电磁波传播与信号衰落全解析

这篇文章从麦克斯韦方程、功率扩散、路径损耗、阴影衰落、多径衰落一路讲到 RSSI 波动的根本原因。
写作目标是回答一个核心问题：为什么同一个发射机，在不同距离、姿态、遮挡与环境下，接收信号强度会表现出如此复杂的变化？

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1. 问题从哪里来

在无线系统里，最常见也最容易被误解的现象，就是“信号强度并不只由距离决定”。

工程上经常会看到：

• 两次测量的距离一样，但 RSSI 差了 10 dB 以上；
• 距离变近了，RSSI 却没有单调增强；
• 人走过、门关上、手机转个方向，接收强度就明显变化；
• 同一套算法在空旷环境有效，进入办公室或车库后误差骤增。

这些现象都不是偶然，而是由无线传播的多层次物理机制共同决定的。

为了真正理解 RSSI、路径损耗模型、定位误差与滤波算法，必须先把传播机理讲透。

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2. 电磁波传播的物理起点

2.1 从麦克斯韦方程看“无线为什么能传播”

在均匀、各向同性介质中，电场 $\mathbf{E}$ 和磁场 $\mathbf{H}$ 满足麦克斯韦方程组。对自由空间而言，常见写法为：
$$\nabla \times \mathbf{E}=-\mu \frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t}$$
$$\nabla \times \mathbf{H}=ϵ\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$$
$$\nabla \cdot \mathbf{E}=0,\nabla \cdot \mathbf{H}=0$$
这几条式子的物理意义可以简化理解为：

• 时间变化的磁场会激发旋转电场；
• 时间变化的电场会激发旋转磁场；
• 两者相互耦合并向外传播，形成电磁波。

将旋度方程联立，可以得到自由空间中的波动方程：
$${\nabla }^2\mathbf{E}-\mu ϵ\frac{{\partial }^2\mathbf{E}}{\partial t^2}=0$$
$${\nabla }^2\mathbf{H}-\mu ϵ\frac{{\partial }^2\mathbf{H}}{\partial t^2}=0$$
这说明无线信号本质上是满足波动方程的电磁扰动。

2.2 为什么会有“传播损耗”

即使没有墙壁、没有金属、没有干扰，只要波从点源向外扩散，能量也会被摊到越来越大的球面上。
半径为 $d$ 的球面面积为：
$$A(d)=4\pi d^2$$
如果总辐射功率不变，那么单位面积上的功率密度自然按 $1/d^2$ 衰减。这就是“自由空间反平方律”的几何来源。

它不是经验结论，而是球面扩展带来的必然结果。

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3. 从功率密度到 Friis 传输公式

3.1 第一步：发射功率如何分布到空间

设发射功率为 $P_t$，发射天线增益为 $G_t$，则距离发射机 $d$ 处的平均功率密度为：
$$S(d)=\frac{P_t{G}_t}{4\pi d^2}$$
这里的 $G_t$ 用来刻画天线相对理想各向同性天线的方向性增强。

3.2 第二步：接收天线并不是“接住整个球面”

接收端真正拿到的功率，取决于它的有效孔径 $A_e$：
$$P_r=S(d)\cdot A_e$$
而天线理论给出：
$$A_e=\frac{G_r{\lambda }^2}{4\pi }$$
其中：

• $G_r$ 是接收天线增益；
• $\lambda$ 是波长，满足 $\lambda =c/f$。

3.3 第三步：联立得到 Friis 公式

把两式合并：
$$P_r=\frac{P_t{G}_t}{4\pi d^2}\cdot \frac{G_r{\lambda }^2}{4\pi }$$
化简得：
$$P_r=P_t{G}_t{G}_r{\left(\frac{\lambda }{4\pi d}\right)}^2$$
这就是经典的 Friis Transmission Equation。

3.4 为什么这个公式重要

它告诉我们四个根本事实：

1. 接收功率随距离按 $d^{-2}$ 下降；
2. 频率越高，波长越短，接收功率越低；
3. 天线增益会改变链路预算；
4. 自由空间损耗首先是“几何扩散损耗”，不是障碍物损耗。

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4. 自由空间路径损耗公式是怎么来的

定义路径损耗为发射功率与接收功率之比：
$$PL=\frac{P_t}{P_r}$$
把 Friis 公式代入：
$$PL=\frac{1}{G_t{G}_r}{\left(\frac{4\pi d}{\lambda }\right)}^2$$
若只讨论自由空间本体损耗，忽略天线增益，则：
$$P{L}_{\text{FS}}={\left(\frac{4\pi d}{\lambda }\right)}^2$$
转成 dB 形式：
$$P{L}_{\text{FS}}(\text{dB})=20{\log }_{10}\left(\frac{4\pi d}{\lambda }\right)$$
因为 $\lambda =c/f$，所以进一步得到：
$$P{L}_{\text{FS}}(\text{dB})=20{\log }_{10}(d)+20{\log }_{10}(f)+20{\log }_{10}\left(\frac{4\pi }{c}\right)$$
当 $d$ 用 km、$f$ 用 MHz 时，常写成：
$$P{L}_{\text{FS}}(\text{dB})=32.44+20{\log }_{10}(d_{\text{km}})+20{\log }_{10}(f_{\text{MHz}})$$

4.1 一个最关键的工程结论

当距离翻倍时，损耗增加：
$$20{\log }_{10}(2)\approx 6.02\text{dB}$$
这就是“距离翻倍，损耗增加约 6 dB”的来源。

同理，频率翻倍时，自由空间路径损耗也增加约 6 dB。

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5. 为什么实际环境里不能只用自由空间模型

Friis 公式成立的前提非常严格：

• 视距传播（LOS）；
• 远场条件；
• 无反射、无绕射、无散射；
• 无严重极化失配；
• 天线方向稳定。

而室内、厂房、地下车库、车载环境通常不满足这些条件，所以实际接收功率会围绕自由空间平均趋势发生巨大偏移。

这就引出三个层次的损耗结构：

1. 大尺度路径损耗：随距离的平均衰减；
2. 阴影衰落：由墙体、人体、货架等遮挡造成的慢变化；
3. 小尺度衰落：由多径叠加导致的快速波动。

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6. 大尺度路径损耗：为什么平均功率近似按对数衰减

6.1 对数距离模型的来源

实验上发现，在大量真实场景中，平均接收功率更适合写成：
$$PL(d)=PL(d_0)+10n{\log }_{10}\left(\frac{d}{d_0}\right)$$
这里：

• $d_0$ 是参考距离；
• $n$ 是路径损耗指数；
• $PL(d_0)$ 是参考点处损耗。

如果从功率形式理解：
$$P_r(d)\propto d^{-n}$$
两边取对数：
$$10{\log }_{10}{P}_r(d)=C-10n{\log }_{10}d$$
于是功率与 $\log d$ 呈近似线性关系，这就是对数距离模型的数学根源。

6.2 路径损耗指数为什么不是固定 2

自由空间中 $n=2$。
但在实际环境里：

• 办公室可能是 $2.0\sim 3.5$；
• 工厂、仓储、强遮挡区域可能更高；
• 波导效应明显的长走廊里甚至可能局部低于 2。

所以 $n$ 不是一个材料常数，而是环境统计参数。

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7. 阴影衰落：为什么同样距离的 RSSI 仍会不同

7.1 物理原因

在同样的收发距离下，传播路径可能穿过不同数量、不同材质的障碍物：

• 石膏板；
• 玻璃；
• 混凝土；
• 金属隔断；
• 人体与液体容器。

这些障碍物引入的附加衰减并不完全固定，因此同样距离的平均功率会出现随机起伏。

7.2 为什么常用对数正态阴影模型

经验测量显示，大尺度平均值附近的随机偏移在 dB 域中常近似服从高斯分布，因此写成：
$$PL(d)=PL(d_0)+10n{\log }_{10}\left(\frac{d}{d_0}\right)+X_{\sigma }$$
其中：
$$X_{\sigma }\sim \mathcal{N}(0,{\sigma }^2)$$
这叫 Log-Normal Shadowing Model。

为什么叫“对数正态”？

因为在 dB 域它是高斯随机量，在功率线性域就对应对数正态分布。

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8. 小尺度衰落：为什么 RSSI 会快速抖动

8.1 多径叠加是根本原因

同一个信号到达接收机时，往往不是只走一条直线路径，而是会发生：

• 反射（Reflection）
• 绕射（Diffraction）
• 散射（Scattering）

于是接收端实际上拿到多个不同幅度、不同相位、不同延迟的副本。

把这些副本写成复包络叠加：
$$r(t)=\sum _{k=1}^N{a}_k{e}^{j{\varphi }_k}$$
其中：

• $a_k$ 是第 $k$ 条路径幅度；
• ${\varphi }_k$ 是第 $k$ 条路径相位。

当相位相近时，波会相长干涉；当相位相反时，会相消干涉。
这就是为什么移动几厘米，RSSI 都可能大变。

8.2 为什么会有 Rayleigh 和 Rician 分布

如果没有明显主径，接收复包络实部和虚部常近似高斯，于是幅度服从 Rayleigh 分布。
若存在一个强 LOS 主径，再叠加很多弱散射径，则更接近 Rician 分布。

这也是为什么“无遮挡场景”和“非视距场景”的 RSSI 稳定性完全不同。

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9. RSSI 为什么既有用又不可靠

RSSI 的定义本身很简单：它是接收机对接收功率强弱的一个度量。
但它不等于“几何距离传感器”。

从传播角度看，RSSI 可以写成一个分层模型：
$$RSSI(d)=A-10n{\log }_{10}(d)-X_{\sigma }-F_{\text{mp}}-{\Delta }_{\text{hw}}$$
其中：

• $A$：参考距离处平均接收功率；
• $10n{\log }_{10}(d)$：大尺度路径损耗；
• $X_{\sigma }$：阴影衰落；
• $F_{\text{mp}}$：多径快衰落；
• ${\Delta }_{\text{hw}}$：设备、天线、姿态、实现差异。

这条式子非常重要，因为它解释了为什么 RSSI 反映的是“距离 + 环境 + 硬件”的混合结果。

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10. 一个简单但很有用的数学图

下面用 ASCII 图画出三层效应的关系：

接收功率(dBm)
 ^
 |\
 | \                 实测RSSI：在平均曲线附近上下抖动
 |  \      .  .  . .    .   . .
 |   \   .                 .     .
 |    \ .    平均趋势(路径损耗)       .
 |     \______________________________> log10(d)
 |
 +----------------------------------->

可以把它理解为：

• 斜向下降的主线：大尺度损耗；
• 主线周围缓慢漂移：阴影衰落；
• 局部细碎抖动：多径快衰落。

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11. 从传播理论到定位与测距误差

如果直接用 RSSI 反推距离，常用公式是：
$$d=10^{\frac{A-RSSI}{10n}}$$
这个式子来自对数距离模型的直接变形，并没有错。
但误差会被指数放大。

设 RSSI 有误差 $\Delta r$，则：
$${\log }_{10}d=\frac{A-RSSI}{10n}$$
对 RSSI 求微分：
$$d({\log }_{10}d)=-\frac{1}{10n}d(RSSI)$$
换成相对距离误差：
$$\frac{\Delta d}{d}\approx \ln (10)\frac{|\Delta r|}{10n}$$
说明：

• RSSI 每多抖几 dB，距离误差就会明显放大；
• $n$ 越小，误差放大越严重；
• 这就是 RSSI 测距“近距离看起来还能用，远距离常失真”的重要原因之一。

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12. 研究与工程实践中的常见误区

12.1 误区一：把 RSSI 当成距离的单值函数

真实情况是：
同一距离下 RSSI 是随机变量，不是常数。

12.2 误区二：用一次标定参数跑遍所有场景

路径损耗指数 $n$、参考功率 $A$ 都依赖环境、频段、硬件和摆放姿态。

12.3 误区三：只做平均，不分离慢衰落和快衰落

滑动平均能降低抖动，但也会引入时延，且无法真正补偿设备异构性。

12.4 误区四：忽略天线与人体影响

手持手机、贴近人体、车内金属反射、设备朝向变化，都可能带来比“纯距离变化”更大的幅度改变量。

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13. 本文结论

如果只记住一句话，那就是：

无线信号强度的变化，是“几何扩散 + 环境遮挡 + 多径干涉 + 硬件实现差异”共同作用的结果。

因此：

• Friis 公式给出自由空间基线；
• 对数距离模型描述平均趋势；
• 对数正态阴影描述慢变化随机偏移；
• Rayleigh/Rician 等模型描述快衰落；
• RSSI 是传播物理的投影，不是理想测距仪。

理解这些内容之后，再去看 RSSI 滤波、指纹定位、DeepBLE、路径损耗建模，逻辑才是完整的。

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参考文献

1. H. T. Friis, “A Note on a Simple Transmission Formula,” Proceedings of the IRE, vol. 34, no. 5, pp. 254–256, 1946.
2. T. S. Rappaport, Wireless Communications: Principles and Practice, 2nd ed., Prentice Hall, 2002.
3. A. Goldsmith, Wireless Communications, Cambridge University Press, 2005.
4. D. Tse and P. Viswanath, Fundamentals of Wireless Communication, Cambridge University Press, 2005.
5. Bluetooth SIG, The Bluetooth Low Energy Primer, Bluetooth.com.
6. IoT Book, “Path Loss and Shadow Fading,” IoT Book, online resource.
7. IoT Class, “Path Loss & Propagation,” IoT Class, online resource.