个辅助量子比特（处于 $|{+}_L⟩$）都是 Z-cut 量子比特，而第一个辅助量子比特是 X-cut 量子比特。所有逻辑 CNOT 都在 Z-cut 和 X-cut 量子比特之间，通过编织变换生成。测量结果 $M_Z$ 和 $M_X$ 指示如何解释输出态，如正文中所述。(b) 使用编织的简化表示，黑线代表 Z-cut 量子比特，蓝色（浅色）线代表 X-cut 量子比特。每个逻辑量子比特有一对线，每个量子比特孔一条线。当逻辑量子比特被创建或测量时，两条线汇合。© 更简化的表示。(d) 两个 X-cut 量子比特之间的逻辑 CNOT。控制量子比特、目标输入量子比特以及第一个辅助量子比特都是 X-cut 量子比特，而第二个辅助量子比特是 Z-cut 量子比特。所有逻辑 CNOT 都在 X-cut 和 Z-cut 量子比特之间，通过编织变换生成，Z-cut 作为控制端。测量结果 $M_Z$ 和 $M_X$ 指示如何解释输出态。(e) 简化表示，黑线代表 Z-cut 量子比特，蓝色（浅色）代表 X-cut 量子比特。(f) 更简化的表示。

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  图25.（彩色在线版）用于实现单量子比特控制、三目标逻辑 CNOT（右侧等效电路）的电路示意图，使用与图24相同的符号。蓝色（浅色）线是用于控制和目标的逻辑 X-cut 量子比特，黑线是作为 X-cut 量子比特之间中介的辅助逻辑 Z-cut 量子比特。该序列共涉及六个逻辑量子比特，类似于图24。

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  在海森堡绘景中，Hadamard 将 $\hat{X}$ 变为 $\hat{Z}$ 反之亦然，因此它满足

$${\hat{H}}^{†}\hat{X}\hat{H}=\hat{Z},{\hat{H}}^{†}\hat{Z}\hat{H}=\hat{X}.\text{\hspace{1em}(38)}$$

  逻辑 Hadamard 在表面码中的实现如图 26、27 和 28 所示，过程细节在附录 J 和文献 [49] 中给出。我们从图 26 中 $d=7$ 的逻辑量子比特阵列开始。该过程的第一步是通过关闭一环稳定子，将待变换的逻辑量子比特从更大的二维阵列中隔离出来，将逻辑量子比特隔离在二维阵列的一个独立块中，如图 27a 所示。${\hat{Z}}_L$ 算符环通过乘以块中的多个稳定子被变换为跨块链。通过将隔离逻辑量子比特的环加宽为一条"护城河"（moat），使护城河吞没两个量子比特孔洞，逻辑量子比特被变换为如图 27b-d 所示的简单"块"（patch）量子比特，类似于我们在第 VI 节中讨论的 $d=5$ 阵列量子比特。

  逻辑 Hadamard 的关键现在被实现，通过对块中的所有数据量子比特执行物理 Hadamard；这交换了 ${\hat{X}}_L$ 算符和 ${\hat{Z}}_L$ 算符，以及交换了 X 和 Z 稳定子的身份（图 27e）。然而这导致块中稳定子与更大二维阵列中的稳定子错位，因此然后执行两次交换，从数据量子比特到测量量子比特，然后从测量量子比特到数据量子比特，将块移动一个稳定子格并重新对齐稳定子（图 27f）。然后重新创建两个 Z-cut 孔洞（图 28g），定位使得 Hadamard 变换后的 ${\hat{X}}_L$ 链终止于每个孔洞的内部边界，而 ${\hat{Z}}_L$ 链乘以一组稳定子使其返回到围绕一个量子比特孔洞的环。然后量子比特孔洞被移动以重新对齐到其原始位置（图 28h-j），移动被分成两步以保持阵列距离 $d$。在最后一步中，量子比特与主阵列重新连接（如图 26）。

  图26.（彩色在线版）逻辑 Hadamard 示例的初始二维阵列。Z-cut 量子比特孔的间距和大小对应于距离 $d=7$。阵列中心的两个孔形成作为逻辑 Hadamard 目标的逻辑量子比特，我们显示其 ${\hat{X}}_L$ 和 ${\hat{Z}}_L$ 逻辑算符。虚线框勾画了图27和图28中所示内容的范围。

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  表面码用于纠正和稳定此过程中发生的任何错误，包括来自物理 Hadamard 的潜在错误。只要经历 Hadamard 的"块量子比特"的距离 $d$ 足够大，并且物理 Hadamard 中的错误足够罕见，这将保持纠错。距离 $d$ 决定了在 Hadamard 过程中某些稳定子测量需要重复的次数，如图注中所述。这些重复次数因此特定于这个 $d=7$ 几何结构 [49]，更大的距离码将需要更多重复。

  在此过程中，我们对数据量子比特执行了物理 Hadamard，然后做了两次交换以重新对齐稳定子。一个完全等价的过程是首先执行数据量子比特-测量量子比特交换，然后对所有现在存储数据量子比特状态的测量量子比特执行物理 Hadamard。该过程通过将 Hadamard 变换后的测量量子比特状态交换到适当的数据量子比特来完成，此后测量量子比特重新获得其原始 $\hat{X}$ 或 $\hat{Z}$ 稳定子角色。

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