✅ PAT 乙级题目讲解：1003《我要通过！》

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🧩 题目简介

本题属于字符串合法性判断问题，题目要求根据字符串的结构判断其是否为一个“正确”的字符串。所谓“正确”，是指字符串满足某种特定的格式，由字符 P、A、T 组成，且要满足一系列生成规则。

我们需要判断每一个字符串是否满足如下条件：

1. 只能包含字符 P、A、T；
2. 且仅出现一次 P 和一次 T，且 P 必须出现在 T 之前；
3. 将字符串表示为 aPbTc 的形式，且中间部分（即 b）长度至少为 1，并满足公式：len(a) * len(b) == len(c)。

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🧪 样例分析

输入：

10
PAT
PAAT
AAPATAA
AAPAATAAAA
xPATx
PT
Whatever
APAAATAA
APT
PTAA

逐个分析如下：

• PAT：len(a)=0, len(b)=1, len(c)=0 ⇒ 0×1=0 ✅
• PAAT：len(a)=0, len(b)=2, len(c)=0 ⇒ 0×2=0 ✅
• AAPATAA：len(a)=2, len(b)=1, len(c)=2 ⇒ 2×1=2 ✅
• AAPAATAAAA：len(a)=2, len(b)=2, len(c)=4 ⇒ 2×2=4 ✅
• xPATx：含非法字符 ❌
• PT：中间无 A ⇒ len(b)=0 ❌
• Whatever：含非法字符 ❌
• APAAATAA：len(a)=1, len(b)=3, len(c)=2 ⇒ 1×3≠2 ❌
• APT：中间无 A ❌
• PTAA：多个 T ❌

因此输出为：

YES
YES
YES
YES
NO
NO
NO
NO
NO
NO

数学推导：为何 lena * lenb == lenc

我们设一个基础合法串为 PAT，其中 len(a)=0，len(b)=1，len(c)=0，此时 0 × 1 = 0 成立。

考虑生成新串的过程，每次在中段 b 末尾增加一个 A，同时在尾部 c 增加一段等长的 A。我们来推导该规则的数学本质：

设：

• 初始时：len(a) = na，len(b) = nb = 1，len(c) = nc = na
• 每次扩展中段 b 增加一个 A，变成 nb + m
• 同时末尾 c 要扩展为：nc + m × na（每次扩展 b，就多加一段 a 的长度）

于是：

最终的中段长度：len(b) = nb + m
最终的尾段长度：len(c) = nc + m × na = na + m × na = na × (1 + m)

此时：

len(b) = 1 + m
len(c) = na × (1 + m)

所以有：

len(a) × len(b) = na × (1 + m) = len(c)

因此，所有由基本串扩展得到的串都满足：

len(a) × len(b) == len(c)

这个公式正是我们在程序中进行判断的关键逻辑。

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🔍 解题思路

📎 变量说明

变量名	含义
n	测试用例数量
s	当前待检测的字符串
p	字符 P 所在的位置
t	字符 T 所在的位置
cp	字符 P 出现次数
ct	字符 T 出现次数
lena	P 左侧 A 的个数
lenb	P 和 T 之间 A 的个数
lenc	T 右侧 A 的个数

✅ Step 1：过滤非法字符

遍历字符串中所有字符，若出现非 P、A、T 以外的字符，立即判为非法。

for(int i = 0; i < len; i++){
    if(s[i] != 'P' && s[i] != 'A' && s[i] != 'T'){
        f = 0;
        break;
    }
}

✅ Step 2：统计 P、T 出现次数及位置

确保 P 和 T 各自出现且仅出现一次，且 P 必须在 T 之前。

if(cp != 1 || ct != 1 || p >= t) f = 0;

✅ Step 3：根据公式判断是否合法

将字符串分段后，统计三部分 A 的数量，判断是否满足 lena * lenb == lenc 且 lenb > 0。

int lena = p;
int lenb = t - p - 1;
int lenc = len - t - 1;
if(!lenb || lena * lenb != lenc) f = 0;

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完整代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n;
string s;
int main(){
    cin >> n;
    while(n--){
        cin >> s;
        int len = s.size();
        bool f = 1;
        // 1. 只有 P A T
        int p, t, cp = 0, ct = 0;
        for(int i = 0; i < len; i++){
            if(s[i] != 'P' && s[i] != 'A' && s[i] != 'T'){
                f = 0;
                break;
            }
            if(s[i] == 'P'){
                cp++;
                p = i;
            }
            if(s[i] == 'T'){
                ct++;
                t = i;
            }
        }
        // 2. P 和 T 唯一，且 P 先于 T
        if(cp != 1 || ct != 1 || p >= t) f = 0;
        // 3. aPbTc -> lenb >= 1 且 lena * lenb = lenc
        int lena = p;
        int lenb = t - p - 1;
        int lenc = len - t - 1;
        if(!lenb || lena * lenb != lenc) f = 0;
        if(f) cout << "YES";
        else cout << "NO";
        if(n > 0) cout << "\n";
    }
    return 0;
}

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🚧 常见错误提醒

错误类型	具体表现
字符合法性错误	包含 P、A、T 以外的字符
P、T 多次出现	cp != 1 或 ct != 1
P 在 T 之后	p >= t
中间部分无 A	lenb == 0
数学公式不成立	lena * lenb != lenc
输出格式错误	多输出换行或少输出换行

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✅ 总结归纳

• 本题是构造字符串合法性判断的经典题型。
• 推导出公式 lena * lenb == lenc 是解题核心。
• 熟练处理字符串分段，逻辑判断，数学建模。

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🧠 思维拓展

• 本题可延展到“语言生成规则”建模、“有限状态机”合法串识别问题。
• 可作为学习自底向上归纳规则的入门训练题。