head(iris)

 Sepal.Length Sepal.Width Petal.Length Petal.Width Species
        1          5.1         3.5          1.4                 0.2          setosa
        2          4.9         3.0          1.4                 0.2          setosa
        3          4.7         3.2          1.3                 0.2          setosa
        4          4.6         3.1          1.5                 0.2          setosa
        5          5.0         3.6          1.4                 0.2          setosa
        6          5.4         3.9          1.7                 0.4          setosa

变量名	中文说明	单位	含义
Sepal.Length	花萼长度	cm	花朵外层萼片的长度
Sepal.Width	花萼宽度	cm	花朵外层萼片的宽度
Petal.Length	花瓣长度	cm	花朵内层花瓣的长度
Petal.Width	花瓣宽度	cm	花朵内层花瓣的宽度
Species	品种	-	鸢尾花分类（因子型）

3 个品种（Species）取值

1. setosa：山鸢尾
2. versicolor：变色鸢尾
3. virginica：维吉尼亚鸢尾

1、简单线性回归（1 个自变量）

用花瓣宽度 (Petal.Width) 预测 花瓣长度 (Petal.Length)

# 构建线性回归模型：y ~ x
simple_model <- lm(Petal.Length ~ Petal.Width, data = iris)

# 查看模型结果（核心输出）
summary(simple_model)

Call:
lm(formula = Petal.Length ~ Petal.Width, data = iris)

Residuals:
     Min       1Q          Median       3Q       Max 
-1.33542 -0.30347 -0.02955  0.25776  1.39453 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  1.08356    0.07297   14.85   <2e-16 ***
Petal.Width  2.22994    0.05140   43.39   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 0.4782 on 148 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.9271,    Adjusted R-squared:  0.9266 
F-statistic:  1882 on 1 and 148 DF,  p-value: < 2.2e-16

模型结果：

1. Call：模型公式
2. Residuals：残差（预测值与真实值的差值）统计量
3. Coefficients（核心系数）：
   • Intercept：截距项
   • Petal.Width：自变量系数（代表花瓣宽度每增加 1，花瓣长度平均增加 X）
   • Pr(>|t|)：p 值（<0.05 表示变量显著）
4. R-squared：决定系数（越接近 1，模型拟合效果越好）
5. p-value：模型整体显著性（<0.05 表示模型有效）

# 绘制原始数据散点图 
plot(iris$Petal.Width, iris$Petal.Length, 
    main = "简单线性回归：花瓣宽度 vs 花瓣长度", 
    xlab = "花瓣宽度", 
    ylab = "花瓣长度", 
    pch = 16, 
    col = "steelblue") 
# 添加回归拟合线 
abline(simple_model, col = "red", lwd = 2)

2、多元线性回归（多个自变量）

用花萼长度、花萼宽度、花瓣宽度 共同预测 花瓣长度：

# 构建多元线性回归模型：y ~ x1 + x2 + x3
multi_model <- lm(Petal.Length ~ Sepal.Length + Sepal.Width + Petal.Width, data = iris)

# 查看模型详细结果
summary(multi_model)

Call:
lm(formula = Petal.Length ~ Sepal.Length + Sepal.Width + Petal.Width, 
    data = iris)

Residuals:
     Min       1Q            Median       3Q         Max 
-0.99333 -0.17656  -0.01004    0.18558  1.06909 

Coefficients:
             Estimate                 Std. Error         t value             Pr(>|t|)    
(Intercept)  -0.26271             0.29741           -0.883            0.379    
Sepal.Length  0.72914          0.05832          12.502           <2e-16 ***
Sepal.Width  -0.64601           0.06850          -9.431           <2e-16 ***
Petal.Width   1.44679            0.06761          21.399           <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 0.319 on 146 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.968,     Adjusted R-squared:  0.9674 
F-statistic:  1473 on 3 and 146 DF,  p-value: < 2.2e-16

第 1 张图：Residuals vs Fitted（残差 vs 拟合值）

看是否真的存在线性关系 + 方差是否均匀

1. 中间红线要尽量水平 → 满足线性关系
2. 点要随机均匀分布在红线上下 → 没有规律
3. 不能出现漏斗形、曲线形

第 2 张图：Normal Q-Q（正态 Q-Q 图）

看残差是否符合正态分布（回归模型的重要假设）

• 点要紧紧贴在对角线上
• 两头稍微偏离没关系，中间必须贴紧

第 3 张图：Scale-Location（标准差拟合图）

检验方差齐性（误差大小是否均匀）

• 红线要水平
• 点不要出现越来越散开 / 越来越集中的漏斗形状

第 4 张图：Residuals vs Leverage（残差 vs 杠杆值）

找异常点 / 强影响点

1. 绝大多数点要落在中间区域
2. 没有点超出右侧虚线（Cook 距离）
3. 就算有点偏，只要没超出虚线就没事

3、预测

new_data <- data.frame(
  Sepal.Length = c(5.1, 6.2),
  Sepal.Width  = c(3.5, 2.9),
  Petal.Width  = c(0.2, 1.3)
)

pred_vals <- predict(multi_model, new_data)

       1        2 
1.484210 4.265343 
可以看到：

第1朵：花萼长5.1，花萼宽3.5，花瓣宽0.2，预测的花瓣长度是1.48

第2朵：花萼长6.2，花萼宽2.9，花瓣宽1.3，预测的花瓣长度是4.27

# 绘制真实数据散点图 + 预测点（红色星星）
plot(iris$Petal.Width, iris$Petal.Length,
     main = "鸢尾花花瓣宽度 vs 长度（含预测点）",
     xlab = "花瓣宽度", ylab = "花瓣长度",
     pch = 16, col = "steelblue", cex = 1.2)

# 画回归直线
abline(lm(Petal.Length ~ Petal.Width, data=iris), col = "red", lwd=2)

# 把你的两个预测点标成红色大星星
points(new_data$Petal.Width, pred_vals, 
       col = "red", pch = 8, cex = 3, lwd=3)

# 给点加文字
text(new_data$Petal.Width, pred_vals, 
     labels = round(pred_vals, 2), 
     pos = 3, col = "red", cex = 1.5)

# 加图例
legend("topleft", 
       legend = c("真实数据", "回归直线", "预测点"),
       pch = c(16, NA, 8),
       lty = c(NA, 1, NA),
       col = c("steelblue", "red", "red"),
       lwd = 2)