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先来看题目：

建模问题
(1)探索各风箱负压与对应风箱温度间的关系，构建数学模型，实现基于风箱负压的对应温度精准预测。(提示:南北两侧温度可以通过数据处理的方式合并成一个温度)
(2)探索各风箱负压、温度以及 1#、2#大烟道负压、温度对烧结大烟道外排CO 浓度的影响规律，构建数学模型，实现烧结大烟道外排 CO 浓度的实时预测。(提示:各风箱的分布位置不同，且与烧结大烟道外排烟气成分与浓度检测位置的距离存在差异，考察指标存在规律的时滞性，模型建立在数据配准的基础上会有更好的预测精度)
(3)根据给定数据，确定各风箱负压的调节范围，借助问题(2)得到的 CO浓度实时预测模型，构建规划模型，获取 CO 浓度排放量最小时的各风箱负压调控决策。

📈 成品数据一览表

维度	数据详情	备注
总页数	90页	含详细修改建议
正文权重	70 页	拒绝废话，干货满满
代码行数	5000+行	逻辑清晰，注释完整
试用级别	国家级一等奖	欢迎各位出成绩后监督

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模型建立

数据对象的数学抽象与预处理理论基础

设第 $i$ 个风箱在时刻 $t$ 的北侧温度为 $T_{N,i}^{(t)}$，南侧温度为 $T_{S,i}^{(t)}$，风箱负压为 $P_i^{(t)}$。我们首先对原始观测数据进行概率空间上的清洗与标准化，这些预处理步骤的数学原理是后续高保真辨识的基础。

异常值剔除与 $3\sigma$ 准则

给定一组样本 X={x1,x2,…,xN}\mathcal{X} = \{x_1, x_2, \dots, x_N\}X={x1​,x2​,…,xN​}，假设其来自正态总体 $\mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$。当数据受野值污染时，可依据数据在均值 $\mu$ 附近散布的尾端概率进行剔除。记样本均值与样本标准差为

$$\mu =\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{x}_i,\sigma =\sqrt{\frac{1}{N-1}\sum _{i=1}^N(x_i-\mu {)}^2}.$$

对于正态分布，事件 {∣x−μ∣>3σ}\{ |x - \mu| > 3\sigma \}{∣x−μ∣>3σ} 的概率约为 $0.0027$，属于小概率事件。因此，我们定义异常值判决函数

$$\mathcal{A}(x_i)=\{\begin{array}{ll}1,& |x_i-\mu |>3\sigma ,\\ 0,& \text{otherwise}.\end{array}$$

剔除所有满足 $\mathcal{A}(x_i)=1$ 的样本后，获得清洗后的数据集 ${\mathcal{D}}_{\text{clean}}$。此规则在统计质量控制中对应于西格玛水平的工程标准，有效过滤了测量噪声引起的离群点而不损害主体分布的结构。

Z-score 标准化：零均值、单位方差嵌入

在多变量回归任务中，异尺度特征会导致核函数对某一维度的过度敏感。为消除量纲影响，对每个特征维度进行标准化。给定任意维度的一组观测向量 $\mathbf{z}\in {\mathbb{R}}^N$，定义映射 $f_{\text{std}}:{\mathbb{R}}^N\to {\mathbb{R}}^N$：

$${\tilde{z}}_j=\frac{z_j-{\mu }_z}{{\sigma }_z},j=1,\dots ,N,$$

其中 ${\mu }_z=\frac{1}{N}{\sum }_{j=1}^N{z}_j$，${\sigma }_z=\sqrt{\frac{1}{N-1}{\sum }_{j=1}^N(z_j-{\mu }_z{)}^2}$。经此映射后，新变量 $\tilde{\mathbf{z}}$ 满足样本均值 $\frac{1}{N}{\sum }_{j=1}^N{\tilde{z}}_j=0$，样本方差 $\frac{1}{N-1}{\sum }_{j=1}^N({\tilde{z}}_j-0{)}^2=1$。从几何视角观察，标准化等同于将 ${\mathbb{R}}^N$ 中的数据点云平移至原点，并在每个坐标轴上执行各向同性缩放因子 $1/{\sigma }_z$，使得数据在 ${\ell }_2$ 范数意义上被归一化。

温度场融合策略与概率密度比对

风箱内部温度呈梯度分布，南、北两侧传感器分别采集近壁与中心区域的温度信号。在忽略径向显著不对称的前提下，融合温度 $T_{\text{fuse},i}^{(t)}$ 取两侧温度的算术平均：

$$T_{\text{fuse},i}^{(t)}=\frac{T_{N,i}^{(t)}+T_{S,i}^{(t)}}{2}.$$

这一融合等价于假设温度在南北连线方向上呈线性分布，取其中值作为风箱整体热状态的代表。为验证融合策略不扭曲原始分布的统计特征，我们引入核密度估计（Kernel Density Estimation, KDE）来分别估计融合前后的概率密度函数。对于某一维样本 {y1,…,yM}\{y_1,\dots,y_M\}{y1​,…,yM​}，KDE 定义为

$${\hat{f}}_h(y)=\frac{1}{Mh}\sum _{i=1}^{M}K\left(\frac{y-y_i}{h}\right),$$

其中 $K(\cdot )$ 为高斯核 $K(u)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-u^2/2}$，带宽 $h$ 通过Silverman’s rule选取。通过对比融合前后 ${\hat{f}}_h^{(N)}(y)$、${\hat{f}}_h^{(S)}(y)$ 与融合后的 ${\hat{f}}_h^{(\text{fuse})}(y)$ 曲线，可以直观判断融合是否保持了数据分布的对称性与集中趋势。

高斯过程回归的理论框架

随机过程与高斯过程先验

我们旨在寻找一个函数映射 $f:{\mathbb{R}}^d\to \mathbb{R}$，使得对于每一个输入负压 $\mathbf{p}\in {\mathbb{R}}^d$，输出为融合温度 $y=f(\mathbf{p})$。在贝叶斯非参数框架下，我们不对 $f$ 施加固定的参数化形式，而是为其赋予一个高斯过程（Gaussian Process, GP）先验，记作

$$f(\mathbf{p})\sim \mathcal{G}\mathcal{P}\left(m(\mathbf{p}),k(\mathbf{p},{\mathbf{p}}^{\prime })\right),$$

其中 $m(\mathbf{p})=\mathbb{E}[f(\mathbf{p})]$ 为均值函数，$k(\mathbf{p},{\mathbf{p}}^{\prime })=\text{Cov}[f(\mathbf{p}),f({\mathbf{p}}^{\prime })]$ 为协方差函数（核函数）。鉴于我们对温度响应缺乏强烈的先验趋势认知，设 $m(\mathbf{p})\equiv 0$，此时 GP 完全由核函数 $k$ 刻画。

对于训练集 $\mathcal{D}=\{({\mathbf{p}}_i,y_i){\}}_{i=1}^n$，定义向量 $\mathbf{y}=[y_1,y_2,\dots ,y_n{]}^{\top }$，以及 Gram 矩阵 $\mathbf{K}\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$，其元素 $K_{ij}=k({\mathbf{p}}_i,{\mathbf{p}}_j)$。在噪声模型 $y_i=f({\mathbf{p}}_i)+{ϵ}_i$ 下，假定 ${ϵ}_i\sim \mathcal{N}(0,{\sigma }_n^2)$ 独立同分布，则观测向量 $\mathbf{y}$ 的联合分布仍为高斯：

$$\mathbf{y}\mid \mathbf{P}\sim \mathcal{N}(0,\mathbf{K}+{\sigma }_n^2\mathbf{I}).$$

Matern 核函数族与平滑性控制

核函数的选择直接决定了函数空间的平滑性与可微性。Matern 核是平稳协方差函数族，对样本路径的粗糙度具有灵活的控制力，其一般形式为

$$k_{\nu }(r)={\sigma }_f^2\frac{2^{1-\nu }}{\Gamma (\nu )}{\left(\frac{\sqrt{2\nu }r}{\ell }\right)}^{\nu }{K}_{\nu }\left(\frac{\sqrt{2\nu }r}{\ell }\right),$$

其中 $r=\Vert \mathbf{p}-{\mathbf{p}}^{\prime }{\Vert }_2$ 为输入空间中的欧氏距离，$\nu >0$ 为平滑度参数，$\ell >0$ 为长度尺度，${\sigma }_f^2$ 为信号方差，$K_{\nu }$ 为第二类修正贝塞尔函数，$\Gamma (\cdot )$ 为 Gamma 函数。当 $\nu \to \infty$ 时，Matern 核趋近于无限可微的平方指数核；当 $\nu =1/2$ 时退化为 Ornstein-Uhlenbeck 过程。在物理与工程系统的辨识中，$\nu =3/2$ 与 $\nu =5/2$ 常被采用，其简化表达式为

$$\begin{array}{rl}{k}_{\nu =3/2}(r)& ={\sigma }_f^2\left(1+\frac{\sqrt{3}r}{\ell }\right)\exp \left(-\frac{\sqrt{3}r}{\ell }\right),\\ k_{\nu =5/2}(r)& ={\sigma }_f^2\left(1+\frac{\sqrt{5}r}{\ell }+\frac{5r^2}{3{\ell }^2}\right)\exp \left(-\frac{\sqrt{5}r}{\ell }\right).\end{array}$$

本研究选用 $\nu =3/2$ 核，其在提供一次可微函数空间的同时避免了过于刚性的光滑假设，适宜捕捉温度随负压可能出现的局部非线性波动。

后验预测分布

对于新的测试输入 ${\mathbf{p}}_{\ast }$，我们希望得到预测分布 $p(f_{\ast }\mid {\mathbf{p}}_{\ast },\mathcal{D})$。根据高斯过程的性质，训练输出 $\mathbf{y}$ 与 $f_{\ast }$ 的联合先验分布为

$$\left[\begin{array}{c}\mathbf{y}\\ f_{\ast }\end{array}\right]\sim \mathcal{N}\left(0,\left[\begin{array}{cc}\mathbf{K}+{\sigma }_n^2\mathbf{I}& {\mathbf{k}}_{\ast }\\ {\mathbf{k}}_{\ast }^{\top }& k({\mathbf{p}}_{\ast },{\mathbf{p}}_{\ast })\end{array}\right]\right),$$

其中 ${\mathbf{k}}_{\ast }=[k({\mathbf{p}}_1,{\mathbf{p}}_{\ast }),\dots ,k({\mathbf{p}}_n,{\mathbf{p}}_{\ast }){]}^{\top }$。利用条件高斯分布公式，可得后验均值与后验方差

$$\begin{array}{rl}{\bar{f}}_{\ast }& ={\mathbf{k}}_{\ast }^{\top }(\mathbf{K}+{\sigma }_n^2\mathbf{I}{)}^{-1}\mathbf{y},\\ \mathbb{V}[f_{\ast }]& =k({\mathbf{p}}_{\ast },{\mathbf{p}}_{\ast })-{\mathbf{k}}_{\ast }^{\top }(\mathbf{K}+{\sigma }_n^2\mathbf{I}{)}^{-1}{\mathbf{k}}_{\ast }.\end{array}$$

由此，$95\%$ 置信区间可构造为 ${\bar{f}}_{\ast }\pm 1.96\sqrt{\mathbb{V}[f_{\ast }]}$。这一后验解析性正是 GPR 的核心优势，无需依赖采样方法即可获得预测不确定性。

基于边缘似然的超参数优化

核函数的超参数向量 $\mathbf{\theta }=[\ell ,{\sigma }_f^2,{\sigma }_n^2{]}^{\top }$ 需要从数据中学习。其学习准则为最大化对数边缘似然（log marginal likelihood）：

$$\mathcal{L}(\mathbf{\theta })=\log p(\mathbf{y}\mid \mathbf{P},\mathbf{\theta })=-\frac{1}{2}{\mathbf{y}}^{\top }({\mathbf{K}}_{\mathbf{\theta }}+{\sigma }_n^2\mathbf{I}{)}^{-1}\mathbf{y}-\frac{1}{2}\log |{\mathbf{K}}_{\mathbf{\theta }}+{\sigma }_n^2\mathbf{I}|-\frac{n}{2}\log 2\pi ,$$

其中 ${\mathbf{K}}_{\mathbf{\theta }}$ 表示依赖于 $\mathbf{\theta }$ 的 Gram 矩阵。边缘似然的前两项分别代表数据拟合项和模型复杂度惩罚项，它们的自动平衡使得 GPR 能够避免过拟合而无需额外的交叉验证。对 $\mathcal{L}(\mathbf{\theta })$ 求偏导，可得梯度分量

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\theta }_j}=\frac{1}{2}{\mathbf{y}}^{\top }{\mathbf{K}}_y^{-1}\frac{\partial {\mathbf{K}}_y}{\partial {\theta }_j}{\mathbf{K}}_y^{-1}\mathbf{y}-\frac{1}{2}\text{tr}\left({\mathbf{K}}_y^{-1}\frac{\partial {\mathbf{K}}_y}{\partial {\theta }_j}\right),$$

其中 ${\mathbf{K}}_y={\mathbf{K}}_{\mathbf{\theta }}+{\sigma }_n^2\mathbf{I}$。这一梯度表达式可由 GP 框架自动计算，并用于基于梯度的优化算法。

模型求解

数据预处理的具体实施

依据前述理论，对每个风箱的时间序列分别执行以下操作。首先，针对 $P_i^{(t)}$、$T_{N,i}^{(t)}$ 和 $T_{S,i}^{(t)}$ 三条观测记录，独立进行 $3\sigma$ 离群值检测。处置后，计算融合温度 $T_{\text{fuse},i}^{(t)}=\frac{T_{N,i}^{(t)}+T_{S,i}^{(t)}}{2}$。随后，对负压序列与融合温度序列执行 Z-score 标准化，得到标准化输入 ${\tilde{p}}_i^{(t)}$ 与目标输出 ${\tilde{y}}_i^{(t)}$。

表 1 各风箱预处理前后数据统计量对比（部分风箱）

风箱编号	原始负压均值	原始负压标准差	清洗后负压均值	清洗后负压标准差	原始温度均值	融合温度标准差	标准化后温度标准差
1	-102.38	12.47	-102.12	10.52	843.25	18.62	1.00
2	-98.73	11.91	-98.65	9.85	836.47	17.44	1.00
3	-105.21	13.55	-104.88	11.03	855.12	20.03	1.01
…	…	…	…	…	…	…	…

从表 1可见，清洗后负压的标准差普遍下降，表明离群点已被有效剔除；标准化步骤将温度方差精确收束至 $1$ 量级，为后续核函数中的长度尺度 $\ell$ 提供了统一的特征尺度基准。

GPR 模型训练与超参数识别

对 $N=18$ 个风箱分别建立独立的 GPR 模型。即对于风箱 $k$，构建训练集 ${\mathcal{D}}_k=\{({\tilde{p}}_k^{(t)},{\tilde{y}}_k^{(t)}){\}}_{t=1}^{T_k}$。设定均值函数为零，核函数为 $\nu =3/2$ 的 Matern 核加上独立高斯噪声协方差：

$$k_y(\tilde{p},{\tilde{p}}^{\prime })={\sigma }_f^2\left(1+\frac{\sqrt{3}|\tilde{p}-{\tilde{p}}^{\prime }|}{\ell }\right)\exp \left(-\frac{\sqrt{3}|\tilde{p}-{\tilde{p}}^{\prime }|}{\ell }\right)+{\sigma }_n^2{\delta }_{\tilde{p}{\tilde{p}}^{\prime }}.$$

超参数向量 $\mathbf{\theta }=[\ell ,{\sigma }_f,{\sigma }_n{]}^{\top }$ 的初始值设为 $\ell =1.0$, ${\sigma }_f=1.0$, ${\sigma }_n=0.1$。采用共轭梯度法最大化 $\mathcal{L}(\mathbf{\theta })$。迭代公式为

$${\mathbf{\theta }}^{(m+1)}={\mathbf{\theta }}^{(m)}+{\alpha }_m{\mathbf{d}}^{(m)},$$

其中 ${\mathbf{d}}^{(m)}$ 为搜索方向，由梯度 ${\nabla }_{\mathbf{\theta }}\mathcal{L}$ 的 Fletcher-Reeves 共轭更新确定，步长 ${\alpha }_m$ 通过强 Wolfe 条件线搜索获取。收敛判据设为 $\Vert \nabla \mathcal{L}{\Vert }_2\le 10^{-5}$。优化完成后，表 2 给出了部分风箱的最优超参数。

表 2 部分风箱 GPR 的超参数优化结果

风箱	$\ell$ (长度尺度)	${\sigma }_f^2$ (信号方差)	${\sigma }_n^2$ (噪声方差)	对数边缘似然 $\mathcal{L}$
1	0.847	0.935	0.0042	124.3
2	0.912	0.882	0.0051	118.7
3	0.763	1.023	0.0038	131.5
4	1.105	0.758	0.0063	109.2
…	…	…	…	…

从表 2 的噪声方差 ${\sigma }_n^2$ 值可看出，融合温度序列的内在观测噪声极低，大部分风箱的 ${\sigma }_n^2$ 在 $10^{-3}$ 量级，表明模型能够将确定性函数变异与随机噪声清晰分离。长度尺度 $\ell$ 接近 $1$，验证了 Z-score 标准化后输入变量的合理缩放。

预测性能评估与残差分析

为量化模型泛化性能，采用十折交叉验证。将每个风箱的数据等分为 $10$ 个子集，轮流取其中 $9$ 份训练、$1$ 份测试，计算两个关键指标。给定测试集上的预测值 $\hat{\mathbf{y}}\in {\mathbb{R}}^m$ 与真实值 $\mathbf{y}\in {\mathbb{R}}^m$，定义：

均方根误差

$$\text{RMSE}=\sqrt{\frac{1}{m}(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}{)}^{\top }(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}})}=\sqrt{\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2}.$$

平均绝对误差

$$\text{MAE}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m|y_i-{\hat{y}}_i|.$$

此外，为验证先验假设的正确性，考查标准化残差 $r_i=(y_i-{\hat{y}}_i)/\sqrt{\mathbb{V}[f_{\ast }{]}_i}$。若模型设定正确，$r_i$ 应近似服从标准正态分布 $\mathcal{N}(0,1)$。通过对残差进行 Kolmogorov-Smirnov 检验，若 $p>0.05$，不拒绝正态性零假设，则表明 GPR 的噪声模型假设与数据相容。

表 3 各风箱十折交叉验证 RMSE 与 MAE 汇总

风箱	RMSE (标准化尺度)	MAE (标准化尺度)	残差 KS 检验 p 值	残差峰度
1	0.0783	0.0612	0.214	3.12
2	0.0824	0.0650	0.186	2.95
3	0.0715	0.0558	0.248	3.07
4	0.0951	0.0733	0.152	3.22
5	0.0886	0.0694	0.203	2.98
6	0.1032	0.0815	0.091	3.40
7	0.0769	0.0601	0.175	3.01
8	0.0914	0.0720	0.198	3.15
9	0.0802	0.0637	0.230	2.92
10	0.0857	0.0679	0.165	3.08
11	0.0723	0.0572	0.255	3.03
12	0.0990	0.0774	0.143	3.28
13	0.0835	0.0661	0.211	3.10
14	0.0789	0.0624	0.194	3.05
15	0.0901	0.0711	0.182	2.97
16	0.0843	0.0668	0.227	3.13
17	0.0775	0.0609	0.240	2.89
18	0.0869	0.0685	0.205	3.18

由表 3 可见，所有风箱模型的 RMSE 均在标准化尺度下低于 $0.11$，MAE 低于 $0.09$，表明单输入负压对融合温度具有极强的预测能力。风箱 11 和 14 的误差最低，风箱 6 的误差相对较高，可能与局部湍流效应导致更强的非线性有关。残差检验的 $p$ 值均大于 $0.05$，峰度集中于 $3$ 附近，证实用 GPR 加高斯噪声的建模假设是合理的。

为直观比较各风箱模型性能的均匀性，提取交叉验证的 RMSE 绘制雷达分布图，从各个角度展示预测误差的波动轮廓。

雷达图中的每个径向轴对应一个风箱，多边形面积集中且边界较为规则，证明所有风箱的 GPR 模型均达到可比的且较低的泛化误差，系统辨识整体成功。

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