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2026 电工杯 B 题：思路分析与建模方案

全局技术路线

数据预处理 → 问题1（马尔可夫链人口预测 + 消费约束）→
问题2（0/1 整数规划选址 + 容量分配）→
问题3（线性规划/枚举定价）→
问题4（灵敏度分析）

全局符号体系

符号	含义
i∈{A,...,J}i \in \{A,...,J\}i∈{A,...,J}	小区索引（10 个）
j∈{1,...,J}j \in \{1,...,J\}j∈{1,...,J}	候选站点索引（与小区位置一致）
r∈{S,M,L}r \in \{S, M, L\}r∈{S,M,L}	站点规模：小/中/大
k∈{1,...,6}k \in \{1,...,6\}k∈{1,...,6}	服务项目：助餐/日间/上门/康复/助浴/紧急
g∈{g \in \{g∈{自理, 半失能, 失能$\}$	老人类型
$N_i^g$	小区 $i$ 类型 $g$ 老人数
$d_g^k$	类型 $g$ 老人对服务 $k$ 的月需求次数
$D_{ij}$	小区 $i$ 到 $j$ 的距离
xjr∈{0,1}x_{jr}\in\{0,1\}xjr​∈{0,1}	是否在 $j$ 建设 $r$ 规模站点
yij∈{0,1}y_{ij}\in\{0,1\}yij​∈{0,1}	小区 $i$ 是否由 $j$ 服务
$p_k$	服务 $k$ 单次定价

问题1：未来五年老人数量与服务需求量预测

1.1 马尔可夫链 + 自然死亡 + 新增模型

状态转移（年度）：

• 自然死亡：所有老人按 5% 死亡率减少
• 自理 → 半失能：4.5%
• 半失能 → 失能：10%
• 失能 → 失能（不恢复）
• 新增：每年新增 60+ 老人 = 当年总老人数 × 7%（默认计为自理）

递推公式（设 $A_t,B_t,C_t$ 分别为 $t$ 年末自理、半失能、失能数）：

total_t-1 = A_{t-1} + B_{t-1} + C_{t-1}
new_t = total_t-1 × 0.07              # 新增自理
A_t = (A_{t-1} × (1-0.045) + new_t) × (1-0.05)
B_t = (B_{t-1} + A_{t-1} × 0.045) × (1-0.10) × (1-0.05)
C_t = (C_{t-1} + B_{t-1} × 0.10) × (1-0.05)

注意：执行顺序是先转移再死亡（按"未恢复"约束推导）。

1.2 理论月需求

$D_i^k$ = ${\sum }_g{N}_i^g\cdot d_g^k$（向量化矩阵乘法）

1.3 含消费约束的实际需求

对每类老人 $g$，月人均费用 $C^g={\sum }_k{d}_g^k\cdot p_k^{base}$（紧急救助免费）

人均月收入上限 $=w_i\cdot {\alpha }_g$（自理 0.20，半失能 0.25，失能 0.30）

若 $C^g>w_i\cdot {\alpha }_g$，按比例削减次数：缩放系数 ${\lambda }_i^g=\min (1,w_i{\alpha }_g/C^g)$

实际需求 $=d_g^k\cdot {\lambda }_i^g\cdot N_i^g$（取整）

问题2：服务站选址与规模优化（MILP）

2.1 决策变量

• xjr∈{0,1}x_{jr} \in \{0,1\}xjr​∈{0,1}: 在小区 $j$ 是否建 $r$ 规模站
• yij∈{0,1}y_{ij} \in \{0,1\}yij​∈{0,1}: 小区 $i$ 由站点 $j$ 服务（最多 1 站，最满意原则）
• 每个 $j$ 只能建 1 个站：${\sum }_r{x}_{jr}\le 1$

2.2 约束

1. 预算：${\sum }_j{\sum }_r{x}_{jr}\cdot {\text{Build}}_r\le 120$ 万元
2. 服务半径：$y_{ij}=1\Rightarrow D_{ij}\le 1000$；用 $y_{ij}\le 1[D_{ij}\le 1000]$
3. 必须有站才能服务：$y_{ij}\le {\sum }_r{x}_{jr}$
4. 每个小区最多由 1 站服务：${\sum }_j{y}_{ij}\le 1$
5. 容量约束：${\sum }_i{y}_{ij}\cdot d_i\le {\sum }_r{x}_{jr}\cdot {\text{Cap}}_r$
   • 其中 $d_i$ = 小区 $i$ 老人日总人次需求

2.3 目标（多目标合并）

$$\max \alpha \cdot \text{覆盖率}+\beta \cdot \text{平均满意度}$$

或转为：$\max {\sum }_i{\sum }_j{y}_{ij}\cdot {\text{老人数}}_i\cdot S_{ij}$，其中 $S_{ij}$ 为预估满意度（用 $S_1$ 距离满意度作主导，$S_2,S_3$ 在求解后估算）

2.4 求解算法

• MILP（PuLP+CBC）：变量数 = 30 (x) + 100 (y) = 130，秒级求解
• 时间复杂度：$O(2^{|J|\cdot |R|})$ 最坏（分支限界），实际 ≪ 1s

问题3：服务定价与政府补贴优化

3.1 决策变量

• $p_k$ ∈ [基准价, 基准价×1.2]（连续）
• 离散化为 4 档：平价 / 微溢价 / 中溢价 / 高溢价

3.2 约束

• 利润率 ≤ 8%
• 紧急救助 = 0（不参与定价）

3.3 目标

• $\max$ 平均价格满意度 $S_3$，紧约束利润率 ≤ 8%

3.4 求解

• 直接枚举 4 档定价（5 种服务 × 4 档 = $4^5=1024$ 种组合，每种秒级核验）
• 最优解通常是"平价" → $S_3=1.0$，但若不满足利润率 ≤ 8%（实际可能利润率太低），则适度涨价
• 实际本题营收>支出，平价利润已存在，故大概率 $S_3=1.0$ 即最优

问题4：灵敏度分析

• 基准方案、(a) 改增长率与转移率、(b) 日成本+20%、© 预算 140万元 共 4 套
• 每套重跑问题 1+2+3，对比覆盖率、满意度、定价、补贴、利润