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1998A题：投资的收益和风险

真题展示

如下为原(真)题，展示如下：

一、前言：为什么这道题值得深入分析？

作为一名长期指导数学建模竞赛的老师，我每年都会让学生把1998年国赛A题《投资的收益和风险》作为入门必刷真题。原因很简单：这道题是一道教科书级别的多目标线性规划题，涵盖了建模竞赛中最核心的三种能力——问题抽象、模型建立、优化求解。

很多同学第一次看到这道题，会觉得"不就是选资产分配比例吗？写几个不等式然后用linprog跑一下就行了吧？"——这种想法恰恰是建模初学者最常犯的错误。

真正的难点在于：

• 收益和风险本质上是两个相互冲突的目标，如何在数学上统一处理？
• 交易费用的非线性分段性如何处理？（购买额不超过 $u_i$ 时按 $u_i$ 计算，超过则按比例）
• 如何定义"总体风险"？题目给的是"所投资的 $S_i$ 中最大的一个风险"——这是一个 minimax 问题！
• 如何从单一约束下的最优解过渡到多目标权衡的 Pareto 前沿？

这道题26年后的今天依然是经典，值得每一位建模学习者认真研读。

二、题目背景与现实意义

2.1 现实背景

投资组合优化是金融数学的核心问题之一。1952年，哈里·马科维茨（Harry Markowitz）提出了均值-方差模型，开创了现代投资组合理论，并因此获得1990年诺贝尔经济学奖。

本题在马科维茨框架的基础上做了适当简化，将风险从"收益方差"改为"风险损失率"，同时引入了现实中真实存在的交易费用机制，使模型更贴近实际投资场景。

2.2 核心矛盾

投资的核心矛盾永远是：高收益伴随高风险。

• 银行存款：无风险，但收益低（$r_0=5$）
• 风险资产：收益高，但可能亏损
• 交易费用：实际净收益会被交易成本压缩

一个理性的投资者希望：在控制风险的前提下，尽可能提高净收益。这就是本题的核心建模目标。

2.3 现实意义

• 为基金经理提供量化的资产配置建议
• 帮助个人投资者理性分散投资
• 为风险管理提供数学依据
• 是线性规划在金融领域最直接的应用之一

三、题目重述

3.1 已知条件

设市场上有 $n$ 种资产 $S_i$（$i=1,2,...,n$），供投资者选择。某公司有资金总额 $M$（元）可供投资。

对每种资产 $S_i$，财务分析人员给出了如下参数：

参数	含义
$r_i$（%）	在该时期内购买 $S_i$ 的平均收益率
$q_i$（%）	购买 $S_i$ 的风险损失率（预测值）
$p_i$（%）	购买 $S_i$ 的交易费率
$u_i$（元）	交易费用计算的阈值，购买额 $\le u_i$ 时按 $u_i$ 计算手续费

交易费用规则（关键！）：

$$c_i=\{\begin{array}{llc}{p}_i\cdot u_i,& \text{若购买额 }{x}_i\le u_i{p}_i\cdot x_i,& \text{若购买额 }{x}_i>u_i\end{array}$$

其中 $x_i$ 为投入到资产 $S_i$ 的金额。

银行存款：

• 存款利率 $r_0=5$，无交易费用，无风险

风险度量：

• 总体风险 = 所投资的 $S_i$ 中最大的单项风险（注意：是风险损失率 $q_i$ 和投入金额的乘积与总资金的比值）

3.2 待解决问题

问题一（n=4的具体案例）：

给定 $n=4$ 时的数据（见图中第一张表），设计一种投资组合方案，用资金 $M$ 有选择地购买若干种资产或存入银行，使得：

• 净收益尽可能大
• 总体风险尽可能小

问题二（n=15的一般化讨论）：

用第二张表（$n=15$）的数据，对上述问题进行一般性讨论，给出通用投资策略。

3.3 附件数据说明

本题数据直接嵌入题目正文，分两组：

数据组一（n=4）：

$S_i$	$r_i$（%）	$q_i$（%）	$p_i$（%）	$u_i$（元）
$S_1$	28	2.5	1	103
$S_2$	21	1.5	2	198
$S_3$	23	5.5	4.5	52
$S_4$	25	2.6	6.5	40

数据组二（n=15）：

$S_i$	$r_i$（%）	$q_i$（%）	$p_i$（%）	$u_i$（元）
$S_1$	9.6	42	2.1	181
$S_2$	18.5	54	3.2	407
$S_3$	49.4	60	6.0	428
$S_4$	23.9	42	1.5	549
$S_5$	8.1	1.2	7.6	270
$S_6$	14	39	3.4	397
$S_7$	40.7	68	5.6	178
$S_8$	31.2	33.4	3.1	220
$S_9$	33.6	53.3	2.7	475
$S_{10}$	36.8	40	2.9	248
$S_{11}$	11.8	31	5.1	195
$S_{12}$	9	5.5	5.7	320
$S_{13}$	35	46	2.7	267
$S_{14}$	9.4	5.3	4.5	328
$S_{15}$	15	23	7.6	131

四、问题分析

4.1 问题一分析

拿到 $n=4$ 的问题，很多同学会立刻想：直接枚举所有分配方案就行。这是典型的错误思路。

实际上，投资金额是连续变量，不能枚举。核心在于：

目标一：最大化净收益

净收益 = 投资收益 - 交易费用 + 存款收益

注意：交易费用是分段函数，直接处理会导致非线性，需要线性化处理。

当 $x_i>0$ 时，我们可以合理假设公司投资额 $M$ 较大，使得对多数资产有 $x_i>u_i$（后面会验证），从而将交易费统一为 $p_i\cdot x_i$，得到线性模型。

目标二：最小化总体风险

题目明确说：总体风险 = 所投资 $S_i$ 中最大的一个风险来度量。

这意味着：

KaTeX parse error: Expected '}', got '\right' at position 64: … \cdot x_i / M \̲r̲i̲g̲h̲t̲}

这是一个 minimax 形式，可以通过引入辅助变量转化为线性约束。

关键洞察： 这是一个**多目标线性规划（MOLP）**问题，不存在唯一最优解，而是一个 Pareto 前沿（权衡曲线）。

4.2 问题二分析

问题二要求"一般情况讨论"，实际上是要求：

1. 建立适用于任意 $n$ 的通用模型
2. 对 $n=15$ 的数据求解
3. 分析风险偏好参数对投资策略的影响
4. 给出实际意义解释

额外挑战： $n=15$ 时数据量大，需要在 MATLAB 中批量处理，且需要绘制**有效前沿（Efficient Frontier）**来可视化风险-收益权衡关系。

4.3 各问题之间的逻辑关系

具体相关示意图绘制如下，仅供参考：

问题一是问题二的特例验证，建模框架完全一致，只是数据规模不同。先做好问题一，再推广到问题二，这是标准的建模推进路径。

五、整体建模思路

5.1 建模路线

具体相关示意图绘制如下，仅供参考：

5.2 模型选择依据

候选模型	适用性	本题是否采用
线性规划	目标和约束均线性，直接适用	✅ 核心模型
二次规划	马科维茨方差模型，需要协方差矩阵	❌ 本题不给协方差数据
动态规划	多阶段决策问题	❌ 本题是单期投资
整数规划	决策变量为整数时使用	❌ 投资金额为连续变量
多目标进化算法	复杂非线性多目标问题	❌ 本题已能线性化，不必要

结论：本题是标准的多目标线性规划（MOLP），通过约束法转化为单目标LP，用MATLAB的 linprog 函数求解。

5.3 算法实现思路

处理多目标问题最常用的方法有三种：

方法一：$ϵ$-约束法（本文主要使用）

• 固定风险上界 $a$，最大化收益
• 循环改变 $a$ 值，得到 Pareto 前沿

方法二：加权法

• 构造 $\min \lambda \cdot \text{Risk}-(1-\lambda )\cdot \text{Return}$
• 循环改变权重 $\lambda$，得到不同偏好下的最优解

方法三：分级优化法

• 先优化主目标，再在约束范围内优化次目标

5.4 结果验证方法

1. 检验约束满足性（资金总额约束、非负约束）
2. 验证交易费线性化假设成立（$x_i>u_i$）
3. 绘制 Pareto 前沿，检验单调性（风险越大收益越高）
4. 与银行存款基准（5%纯收益）比较

六、数据预处理

6.1 数据说明

本题数据直接嵌入题目，无需从文件读取。但在 MATLAB 中，我们将数据规范整理为矩阵形式，便于程序处理。

数据包含4个字段，对应4个参数向量：$\mathbf{r}$，$\mathbf{q}$，$\mathbf{p}$，$\mathbf{u}$。

6.2 单位统一处理

注意：题目中 $r_i$、$q_i$、$p_i$ 的单位是百分比（%），在计算时需除以100，转换为小数。

6.3 交易费线性化处理（重要！）

原始交易费规则：

$$c_i(x_i)=\{\begin{array}{llc}{p}_i\cdot u_i,& x_i\le u_i{p}_i\cdot x_i,& x_i>u_i\end{array}$$

这是分段线性函数，直接代入会导致模型非线性。

线性化策略：

观察到当 $x_i>u_i$ 时，$c_i=p_i{x}_i$，净收益率变为 $r_i-p_i$。

当 $x_i\le u_i$ 时，$c_i=p_i{u}_i$，但由于 $M$ 通常远大于 $u_i$（$u_i$ 最大不过几百元，而 $M$ 是公司资金规模），实际投资 $x_i$ 通常 $\gg u_i$，因此可以合理近似：

$$c_i\approx p_i{x}_i\text{（当 }{x}_i\gg u_i\text{时）}$$

线性化净收益率： ${\tilde{r}}_i=r_i-p_i$

严格处理时（若 $x_i$ 较小）：可引入0-1决策变量，用混合整数线性规划处理，但对于大规模投资，近似已足够精确。

本文同时给出两种处理方式。

6.4 数据可视化分析

在建模前，先对数据做可视化分析，这一步在实际竞赛中非常重要，但很多同学会跳过。

具体相关示意图绘制如下，仅供参考：

从散点图中可以初步判断：哪些资产"性价比高"（高收益低风险），哪些是"劣势资产"（低收益高风险）。

七、模型假设

在正式建立模型前，必须明确假设条件。假设不是越多越好，而是要有针对性、可验证、服务于后续模型。

假设1： 公司投资总金额为 $M$，所有资金必须全部用于投资（存入银行也是投资的一种形式），即：

$$x_0+\sum _{i=1}^n{x}_i+\sum _{i=1}^n{c}_i(x_i)=M$$

其中 $x_0$ 为存入银行的金额。

假设2： 投资为单期决策，不考虑再投资和动态调整。

假设3： 各资产的收益率 $r_i$、风险率 $q_i$ 为财务分析预测值，视为已知确定量（不考虑参数的不确定性）。

假设4： 各资产之间相互独立，不考虑资产间的相关性（协方差）。

假设5： 当 $M$ 足够大时，对实际投入资产 $i$ 的金额 $x_i\gg u_i$，交易费用近似为 $c_i=p_i{x}_i$（线性化处理）。

假设6： 风险度量采用题目定义的方式，即总体风险 = 已投资资产中 $q_i{x}_i/M$ 的最大值。

假设7： 决策变量 $x_i\ge 0$（不允许卖空）。

八、符号说明

符号	含义	单位
$n$	风险资产总数	—
$M$	公司总投资资金	元
$x_i$	投入资产 $S_i$ 的金额，$i=1,...,n$	元
$x_0$	存入银行的金额	元
$r_i$	资产 $S_i$ 的平均收益率	—
$q_i$	资产 $S_i$ 的风险损失率	—
$p_i$	资产 $S_i$ 的交易费率	—
$u_i$	资产 $S_i$ 的交易费阈值	元
$r_0$	银行存款利率，$r_0=0.05$	—
${\tilde{r}}_i$	资产 $S_i$ 的净收益率，${\tilde{r}}_i=r_i-p_i$	—
$c_i$	购买资产 $S_i$ 的交易费用	元
$a$	总体风险上界（控制参数）	—
$Q$	总体风险度量值	—
$W$	总净收益	元
$\lambda$	风险偏好权重，$\lambda \in [0,1]$	—

九、模型一：基础模型（固定风险上界，最大化收益）

9.1 模型思想

这是解决多目标冲突最常用的方法之一——$ϵ$-约束法。

将"最小化风险"转化为约束条件：规定总体风险不超过某个上界 $a$，然后在此约束下最大化净收益。通过改变 $a$ 的值，可以得到不同风险偏好下的最优投资方案，从而描绘出完整的 Pareto 前沿。

为什么用这个方法？ 因为它直觉上最清晰：投资者可以根据自己的风险承受能力设定 $a$，然后找最优方案。

9.2 数学表达式

决策变量： $x_0,x_1,x_2,...,x_n\ge 0$

目标函数（最大化净收益）：

$$\max W=r_0{x}_0+\sum _{i=1}^n(r_i-p_i)x_i$$

其中：

• $r_0{x}_0$：银行存款收益
• $(r_i-p_i)x_i$：资产 $i$ 的净收益（扣除交易费后）

约束条件：

资金平衡约束（资金全部用尽）：

$$x_0+\sum _{i=1}^n(1+p_i)x_i=M$$

注意：实际投入资产 $i$ 的总成本为 $x_i+p_i{x}_i=(1+p_i)x_i$，加上存款后等于 $M$。

风险约束（minimax转化）：

原始风险定义：$Q={\max }_i{q}_i{x}_i/M$

令辅助变量 $a$ 为风险上界，则：

$$\frac{q_i{x}_i}{M}\le a,\forall i=1,2,...,n$$

即：

$$q_i{x}_i\le a\cdot M,\forall i$$

非负约束：

$$x_i\ge 0,i=0,1,...,n$$

9.3 完整线性规划模型

$$\max W=r_0{x}_0+\sum _{i=1}^n{\tilde{r}}_i{x}_i$$

$$\text{s.t.}\{\begin{array}{llc}{x}_0+{\sum }_{i=1}^n(1+p_i)x_i=M{q}_i{x}_i\le a\cdot M,& i=1,...,n{x}_i\ge 0,& i=0,1,...,n\end{array}$$

其中 ${\tilde{r}}_i=r_i-p_i$，$a$ 为给定的风险控制参数。

9.4 参数解释

• $a$ 的含义： 投资者愿意承受的最大风险比例。$a=0$ 表示零风险（全存银行），$a=0.05$ 表示接受5%的最大风险损失比例。
• $(1+p_i)x_i$： 表示购买资产 $i$ 的"全成本"，包括本金 $x_i$ 和手续费 $p_i{x}_i$。
• $q_i{x}_i/M$： 资产 $i$ 带来的风险占总资金的比例。

9.5 求解方法

本模型是标准线性规划，用 MATLAB 的 linprog 函数求解。

linprog 求解最小化问题，因此目标函数取负：

$$\min -W=-r_0{x}_0-\sum _{i=1}^n{\tilde{r}}_i{x}_i$$

9.6 MATLAB 实现

data_preprocess.m

function data = data_preprocess(problem_type)
% 数据预处理函数
% 输入: problem_type = 1 表示n=4的问题, problem_type = 2 表示n=15的问题
% 输出: data 结构体，包含所有预处理后的参数

if problem_type == 1
    % ===== n=4 数据 =====
    % 各列: r(收益率%), q(风险%), p(交易费率%), u(阈值,元)
    raw = [28,   2.5,  1.0,  103;
           21,   1.5,  2.0,  198;
           23,   5.5,  4.5,   52;
           25,   2.6,  6.5,   40];
else
    % ===== n=15 数据 =====
    raw = [ 9.6,  42.0,  2.1,  181;
           18.5,  54.0,  3.2,  407;
           49.4,  60.0,  6.0,  428;
           23.9,  42.0,  1.5,  549;
            8.1,   1.2,  7.6,  270;
           14.0,  39.0,  3.4,  397;
           40.7,  68.0,  5.6,  178;
           31.2,  33.4,  3.1,  220;
           33.6,  53.3,  2.7,  475;
           36.8,  40.0,  2.9,  248;
           11.8,  31.0,  5.1,  195;
            9.0,   5.5,  5.7,  320;
           35.0,  46.0,  2.7,  267;
            9.4,   5.3,  4.5,  328;
           15.0,  23.0,  7.6,  131];
end

n = size(raw, 1);

% 单位转换：百分比 -> 小数
data.r  = raw(:,1) / 100;   % 收益率（小数）
data.q  = raw(:,2) / 100;   % 风险率（小数）
data.p  = raw(:,3) / 100;   % 交易费率（小数）
data.u  = raw(:,4);          % 阈值（元，不需要转换）
data.r0 = 0.05;              % 银行利率

% 净收益率（扣除交易费后的实际收益率，线性化处理）
data.r_net = data.r - data.p;

% 资产数量
data.n = n;

% 打印基本信息
fprintf('====== 数据预处理完成 ======\n');
fprintf('资产数量: n = %d\n', n);
fprintf('银行利率 r0 = %.2f%%\n', data.r0*100);
fprintf('净收益率范围: [%.2f%%, %.2f%%]\n', ...
    min(data.r_net)*100, max(data.r_net)*100);
fprintf('风险率范围: [%.2f%%, %.2f%%]\n', ...
    min(data.q)*100, max(data.q)*100);
end

代码解析：

• 将百分比数据统一转为小数，避免后续计算出现100倍的错误（初学者最常踩的坑！）
• r_net = r - p 是线性化处理后的净收益率，后续直接使用这个值
• 用结构体 data 返回所有参数，比传多个变量更清晰

solve_model1.m（固定风险上界，最大化收益）

function result = solve_model1(data, a_value, M)
% 模型一求解函数：给定风险上界 a，最大化净收益
% 输入:
%   data    - 预处理后的数据结构体
%   a_value - 风险上界（标量，如 0.01, 0.05...）
%   M       - 总投资金额（元）
% 输出:
%   result  - 包含最优解的结构体

n = data.n;
r0 = data.r0;
r_net = data.r_net;   % 净收益率向量 (n×1)
q = data.q;           % 风险率向量 (n×1)
p = data.p;           % 交易费率向量 (n×1)

% =============================================
% 决策变量顺序: [x0, x1, x2, ..., xn]
% x0: 存银行的金额
% x1~xn: 投入各资产的金额
% 共 n+1 个决策变量
% =============================================

% --- 目标函数（最小化负收益 = 最大化收益）---
% W = r0*x0 + sum(r_net_i * x_i)
% 注意 linprog 求最小值，故取负号
f = -[r0; r_net];   % (n+1)×1 向量，第1个元素对应x0

% --- 不等式约束 A*x <= b（风险约束）---
% q_i * x_i <= a * M, 对 i=1,...,n
% 即: [0, q1, 0, ..., 0] * x <= a*M （第i行只有xi有系数）
A_ineq = zeros(n, n+1);
for i = 1:n
    A_ineq(i, i+1) = q(i);   % 注意列索引 i+1，因为第1列是x0
end
b_ineq = a_value * M * ones(n, 1);

% --- 等式约束 Aeq*x = beq（资金平衡约束）---
% x0 + sum((1+p_i)*x_i) = M
% 即: [1, (1+p1), (1+p2), ..., (1+pn)] * x = M
Aeq = [1, (1 + p)'];   % 1×(n+1) 行向量
beq = M;

% --- 变量下界（非负约束）---
lb = zeros(n+1, 1);
ub = [];   % 无上界

% --- 调用 linprog 求解 ---
options = optimoptions('linprog', 'Display', 'off');
[x_opt, fval, exitflag] = linprog(f, A_ineq, b_ineq, Aeq, beq, lb, ub, options);

% --- 整理结果 ---
result.a = a_value;
result.x0 = x_opt(1);           % 存银行金额
result.x = x_opt(2:end);        % 各资产投资金额
result.W = -fval;                % 最大净收益（取负还原）
result.W_rate = result.W / M;   % 净收益率（相对总资金）
result.exitflag = exitflag;

% 计算实际风险
result.risk = max(q .* result.x / M);

% 打印结果
if exitflag == 1
    fprintf('>>> 风险上界 a = %.4f 时：\n', a_value);
    fprintf('    最大净收益 W = %.4f*M\n', result.W_rate);
    fprintf('    实际最大风险 = %.4f\n', result.risk);
    fprintf('    存银行: %.4f*M\n', result.x0/M);
    for i = 1:n
        if result.x(i)/M > 1e-6  % 只打印实际投资的资产
            fprintf('    S%d: %.4f*M\n', i, result.x(i)/M);
        end
    end
else
    fprintf('>>> 警告：a = %.4f 时无可行解（exitflag=%d）\n', a_value, exitflag);
end
end

代码解析：

1. 变量顺序设计： 将 $x_0$（银行存款）放在第一位，$x_1,...,x_n$（风险资产）放在后面，共 $n+1$ 个决策变量。这种顺序很关键，后面构造约束矩阵时必须对应。

2. 风险约束矩阵构造： A_ineq 是一个 $n\times (n+1)$ 的矩阵，第 $i$ 行只有第 $i+1$ 列（对应 $x_i$）有系数 $q_i$，其余为0。注意列索引要加1（因为第一列是 $x_0$）——这里是初学者最容易出bug的地方！

3. 资金平衡约束： 系数向量是 $[1,1+p_1,1+p_2,...,1+p_n]$，第一个1对应 $x_0$（存银行无手续费），后面的 $(1+p_i)$ 对应每一元投入资产 $i$ 实际消耗的总资金。

4. exitflag 检查： 一定要检查 linprog 的返回状态。exitflag=1 表示找到最优解，其他值表示无可行解或未收敛，这在 $a$ 值设置过小时会发生。

9.7 结果分析（n=4模拟示例）

以 $n=4$，$M=1$（单位化）为例，设 $a=0.01$（允许1%的最大风险）：

理论上应将资金主要分配给净收益率最高的资产（$S_1$：${\tilde{r}}_1=27$），同时受风险约束 $q_1{x}_1/M\le 0.01$，即 $x_1\le 0.4M$（因为 $q_1=2.5$，则 $x_1\le 0.01/0.025\cdot M=0.4M$）。

当 $a$ 逐渐增大时，允许投入更多到高风险高收益资产，净收益率上升，但总体风险也随之增大。

十、模型二：改进模型（加权多目标规划）

10.1 基础模型不足

模型一的 $ϵ$-约束法有以下局限：

1. 参数选择依赖先验知识： 需要预先知道 $a$ 的合理范围，否则可能无解
2. 无法显式表达投资者偏好： 不同风险偏好的投资者需要不同的权重
3. 目标主次过于硬性： 完全忽视了在满足收益约束时进一步降低风险的可能

10.2 改进思路

采用加权法（Weighted Sum Method），将两个目标函数线性组合：

$$\min F=\lambda \cdot Q-(1-\lambda )\cdot \frac{W}{W_{max}}$$

其中：

• $Q=a$（总体风险）：需要最小化
• $W$：净收益，需要最大化（等价于最小化 $-W$）
• $\lambda \in [0,1]$：风险偏好权重，$\lambda$ 越大越保守
• $W_{max}$：归一化因子（无约束时最大收益）

注意： 由于 $Q$ 和 $W/M$ 的量纲不同，需要归一化处理，否则权重没有实际意义。

10.3 改进模型表达式

在加权法中，引入辅助变量 $a$（总体风险）作为决策变量的一部分：

决策变量： $x_0,x_1,...,x_n,a$（共 $n+2$ 个）

目标函数：

$$\min F=\lambda \cdot a-(1-\lambda )\cdot \frac{W}{M}$$

即：

$$\min F=\lambda \cdot a-(1-\lambda )\cdot \left[r_0\frac{x_0}{M}+\sum _{i=1}^n{\tilde{r}}_i\frac{x_i}{M}\right]$$

约束条件：

$$\{\begin{array}{llc}{x}_0+{\sum }_{i=1}^n(1+p_i)x_i=M{q}_i{x}_i\le a\cdot M,& i=1,...,n{x}_i\ge 0,& i=0,...,n0\le a\le 1\end{array}$$

关键变化：$a$ 从固定参数变成了决策变量，由优化器自动确定最优风险水平。

10.4 MATLAB 实现

solve_model2.m（加权多目标规划）

function result = solve_model2(data, lambda, M)
% 模型二：加权多目标规划
% 输入:
%   data   - 数据结构体
%   lambda - 风险偏好权重 (0=纯收益最大化, 1=纯风险最小化)
%   M      - 总投资金额
% 输出:
%   result - 最优解结构体

n = data.n;
r0 = data.r0;
r_net = data.r_net;
q = data.q;
p = data.p;

% =============================================
% 决策变量顺序: [x0, x1, ..., xn, a]
% 共 n+2 个变量，最后一个是风险变量 a
% =============================================

% 目标函数系数向量
% F = lambda*a - (1-lambda)*[r0*x0/M + sum(r_net_i*x_i/M)]
% = -(1-lambda)*r0/M * x0 - (1-lambda)*r_net_i/M * x_i + lambda * a
f = zeros(n+2, 1);
f(1) = -(1-lambda) * r0 / M;         % x0 的系数
for i = 1:n
    f(i+1) = -(1-lambda) * r_net(i) / M;   % x_i 的系数
end
f(n+2) = lambda;                      % a 的系数

% 不等式约束: q_i * x_i - a*M <= 0，即 q_i * x_i <= a*M
% 变量顺序: [x0, x1,...,xn, a]
A_ineq = zeros(n, n+2);
for i = 1:n
    A_ineq(i, i+1) = q(i);    % x_i 的系数
    A_ineq(i, n+2) = -M;       % a 的系数（移到左边为 -M*a）
end
b_ineq = zeros(n, 1);

% 等式约束: x0 + sum((1+p_i)*x_i) = M（不含 a）
Aeq = zeros(1, n+2);
Aeq(1) = 1;
for i = 1:n
    Aeq(i+1) = 1 + p(i);
end
beq = M;

% 变量边界
lb = zeros(n+2, 1);      % 所有变量 >= 0
ub = [Inf*ones(n+1,1); 1]; % a <= 1（风险率最大100%）

options = optimoptions('linprog', 'Display', 'off');
[x_opt, fval, exitflag] = linprog(f, A_ineq, b_ineq, Aeq, beq, lb, ub, options);

result.lambda = lambda;
result.exitflag = exitflag;

if exitflag == 1
    result.x0 = x_opt(1);
    result.x  = x_opt(2:n+1);
    result.a  = x_opt(n+2);         % 最优风险水平
    result.W  = r0*result.x0 + r_net'*result.x;
    result.W_rate = result.W / M;
    result.risk = result.a;
    
    fprintf('lambda=%.2f: 净收益率=%.4f%%, 风险=%.4f\n', ...
        lambda, result.W_rate*100, result.a);
else
    result.W_rate = NaN;
    result.risk = NaN;
    fprintf('lambda=%.2f: 无可行解\n', lambda);
end
end

代码解析：

1. a 变成决策变量： 将 $a$ 加入决策变量向量末尾。约束 $q_i{x}_i\le aM$ 变为 $q_i{x}_i-Ma\le 0$，即在约束矩阵 A_ineq 的第 $n+2$ 列（对应 $a$）填入 $-M$。

2. 目标函数量纲统一： $a$ 是比例（0到1之间），$W/M$ 也是比例，因此两者量纲一致，权重 $\lambda$ 可以直接解释为"风险的相对重要程度"。

3. 上界设置 ub： $a$ 的上界设为1（100%风险），实际计算中不会达到，但加上边界可以提高求解稳定性。

10.5 对比分析

通过扫描 $\lambda$ 从0到1，得到一系列 $(\text{risk},\text{return})$ 对，即 Pareto 前沿。

% 生成 Pareto 前沿的代码（在 main.m 中调用）
lambda_list = linspace(0, 1, 100);
risk_list = zeros(size(lambda_list));
return_list = zeros(size(lambda_list));

for k = 1:length(lambda_list)
    res = solve_model2(data, lambda_list(k), M);
    risk_list(k) = res.risk;
    return_list(k) = res.W_rate;
end

预期规律：

• $\lambda =0$（无视风险）：最高收益，最高风险
• $\lambda =1$（无视收益）：最低风险，最低收益
• 中间值：风险-收益的最优权衡

十一、模型三：综合模型（分层优化 + 投资者偏好分析）

11.1 综合建模目标

在实际竞赛中，仅给出一个"最优解"是不够的。优秀的论文会针对不同类型的投资者给出策略建议：

• 保守型投资者： 最优先控制风险（$\lambda$ 接近1）
• 平衡型投资者： 风险收益均衡（$\lambda \approx 0.5$）
• 激进型投资者： 追求最高收益（$\lambda$ 接近0）

11.2 模型结构

具体相关示意图绘制如下，仅供参考：

11.3 求解流程与 MATLAB 实现

main.m（主程序）

%% main.m - 投资收益与风险优化主程序
% 1998年全国大学生数学建模竞赛 A题
% 作者: [数学建模指导老师示例]
% 日期: 2024

clc; clear; close all;

%% ===== 参数设置 =====
M = 1;          % 总资金归一化为1（结果以比例表示，适用于任意M）
problem_id = 1; % 1: n=4, 2: n=15

%% ===== Step 1: 数据预处理 =====
data = data_preprocess(problem_id);
fprintf('\n数据预处理完成，共 %d 种风险资产\n\n', data.n);

%% ===== Step 2: 可视化数据 =====
plot_data_overview(data);

%% ===== Step 3: 模型一 - 固定风险上界，最大化收益 =====
fprintf('===== 模型一：固定风险上界求解 =====\n');
% 扫描不同风险上界
a_list = linspace(0.001, 0.06, 50);
W_list_m1 = zeros(size(a_list));

for k = 1:length(a_list)
    res = solve_model1(data, a_list(k), M);
    if res.exitflag == 1
        W_list_m1(k) = res.W_rate;
    else
        W_list_m1(k) = NaN;
    end
end

%% ===== Step 4: 模型二 - 加权多目标规划 =====
fprintf('\n===== 模型二：加权多目标规划 =====\n');
lambda_list = linspace(0, 1, 200);
risk_pareto  = zeros(size(lambda_list));
return_pareto = zeros(size(lambda_list));

for k = 1:length(lambda_list)
    res = solve_model2(data, lambda_list(k), M);
    risk_pareto(k)   = res.risk;
    return_pareto(k) = res.W_rate;
end

%% ===== Step 5: 绘制 Pareto 前沿 =====
plot_results(a_list, W_list_m1, risk_pareto, return_pareto, data);

%% ===== Step 6: 三类投资者方案 =====
fprintf('\n===== 模型三：三类投资者推荐方案 =====\n');

% 保守型 (λ=0.8)
res_conservative = solve_model2(data, 0.8, M);
print_investment_plan(res_conservative, data, '保守型');

% 平衡型 (λ=0.5)
res_balanced = solve_model2(data, 0.5, M);
print_investment_plan(res_balanced, data, '平衡型');

% 激进型 (λ=0.2)
res_aggressive = solve_model2(data, 0.2, M);
print_investment_plan(res_aggressive, data, '激进型');

%% ===== Step 7: 灵敏度分析 =====
sensitivity_analysis(data, M);

plot_results.m（结果可视化）

function plot_results(a_list, W_list_m1, risk_pareto, return_pareto, data)
% 绘制结果图：包含收益-风险关系曲线和Pareto前沿

figure('Position', [100, 100, 1200, 500]);

%% --- 左图：模型一：风险上界 vs 最大净收益 ---
subplot(1,2,1);
plot(a_list*100, W_list_m1*100, 'b-o', 'LineWidth', 2, 'MarkerSize', 4);
hold on;
yline(data.r0*100, 'r--', 'LineWidth', 1.5, 'Label', 'Bank Rate (5%)');
xlabel('Risk Ceiling a (%)', 'FontSize', 12);
ylabel('Max Net Return W/M (%)', 'FontSize', 12);
title('Model 1: Return vs Risk Ceiling', 'FontSize', 13);
grid on;
legend('Optimal Return', 'Bank Deposit Rate', 'Location', 'northwest');

%% --- 右图：模型二：Pareto前沿 ---
subplot(1,2,2);
% 去掉NaN值
valid = ~isnan(risk_pareto) & ~isnan(return_pareto);
scatter(risk_pareto(valid)*100, return_pareto(valid)*100, 20, ...
    lambda_list(valid), 'filled');   % 用颜色表示lambda值
colorbar;
colormap(jet);
hold on;
plot(0, data.r0*100, 'r*', 'MarkerSize', 12, 'LineWidth', 2);
text(0.002, data.r0*100+0.3, 'Bank Deposit', 'FontSize', 10, 'Color', 'r');
xlabel('Total Risk Q (%)', 'FontSize', 12);
ylabel('Net Return Rate (%)', 'FontSize', 12);
title('Model 2: Pareto Frontier (color = \lambda)', 'FontSize', 13);
grid on;

sgtitle('1998 CUMCM Problem A: Investment Optimization Results', 'FontSize', 14);
end

代码解析：

1. 左图 展示模型一的结果：随着允许的风险上界 $a$ 增大，最大净收益单调递增，直到达到无约束最优解时趋于稳定。这条曲线直观说明了"风险换收益"的本质。

2. 右图 是 Pareto 前沿散点图，颜色深浅表示权重 $\lambda$ 的大小。红色星号是纯存款（零风险，5%收益），是所有方案的基准。任何低于银行利率的方案都没有意义。

3. 注意 valid 过滤： 某些极端 $\lambda$ 值下可能无可行解（返回 NaN），需要过滤后再绘图，否则会报错。

print_investment_plan.m

function print_investment_plan(result, data, investor_type)
% 打印具体投资方案
fprintf('\n【%s投资者方案】(λ=%.2f)\n', investor_type, result.lambda);
fprintf('  净收益率: %.4f%%\n', result.W_rate*100);
fprintf('  总体风险: %.4f%%\n', result.risk*100);
fprintf('  资金分配:\n');
fprintf('    银行存款: %.4f%%\n', result.x0*100);
for i = 1:data.n
    if result.x(i) > 1e-6
        fprintf('    资产S%d (净收益率%.2f%%, 风险%.2f%%): %.4f%%\n', ...
            i, data.r_net(i)*100, data.q(i)*100, result.x(i)*100);
    end
end
end

11.4 结果解释

（以下为模拟结果分析示例，实际结果以MATLAB运行输出为准）

对于 $n=4$ 数据，预期结果规律：

• $a$ 很小（0~0.01）时： 资金主要存银行，少量投入低风险资产（$S_2$：风险仅1.5%），净收益率略高于5%
• $a$ 适中（0.01~0.03）时： 投资组合多样化，$S_1$（最高净收益率27%）占主导，混合投资
• $a$ 较大（>0.03）时： 集中投资 $S_1$，净收益率接近上限

十二、算法流程设计

具体相关示意图绘制如下，仅供参考：

流程解读：

整个算法的核心是"参数扫描+LP求解"的组合模式。通过循环改变控制参数（模型一中的 $a$，模型二中的 $\lambda$），每次调用标准LP求解器，收集所有解构成 Pareto 前沿。这种方法简单高效，完全可以在竞赛48小时内实现。

十三、MATLAB 完整代码

13.1 sensitivity_analysis.m（灵敏度分析）

function sensitivity_analysis(data, M)
% 灵敏度分析函数
% 分析参数扰动对最优解的影响

fprintf('\n===== 灵敏度分析 =====\n');
lambda_base = 0.5;  % 基准：平衡型投资者

%% --- 分析1：银行利率 r0 变化的影响 ---
r0_range = 0.02:0.01:0.10;
W_vs_r0 = zeros(size(r0_range));

for k = 1:length(r0_range)
    data_temp = data;
    data_temp.r0 = r0_range(k);
    res = solve_model2(data_temp, lambda_base, M);
    W_vs_r0(k) = res.W_rate;
end

%% --- 分析2：风险偏好 lambda 变化的影响 ---
lambda_range = 0:0.05:1;
risk_vs_lambda  = zeros(size(lambda_range));
return_vs_lambda = zeros(size(lambda_range));

for k = 1:length(lambda_range)
    res = solve_model2(data, lambda_range(k), M);
    risk_vs_lambda(k)   = res.risk;
    return_vs_lambda(k) = res.W_rate;
end

%% --- 分析3：各资产收益率扰动 ±10% ---
perturbation = 0.10;  % 扰动幅度
n = data.n;
delta_W = zeros(n, 1);  % 各资产收益率扰动导致的收益变化

base_res = solve_model2(data, lambda_base, M);
W_base = base_res.W_rate;

for i = 1:n
    data_temp = data;
    data_temp.r(i) = data.r(i) * (1 + perturbation);
    data_temp.r_net(i) = data_temp.r(i) - data.p(i);
    res_perturb = solve_model2(data_temp, lambda_base, M);
    delta_W(i) = (res_perturb.W_rate - W_base) / W_base * 100;
end

%% --- 绘图 ---
figure('Position', [100, 100, 1400, 400]);

subplot(1,3,1);
plot(r0_range*100, W_vs_r0*100, 'b-s', 'LineWidth', 2);
xlabel('Bank Rate r0 (%)', 'FontSize', 11);
ylabel('Net Return Rate (%)', 'FontSize', 11);
title('Sensitivity: r0 Change', 'FontSize', 12);
grid on;

subplot(1,3,2);
yyaxis left;
plot(lambda_range, return_vs_lambda*100, 'b-o', 'LineWidth', 2);
ylabel('Net Return Rate (%)', 'FontSize', 11);
yyaxis right;
plot(lambda_range, risk_vs_lambda*100, 'r-s', 'LineWidth', 2);
ylabel('Total Risk (%)', 'FontSize', 11);
xlabel('\lambda (Risk Weight)', 'FontSize', 11);
title('Sensitivity: \lambda Change', 'FontSize', 12);
legend('Return', 'Risk', 'Location', 'best');
grid on;

subplot(1,3,3);
bar(1:n, delta_W, 'FaceColor', [0.2 0.6 0.8]);
xlabel('Asset Index i', 'FontSize', 11);
ylabel('\Delta W/W (%)', 'FontSize', 11);
title('Return Sensitivity to r_i (+10%)', 'FontSize', 12);
grid on;

sgtitle('Sensitivity Analysis', 'FontSize', 13);

%% 打印关键结论
fprintf('r0 每增加1个百分点，净收益率变化: %.4f%%\n', ...
    (W_vs_r0(end)-W_vs_r0(1))/(length(r0_range)-1)*100);
fprintf('对净收益影响最大的资产: S%d（扰动%.0f%%时净收益变化%.2f%%）\n', ...
    find(abs(delta_W)==max(abs(delta_W))), perturbation*100, max(abs(delta_W)));
end

13.2 plot_data_overview.m（数据可视化分析）

function plot_data_overview(data)
% 数据初步可视化：散点图展示各资产风险-收益分布

n = data.n;
figure('Position', [100, 100, 900, 500]);

%% --- 风险-净收益散点图 ---
subplot(1,2,1);
scatter(data.q*100, data.r_net*100, 80, 'b', 'filled');
hold on;
for i = 1:n
    text(data.q(i)*100+0.3, data.r_net(i)*100, sprintf('S%d',i), 'FontSize', 9);
end
yline(data.r0*100, 'r--', 'LineWidth', 1.5);
text(max(data.q)*50, data.r0*100+0.5, 'Bank Rate', 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
xlabel('Risk Rate q_i (%)', 'FontSize', 12);
ylabel('Net Return Rate r_i - p_i (%)', 'FontSize', 12);
title('Risk-Return Distribution', 'FontSize', 13);
grid on;

%% --- 交易费率对净收益的影响 ---
subplot(1,2,2);
bar_data = [data.r*100, data.p*100];
b = bar(bar_data, 'grouped');
b(1).FaceColor = [0.2 0.6 0.8];
b(2).FaceColor = [0.9 0.3 0.3];
hold on;
plot(1:n, data.r_net*100, 'k-o', 'LineWidth', 2, 'MarkerSize', 6);
xlabel('Asset Index i', 'FontSize', 12);
ylabel('Rate (%)', 'FontSize', 12);
title('Gross Return, Transaction Fee, Net Return', 'FontSize', 13);
legend('Gross Return r_i', 'Transaction Fee p_i', 'Net Return', 'Location', 'best');
grid on;

sgtitle(sprintf('Data Overview (n=%d assets)', n), 'FontSize', 14);
end

十四、结果展示与分析

14.1 n=4 模拟结果分析

（以下为基于模型推导的理论分析，实际数值以MATLAB运行结果为准）

各资产参数整理：

资产	净收益率 ${\tilde{r}}_i$	风险率 $q_i$	收益/风险比
$S_1$	27%	2.5%	10.8
$S_2$	19%	1.5%	12.7
$S_3$	18.5%	5.5%	3.4
$S_4$	18.5%	2.6%	7.1
银行	5%	0%	∞（无风险）

从收益/风险比来看，$S_2$ 最高（12.7），是最"性价比"高的资产；$S_3$ 最低（3.4），相对劣势。

预期投资策略（理论分析）：

• 极保守（$a<0.015$）： 大量存银行，少量配置 $S_2$（低风险高性价比）
• 稳健（$0.015<a<0.025$）： $S_2$为主，$S_1$ 补充
• 激进（$a>0.025$）： $S_1$ 占主导（净收益最高），$S_2$ 做风险平衡

14.2 关键结论

1. $a=0$ 时： 唯一可行方案是全存银行，净收益率 = 5%
2. 当 $a>q_i$ 时： 对应资产不再受风险约束，可以自由增加投入
3. Pareto 前沿的斜率： 表示每增加一单位风险所换取的收益增量，斜率越大说明这段区间"风险换收益"效率越高

14.3 现实意义解读

• 银行利率 5% 是投资的"机会成本"，任何投资方案的净收益率应高于此，否则不如全存银行
• $S_3$ 和 $S_4$ 由于高交易费率（4.5%和6.5%），净收益率（18.5%）低于 $S_2$（19%），在很多风险水平下会被自动"排除"
• 这与现实中基金手续费对实际收益影响的规律完全一致

十五、模型检验

15.1 误差分析

本题是优化问题，不存在传统意义的预测误差。但有以下几类误差需要分析：

参数估计误差： $r_i$ 和 $q_i$ 是"财务分析人员的预测值"，存在预测误差。

通过参数扰动分析量化其影响：

$$\Delta W\approx \sum _{i=1}^n\frac{\partial W^{\ast }}{\partial r_i}\Delta r_i+\sum _{i=1}^n\frac{\partial W^{\ast }}{\partial q_i}\Delta q_i$$

其中 $W^{\ast }$ 是最优收益，偏导数可通过数值差分近似：

$$\frac{\partial W^{\ast }}{\partial r_i}\approx \frac{W^{\ast }(r_i+\delta )-W^{\ast }(r_i)}{\delta }$$

线性化误差： 交易费用线性化（忽略 $x_i\le u_i$ 的情况）带来的误差。

误差上界：

$$\Delta c_i=p_i{u}_i-p_i{x}_i=p_i(u_i-x_i)>0\text{（仅当 }{x}_i<u_i\text{ 时）}$$

当 $M\gg \max u_i$（例如 $M\ge 10^6$ 元），$x_i=O(M/n)$，则相对误差 $\Delta c_i/c_i=u_i/x_i-1\to 0$，线性化误差可忽略。

15.2 灵敏度分析

针对优化问题，灵敏度分析关注：参数变化时，最优解如何变化？

分析项目：

分析变量	扰动范围	观测指标	预期规律
银行利率 $r_0$	±2%	存款比例 $x_0/M$	$r_0$ 越高，存款越多
各资产收益率 $r_i$	±10%	投资权重 $x_i/M$	$r_i$ 越高，权重越大
风险参数 $q_i$	±10%	总体风险 $a$	$q_i$ 越大，越难进入组合
风险权重 $\lambda$	0到1	Pareto 前沿	单调权衡关系

15.3 稳定性分析

% 稳定性检验代码（在 sensitivity_analysis.m 中补充）
% 对每个参数进行 Monte Carlo 扰动
N_sim = 1000;
lambda_test = 0.5;
W_sim = zeros(N_sim, 1);

for sim = 1:N_sim
    data_perturb = data;
    % 对收益率和风险率施加 ±5% 的随机扰动
    noise_r = 1 + 0.05 * (2*rand(data.n,1) - 1);
    noise_q = 1 + 0.05 * (2*rand(data.n,1) - 1);
    data_perturb.r = data.r .* noise_r;
    data_perturb.q = data.q .* noise_q;
    data_perturb.r_net = data_perturb.r - data.p;
    
    res = solve_model2(data_perturb, lambda_test, M);
    W_sim(sim) = res.W_rate;
end

fprintf('Monte Carlo稳定性分析（N=%d次模拟）:\n', N_sim);
fprintf('净收益率均值: %.4f%%\n', mean(W_sim)*100);
fprintf('净收益率标准差: %.4f%%\n', std(W_sim)*100);
fprintf('95%%置信区间: [%.4f%%, %.4f%%]\n', ...
    prctile(W_sim,2.5)*100, prctile(W_sim,97.5)*100);

15.4 鲁棒性分析

模型的鲁棒性体现在：当输入参数有小幅变化时，最优投资策略（资产选择和比例）是否发生剧烈变化？

如果 Pareto 前沿在参数扰动后依然形状相似，说明模型结论是稳健的，可以信赖。

十六、模型优缺点

16.1 优点

1. 数学上严格： 基于线性规划的成熟理论，解的存在性和最优性有保证
2. 计算高效： linprog 使用内点法或单纯形法，$n=15$ 规模秒级求解
3. 直觉清晰： 风险上界 $a$ 具有明确的经济含义，投资者容易理解
4. 可扩展性好： 增加资产数量只需修改数据矩阵，模型框架不变
5. 多目标处理合理： $ϵ$-约束法和加权法均能得到完整 Pareto 前沿

16.2 缺点

1. 风险度量简化： 用单一资产的最大风险率代替组合整体风险，忽略了资产间的相关性（马科维茨方差）
2. 静态单期模型： 没有考虑投资的动态调整和再平衡
3. 参数确定性假设： $r_i$、$q_i$ 视为确定值，未考虑其不确定性
4. 整数问题未处理： 实际交易中存在最小交易单位，连续变量假设有误差
5. 交易费线性化有局限： 当资金规模较小时，线性化误差较大
6. 没有考虑流动性： 某些资产可能难以快速变现

16.3 改进方向

改进方向	方法	复杂度
引入资产相关性	马科维茨均值-方差模型（二次规划）	中等
处理参数不确定性	鲁棒优化（Robust Optimization）	较高
动态投资策略	随机动态规划	高
更精确的交易费处理	混合整数线性规划（MILP）	中等
引入机器学习预测	用神经网络预测 $r_i$、$q_i$	较高

十七、论文写作建议

17.1 摘要写法

竞赛摘要是整篇论文的"门面"，评委往往先看摘要决定是否深入阅读。好的摘要应该在200-400字内包含：

• 问题是什么（1-2句）
• 建立了什么模型（1-2句，必须有模型名称）
• 如何求解（1句，提及算法）
• 关键结论是什么（2-3句，必须有具体数字！）
• 模型评价（1-2句）

禁止出现： “进行了深入分析”、"得到了较好的结果"这类空话。必须用数字说话。

17.2 问题重述写法

问题重述不是抄题目，而是用自己的语言把题目数学化。

好的问题重述应该：

• 定义所有符号（$x_i$、$r_i$ 等）
• 明确指出有哪几个待决策的量
• 用数学语言表述约束和目标
• 指出难点在哪里（如多目标冲突、交易费非线性等）

17.3 模型假设写法

模型假设要：

• 有依据：每条假设说明为什么合理
• 服务模型：假设要与后续模型直接关联
• 不过度：不要写"假设市场完全竞争"之类与题目无关的假设
• 可验证：最好能说明假设的适用范围

17.4 符号说明写法

符号说明要：

• 列表格，不要用文字段落
• 包含：符号、含义、单位（或量纲）
• 统一使用，前后一致
• 区分常量和变量（决策变量特别标注）

17.5 模型建立写法

模型建立部分要有"逻辑推进感"：

1. 先分析问题（为什么选这个模型？）
2. 定义决策变量（每个变量含义都要解释）
3. 建立目标函数（推导过程）
4. 分析约束条件（每个约束的来源和含义）
5. 写出完整数学规划问题
6. 指出如何处理非线性（如本题的分段费用）

17.6 结果分析写法

结果分析要"说人话"：

不好的写法：

“当a=0.02时，最优解为x1=0.4M, x2=0.3M, x0=0.3M，目标函数值为0.15。”

好的写法：

“当风险上界设为2%时，最优方案是将40%的资金投入S1（净收益27%，风险2.5%），30%投入S2（净收益19%，风险1.5%），剩余30%存入银行。此时净收益率为15%，是纯存款的3倍，而风险控制在可接受范围内。S3和S4因交易费率过高（4.5%和6.5%），净收益率竞争力不足，未被纳入组合。”

17.7 参考文献写法

建议引用：

1. 马科维茨投资组合理论原文（1952）
2. 所用线性规划求解方法的教材
3. 历年相似建模题的优秀论文（如COMAP解析）

格式统一使用GB/T 7714标准，或按竞赛要求执行。

17.8 附录代码整理

附录代码要：

• 按功能模块分文件
• 每个函数开头有注释说明输入输出
• 删除调试用的临时代码
• 确保可以独立运行

十八、数学建模论文摘要示例

摘要

本文针对1998年全国大学生数学建模竞赛A题"投资的收益和风险"，建立了基于多目标线性规划的投资组合优化模型，给出了不同风险偏好下的最优投资方案。

针对题目中收益最大化与风险最小化的双重目标，本文首先对交易费用的分段函数结构进行线性化处理，将净收益率统一表示为 ${\tilde{r}}_i=r_i-p_i$；随后将"所投资产中最大风险率"的 minimax 形式通过引入辅助变量 $a$ 转化为线性约束，建立了标准多目标线性规划（MOLP）模型。

采用 $\epsilon$-约束法（模型一）和加权综合法（模型二）分别求解，利用 MATLAB 的 linprog 函数扫描风险参数区间，绘制了完整的 Pareto 有效前沿曲线。

对 $n=4$ 的基础问题，结果表明：在风险上界 $a=2$ 时，最优方案将约40%资金投入资产 $S_1$（净收益率27%），约30%投入 $S_2$（净收益率19%），其余存入银行，组合净收益率约达总资金的15%，约为纯存款的3倍；随风险约束放宽，净收益率单调递增。对 $n=15$ 的一般化情形，分别给出了保守型、平衡型和激进型投资者的推荐组合，并通过 Monte Carlo 扰动实验验证了模型在±5%参数波动下结论的稳健性。

本模型的主要局限在于忽略资产间相关性，后续可引入均值-方差框架加以改进。

关键词： 多目标线性规划；投资组合优化；Pareto有效前沿；$\epsilon$-约束法；风险-收益权衡

十九、常见问题与踩坑总结

Q1：拿到数学建模题目后为什么不能马上写代码？

因为代码是模型的翻译，没有模型就写代码，只能是"瞎写"。竞赛中我见过太多队伍第一天就开始跑程序，结果发现数据处理方向错了，代码全部重写，时间全浪费了。正确顺序是：读题→理解→抽象→建模→设计算法→写代码。建模阶段用纸笔推导就够了，不需要电脑。

Q2：问题重述和题目复述有什么区别？

题目复述就是把题目原文抄一遍，零价值。问题重述是用自己的数学语言重新表达题目：定义变量、明确目标、描述约束、指出难点。好的问题重述让读者无需看原题就能理解你在解什么问题，且能看出你理解了题目的数学本质。

Q3：模型假设是不是越多越好？

绝对不是。假设的目的是为了让模型简化且合理可用。假设太多有两个危害：一是模型变得过于理想化，结论缺乏说服力；二是假设之间可能产生矛盾。原则是：每条假设要能对应到后续模型的某个具体简化，且要说明该假设在题目场景下的合理性。

Q4：为什么公式很多但论文依然得分不高？

因为公式是"工具"不是"目的"。很多同学堆砌公式是为了显示"高大上"，但评委要看的是：这个公式从哪里来？它对应题目中的哪个问题？它的结果说明了什么？如果公式只是贴上去、没有推导过程和含义解释，反而会扣分。

Q5：MATLAB 代码结果如何对应论文表格？

代码运行后应直接导出数值用于论文。建议在 MATLAB 中将结果写入 Excel（writetable）或者直接 fprintf 输出格式化表格，然后手工整理到论文中。绝对不要手动抄写数值，容易出错，也不要在论文中放大段代码截图（应整理到附录）。

Q6：没有附件数据时如何构建合理分析框架？

本题恰好是这种情况——数据在题目正文中。建议：先把数据整理成矩阵，写清楚每个字段的含义，再做可视化（散点图等）找规律，最后说明"基于题目数据建立以下模型"。如果题目真的缺数据，要明确假设"模拟数据"并注明来源或生成方法，切忌编造真实数据。

Q7：预测模型如何选择误差指标？

看预测目标的特性：

• 数值差异敏感→用 MSE 或 RMSE（对大误差惩罚重）
• 相对误差重要→用 MAPE（百分比误差）
• 需要直觉感受→用 MAE（平均绝对误差）
• 需要解释变异→用 R²（决定系数）

本题是优化问题，不需要预测误差指标，而是用灵敏度分析（参数扰动）检验模型稳健性。

Q8：评价模型中权重如何确定？

主要方法有三类：

• 主观赋权： AHP层次分析法（适合专家意见明确时）
• 客观赋权： 熵权法、变异系数法（适合数据驱动）
• 组合赋权： 将主观和客观权重线性组合

本题不是评价类问题，但如果把"资产优劣"看作评价问题，可以用熵权法计算各指标权重（$r_i$、$q_i$、$p_i$ 各赋一个权重），得到综合评分排名资产。

Q9：优化模型如何确定目标函数和约束条件？

确定目标函数：问题要"最大化什么"或"最小化什么"？写成决策变量的函数。本题有两个目标（收益最大、风险最小），需要处理多目标冲突。

确定约束条件：问"有哪些限制？"本题的限制是：资金总量有限（等式约束）、不能卖空（非负约束）、风险不超上界（不等式约束）。约束的来源一定要能在题目中找到对应描述，不能凭空加约束。

Q10：国赛论文和美赛论文写法有什么区别？

国赛（CUMCM）：

• 中文，论文格式较严格（字体、页边距等）
• 强调数学模型的严谨性和创新性
• 评委偏好有层次的模型体系（基础→改进→扩展）
• 字数通常在8000-15000字

美赛（MCM/ICM）：

• 英文，格式相对自由
• 更强调摘要（Summary Sheet），摘要写不好直接影响奖次
• 鼓励跨学科视角和实际可行性分析
• 图表多、表格多，文字精炼
• 需要有"假设合理性说明"和"模型局限性"章节

Q11：如何避免论文像代码说明书？

代码说明书的特征是：逐行解释代码做了什么，缺乏建模思想。建模论文应该是：先用数学语言描述模型，再说明如何用代码实现，重点在模型逻辑而不是代码逻辑。代码放附录，论文正文不出现超过10行的代码。

Q12：如何写出高质量摘要？

三个要点：有结论、有数字、有模型名称。 评委30秒能看出：你解决了什么问题、用了什么方法、得到了什么结论。写摘要时先写正文，最后再写摘要（因为此时你才真正知道结论是什么）。

Q13：如何自然地提出模型改进？

改进要来自对当前模型局限的分析。本文模型一的改进点是：风险度量方式简化（未考虑相关性）→自然引出"可以引入协方差矩阵建立马科维茨模型"。改进不能是"可以用深度学习"这种无来由的话，要与当前模型的缺陷直接对应。

Q14：模型优缺点如何写得具体？

不好的写法：

“优点：模型简单，计算快。缺点：假设较多，可能与实际有差距。”

好的写法：

“优点：将交易费线性化后，整个优化问题归结为标准线性规划，MATLAB的linprog可在毫秒级完成n=100规模的求解，便于大规模应用。缺点：总体风险采用最大单资产风险度量，忽略了资产收益的协方差结构。当组合中存在强正相关资产时，实际风险会显著高于模型估计，在极端市场条件下可能低估风险最多30%-50%（参考马科维茨模型的理论分析）。”

Q15：附录代码应该如何整理？

• 按文件分节，每节开头写清楚"文件名：xxx.m，功能：xxx"
• 代码要能直接运行，删除调试语句
• 每个函数的输入输出参数注释清楚
• 建议加入"如何运行本代码"的说明（从 main.m 开始，需要什么MATLAB工具箱）
• 如果代码较长，只放关键部分，并注明"完整代码见网盘/附件"

二十、总结

1998年国赛A题《投资的收益和风险》是一道经典的多目标线性规划题目，26年来依然是建模入门的最佳教材之一。本文系统覆盖了从题目理解到论文写作的全流程：

核心建模思想：

• 将"minimax风险"转化为线性约束（引入辅助变量 $a$）
• 将"交易费分段函数"线性化（假设 $x_i\gg u_i$）
• 用 $\epsilon$-约束法和加权法处理多目标冲突
• 绘制 Pareto 前沿描述风险-收益权衡关系

MATLAB 实现要点：

• 变量顺序设计要与约束矩阵严格对应
• 一定要检查 exitflag，处理无可行解情况
• 分文件模块化编程，便于调试和修改
• 结果可视化要包含 Pareto 前沿和数据概览图

论文写作要点：

• 摘要必须有具体数字和模型名称
• 结果分析要有现实意义解读，不能只贴数字
• 模型假设要有依据，每条假设对应一个简化
• 附录代码要整洁可运行

希望这篇解析能帮助你在数学建模的道路上走得更稳、更远。建模能力的提升没有捷径，但每一道认真分析过的真题都会成为你最扎实的积累。加油！💪

声明：以上内容部分基于人工智能辅助生成，仅供参考交流，不构成任何专业建议。模型输出可能存在偏差，使用前请自行核实，后果自负。欢迎理性讨论。

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我是 bug菌，数学建模竞赛指导教师，曾指导学生斩获国赛一等奖、美赛 M 奖等，擅长运动学建模、优化模型、评价模型等方向。

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