🏆 本文已收录于专栏：《滚雪球学数学建模（含历年真题）》

本专栏面向数学建模竞赛学习者，系统覆盖真题解析、建模方法、算法实现、论文写作与 AI 辅助建模等核心环节。无论是建模新手，还是备战华为杯、高教社杯、华数杯、国赛、美赛 MCM/ICM 的参赛者，都能在这里找到清晰、完整、可复用的建模思路，持续更新，长期有效。

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2019年E题：“薄利多销”分析

真题展示

如下为原(真)题，展示如下：

一、前言:为什么这道题值得分析？

每年指导建模队的时候,我都会让队员们把 2019 年国赛 E 题翻出来反复练。原因有三:

1. 它"看似简单,实则不简单":题目语言朴实,没有任何高深术语,但真正动手做才会发现"营业额怎么算"“利润率怎么估”"打折力度怎么定义"每一步都是建模的真功夫。
2. 它是典型的"数据驱动 + 综合建模"题:四问之间环环相扣,前问的输出是后问的输入,非常考验队伍的工程能力。
3. 它"贴近生活":你买的每一袋零食、每一瓶饮料,背后都是这道题。这种题写论文时容易讲故事、讲意义,评委也喜欢看。

💡 指导老师的话: 很多同学拿到这题,第一反应是"哦,简单嘛,加加减减不就行了?"——结果代码写到一半才发现,附件 1 的 CSV 是乱码、成本价大面积缺失、促销规则极其复杂、订单还有"未完成"状态需要剔除。这才是真实建模题目应有的样子。

本文将从题目精读到 MATLAB 实战,系统讲解这道题。

二、题目背景与现实意义

"薄利多销"是商业领域最古老也最常用的定价策略之一,其核心逻辑是:

$$\text{当价格下降,需求弹性足够大时,销量增长率 > 价格下降率}\Rightarrow \text{总收益 ↑}$$

但在大型商超的实际运营中,打折并不总能带来"多销":

• 某些刚需类商品(如大米、食用油)需求缺乏弹性,打折几乎不增加销量;
• 某些休闲零食类商品需求弹性极大,打折往往换来翻倍的销量;
• 而有些品类(如生鲜)打折可能仅仅是清库存,根本不是为了多销。

因此,这道题的真实价值不仅是"算算账",而是要回答一个商业问题:

“对于该商场而言,打折是不是真的带来多销?哪些品类对打折最敏感?”

这就是建模的现实意义——把数据背后的商业规律提炼成数学语言。

三、题目重述

3.1 已知条件

• 附件 1、附件 2:某商场从 2016 年 11 月 30 日至 2019 年 1 月 2 日 的销售流水记录,字段包括:

  • create_dt(订单创建日期)
  • order_id(订单 ID)
  • sku_id / sku_name(商品 ID / 名称)
  • is_finished(订单是否完成,1=完成,0=未完成)
  • sku_cnt(销售数量)
  • sku_prc(门店标价,即原价)
  • sku_sale_prc(实际销售价)
  • sku_cost_prc(成本价,仅单品直降商品有值)
  • upc_code(商品 UPC 条码)

• 附件 3:折扣促销信息表 promotion_sku,包含促销价 promotion_price、开始/结束时间、促销类型(秒杀/直降/买赠等)、sale_count 等。

• 附件 4:商品分类信息表 sku_category,包含一/二/三级类目。

• 附件 5:数据字典与字段说明。

3.2 待解决问题

问题	内容
问 1	计算 2016-11-30 至 2019-01-02 每天的营业额与利润率(非打折商品成本价缺失,需合理估计,零售业利润率参考 20%-40%)
问 2	建立指标衡量商场每天的打折力度,并计算所有日期的打折力度
问 3	分析打折力度与销售额、利润率的关系
问 4	考虑商品大类区分后,这种关系有何变化

3.3 附件数据说明

附件	文件	类型	关键点
附件 1	附件1.csv	CSV	GBK 编码,需注意中文乱码;约 2016 末-2017 中数据
附件 2	附件2.csv	CSV	UTF-8 编码;约 2017 中-2019 初数据
附件 3	附件3.xlsx	XLSX	折扣促销信息;字段繁多,促销规则复杂
附件 4	附件4.xlsx	XLSX	商品分类;关键字段为 first_category_name
附件 5	附件5.xlsx	XLSX	字段字典,务必先读

⚠️ 踩坑预警:打开附件 1 的 CSV 你会看到大量" "——这是 GBK 编码在 UTF-8 环境下显示的乱码。后面我们会在数据读取阶段专门处理这个问题。

四、问题分析

4.1 问题一分析:营业额与利润率计算

表面问题:简单的求和与求比值。

真实难点:

1. 订单状态过滤:is_finished=0 的订单是"未完成订单",不能算作营业额,否则数据会偏高。
2. 成本价缺失:sku_cost_prc 仅在"单品直降"促销时有值,其他绝大多数行该字段都是 0 或缺失。题目明确提示"零售业利润率 20%-40%",这是一个强先验信息,必须用上。
3. 成本价填补策略:不能简单地全部填 30%,要分品类、分商品体现差异。

💡 建模老司机的话: 这一问考的不是公式,考的是你会不会"清洗数据"。很多队伍把未完成订单也算进去,导致整个解题路径偏离正轨。

4.2 问题二分析:打折力度指标设计

思路分歧点:打折力度有多种定义角度:

• 角度 A:折扣率 = 1 - 销售价/原价
• 角度 B:打折商品占比 = 打折 SKU 数 / 总 SKU 数
• 角度 C:打折金额占比 = 折扣金额 / 标价总额
• 角度 D:加权折扣率(按销售额加权)

最佳实践:用单一指标会丢信息,多个指标可能冗余。这里我们设计一个综合打折力度指数 $D_t$,融合三个维度(深度 + 广度 + 强度)。

4.3 问题三分析:打折力度与销售额、利润率关系

问题本质:回归分析 + 相关性分析。

• 散点图初步观察 → Pearson/Spearman 相关性 → 线性回归 + 非线性拟合 → 价格弹性测算。
• 注意:打折力度与利润率几乎必然负相关(打得越狠,赚得越少),所以重点要看销售额是否被有效"撬动"。

4.4 问题四分析:按大类区分

核心方法:分组建模 + 弹性对比。

• 按 first_category_name 分组,分别建立 $\text{销售额}\sim \text{打折力度}$ 模型。
• 计算每类的价格弹性系数 $\epsilon$。
• 弹性 |$\epsilon$| > 1 → 富有弹性,打折"有效";|$\epsilon$| < 1 → 缺乏弹性,打折"低效"。

4.5 各问题之间的逻辑关系

具体相关示意图绘制如下，仅供参考：

📌 图说:四个问题不是平行的,而是"金字塔式"递进——前两问输出的"每日营业额、利润率、打折力度"三个时间序列,是后两问的输入。

五、整体建模思路

5.1 建模路线

整体采用 “数据驱动 + 综合建模” 的路线:

1. 数据层:读取 → 清洗 → 整合 → 聚合到日粒度
2. 指标层:营业额、利润率、打折力度三大指标
3. 分析层:相关性、回归、弹性分析
4. 结论层:分品类策略建议

5.2 模型选择依据

问题	选用模型	选择理由
问 1	类目分组均值填补 + 期望利润率反推	利用题目给的"20%-40%"先验,且分类目尊重商品异质性
问 2	熵权法 / TOPSIS 综合指数	多个候选指标客观加权,避免主观偏倚
问 3	Pearson 相关 + 多项式回归 + 价格弹性	既看相关性,又看函数形式,还回答"弹性"本质
问 4	分组回归 + 对比可视化	简单直观,符合论文写作习惯

5.3 算法实现思路

具体相关示意图绘制如下，仅供参考：

5.4 结果验证方法

• 利润率应稳定在 20%-40% 区间(题目先验)
• 营业额时间序列应有合理的季节性(节假日峰值)
• 打折力度指数应在 [0,1] 区间内具有合理分布
• 回归 $R^2$ 应不过低,且回归系数符号符合经济学直觉

六、数据预处理

6.1 数据读取(中文乱码处理)

直接用 readtable 打开附件 1 你会看到这种东西:

                  ͵      5L

这是 GBK 文件被当成 UTF-8 打开的典型症状。MATLAB 中正确读法:

% data_load.m —— 处理中文 CSV 编码
opts1 = detectImportOptions('附件1.csv','Encoding','GBK');
T1 = readtable('附件1.csv', opts1);

opts2 = detectImportOptions('附件2.csv','Encoding','UTF-8');
T2 = readtable('附件2.csv', opts2);

% 合并两张销售流水表
T_sales = [T1; T2];
fprintf('合并后销售流水记录共 %d 行\n', height(T_sales));

📝 代码解析:

• Encoding 参数是关键。GBK 是中文 Windows 系统的常用编码。
• detectImportOptions 比直接 readtable 更稳健,能自动识别字段类型,避免数值列被误读为字符串。
• 合并两张表前要先检查字段是否完全一致(列名、列顺序、列类型),否则会报错。

6.2 缺失值处理

% data_clean.m —— 缺失值与无效订单清洗
% 1. 只保留完成订单
T_valid = T_sales(T_sales.is_finished == 1, :);

% 2. 删除价格异常行
T_valid(T_valid.sku_sale_prc <= 0 | T_valid.sku_prc <= 0, :) = [];

% 3. 处理 sku_cost_prc(成本价): 0 视为缺失
T_valid.sku_cost_prc(T_valid.sku_cost_prc == 0) = NaN;

📝 代码解析:

• is_finished==0 的订单可能是"加入购物车但未支付",必须剔除。
• 价格 ≤ 0 是脏数据(可能是数据导出错误)。
• 把 0 视为缺失是这道题的关键判断:题目说成本价"只有单品直降才有",其他行成本价存为 0 实际上等同于"无信息"。

6.3 异常值识别

% 用 IQR 法识别销售价异常
Q1 = quantile(T_valid.sku_sale_prc, 0.25);
Q3 = quantile(T_valid.sku_sale_prc, 0.75);
IQR = Q3 - Q1;
upperBound = Q3 + 3 * IQR;     % 用 3 倍 IQR(较宽松,保留合理高价商品)
outlierIdx = T_valid.sku_sale_prc > upperBound;
fprintf('识别销售价异常行: %d 条\n', sum(outlierIdx));
% 此处可选择删除或保留,建议保留(高价品如大米油可能正常)

📝 解析: 零售业销售价跨度极大(从 1 元的小零食到 200 元的大米),3 倍 IQR 比 1.5 倍更适合。不要轻易删除"异常值",要先想这些是否是合理高价商品。

6.4 成本价填补(核心步骤)

这是本题最关键的一步:

% cost_imputation.m —— 成本价缺失填补
% 思路: 用同三级类目商品的"平均利润率"反推
T_cat = readtable('附件4.xlsx');     % 商品类目表

% 左连接获得每行的三级类目
T_valid = outerjoin(T_valid, T_cat, ...
    'Keys','sku_id','Type','left','MergeKeys',true);

% 计算每个三级类目下"已知成本商品"的平均成本率
maskKnown = ~isnan(T_valid.sku_cost_prc);
T_known   = T_valid(maskKnown, :);
T_known.cost_ratio = T_known.sku_cost_prc ./ T_known.sku_sale_prc;

cat3_cost_ratio = groupsummary(T_known, 'third_category_name', ...
    'mean','cost_ratio');

% 对每个缺失行,按其三级类目查表填补,默认 0.7(对应 30% 利润率)
for i = 1:height(T_valid)
    if isnan(T_valid.sku_cost_prc(i))
        cat3 = T_valid.third_category_name(i);
        idx  = strcmp(cat3_cost_ratio.third_category_name, cat3);
        if any(idx)
            r = cat3_cost_ratio.mean_cost_ratio(idx);
        else
            r = 0.7;     % 全局默认: 30% 利润率
        end
        T_valid.sku_cost_prc(i) = T_valid.sku_sale_prc(i) * r;
    end
end

📝 代码解析:

• 核心思想:同类商品成本结构相似,因此用"同三级类目已知商品的平均成本/售价比"来反推缺失商品的成本价。
• 兜底机制:对于查不到的类目,用 30% 利润率(即成本率 70%)作为全局默认值,这正对应题目提示的"20%-40%"中位数。
• 不要全部填 30%:这样做会让所有商品利润率"被人为一致",失去分析意义。

6.5 可视化分析(预处理后)

预处理结束后,做几张图心里先有数:

• 每日订单量时间序列
• 销售价分布直方图
• 各一级类目销售额饼图
• 成本价补全前后对比

(完整代码见第十三节)

七、模型假设

为保证建模逻辑严密,提出以下假设:

编号	假设内容	合理性
H1	仅 is_finished=1 的订单计入营业额	题目字段说明明确指出 1 代表订单完成
H2	同一三级类目内,商品成本率(成本/售价)波动较小	同类商品工艺、渠道、品牌结构相似,行业内常用近似
H3	零售业整体利润率位于 20%-40% 区间	题目明确给出该区间作为先验信息
H4	商品在一天内售价基本稳定,日内同一 SKU 的多次成交价波动可忽略	销售流水按日聚合,日内多笔成交本身就用销售额加权,误差可控
H5	节假日、季节等外部因素的影响通过"日打折力度"间接体现,不单独建模	简化模型,避免引入大量哑变量,聚焦"打折-销售"主关系
H6	各类商品的需求函数在样本期间稳定,不发生结构性突变	题目所给两年期间未提及商场调整品类或定位,假设合理
H7	数据样本充分代表该商场整体经营情况	数据覆盖两年完整经营,样本量充足(数十万条流水)

💡 指导老师的话: 模型假设不是"越多越好",而是"为后续每一步建模提供合法性"。一份好的论文里,几乎每个假设都会在后面被"用到一次以上"——比如 H1 在数据清洗里用,H3 在成本补全里用,H6 在弹性分析里用。如果有假设在正文里完全找不到呼应,那就是凑数的。

八、符号说明

符号	含义	单位
$t$	日期(以"天"为粒度)	day
$S_t$	第 $t$ 日的总营业额	元
$C_t$	第 $t$ 日的总成本	元
$R_t$	第 $t$ 日的利润率	—
$p_{i,t}^{\text{sale}}$	商品 $i$ 在 $t$ 日的销售价	元
$p_{i,t}^{\text{std}}$	商品 $i$ 在 $t$ 日的标价(原价)	元
$c_{i,t}$	商品 $i$ 在 $t$ 日的成本价	元
$n_{i,t}$	商品 $i$ 在 $t$ 日的销量	件
$d_{i,t}$	商品 $i$ 在 $t$ 日的单品折扣率	—
$D_t^{(1)}$	第 $t$ 日的销售额加权折扣率(深度)	—
$D_t^{(2)}$	第 $t$ 日的打折 SKU 占比(广度)	—
$D_t^{(3)}$	第 $t$ 日的折扣金额占比(强度)	—
$D_t$	第 $t$ 日的综合打折力度指数	—
$w_j$	第 $j$ 个分项指标的熵权	—
${\epsilon }_k$	第 $k$ 个一级类目的价格弹性系数	—
${\mathcal{C}}_k$	第 $k$ 个一级类目商品集合	—

九、模型一:基础模型——营业额与利润率核算模型

9.1 模型思想

第一问要求"算每天的营业额和利润率"。听起来简单,但实际上是建立一个带有缺失值修复的统计核算模型:营业额本身是确定的求和问题,但利润率涉及成本价,而成本价大面积缺失,必须基于"同类商品成本结构相近"的合理推断来补全。

9.2 数学表达式

营业额公式:

$$S_t=\sum _{i\in \mathcal{I}\ast t}p\ast {i,t}^{\text{sale}}\cdot n_{i,t}$$

其中 ${\mathcal{I}}_t$ 表示第 $t$ 天所有已完成订单的商品集合。

成本汇总公式:

$$C_t=\sum _{i\in \mathcal{I}\ast t}\hat{c}\ast i,t\cdot n_{i,t}$$

其中 ${\hat{c}}_{i,t}$ 为成本价(已知则用真实值,缺失则用类目均值反推):

$$\hat{c}\ast i,t=\{\begin{array}{llc}c\ast i,t,& \text{若 }{c}_{i,t}\text{ 已知}{p}_{i,t}^{\text{sale}}\cdot \bar{r}\ast g(i),& \text{若 }c\ast i,t\text{ 缺失}\end{array}$$

其中 $g(i)$ 表示商品 $i$ 所在的三级类目,${\bar{r}}_{g(i)}$ 为该类目"已知成本商品"的平均成本率:

$${\bar{r}}_g=\frac{1}{|\mathcal{K}\ast g|}\sum \ast i\in {\mathcal{K}}_g\frac{c_i}{p_i^{\text{sale}}},{\mathcal{K}}_g=i\in g\mid c_i\text{ 已知}$$

利润率公式:

$$R_t=\frac{S_t-C_t}{S_t}\times 100$$

9.3 参数解释

• ${\mathcal{I}}_t$:日订单商品集合,需经过 H1 假设过滤(只保留 is_finished=1)
• ${\bar{r}}_g$:类目平均成本率,体现"同类商品成本结构相似"的 H2 假设
• 若某类目无任何已知成本商品(冷门类目),则取全局默认 $\bar{r}=0.7$(对应 30% 利润率)

9.4 求解方法

属于数据聚合 + 缺失填补,无需复杂优化。流程为:

1. 数据清洗(已在第六节完成)
2. 三级类目分组求平均成本率
3. 缺失成本价按类目映射填补
4. 按日聚合得 $S_t$ 和 $C_t$
5. 计算 $R_t$

9.5 MATLAB 实现

% build_basic_model.m —— 模型一:基础核算模型
function [dailyTbl] = build_basic_model(T_valid)
% 输入: T_valid 为预处理后的销售流水表(成本价已填补)
% 输出: dailyTbl 包含 [date, revenue, cost, profit, profit_rate]

    % 1. 计算每行营业额和成本
    T_valid.line_revenue = T_valid.sku_sale_prc .* T_valid.sku_cnt;
    T_valid.line_cost    = T_valid.sku_cost_prc .* T_valid.sku_cnt;
    
    % 2. 按日期聚合
    T_valid.date = dateshift(T_valid.create_dt, 'start', 'day');
    dailyTbl = groupsummary(T_valid, 'date', 'sum', ...
        {'line_revenue','line_cost'});
    
    % 3. 重命名 & 计算利润率
    dailyTbl.Properties.VariableNames{'sum_line_revenue'} = 'revenue';
    dailyTbl.Properties.VariableNames{'sum_line_cost'}    = 'cost';
    dailyTbl.profit      = dailyTbl.revenue - dailyTbl.cost;
    dailyTbl.profit_rate = dailyTbl.profit ./ dailyTbl.revenue;
    
    % 4. 异常天剔除(零营业额日,如可能的休市)
    dailyTbl(dailyTbl.revenue <= 0, :) = [];
    
    fprintf('共聚合 %d 个营业日\n', height(dailyTbl));
    fprintf('平均日营业额: %.2f 元\n', mean(dailyTbl.revenue));
    fprintf('平均日利润率: %.2f%%\n',  mean(dailyTbl.profit_rate)*100);
end

📝 代码解析:

1. line_revenue / line_cost 行级度量 :先把每条流水的"行营业额"和"行成本"算出来,再求和,等价于公式 ${\sum }_i{p}_{i,t}^{\text{sale}}\cdot n_{i,t}$。这种写法比直接 groupby + 加权计算更不易出错。
2. dateshift 函数:把 datetime 强制对齐到当天 00:00,避免按时间(精确到秒)聚合时把"同一天但不同时刻"分成不同组。这是初学者常犯的隐性错误。
3. groupsummary:MATLAB R2018a 引入,语法简洁。也可用 accumarray、grpstats、或循环+unique 实现,但代码量都更长。
4. 零营业额日剔除:如果有"商场盘点日"“停业日”,会出现 $S_t=0$,此时利润率会变成 $0/0$ NaN,影响后续。

9.6 结果分析(框架性说明)

由于本文不便实际执行数据(读者可在本地运行获得真实数字),这里给出预期结果的解读框架:

维度	预期表现	解读
日均营业额	数万至数十万元区间	该商场规模可由数量级反推
营业额峰值	大概率出现在春节前、五一、十一、双十一、圣诞前后	节假日效应是零售业铁律
利润率均值	应落在 22%-35%	若 < 20% 或 > 40%,需回查成本填补是否过当
利润率波动	节假日打折强度大时利润率下降,平日回升	这是问 3 想看到的现象的"预热"

⚠️ 建模红线: 论文里这一节不要直接写出具体数字结论,而要先把"计算方法"讲清楚,再附时间序列图。结果数字放在第十四节"结果展示"统一呈现,这样论文结构才不会乱。

十、模型二:改进模型——综合打折力度指数(基于熵权法)

10.1 基础模型不足

如果只用"日加权折扣率"一个指标衡量打折力度,会遗漏两个重要信息:

• 同样 20% 的折扣,如果只有 3 件商品打折 vs 300 件商品打折,商场的"打折广度"完全不同;
• 同样 20% 的折扣,如果只在低价商品上打 vs 在主销商品上打,对营业额的撬动效果完全不同。

因此,必须用多维度合成指标才能完整刻画"打折力度"。

10.2 改进思路

设计三个分项指标,分别对应深度、广度、强度三个维度,再用熵权法客观加权合成。

10.3 改进模型表达式

分项指标定义:

(1) 打折深度 $D_t^{(1)}$ —— 销售额加权折扣率:

$$D_t^{(1)}=\frac{{\sum }_{i\in \mathcal{I}\ast t}(p\ast {i,t}^{\text{std}}-p_{i,t}^{\text{sale}})\cdot n_{i,t}}{{\sum }_{i\in \mathcal{I}\ast t}p\ast {i,t}^{\text{std}}\cdot n_{i,t}}$$

含义:当天"少收的钱"占"原本应收的钱"的比例,值越大代表打折越狠。

(2) 打折广度 $D_t^{(2)}$ —— 打折 SKU 占比:

$$D_t^{(2)}=\frac{|i\in \mathcal{I}\ast t\mid p\ast {i,t}^{\text{sale}}<p_{i,t}^{\text{std}}|}{|{\mathcal{I}}_t|}$$

含义:当天有多少比例的 SKU 在打折,值越大代表打折面越广。

(3) 打折强度 $D_t^{(3)}$ —— 打折商品销售额占比:

$$D_t^{(3)}=\frac{{\sum }_{i\in \mathcal{I}\ast t^{\ast }}p\ast {i,t}^{\text{sale}}\cdot n_{i,t}}{S_t},\mathcal{I}\ast t^{\ast }=i\mid p\ast {i,t}^{\text{sale}}<p_{i,t}^{\text{std}}$$

含义:打折商品带来的销售额占总营业额的比例。

熵权法合成:

设 $x_{tj}$ 为第 $t$ 日第 $j$ 个分项指标值($j=1,2,3$),共 $T$ 天数据。

① 标准化(同向化已经天然满足,均为越大越"打折"):

$$y_{tj}=\frac{x_{tj}-{\min }_t{x}_{tj}}{{\max }_t{x}_{tj}-{\min }_t{x}_{tj}}$$

② 计算占比:

$$p_{tj}=\frac{y_{tj}+\delta }{{\sum }_{t=1}^T(y_{tj}+\delta )},\delta =10^{-6}$$

(加 $\delta$ 防止 $\log 0$)

③ 计算第 $j$ 指标的信息熵:

$$e_j=-\frac{1}{\ln T}\sum _{t=1}^T{p}_{tj}\ln p_{tj}$$

④ 计算权重:

$$w_j=\frac{1-e_j}{{\sum }_{k=1}^3(1-e_k)}$$

⑤ 合成综合打折力度:

$$D_t=\sum _{j=1}^3{w}_j\cdot y_{tj}$$

10.4 MATLAB 实现

% build_discount_index.m —— 模型二:综合打折力度指数
function [discountTbl, weights] = build_discount_index(T_valid)
% 输入: T_valid 预处理后的流水表
% 输出: discountTbl [date, D1, D2, D3, D_comprehensive]
%       weights    三个分项指标的熵权 [w1, w2, w3]

    %% 1. 计算每行所需中间量
    T_valid.std_amt   = T_valid.sku_prc      .* T_valid.sku_cnt;     % 标价销售额
    T_valid.sale_amt  = T_valid.sku_sale_prc .* T_valid.sku_cnt;     % 实际销售额
    T_valid.discount_amt = T_valid.std_amt - T_valid.sale_amt;       % 折扣金额
    T_valid.is_disc   = double(T_valid.sku_sale_prc < T_valid.sku_prc); % 是否打折
    T_valid.date = dateshift(T_valid.create_dt, 'start', 'day');
    
    %% 2. 按日聚合得三个分项指标
    G = findgroups(T_valid.date);
    uniDates = unique(T_valid.date);
    nDay = numel(uniDates);
    D = zeros(nDay, 3);
    
    for k = 1:nDay
        idx = (G == k);
        sub = T_valid(idx, :);
        
        % D1: 深度 = 总折扣金额 / 总标价销售额
        D(k,1) = sum(sub.discount_amt) / sum(sub.std_amt);
        
        % D2: 广度 = 打折 SKU 数 / 总 SKU 数 (用 unique 去重)
        skuAll  = unique(sub.sku_id);
        skuDisc = unique(sub.sku_id(sub.is_disc==1));
        D(k,2) = numel(skuDisc) / numel(skuAll);
        
        % D3: 强度 = 打折商品销售额 / 总销售额
        D(k,3) = sum(sub.sale_amt(sub.is_disc==1)) / sum(sub.sale_amt);
    end
    
    %% 3. 处理可能的 NaN/Inf
    D(~isfinite(D)) = 0;
    
    %% 4. 熵权法合成
    [D_comp, weights] = entropy_weight(D);
    
    %% 5. 组织输出表
    discountTbl = table(uniDates, D(:,1), D(:,2), D(:,3), D_comp, ...
        'VariableNames', {'date','D1','D2','D3','D_comprehensive'});
    
    fprintf('熵权法计算得权重: w1=%.3f, w2=%.3f, w3=%.3f\n', ...
        weights(1), weights(2), weights(3));
end

% --------- 子函数: 熵权法 ---------
function [score, w] = entropy_weight(X)
    % 0-1 标准化
    Xn = (X - min(X)) ./ (max(X) - min(X) + eps);
    % 占比矩阵
    P = (Xn + 1e-6) ./ (sum(Xn + 1e-6, 1));
    % 信息熵
    [T, ~] = size(P);
    e = -sum(P .* log(P), 1) ./ log(T);
    % 权重
    w = (1 - e) / sum(1 - e);
    % 合成得分
    score = Xn * w';
end

📝 代码解析:

1. 逐日循环 vs 向量化:这里用了 for k = 1:nDay,可读性最好。如果数据量极大可改为 splitapply + 匿名函数向量化,效率更高但调试更难。
2. is_disc 用 double 而非 logical:后续聚合求 sum 需要数值类型。
3. unique(sub.sku_id) 计算 SKU 数:必须去重!因为同一 SKU 当天可能有多条订单,直接用行数会高估广度。
4. eps 防 0:max(X) - min(X) 如果某列恒为常数会变 0,除法会爆。
5. 熵权法的"加 $\delta$":这是经验做法,避免 $\log 0$。$\delta =10^{-6}$ 是常用选择,不会对结果有实质影响。

10.5 对比分析

指标	单一指标的局限	综合指标的优势
只用 $D^{(1)}$	忽略打折"覆盖面"	综合指标用 $w_2$ 自动给予广度合理权重
只用 $D^{(2)}$	忽略"打的深不深"	$w_1$ 反映深度
只用 $D^{(3)}$	忽略"折扣金额绝对量"	$w_1$ 与 $D^{(1)}$ 直接挂钩
综合 $D_t$	同时融合三维度,信息完整	熵权客观,避免人为主观赋权造成的偏差

💡 指导老师的话: 论文里写"熵权法"时,一定要把熵权值列出来(三个指标各占多少权重),很多评委想看的就是这个数。如果你写完三页全是公式但没给出最终权重,评委会觉得你没真做。

十一、模型三:综合模型——打折力度与销售额、利润率关系模型

11.1 综合建模目标

第三、四问要回答两件事:

• 关系刻画:打折力度 $D_t$ 对营业额 $S_t$、利润率 $R_t$ 有什么影响?
• 品类对比:不同一级类目的"打折-销售"关系是否一致?

这本质上是一个带分组结构的回归 + 弹性分析问题。

11.2 模型结构

(1) 整体回归模型

设营业额对打折力度的响应为线性/对数线性:

$$\ln S_t={\alpha }_0+{\alpha }_1\ln (1-D_t)+{\alpha }_2\cdot {\text{Weekend}}_t+{\alpha }_3\cdot {\text{Holiday}}_t+u_t$$

其中 ${\text{Weekend}}_t,{\text{Holiday}}_t$ 为周末/节假日哑变量,$u_t$ 为随机扰动。
关键系数 ${\alpha }_1$ 即为价格弹性系数 $\epsilon$:它表示价格每下降 1%,销售额变化的百分比。

注意:这里把"价格"近似为 $(1-D_t)$,即"平均成交价相对于标价的比例"。当 $D_t=0$ 时不打折,平均成交价 = 标价;$D_t=0.3$ 时表示当天整体打了 7 折。

(2) 利润率回归模型

$$R_t={\beta }_0+{\beta }_1{D}_t+{\beta }_2{D}_t^2+v_t$$

加入二次项是因为打折力度对利润率的影响未必是线性:轻度打折时利润率小幅下滑,深度打折时可能急剧下滑。

(3) 分类目模型(问题四)

对每个一级类目 $k$:

$$\ln S_t^{(k)}={\alpha }_0^{(k)}+{\alpha }_1^{(k)}\ln (1-D_t^{(k)})+u_t^{(k)},k=1,2,\dots ,K$$

逐类计算 ${\alpha }_1^{(k)}$(即类目 $k$ 的弹性 ${\epsilon }_k$),进行横向对比。

11.3 求解流程

具体相关示意图绘制如下，仅供参考：

📌 图说:整体模型给出"商场层面"的结论,分类目模型给出"经营管理层面"的洞察。两者必须都做,论文才有深度。

11.4 结果解释

弹性区间	解读	经营建议
$\epsilon <-1$	富有弹性,打折强烈撬动销售	适合"以价换量",打折策略有效
$-1<\epsilon <0$	缺乏弹性,打折刺激有限	谨慎打折,优先保利润
$\epsilon \approx 0$	几乎无关	该品类不应作为促销主力
$\epsilon >0$ (反常)	越打折销量越低	数据问题或品牌定位异常,需深入排查

💡 指导老师的话: 写这一段时,千万不要套术语就完事。要落到"建议商场对生鲜类不要长期低折扣""休闲零食可以做大促"这种具体可执行的策略上,论文立刻就有了厚度。

十二、算法流程设计

整体算法主流程如下:

具体相关示意图绘制如下，仅供参考：

📝 流程要点:

1. 第一步必须把"编码 + 状态过滤"做对,后面所有结果都依赖这两件事。
2. F 步是全题最关键的"加工"步骤,直接决定问 1 与问 3 的可信度。
3. G、H 步是并行的两条聚合管道,可在代码中用相同 date 字段最终 join 起来,得到"每日全量指标表"。
4. J、K 步是分析层,本质相同,只是分组粒度不同。

十三、MATLAB 完整代码

13.1 主程序 main.m

%% main.m —— 2019 国赛 E 题完整求解主程序
clc; clear; close all;

%% ---- Step 1: 数据读取 ----
[T_sales, T_cat] = data_load();

%% ---- Step 2: 数据清洗 + 成本价填补 ----
T_valid = data_preprocess(T_sales, T_cat);

%% ---- Step 3: 问题一 —— 日营业额 & 利润率 ----
dailyTbl = build_basic_model(T_valid);
writetable(dailyTbl, 'Q1_daily_revenue_profit.xlsx');

%% ---- Step 4: 问题二 —— 日综合打折力度 ----
[discountTbl, w_entropy] = build_discount_index(T_valid);
writetable(discountTbl, 'Q2_daily_discount_index.xlsx');

%% ---- Step 5: 合并日表 ----
fullDaily = innerjoin(dailyTbl, discountTbl, 'Keys','date');

%% ---- Step 6: 问题三 —— 关系建模 ----
[mdl_rev, mdl_profit] = relation_analysis(fullDaily);

%% ---- Step 7: 问题四 —— 分类目弹性对比 ----
elasticityTbl = category_elasticity(T_valid, discountTbl);
writetable(elasticityTbl, 'Q4_elasticity_by_category.xlsx');

%% ---- Step 8: 可视化 ----
plot_results(fullDaily, elasticityTbl);

%% ---- Step 9: 灵敏度分析 ----
sensitivity_analysis(T_valid);

fprintf('\n========== 所有问题求解完成 ==========\n');

📝 代码解析:

1. 模块化:每个步骤都封装成独立函数,主程序清爽到可一屏看完,便于答辩演示。
2. 中间结果落盘:每问的关键输出都用 writetable 存为 xlsx,方便论文里贴附录,也便于复查。
3. innerjoin:在 date 字段上把"营业额表"和"打折力度表"合并,得到统一日表,后面相关性、回归都基于它。
4. 变量命名:fullDaily、elasticityTbl 等命名一看就懂,不要用 a、b、x1 这种字母变量,论文截图要被扣印象分的。

13.2 数据预处理函数 data_preprocess.m

function T_valid = data_preprocess(T_sales, T_cat)
% 数据清洗 + 成本价填补
% 输入: 原始销售表 T_sales、类目表 T_cat
% 输出: 清洗补全后的 T_valid

    %% 1. 过滤未完成订单
    T_valid = T_sales(T_sales.is_finished == 1, :);
    
    %% 2. 价格 & 数量基本校验
    T_valid(T_valid.sku_sale_prc <= 0, :) = [];
    T_valid(T_valid.sku_prc       <= 0, :) = [];
    T_valid(T_valid.sku_cnt       <= 0, :) = [];
    
    %% 3. 成本价 0 视为缺失
    T_valid.sku_cost_prc(T_valid.sku_cost_prc == 0) = NaN;
    
    %% 4. 防止销售价高于标价(数据录入异常)
    T_valid.sku_sale_prc = min(T_valid.sku_sale_prc, T_valid.sku_prc);
    
    %% 5. 关联三级类目
    T_valid = outerjoin(T_valid, T_cat, 'Keys','sku_id',...
        'Type','left','MergeKeys',true);
    
    %% 6. 类目均值反推成本价
    knownMask = ~isnan(T_valid.sku_cost_prc);
    T_known = T_valid(knownMask, :);
    T_known.cost_ratio = T_known.sku_cost_prc ./ T_known.sku_sale_prc;
    
    cat3_ratio = groupsummary(T_known, 'third_category_name', ...
        'mean','cost_ratio');
    
    % 全局兜底值: 30% 利润率 → 成本率 0.7
    global_ratio = nanmean(T_known.cost_ratio);
    if isnan(global_ratio), global_ratio = 0.7; end
    
    needFill = isnan(T_valid.sku_cost_prc);
    fillRatio = repmat(global_ratio, sum(needFill), 1);
    
    % 用类目均值覆盖默认值
    subCat = T_valid.third_category_name(needFill);
    for i = 1:numel(subCat)
        idx = strcmp(cat3_ratio.third_category_name, subCat(i));
        if any(idx) && ~isnan(cat3_ratio.mean_cost_ratio(idx))
            fillRatio(i) = cat3_ratio.mean_cost_ratio(idx);
        end
    end
    
    T_valid.sku_cost_prc(needFill) = ...
        T_valid.sku_sale_prc(needFill) .* fillRatio;
    
    fprintf('清洗后有效流水: %d 条; 缺失成本填补: %d 条\n', ...
        height(T_valid), sum(needFill));
end

📝 代码解析:

• 第 4 步是"隐藏 bug 排雷":有时数据录入会出现 sale_prc > prc 的反常情况(可能是退货反冲),会让 $D^{(1)}$ 变成负值,必须强制 cap 住。
• 第 6 步的兜底机制:类目无数据时用全局均值;全局也无时用 0.7。三层防护,代码鲁棒。
• for 循环可向量化:用 containers.Map 或 dictionary(R2022b+)能做到 $O(1)$ 查找,数据量大时性能可提升 10 倍以上。这里为了教学清晰保留 for。

13.3 模型求解函数 relation_analysis.m

function [mdl_rev, mdl_profit] = relation_analysis(fullDaily)
% 问题三: 打折力度与营业额、利润率的关系
% 输入: fullDaily 包含 [date, revenue, profit_rate, D_comprehensive]

    %% 1. 营业额对数线性回归(求弹性)
    y1 = log(fullDaily.revenue);
    x1 = log(1 - fullDaily.D_comprehensive + 1e-6);   % 防 log(0)
    mdl_rev = fitlm(x1, y1);
    
    fprintf('\n----- 营业额-折扣 弹性回归 -----\n');
    disp(mdl_rev);
    elasticity = mdl_rev.Coefficients.Estimate(2);
    fprintf('整体价格弹性 ε = %.3f\n', elasticity);
    
    %% 2. 利润率二次回归
    y2 = fullDaily.profit_rate;
    x2 = fullDaily.D_comprehensive;
    mdl_profit = fitlm([x2, x2.^2], y2, ...
        'VarNames',{'D','D2','profit_rate'});
    
    fprintf('\n----- 利润率-折扣 二次回归 -----\n');
    disp(mdl_profit);
    
    %% 3. Pearson & Spearman 相关
    [r_p, p_p] = corr(x2, y2, 'Type','Pearson');
    [r_s, p_s] = corr(x2, y2, 'Type','Spearman');
    fprintf('Pearson  r = %.3f (p = %.4g)\n', r_p, p_p);
    fprintf('Spearman r = %.3f (p = %.4g)\n', r_s, p_s);
end

📝 代码解析:

1. 对数线性回归的弹性含义:在 $\ln y=a+b\ln x$ 模型中,$b$ 就是 $y$ 对 $x$ 的弹性,无需再算导数。这是经济计量学最常用的弹性估计方法。
2. 二次项回归:利润率对打折力度往往是"递减加速"的非线性关系,用 $D+D^2$ 拟合通常 $R^2$ 显著高于线性模型。
3. Pearson vs Spearman:Pearson 衡量线性相关,Spearman 衡量秩相关(对异常值更鲁棒)。两个都给,论文显得严谨。

13.4 分类目弹性 category_elasticity.m

function elasticityTbl = category_elasticity(T_valid, discountTbl)
% 问题四: 按一级类目分组,分别求弹性

    %% 1. 准备一级类目列表
    cats = unique(T_valid.first_category_name);
    cats(cellfun(@isempty, cats)) = [];     % 删除空类目
    K = numel(cats);
    
    elasticityTbl = table('Size',[K, 4], ...
        'VariableTypes',{'string','double','double','double'}, ...
        'VariableNames',{'category','elasticity','R2','n_days'});
    
    %% 2. 逐类目回归
    for k = 1:K
        cat_k = cats{k};
        sub = T_valid(strcmp(T_valid.first_category_name, cat_k), :);
        if height(sub) < 100, continue; end  % 样本量过小则跳过
        
        % 计算该类目每日 S_t^k 与 D_t^k
        sub.date         = dateshift(sub.create_dt, 'start', 'day');
        sub.line_revenue = sub.sku_sale_prc .* sub.sku_cnt;
        sub.std_amt      = sub.sku_prc      .* sub.sku_cnt;
        sub.disc_amt     = sub.std_amt - sub.line_revenue;
        
        daily_k = groupsummary(sub, 'date', 'sum', ...
            {'line_revenue','std_amt','disc_amt'});
        daily_k.D_k = daily_k.sum_disc_amt ./ daily_k.sum_std_amt;
        daily_k.S_k = daily_k.sum_line_revenue;
        daily_k(daily_k.S_k <= 0 | daily_k.D_k >= 1, :) = [];
        
        % 对数线性回归
        y = log(daily_k.S_k);
        x = log(1 - daily_k.D_k + 1e-6);
        if numel(y) < 30, continue; end
        mdl_k = fitlm(x, y);
        
        elasticityTbl.category(k)   = cat_k;
        elasticityTbl.elasticity(k) = mdl_k.Coefficients.Estimate(2);
        elasticityTbl.R2(k)         = mdl_k.Rsquared.Ordinary;
        elasticityTbl.n_days(k)     = height(daily_k);
    end
    
    % 删除空行
    elasticityTbl(elasticityTbl.n_days == 0, :) = [];
    elasticityTbl = sortrows(elasticityTbl, 'elasticity');
    disp(elasticityTbl);
end

📝 代码解析:

• 样本量门槛:小类目流水太少,回归结果不可信,这里用 height(sub) < 100 与 numel(y) < 30 双重保护。
• D_k >= 1 剔除:理论上不可能,出现就是数据问题,会让 $\log (1-D)$ 失去意义。
• sortrows:按弹性升序,论文做条形图时直接得到"从最有弹性到最无弹性"的视觉排序。

13.5 结果可视化 plot_results.m

function plot_results(fullDaily, elasticityTbl)

    %% Fig 1: 日营业额 & 利润率时间序列
    figure('Color','w','Position',[100 100 900 500]);
    yyaxis left
    plot(fullDaily.date, fullDaily.revenue, '-', 'LineWidth', 1);
    ylabel('Daily Revenue (CNY)');
    yyaxis right
    plot(fullDaily.date, fullDaily.profit_rate*100, '-', 'LineWidth', 1);
    ylabel('Profit Rate (%)');
    xlabel('Date');
    title('Daily Revenue and Profit Rate');
    grid on;
    
    %% Fig 2: 综合打折力度时间序列
    figure('Color','w','Position',[100 100 900 350]);
    plot(fullDaily.date, fullDaily.D_comprehensive, '-', 'LineWidth', 1);
    xlabel('Date'); ylabel('Comprehensive Discount Index D_t');
    title('Daily Comprehensive Discount Intensity');
    grid on;
    
    %% Fig 3: D 与 S 散点 + 对数线性拟合
    figure('Color','w','Position',[100 100 600 500]);
    scatter(fullDaily.D_comprehensive, fullDaily.revenue, 12, 'filled', ...
        'MarkerFaceAlpha', 0.4);
    set(gca, 'YScale','log');
    xlabel('Discount Intensity D_t');
    ylabel('Daily Revenue (log scale)');
    title('Discount Intensity vs. Revenue');
    grid on;
    
    %% Fig 4: 分类目弹性条形图
    figure('Color','w','Position',[100 100 800 500]);
    barh(elasticityTbl.elasticity);
    yticks(1:height(elasticityTbl));
    yticklabels(elasticityTbl.category);
    xlabel('Price Elasticity \epsilon');
    title('Elasticity by First-Level Category');
    grid on;
    
    %% Fig 5: 利润率 vs 打折力度 + 二次拟合
    figure('Color','w','Position',[100 100 600 500]);
    scatter(fullDaily.D_comprehensive, fullDaily.profit_rate*100, ...
        12, 'filled', 'MarkerFaceAlpha', 0.4);
    hold on;
    x_fit = linspace(min(fullDaily.D_comprehensive), ...
                     max(fullDaily.D_comprehensive), 100)';
    p = polyfit(fullDaily.D_comprehensive, fullDaily.profit_rate*100, 2);
    y_fit = polyval(p, x_fit);
    plot(x_fit, y_fit, '-', 'LineWidth', 2);
    xlabel('Discount Intensity D_t');
    ylabel('Profit Rate (%)');
    title('Discount Intensity vs. Profit Rate');
    grid on; legend('Daily Points','Quadratic Fit');
end

📝 代码解析:

• 图中所有文本均用英文:这是国赛/美赛通行做法,避免中文字体在不同系统下显示异常。
• MarkerFaceAlpha=0.4:半透明散点能直观显示密集区,论文里效果远好于实心点堆叠。
• YScale='log':营业额跨度大时(节假日是平时几倍),用对数刻度可避免少数高点压扁整体趋势。
• barh:横向条形图配长类目名,可读性远超 bar。

13.6 灵敏度分析 sensitivity_analysis.m

function sensitivity_analysis(T_valid)
% 对成本填补的全局默认利润率做参数扰动
% 评估问 1 利润率结果对该参数的敏感程度

    test_ratios = 0.6:0.05:0.8;     % 对应利润率 20%~40%
    nR = numel(test_ratios);
    mean_pr = zeros(nR, 1);
    
    for i = 1:nR
        r = test_ratios(i);
        Ttmp = T_valid;
        miss = isnan(Ttmp.sku_cost_prc);
        Ttmp.sku_cost_prc(miss) = Ttmp.sku_sale_prc(miss) * r;
        
        revenue = sum(Ttmp.sku_sale_prc .* Ttmp.sku_cnt);
        cost    = sum(Ttmp.sku_cost_prc .* Ttmp.sku_cnt);
        mean_pr(i) = (revenue - cost) / revenue;
    end
    
    figure('Color','w','Position',[100 100 600 400]);
    plot(test_ratios, mean_pr*100, '-o', 'LineWidth', 1.5);
    xlabel('Default Cost Ratio'); ylabel('Average Profit Rate (%)');
    title('Sensitivity of Profit Rate to Default Cost Ratio');
    grid on;
    
    fprintf('\n灵敏度结果(默认成本率 → 平均利润率):\n');
    for i = 1:nR
        fprintf('  cost_ratio = %.2f  →  PR = %.2f%%\n', ...
            test_ratios(i), mean_pr(i)*100);
    end
end

📝 代码解析: 此函数把"全局默认成本率"作为可调参数,看最终结果(平均利润率)对它的敏感度。如果输出曲线接近水平,说明结果稳健;如果陡峭,说明结论高度依赖该假设,需在论文里特别说明。

十四、结果展示与分析

由于本文不直接执行真实数据计算,以下结果按"建模框架下应呈现的形式"组织,供读者运行后对照填补。

14.1 问题一:日营业额与利润率

• 输出文件:Q1_daily_revenue_profit.xlsx,约 750 行(覆盖 2016-11-30 至 2019-01-02)
• 图 1:日营业额时间序列。预期可见节假日高峰(春节、五一、十一、双 11、圣诞)与周末小高峰。
• 利润率均值:应落在 22%~32%,与题目"零售业 20%-40%"先验吻合,验证了成本填补模型的合理性。

14.2 问题二:综合打折力度

• 熵权值:三项指标的熵权 $w_1,w_2,w_3$ 通常呈现 $w_2$ 略高(广度指标日内波动信息量更大)。
• 图 2:$D_t$ 时间序列。可见春节前 / 双 11 前后显著抬升,体现商场促销节奏。
• $D_t$ 分布:多数日 $D_t\in [0.1,0.35]$,大促日突破 0.5。

14.3 问题三:整体关系

• 弹性 $\epsilon$:预期在 $-0.8\sim -1.5$ 之间(零售业经验区间)。若 $\epsilon <-1$,说明商场整体富有弹性,"薄利多销"逻辑成立;反之则需谨慎评估打折策略的整体经济性。
• 利润率二次回归:${\beta }_1$ 通常显著为负,${\beta }_2$ 显著为负或近 0,意味着打折越深、利润率下降越快,且深度打折时下降存在加速。
• 图 3、图 5:散点 + 拟合曲线直观呈现"打折-销售"正向、"打折-利润"反向两条关系。

14.4 问题四:分类目弹性

预期可见的横向对比规律(基于零售业一般经验):

类目特征	典型品类	弹性 $\epsilon$ 区间	解读
高弹性(打折敏感)	休闲食品、饮料、日用百货	$\epsilon <-1.5$	打折强烈撬动销量,适合大促
中等弹性	粮油、调味品	$-1.5\le \epsilon \le -0.5$	适度打折有效
低弹性(刚需)	米面、婴幼儿食品	$-0.5<\epsilon <0$	打折效果有限,以保利润为主
反常 / 弱相关	烟酒、保健品(品牌依赖型)	$\epsilon \approx 0$ 或正	价格策略并非主要驱动因素

💡 指导老师的话: 这一节的精髓在于"对比"。单独说某类弹性是 -1.3 没意义,关键是把所有类目按弹性排序、做横向对比、找出差异规律,这才是评委要看的"洞察"。

14.5 结果对题目的回答

题问	直接回答
问 1	给出每日 $S_t$ 与 $R_t$ 序列,导出 Excel,均值利润率落在题目给定区间
问 2	提出三维度综合打折力度指数 $D_t$,熵权法客观加权
问 3	整体弹性 $\epsilon \approx -1.x$,打折显著刺激销售,但利润率二次下降
问 4	不同类目弹性差异显著,休闲品类弹性最高,刚需品类弹性最低,建议按类目差异化制定促销策略

十五、模型检验

15.1 误差分析

(1) 营业额回归模型的拟合误差

对 $\ln S_t={\alpha }_0+{\alpha }_1\ln (1-D_t)+u_t$,主要用三类指标:

$$\text{MAE}=\frac{1}{T}\sum _{t=1}^T|S_t-\hat{S}\ast t|,\text{RMSE}=\sqrt{\frac{1}{T}\sum \ast {t=1}^T(S_t-\hat{S}\ast t{)}^2},\text{MAPE}=\frac{1}{T}\sum \ast {t=1}^T\frac{|S_t-{\hat{S}}_t|}{S_t}$$

• MAE / RMSE:绝对误差,衡量预测值偏离真实值的金额量级
• MAPE:相对误差,跨日比较时不受营业额量级影响
• $R^2$:解释方差比例,本题预期 $R^2\in [0.4,0.7]$,因为打折之外还有节假日、季节等噪声

function err = compute_errors(y_true, y_pred)
    err.MAE  = mean(abs(y_true - y_pred));
    err.RMSE = sqrt(mean((y_true - y_pred).^2));
    err.MAPE = mean(abs((y_true - y_pred) ./ y_true)) * 100;
    err.R2   = 1 - sum((y_true - y_pred).^2) / sum((y_true - mean(y_true)).^2);
end

(2) 误差来源诊断

误差类型	可能来源	应对
系统性低估	节假日效应未建模	加入 Holiday_t 哑变量
系统性高估	部分订单含赠品未剔除	检查附件 3 中"买赠"促销类型,做剔除处理
随机大波动	数据中部分天可能存在线上引流活动	引入活动哑变量或剔除
成本侧误差	类目均值填补存在系统偏差	用第 15.2 节灵敏度分析评估

15.2 灵敏度分析

针对最不确定的参数:成本价缺失时的默认成本率,做扰动测试:

• 参数范围:cost_ratio ∈ [0.60, 0.80],步长 0.05
• 观察指标:平均日利润率 $\bar{R}$
• 预期结果:cost_ratio 每变化 5%,$\bar{R}$ 大约相应变化 3%-4%,曲线接近线性,无突变点 → 说明模型结构稳健,无极端敏感参数。

📌 写作 tip: 灵敏度分析在论文里最好以折线图 + 数值表双形式呈现。曲线呈现整体趋势,表格保留具体数值,方便评委复查。

15.3 稳定性分析(分时段交叉验证)

按"按时间切分 + 滚动训练"的思路,验证模型在不同时段是否一致:

• 训练集:前 70% 时段(约 2016-11 至 2018-04)
• 测试集:后 30% 时段(2018-05 至 2019-01)
• 观察:测试集 MAPE 应与训练集 MAPE 接近(差距 < 20%),否则说明存在"概念漂移"(consumer behavior 随时间变化)。

function rolling_validate(fullDaily)
    n = height(fullDaily);
    split = round(n * 0.7);
    
    train = fullDaily(1:split, :);
    test  = fullDaily(split+1:end, :);
    
    mdl = fitlm(log(1 - train.D_comprehensive + 1e-6), log(train.revenue));
    y_pred = exp( predict(mdl, log(1 - test.D_comprehensive + 1e-6)) );
    
    err = compute_errors(test.revenue, y_pred);
    fprintf('Test set MAPE = %.2f%%, R² = %.3f\n', err.MAPE, err.R2);
end

15.4 鲁棒性分析(替换打折力度合成方式)

熵权法是本文默认选择,但还可用以下替代方法,看结论是否一致:

• 等权重平均:$D_t=\frac{1}{3}(D^{(1)}+D^{(2)}+D^{(3)})$
• CRITIC 法:综合考虑指标间冲突性与变异性
• 主成分第一主轴:用 PCA 压缩三维为一维

若四种方法得到的弹性 $\epsilon$ 都落在相近区间(差距 < 15%),则结论鲁棒,可在论文中明确表态:“结论不依赖具体的合成方法”。这种交叉验证是高分论文的标志。

十六、模型优缺点

16.1 优点

1. 数据驱动且尊重题目先验:成本填补充分利用了题目给出的"20%-40%"先验,而不是凭空假设。
2. 多维度刻画"打折力度":深度、广度、强度三个维度互补,熵权法客观赋权,避免主观偏倚。
3. 逻辑闭环:从核算 → 指标 → 回归 → 弹性 → 分类目策略,层层推进,无逻辑断裂。
4. 可解释性强:对数线性模型的系数直接对应"价格弹性"经济学含义,便于论文讲故事。
5. 模型轻量:无需深度学习或复杂优化,所有方法用 MATLAB 内置函数即可,易复现易答辩。

16.2 缺点

1. 成本填补依赖假设:类目均值法是有偏估计,真实成本结构可能更复杂。
2. 未引入外生变量:节假日、天气、竞品促销等都对销售有影响,本模型未单独建模。
3. 回归模型为静态:未考虑"打折滞后效应"(如双 11 前消费者持币观望,反而压低 11 月初销售)。
4. 弹性估计存在共线性风险:打折力度与节假日高度相关,可能虚高弹性系数的绝对值。
5. 分类目样本量不均衡:小类目样本少,弹性估计置信区间宽,需要谨慎解读。

16.3 可能的改进方向

• 更精细的成本估计:引入"商品周转率"或"品牌层级"等先验信息,改进成本反推。
• 加入控制变量:在回归中加入节假日哑变量、月份固定效应,分离打折与季节的影响。
• 动态模型:引入 ARIMAX、VAR 或状态空间模型刻画时间滞后效应。
• 机器学习对照:用 XGBoost / 随机森林做对照建模,验证线性弹性模型未漏掉重要非线性结构。
• 聚类后再分析:用商品销售模式聚类替代官方一级类目,可能得到更具商业意义的分组。

十七、论文写作建议

17.1 整体结构建议

具体相关示意图绘制如下，仅供参考：

17.2 各部分写法要点

部分	写作要点
摘要	200-300 字,先讲结论再讲方法,数字一定要有(弹性、利润率、权重)
问题重述	不是抄题!用"我们将问题翻译为以下数学任务……"的口吻重新组织
模型假设	6-8 条最合适,每条要"在正文里能被引用一次以上",避免凑数
符号说明	用表格,严格区分变量、参数、常量,字母不要重复使用(本题 $D$ 易和 $D^{(1)}$ 等冲突,要交代清楚)
模型建立	每个模型先讲思想,再写公式,再解释参数。公式必须编号(评委要交叉引用)
模型求解	算法流程图 + 关键代码片段(不要全贴 100 行,贴核心 20 行就够),后附"结果表 + 图"
结果分析	不要只说"结果如表 5"。一定要点评数字背后的含义,呼应问题需求
模型评价	优缺点要"具体"!"模型简洁明了"是套话,"对节假日效应未单独建模导致 R² 仅为 0.x"才是真评价
参考文献	至少 5-8 篇,优先近 5 年中英文期刊,统一格式(GB/T 7714)
附录	代码分模块整理,每段加 3-5 行注释,不要把所有代码堆在一个 main 里

17.3 文字表达上的几个忠告

• 少用"我",多用"本文"“我们”“本模型”。
• 少用"显然",多用"由 $X$ 可推得"。一个"显然"在评委眼里就是一个"懒得证明"。
• 避免"取得了较好的效果"等空话,改成"测试集 MAPE = 8.7%,优于基线模型 12.3%"。
• 图必须有图注,图注最好一句话讲清"画了什么 + 说明了什么"。

十八、数学建模论文摘要示例

摘要(示例 / 约 280 字)

本文针对某商场 2016-11-30 至 2019-01-02 的销售流水数据,围绕"营业额与利润率核算、打折力度量化、打折-销售关系分析"建立了系统的数据驱动模型。

针对问题一,本文剔除未完成订单与价格异常记录,基于"同三级类目商品成本结构相近"假设,以已知成本商品的平均成本率反推缺失成本,构建了带有缺失值修复的核算模型。求解结果显示平均日利润率落于零售业经验区间(约 28%),验证模型合理性。

针对问题二,本文定义打折深度、打折广度、打折强度三个分项指标,采用熵权法客观赋权,合成综合打折力度指数 $D_t$。熵权计算结果显示三指标权重分别为 $w_1,w_2,w_3$,$D_t$ 在节假日前显著抬升,与实际经营节奏吻合。

针对问题三,本文采用对数线性回归 $\ln S_t={\alpha }_0+{\alpha }_1\ln (1-D_t)$ 估计价格弹性,得整体弹性 $\epsilon \approx -1.x$,表明商场整体呈"富有弹性"特征,薄利多销策略整体有效;同时利润率呈现对打折力度的二次递减响应,深度打折时下降加速。

针对问题四,本文按一级类目分组重复弹性估计,结果显示休闲零食、饮料类弹性最强、刚需粮油类弹性最弱,给出"按品类差异化制定促销策略"的具体经营建议。

模型检验部分通过参数扰动、滚动验证和合成方法替换三种方式,验证模型结论的稳健性。

关键词: 营业额核算;熵权法;价格弹性;对数线性回归;品类差异化策略

十九、常见问题与踩坑总结

1. 拿到数学建模题目后为什么不能马上写代码?

数学建模 60% 的工作在"建模思路"和"数据理解",代码只占 20%-30%。直接写代码常会出现"写到一半发现思路错了"的悲剧。建议拿到题先用 1-2 小时只看题、只读附件、只画问题结构图,再动手。

2. 问题重述和题目复述有什么区别?

• 题目复述:把原文搬过来,顶多换几个词,毫无价值。
• 问题重述:用建模语言重新组织,把"商业语言"翻译为"数学任务"。例如本题问 2 不是"算打折力度",而是"在每日维度上构造一个 [0,1] 区间内的多指标合成指标"。

3. 模型假设是不是越多越好?

不是。假设的本质是"为后续建模买路条"。一个好假设必须满足:① 合理(经得起反驳);② 必要(后面真用得到);③ 简洁(一句话讲完)。一般 6-8 条最佳,超过 10 条容易让评委觉得"心虚"。

4. 为什么公式很多但论文依然得分不高?

常见原因:

• 公式没有变量解释,评委不知道符号含义;
• 公式之间逻辑不连贯,看不出"为什么是这个公式";
• 公式与代码不对应,代码里的计算根本不是公式描述的;
• 公式纯粹是为了凑篇幅,与题目要求脱节。

记住:每个公式都要"必要 + 有解释 + 与代码对应"。

5. MATLAB 代码结果如何对应论文表格?

最佳实践是:每个论文里要出现的表格都直接由 MATLAB 输出 Excel(用 writetable),然后在论文里用 \input{table.tex} 或直接贴 Excel 截图。严禁手抄数据——抄写过程中的笔误足以让结果失去可信度。

6. 没有附件数据时如何构建合理分析框架?

按以下三步:

1. 假设附件数据存在,完整搭建建模流程图与公式体系;
2. 明确指出"若数据可得,该步将通过 XX 方法实现";
3. 给出小规模模拟数据(自己用 rand / randn 构造)验证代码可运行性,但严禁伪造作为最终结果。

7. 预测模型如何选择误差指标?

• 量纲一致、可解释 → 用 MAE 或 RMSE;
• 跨量级对比 → 用 MAPE;
• 看解释方差 → 用 $R^2$;
• 关注极端误差 → 用 RMSE(对大误差更敏感);
• 建议同时报告 2-3 个,从不同角度交叉验证。

8. 评价模型中权重如何确定?

方法	优势	局限
AHP	引入专家经验	主观,需一致性检验
熵权法	客观,基于数据信息熵	对极端值敏感
CRITIC	兼顾冲突性与变异性	计算稍复杂
主成分	自动降维	解释性差
组合赋权	兼顾主客观	推荐高分做法

9. 优化模型如何确定目标函数和约束条件?

四步法:

• 第一步:搞清谁是决策者(本题没有,所以本题不是优化题);
• 第二步:找出决策变量(他能控制什么);
• 第三步:找出他在乎什么(目标函数);
• 第四步:找出他必须遵守什么(约束条件)。

10. 国赛论文和美赛论文写法有什么区别?

维度	国赛	美赛
语言	中文,正式	英文,可适度活泼
篇幅	一般 25-30 页	一般 20-25 页,O 奖论文可长
摘要	浓缩、严肃,300 字内	1 页 Summary,允许有故事感
结构	严格学术格式	允许信件、备忘录等创意结构(看题)
图表	中文图注	英文图注
评委关注点	模型正确性 + 论文严谨性	创意 + 表达 + 实用性

11. 如何避免论文像代码说明书?

核心建议:讲故事,不要讲流程。

不好的写法:“我们读取了数据,然后清洗,然后建模,然后求解,然后……”
好的写法:“由于成本价大面积缺失,直接核算利润率不可行。本文注意到题目提供了 20%-40% 的行业先验,因此设计了一种基于类目均值的反推策略……”

让读者跟着你的"思考过程"走,而不是跟着你的"操作流程"走。

12. 如何写出高质量摘要?

摘要四要素:问题、方法、结果、结论,缺一不可。
高分摘要通常结构:

• 第 1 句:总述问题与价值;
• 第 2-4 段:每段对应一个问题,讲方法 + 关键结果数字;
• 最后 1 句:总结贡献与意义。

摘要里必须出现数字!(MAPE、$R^2$、弹性系数、权重等)。空泛的摘要让评委连论文都不想往下翻。

13. 如何自然地提出模型改进?

技巧:先暴露基础模型的"具体不足",再针对该不足提出改进。

例如:“基础模型只用单一折扣率,无法区分’只在 5 个商品上打 5 折’和’在 500 个商品上打 9 折’两种完全不同的促销形态。为此,我们引入 打折广度 指标……”

这样改进就显得"必然",而不是"突然冒出来的"。

14. 模型优缺点如何写得具体?

不好的写法	好的写法
“模型简单易懂”	“模型仅含 3 个参数,且 MATLAB 一行 fitlm 即可求解,便于答辩演示”
“模型有较高的精度”	“测试集 MAPE = 8.7%,比单变量回归基线降低约 4 个百分点”
“模型未考虑外部因素”	“未引入节假日哑变量,导致 R² 受春节效应噪声压制,残差在 2017 年 2 月有明显跳跃”
“模型可推广至其他场景”	“若获得分店级数据,本模型可直接复用,只需将分组维度从类目改为分店”

15. 附录代码应该如何整理?

三原则:

1. 分模块:main.m、data_preprocess.m、build_model.m 等分开贴,不要全堆在一起;
2. 加注释:每段核心代码前 3-5 行讲清"这段干什么、为什么这么做";
3. 去冗余:调试期间的 disp、pause、注释掉的实验代码全部删除,只留最终可运行版本。

二十、总结

回顾本文,我们从一道看似简单的"算账题"出发,实际完成了一个完整的零售业数据建模工作:

1. 数据层:解决了 GBK/UTF-8 编码、未完成订单过滤、成本价大面积缺失这三大数据陷阱;
2. 指标层:用熵权法构造了"深度 + 广度 + 强度"三维度综合打折力度指数 $D_t$;
3. 模型层:用对数线性回归刻画了营业额-折扣关系,定义并估计了价格弹性 $\epsilon$;
4. 决策层:按一级类目分组,得到差异化弹性,落地为可执行的经营建议;
5. 检验层:通过参数扰动、滚动验证、合成方法替换三重检验,确保结论稳健。

这道题给数学建模学习者的真正启示是:

• 数据预处理决定建模上限——80% 的精力应放在理解数据、清洗数据、补全数据;
• 指标设计体现建模功力——同一个"打折力度",不同选手能定义出截然不同的方案,而高分方案往往是"多维度合成 + 客观赋权";
• 解释比预测更重要——本题不要求精准预测,要求把"打折-销售"的关系讲清楚,所以回归系数的经济学含义(弹性)远比 $R^2$ 重要;
• 结论必须落地——把"弹性 = -1.3"翻译成"建议商场对休闲零食类做大促,对粮油类保利润",这才是评委想看到的;
• 建模是反复迭代的过程——本文呈现的是干净的最终结果,但真实建模过程一定是"建好基础模型 → 发现不足 → 改进 → 再不足 → 再改进"的循环。

💡 指导老师的最后一句话:

数学建模的最高境界,不是"会用一个高大上的模型",而是**“针对这道题,我能讲出一套自洽、严谨、可落地的故事”**。

公式可以查,代码可以学,但"思维方式"必须自己练。希望读完本文,你能在下一道题里看到的不再是"未知的数据"和"陌生的公式",而是**“等待被翻译的商业问题"和"等待被讲述的数学故事”**。

数据,从来不会自己说话。建模者的任务,就是替它说话。

📎 附:本文 MATLAB 代码工程结构

2019E_Solution/
├── main.m                          % 主程序入口
├── data_load.m                     % 数据读取(含 GBK/UTF-8 处理)
├── data_preprocess.m               % 数据清洗 + 成本价填补
├── build_basic_model.m             % 问题一: 日营业额 & 利润率
├── build_discount_index.m          % 问题二: 综合打折力度指数(含熵权)
├── relation_analysis.m             % 问题三: 整体打折-销售关系
├── category_elasticity.m           % 问题四: 分类目弹性
├── plot_results.m                  % 结果可视化
├── sensitivity_analysis.m          % 灵敏度分析
├── compute_errors.m                % 误差指标计算
├── rolling_validate.m              % 滚动验证
└── output/
    ├── Q1_daily_revenue_profit.xlsx
    ├── Q2_daily_discount_index.xlsx
    └── Q4_elasticity_by_category.xlsx

将以上文件按结构放入同一目录,确保附件 1-4 也在同目录下,运行 main.m 即可一键复现全部结果。

声明：以上内容部分基于人工智能辅助生成，仅供参考交流，不构成任何专业建议。模型输出可能存在偏差，使用前请自行核实，后果自负。欢迎理性讨论。

若需原题 PDF、附件或历年高教社杯真题，关注技术号 「猿圈奇妙屋」，回复【高教社杯】即可获取。

🎁 文末福利

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🫵 关于作者

我是 bug菌，数学建模竞赛指导教师，曾指导学生斩获国赛一等奖、美赛 M 奖等，擅长运动学建模、优化模型、评价模型等方向。

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