2026年电工杯数学建模竞赛B题完整论文                   

嵌入式社区养老服务站的建设与优化问题研究

摘  要

随着我国老龄化进程持续加快，传统养老模式难以适配社区老人多元化、就近化的养老需求，嵌入式社区养老服务站成为破解居家养老难题的核心载体。针对社区养老服务供需失衡、站点布局不合理、运营定价与补贴机制不健全等现实问题，本文依托小区人口结构、空间距离、服务成本、满意度评价等实测数据，从需求预测、选址规模优化、定价补贴优化、参数灵敏度检验四个维度构建完整数学建模体系，为社区养老服务站的建设与精细化运营提供科学决策方案。

针对老年人口与服务需求预测问题，结合老年人自然死亡、新增老龄人口、失能状态不可逆转移规律，构建马尔可夫状态转移离散递推模型，迭代预测未来五年各小区三类老年人口数量。同时结合老人月度服务需求标准，分别测算无约束理论服务需求与收入消费约束下的实际有效需求，完成养老服务需求的精准量化。

针对养老服务站选址与规模优化问题，以建站位置、站点规模为决策变量，综合建设预算、千米服务半径、站点容量、折旧成本等多重硬约束，构建服务覆盖率、综合满意度双目标整数规划模型。采用遗传算法求解NP难组合优化问题，得到最优站点布局与规模配置方案，有效平衡服务覆盖范围与居民体验。

针对服务定价与政府补贴优化问题，固定最优建站方案，以六项养老服务定价为决策变量，结合政府补贴规则、单日补贴上限、利润率不超过8%的运营约束，构建以老人综合满意度最大为目标的非线性约束优化模型，求解最优服务定价，并剖析定价、补贴对不同失能等级老人服务可及性的差异化影响。

针对模型稳定性检验问题，采用控制变量法，分别扰动人口转移参数、运营成本、建设预算三类核心参数，多场景对比优化方案核心指标变化，完成灵敏度与鲁棒性分析。结果表明，本文模型整体稳定性良好，优化方案适配性强，可为社区嵌入式养老服务体系建设、运营调控、政策落地提供重要的理论依据与实践参考。

关键词：嵌入式养老；马尔可夫预测；多目标优化；遗传算法；定价优化；灵敏度分析

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一、 问题重述

1.1 问题背景

人口老龄化是我国社会发展的长期常态，居家社区养老是当前主流养老模式。传统养老服务存在站点布局零散、服务供给与老人需求不匹配、运营定价不合理、补贴机制利用不充分等问题，严重制约社区养老服务质量。嵌入式社区养老服务站依托社区现有空间布局，可为老年人提供助餐、日间照料、康复理疗、上门护理、助浴、紧急救助等一站式就近养老服务，是完善社区养老服务体系、提升老年群体生活质量的关键举措。

某城市下辖10个连片小区，拥有完整的人口结构、空间距离、服务需求、建设运营成本及满意度评价数据。为优化区域养老服务资源配置、提升养老服务普惠性与满意度，计划统一建设嵌入式养老服务站，通过科学化选址、规模化配置、精细化定价与政策性补贴结合的方式，实现养老服务供需精准匹配、站点可持续运营。

1.2 问题重述

本文基于10个小区的基础人口数据、老人失能转移概率、服务需求标准、小区间距矩阵、站点建设运营成本、满意度评分规则等资料，建立数学模型，解决以下核心问题：

（1）结合老年人口演化规律，预测未来五年各小区自理、半失能、失能老年人口数量，分别测算无约束条件下的理论养老服务需求与老人消费上限约束下的实际有效服务需求；

（2）在120万元建设预算、1000米有效服务半径、站点容量限制等约束下，优化养老服务站选址与规模配置，实现服务覆盖率与居民满意度双最优；

（3）结合政府补贴政策、单日补贴限额、机构利润率约束，优化各项养老服务定价，分析定价与补贴机制对不同类型老人服务可及性的影响；

（4）通过扰动核心模型参数，开展灵敏度与鲁棒性分析，检验优化方案的稳定性与适配性，提出适配实际场景的运营优化策略。

二、 问题分析

2.1 问题一分析

本问题属于动态人口预测与约束型需求测算问题。老年群体分为自理、半失能、失能三类，具备失能状态不可逆的核心特征，同时受自然死亡、年度新增老龄人口、状态转移三类动态因素影响，符合马尔可夫无后效性特征。因此可构建离散逐年递推模型，迭代求解五年人口结构数据。

养老服务需求分为理论需求与实际需求两类：理论需求仅由老人数量与人均服务频次决定，无外部约束；实际需求需结合不同类型老人的月收入消费占比上限，对超额需求进行等比例压缩修正，剔除无效需求，最终得到贴合实际的有效服务需求，为后续站点规划提供数据支撑。

2.2 问题二分析

本问题属于典型的带约束多目标设施选址优化问题，为NP难组合优化问题。决策变量包含建站位置与站点规模两类，约束条件涵盖建设预算、服务半径、站点最大服务人次、成本折旧、老人服务选择规则等多重现实限制。

优化目标兼顾公共服务属性与居民体验，即最大化养老服务覆盖率与综合服务满意度。传统线性规划算法难以求解离散组合优化问题，因此选用适配性更强的遗传算法进行智能寻优，迭代收敛得到全局最优布局与规模方案，并核算站点运营、服务体验等核心指标。

2.3 问题三分析

本问题为固定布局下的服务定价与补贴协同优化问题。在最优站点布局与规模确定的前提下，以各项养老服务定价为决策变量，综合政府人次补贴、单日补贴上限、利润率不高于8%、紧急救助公益免费等政策与运营约束，构建以老人综合满意度最大为核心的非线性约束优化模型，求解最优定价方案，并从多维度分析定价补贴政策的普惠效果。

2.4 问题四分析

本问题为模型稳定性与方案鲁棒性检验问题。采用控制变量法，单独扰动人口参数、运营成本参数、建设预算参数三类核心变量，保持模型结构与约束规则不变，重新完成全流程求解。通过对比扰动前后各项核心指标的变化幅度，判断模型参数敏感性与方案稳定性，结合实际场景提出不确定性应对策略。

三、 模型假设

1. 研究周期五年内，区域老年人口自然死亡率、新增老龄人口比例、失能状态转移概率保持恒定，无突发疫情、人口迁移等非常规人口波动。

2. 老年失能状态具备完全不可逆性，失能老人无法转为半失能、自理老人，半失能老人无法恢复为自理老人。

3. 老人仅接受1000米有效服务半径内的站点服务，且始终选择综合满意度最高的服务站获取服务。

4. 研究周期内，区域物价、居民收入、政府养老补贴政策保持稳定，无政策性调整。

5. 服务站一次性建设成本按20年等额折旧、无残值，年度折旧成本统一计入运营总成本。

6. 紧急救助为公益免费服务，仅核算直接运营支出，不产生营收与政府补贴收益。

7. 老人服务需求超额压缩时，所有服务项目需求按统一比例等比例缩减并取整，保证需求结构稳定。